5谱估计(概述和经典法)分解
谱估计(复习大纲)
第一章 经典谱估计经典谱估计方法是以傅里叶变换为基础的方法，主要有两类：周期图法和布莱克曼—图基法（简称BT 法，又称为谱估计的自相关法）。
这两类方法都与相关函数有着密切的联系，由维纳——欣钦定理可知，功率谱和相关函数之间的关系是一对傅里叶变换，因而可以从观测数据直接估计相关函数，根据估计出来的相关函数，求它的傅立叶变换，就可以得到功率谱的估计值。
一、 相关函数和功率谱若 ==x x m n m )(常数，)(),(2121n n r n n r xx xx -=即)](*)([)(n x k n x E k r xx += 则称)}({n x 为广义平稳序列。
若)}({n x 和)}({n y 均为广义平稳序列，且)(),(2121n n r n n r xy xy -=即)](*)([)(n y k n x E k r xy +=，则称)}({n x 和)}({n y 为广义联合平稳序列。
广义平稳随机序列)}({n x 的相关函数)(k r xx 和它的功率谱密度)(ωxx P 之间是傅立叶变换对的关系，即∑+∞-∞=-=k kj xx xx d ek r P ωωω)()( (1.6)⎰-=ππωωωπd eP k r kj xx xx )(21)( (1.7)这一关系式常称为维纳——欣钦定理。
由自相关函数和功率谱密度的定义，不难得出它们的一些基本性质，主要有：1、当)}({n x 为复序列时，)(*)(k r k r xx xx =-；若)}({n x 为实序列，则相关函数为偶函数，即)()(k r k r xx xx =-。
2、相关函数的极大值出现在0=k 处，即)0()(xx xx r k r ≤。
3、若)(n x 含有周期性分量，则)(k r xx 也含有同一周期的周期性分量，否则，当∞→k 时，0)(→k r xx 。
4、当)(n x 为实序列时，)(ωxx P 为非负实对称函数，即)()(ωωxx xx P P =-和0)(≥ωxx P 。
现代信号处理经典的功率谱估计
现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
功率谱估计的方法
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
第五章 线谱估计
ˆ 如果在 [ , ] 内改变 ，画出 P MVDR ( ) 曲线。在 i , i 1, 2, , K 处的信号和噪声都被
滤波器抑制，曲线会出现很低的幅度；当 i , i 1, 2, , K 时，频率为 i 的信号可以无失 真地通过滤波器，因此曲线呈现出一个峰值。 在上面 MVDR 线谱估计方法的推导中，涉及了横向滤波器，但在进行信号频率估计时，无需构 建滤波器，而直接计算式(5.1.13)就可以得到复正弦信号的线谱。 应该指出，上面的 PMVDR (e ) 被称为最小方差谱，它并不是功率谱，它描述了信号功率谱的相 对强度。 Capon 提出的 MVDR 线谱估计方法的谱估计分辨率不高于基于 AR 模型的功率谱估计方法。
其中，矩阵 R
M M
(5.1.6)
为矢量 x(n) 的 M 维自相关矩阵，即
r (1) r (0) r (1) r (0) R E x(n)x H (n) r (1 M ) r (2 M )
r ( M 1) r ( M 2) r (0)
根据式(5.1.9)，求其梯度 J (w ) ，并令其为零，有
(5.1.9)
J (w ) 2Rw 2a(e j ) 0
考虑到自相关矩阵 R 是非奇异的，所以有
(5.1.10)
w R 1a(e j )
将其代入到约束条件 w a(e ) 1 中，并考虑 R 的共轭对称性，可得
x(n) k e jk n v(n)
k 1
K
(5.1.1)
其中， v(n) 是零均值，方差 为加性白噪声， k 和 k 分别是第 k 个复正弦信号复幅度和角频率，
第11章_经典谱估计
所以：
加在自相关函数上。目的是将 其截短。第二次加窗。
直接法和间接法之间的关系
11.4经典谱估计的质量
也分两种情况讨论 M N 1 M N 1
均值 主要考察的是
方差
无偏估计 一致估计
（一） M N 1
周期图和 自相关法 是等效的， 统一考虑
1. 偏差
估计值的均值
自相关 函数估 计的性 质
（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝16
0
0
-20
-20
-40
-40
-60 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 (e)
-60 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 (f)
经典功率谱估计的特点：
1. 物理概念明确，可用FFT快速算法。所以 是大众化的谱估计方法；
2. 对周期图，分辨率受到 对自相关法，分辨率受到
任务：改进
对 估计的性能；
目标：主要是改进方差的性能
方法：平滑与平均；
1. 平滑（Smoothing)
用 对 的加窗来实现 平滑
2. 平均（Average） 理论依据: L个独立同分布随即变量和的
分布，方差减小 倍，即：
将一个较长的信号分成若干段，对每一段求功 率谱，每一段的功率谱都是随机变量，然后平 均之。类似相干平均，用以弥补经典谱估计中 缺少的求均值运算。注意：信号应是平稳的， 且每一段的统计特性基本一样。
（2） 若
的主瓣宽度为 ；
假定 在主瓣外为零；
那么，在频率范围
有
内：
D0 ()
B 2 B 2
D0 (2 ) D0 (1 )
1 2 B
2
1
D0 (1 ) D0 ( 2 )
谱估计法的应用
确地确定。在非语音地区的噪音也初步减弱。然而，仍然
有大量的噪音残留在讲话中地区。因此，有必要使用在非 语音地区获得的准确的噪声功率谱进行进一步的去噪。特 别的，我们有； 2 2 2 S ( w) X ( w) 2 ( w)
其中 2 =0.9也是一个实验值，表示的是在谱估法中噪音功 1 和 ( w) 2 是在非语音去的 率谱在讲话中占的比例。例如；
音帧的短时能量和短时过零率是可以计算的。短的时间内能 源零产品 j，然后计算： EZ
Ej和
Z j 是分别短时能源和短时过零率的第j个语音帧，他们
E j s (n)
N
EZ j E j * Z j
N
可以表示为：
n 1
1 Z j sign s (n) sign s (n 1) 2 n 1
(.)是SIGNUM函数。
由于短时能量的语音信号的平方，信号幅度的差异是增加了。
s( 其中N为每个语音帧的长度， n) 是整个讲话的采样点，符号sign
短时过零率描述签署的语音信号的采样点的变化，所以在一 定程度上，这是反映了讲话的频率。
当决定开始和结束时，当噪音水平都很高时短时能量值得到
结果表明， 1 = 1.2时，去噪效果最好。 2.3 语音帧检测 语音帧首先应检测的是去噪步骤2.2，短时能零积分的确切性 被EZ j 所表示，然后是计算去噪语音帧，需要用到公式 TH （5）—（7），噪音的阀值， j 1 .第 j 1 次噪音语音帧是：
TH j 1 EZ j
2
2
2
n 最后，由于阶段的讲话对的人的兴趣不大，(t )项取代x(t )。
在整个去噪过程结束时，通过所采取的IFFT是很容易获得纯 粹的讲话得（快速傅立叶逆变换）。 1.2 短时能零积分
经典谱估计与现代谱估计
x4 (t) x2 (t)
3
高斯信号： 零峰度 亚高斯信号: 负峰度 超高斯信号： 正峰度
21
高阶累积量和多谱的性质
❖ 主要性质 (8个性质)
最重要的性质如下:
➢ 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 ➢ 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号
的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积 ➢信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h(n)，
• 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数 匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。
• 若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点。
• 当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。
内容
❖ 经典谱估计与现代谱估计 ❖ 参数模型法概述 ❖ 基于AR模型的谱估计法 ❖ 最大熵谱估计算法 ❖ 最小方差谱估计 ❖ 基于矩阵特征分解的谱估计 ❖ 高阶谱估计
1Hale Waihona Puke 内容❖ 随机信号的特征 ❖ 经典谱估计与现代谱估计 ❖ 参数模型法概述 ❖ 基于AR模型的谱估计法 ❖ 最大熵谱估计算法 ❖ 最小方差谱估计 ❖ 基于矩阵特征分解的谱估计 ❖ 高阶谱估计
• 结论: ....................
－ 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为
零时, 就是二、三阶相关(矩)
－四阶以上的累积量不等于相应的中心矩 13
高阶统计量
❖ 累积量的物理意义
➢高斯随机变量的高阶矩与累积量
• 高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上,零均值高斯
随机变量的k 阶矩(或零均值的k 阶中心矩)为
经典谱估计(自相关法)
经典谱估计(自相关法)
经典谱估计是一种常用的信号处理方法，其中自相关法是其中一种常见的实现方式。
经典谱估计的主要目的是通过对信号的自相关函数进行分析来估计信号的频谱特性。
自相关函数描述了信号与自身在不同时间点的相关性，通过对自相关函数进行合适的处理，可以得到信号的频谱信息。
自相关法的基本原理是利用信号的自相关函数来估计信号的频谱特性。
自相关函数描述了信号在不同时间点上的相关性，它可以通过计算信号与其自身在不同时间延迟下的乘积来得到。
在实际应用中，可以使用不同的自相关函数估计方法，如周期图谱法、傅里叶变换法等。
在进行自相关法时，需要考虑一些关键因素。
首先是选择合适的信号长度和时间窗口大小，这会影响到自相关函数的准确性和分辨率。
其次是对信号进行预处理，如去除噪声、进行平滑处理等，以提高自相关函数的稳定性和可靠性。
另外，还需要考虑自相关函数的计算方法和参数选择，以确保得到准确的频谱估计结果。
自相关法在实际应用中有着广泛的应用，特别是在信号处理、
通信系统和频谱分析等领域。
它可以用于估计信号的频谱特性，如频率成分、功率谱密度等，对于信号的特征提取和分析具有重要意义。
同时，自相关法也可以用于信号的调制识别、信道估计和系统建模等方面，为工程实践提供了有力的工具和方法。
总的来说，经典谱估计中的自相关法是一种重要的信号处理方法，通过对信号的自相关函数进行分析来估计信号的频谱特性。
在实际应用中，需要综合考虑信号处理的各个环节，合理选择方法和参数，以获得准确可靠的频谱估计结果。
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xx (m)Ex(n) x (n m)
N 1 jm Pxx () Pxx () lim x(n) x (n m) e N 2 N 1 m n N
1 N jn j ( n m ) lim x(n)e x (n m)e N 2 N 1 n N m
N 1 n 0 2
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
jn
1 2 X N ( ) N
进行功率谱估计(不通过自相关函数的估计)
将已知数据序列的傅立叶 变换的模的平方除以序列 长度作为功率谱的估计
计算效率高 频率分辨率低
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
固有缺陷：原因：“加窗效应” 频率分辨率低 原因：加窗截取，认为窗以外的数据为零。
1
引
言
• 功率谱估计的应用
在信号处理的许多场所，要求预先知道信号
的功率谱密度(或自相关函数)。
常常利用功率谱估计来得到线性系统的参数
估计。
从宽带噪声中检测窄带信号。
• 功率谱估计的应用
谱估计的分辨率可以粗略地定义为能够分辨出的 二个分立的谱分量间的最小频率间隙(距)。 例如：有一个随机信号，它包括二个频率相差1Hz振 幅相等的正弦波以及加性白噪声(白色噪声的方差是 正弦波功率的10％)。
N
2
功率谱的 真实值
2
才有意义
N 1 j n Pxx ( ) lim E x ( n ) e N 2 N 1 n N
1
• 谱分析
引
言
用有限的N个样本数据来估计平稳随机过 程的功率谱密度。
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N n
1967 Burg 最大熵 1968 Parzen 自回归AR 用参数模型来模拟信号 实际遇到的随机过程x(n)可以用ARMA模型来逼近 目前常用的求自回归模型系数的算法有三种： ①Levinson递推算法； ②Burg递推算法； ③正反向线性预测最小二乘算法。
2
经典谱估计
• 自相关函数的估计 • 周期图作为功率谱的估计 • 平滑后的周期图作为PSD的估计
令l nm
则上式可写成
1 jn jl Pxx ( ) lim x(n)e x(l )e N 2 N 1 n N l
N
1 jn lim x(n)e N 2 N 1 n N 实际上只有将上式求平均，成为
不难证明：
E e B
2 2
2 ˆ
1
• 估计质量的评价
一致估计：
引
言
当N趋向于无穷大时，谱估计趋向于真实的谱密度。
N N
ˆ 0 Bias ˆ 0 Var
正确的估计应该满足一致估计的条件，此为正确估计的必要条件 反之，若估计方法不满足一致估计的条件，则它一定是不正确的
n
x
N
(n) xN (n m)
对自相关函数进行估计，然后再通过式 作傅氏变换得功率谱估计值。
m
jm ˆ ˆ P xx ( ) xx (m)e
已知数据取样自相关函数功率谱
1
• 研究现状
经典谱估计：
引
言
直接法(周期图法 )
将观察到的有限个样本数据利用FFT算法作傅氏变换，直 接按式
x
N
(n) xN (n m)
功率谱的 估计值
ˆ (m)e jm ˆ ( ) P xx xx
或 其中
1 ˆ Pxx ( ) N
x(n)e
n 0
N 1
m
2 jn
1 2 X N ( ) N
周期图
xN (n) RN (n) x(n) xN (n m) RN (n m) x(n m)
1
• 估计质量的评价
无偏估计
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ 的偏差(Bias)为零 。所谓偏差(用B表示)定义为 ˆ] E ( ˆ) B Bias[
估计1和估计2 都属于无偏估计； 估计2较之估 计1方差小；
1
• 估计质量的评价
最小方差估计
方差
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
ˆ
2
ˆ] Var[
2 ˆ ˆ E E[ ]
为最小的估计。
2 2 ˆ ˆ ˆ Var[ ] E[ ] E [ ]
1
• 估计质量的评价
均方误差
引
言
θ：某个随机变量的真值 ˆ ：它的估计值
2 2 ˆ ˆ MS ( ) E e E ( )
频谱能量向旁瓣泄漏 原因：加窗截取，频域产生旁瓣和主瓣宽度不是无限 窄的现象。 周期图的缺陷：非一致估计 当数据量增至无限多时，周期图的方差并不趋近于零， 而是趋近于常数。
“加窗效应”
矩形序列 其傅立叶变换为
幅度谱
“加窗效应”
各种窗函数的频谱
1
• 研究现状
现代谱估计：引来自言以随机过程的参数 模型为基础
用三种不同的谱估计方法检测这二个正弦分量的效果。
(a) 经典BT PSD法
(b) 最大熵谱估计法
(c) Pisavcnko 谐波分解法
1
• 研究现状
引
言
功率谱估计的方法：教材P489 图10.7.1
1
• 研究现状
经典谱估计：
先通过式
引
言
以傅立叶变 换为基础
间接法(BT PSD估计法 )
N 1 1 1 ˆ xx (m) x(n) x(n m) N n 0 N
谱 估 计
主要内容
• 引言
• 经典谱估计 • 现代谱估计
1
引
言
概述 估计质量的评价 功率谱估计的应用 研究现状
1
引
言
• 随机信号的功率谱密度(函数)，是 其自相关函数的傅氏变换。
前提：均值为零
Pxx ( )
m
jm ( m ) e xx
X(n)的自 相关函数