实变与泛函 ch2a
实变函数与泛函分析概述
实变函数与泛函分析概述实变函数是数学中一类重要的函数，与泛函分析有紧密的联系。
本文将对实变函数与泛函分析进行概述，并介绍它们的基本概念和主要应用。
一、实变函数概述实变函数是定义在实数集上的函数。
它们通常涉及到实数域上的极限、连续性、可导性等性质。
实变函数的研究对于数学和物理学等领域都具有重要的意义。
1.1 实变函数的定义实变函数可以根据其定义域和值域的不同进行分类。
常见的实变函数包括数列极限、函数极限、连续函数、可导函数等。
1.2 实变函数的性质实变函数具有一系列重要的性质，如界、连续性、可导性、积分等。
这些性质可以帮助我们了解函数的行为和性质，从而更好地进行函数的研究和应用。
1.3 实变函数的应用实变函数在数学和物理学中有广泛的应用。
例如，在微积分中，实变函数被用来解决曲线的弧长、曲率、最值等问题。
在物理学中，实变函数被用来描述物体的运动、变化等现象。
二、泛函分析概述泛函分析是研究无穷维空间中函数的一种数学分析方法。
它广泛应用于函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等领域。
2.1 泛函分析的基本概念泛函分析的基本概念包括向量空间、范数、内积等。
与有限维空间相比，无穷维空间的泛函分析更加复杂，因为它需要处理无穷序列和无穷级数等概念。
2.2 泛函分析的重要结果泛函分析的重要结果包括泛函的极值、开映射定理、闭图像定理等。
这些结果为泛函分析提供了坚实的理论基础，也为实际问题的求解提供了有效的方法。
2.3 泛函分析的应用泛函分析在许多领域有广泛的应用。
例如，在傅里叶分析中，泛函分析被用来描述信号的频谱分布；在偏微分方程中，泛函分析被用来研究方程的解的存在性和稳定性。
三、实变函数与泛函分析的关系实变函数与泛函分析有紧密的联系。
实变函数可以看作是泛函分析在实数域上的特例。
通过引入泛函分析的方法和技巧，我们可以更好地理解和研究实变函数的性质与应用。
3.1 实变函数的泛函分析观点从泛函分析的角度来看，实变函数可以看作是存在于某个函数空间中的一个特殊函数。
实变函数与泛函分析概要1
实变函数与泛函分析概要1
实变函数是一种数学变换，指将实数域上的一个实变函数f（x）映射到实数域上的另一个函数的过程。
它的基本定义：当一组实数
x1，x2，x3，x4...映射到一组对应的实数y1，y2，y3，y4...时，f （x）就是一个实变函数。
由此可见，实变函数之所以叫做实变函数，就是因为它们把实数向量X变换成实数向量Y。
实变函数在数学中有着重要的应用，它能够帮助我们描述和解决各种复杂的实际问题，有助于更好地理解和预测自然界中的现象和过程。
它可以被用来分析物理问题、化学问题、生物学问题、社会学问题等，以及解决金融、经济等方面的问题。
泛函分析（Functional Analysis）是指一种拥有与实变函数类似的变换能力的数学分析方法。
它有效而精确地分析了实变函数的特性，如极限、变量变化和连续性，通过特征定义形成一种新的函数，从而解决问题。
它也可以用于描述和研究实变函数特性的变化及其影响，以及实变函数的变换后的性质。
泛函分析有着广泛的应用，它可以用来研究各种弹性系统、热力学系统、量子力学系统、动力学系统、复杂网络等。
它用于研究各种物理系统的性质，如分子结构、热力学过程、流体流动、声学波等，以及分析解决非线性方程的特殊方面。
实变函数和泛函分析在许多领域都有着重要的应用，其中一些重要的领域就是理论物理学、应用数学、工程科学和计算机科学等。
它们可以帮助我们描述客观事物的形成、变化和发展，并研究解决复杂
的实际问题，为数学的发展做出重要的贡献。
实变函数论、拓扑学与泛函分析
实变函数论、拓扑学与泛函分析微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。
以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。
又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。
这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。
人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。
比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
实变函数与泛函分析课件
微分学基本定理
导数的定义
介绍导数的定义及基本性质，如求导法则、高阶导数 等。
中值定理
介绍中值定理的内容及其证明方法，如拉格朗日中值 定理、柯西中值定理等。
极值定理
介绍极值定理的内容及其应用，如单调函数的极值、 最值等。
02 泛函分析
泛函分析的基本概念
投影定理：有界线性算子的投 影定理
紧算子与Fredholm算子
紧算子的定义
将紧集映射为紧集的算子
Fredholm性质
可逆、可计算、可逼近的性质
ABCD
Fredholm算子的定义
具有Fredholm性质的算子
Fredholm算子的应用
在微分方程、积分方程等领域有广泛应用
自伴算子与投影算子
自伴算子的定义
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
01
正交分解定理
02
Hilbert空间
03
Hilbert空间的定义
内积空间与Hilbert空间
正交基 Riesz表示定理
巴拿赫空间与连续线性映射
总结词：泛函分析是研究线性或非线性算子在某 种空间上的性质及其应用的学科，相关习题主要 考察学生对算子、空间及其性质的理解程度。
1. 空间上的算子与变换部分的习题主要涉及线性 算子、有界算子、紧算子等不同类型的算子的定 义、性质和计算方法，以及空间上的变换和约化 定理的应用。
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
实变函数与泛函分析电子版15~36页
第 16页定义1 设,A B 为两个非空集合，如果有某一法则ϕ，使每个x A ∈有唯一确定的y B ∈和它对应，则称ϕ为Ａ到Ｂ内的映射，记为:A B ϕ→.当映射ϕ使ｙ和ｘ对应时，y 称为x 在映射ϕ下的像，记作(x)y ϕ=，也可表示为:xy ϕ.对于任一固定的y,称适合关系(x)y ϕ=的x 的全体是元素y 在ϕ之下的原像，集合Ａ称为映射ϕ的定义域，记为()βϕ，设Ｃ是Ａ的子集，Ｃ中所有元素的像的全体，记为(c)ϕ，称它是Ｃ在ϕ之下的像，(A)ϕ称为映射ϕ的值域，记为()ϕℜ。
定义２ 设Ａ和Ｂ是两非空集合，若存在从集合Ａ到Ｂ上的一一映射ϕ ，即满足：⑴ 单设：对任意x,y A ∈，若(x)(y)ϕϕ=,则x=y ；⑵ 满射：对任意y B ∈，存在x A ∈，使得(x)y ϕ=.则称Ａ和Ｂ对等，记为A B ，规定φφ。
例 １我们可给出有限集合的一个不依赖于元素个数概念的定义，集合Ａ称为有限集合，如果A=φ或者A 和正整数的某截段{1,2，......n}对等。
例 2 { 正奇数全体 }{ 正偶数全体 }，事实上，只要令(x)x 1ϕ=+ 即可。
例 3{ 正整数全体}{ 正偶数全体}，这只需令(x)2x ϕ=，第17页X 是整数。
例4 区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个(0,1)x ∈，令(x)t a n (x )2πϕπ=-。
例5 设A与B是两个同心圆周（图1.4），显然A~B。
事实上，对A上每一点x 与同心圆的圆心的连线与B相交且交与一点，值得注意的是，若将此圆的两周展开为线段时，则这两条线段的长度并不相同。
这告诉我们，一个较长的线段并不例4表明，无限长的“线段”也不比有限比另一个较短线段含有“更多的点”。
长的线段有“更多的点”。
例 3和例4说明一个无限集可以和它的一个真子集对等（可以证明，这一性质正是无限极的特征，常用来作为无限极的定义）。
这一性质对于有限集来说显然不能成立，由此可以看到有限集和无限极之间的诧异。
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变与泛函_ch2
UUnniivveerrssiittyy ooff sscciieennccee&& TTeecchhnnoollooggyy ooffCChhiinnaa
2.1.1 有界可测集 设设 E ,,用用m E 表表示示E 的的LLeebbeessgguuee测测度度..记记
11°°若若G1,G2 OB ,, 且且G1 G2 ,,则则mG1 mG2 ;; 22°°若若G1,G2 OB ,, 则则 mG1 G2 mG1 mG2 ..
特特别别当当G1 G2 时时,,等等号号成成立立..
UUnniivveerrssiittyy ooff sscciieennccee&& TTeecchhnnoollooggyy ooffCChhiinnaa
当当““很很不不连连续续””时时,,上上述述要要求求就就得得不不到到满满足足,,从从而而使使很很 多多常常用用的的函函数数RRiieemmaannnn不不可可积积..
改改变变RR--积积分分对对积积分分区区间间的的分分割割方方法法,,把把区区间间分分成成一一 些些小小集集合合,,使使在在每每个个小小集集合合上上,,函函数数值值““变变化化不不大大””..
UUnniivveerrssiittyy ooff sscciieennccee&& TTeecchhnnoollooggyy ooffCChhiinnaa
由由上上可可知知,,空空集集,,有有界界开开集集,,有有界界闭闭集集的的测测度度都都为为一一个个 非非负负实实数数..
下下面面给给出出任任意意有有界界集集测测度度的的定定义义..首首先先,,对对每每一一个个有有 界界集集,,显显然然存存在在G OB 及及 F CB ,,使使F E G,,故故可可 借借助助于于开开闭闭集集的的测测度度来来定定义义任任意意有有界界集集的的测测度度..
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定义2.2.2 设 A 是一个关于数集 E 的命题,若 A 在 E 上每点均成立,则称 A 在上 E 成立;若E0 L,E0 E , 且有 m E0 0 ,使 A 在 E E0 上成立,则称 A 在 E 上 几乎处处成立,记为 A a.e. 于 E (或 A P.P 于 E ).
G2 时,等号成立.
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定义2.1.2 设 F ,F CB , 任取 A,B F , 定义
m F B A m A,B F .
根据此定义可以得出以下结论:
G为有界开集 F 为有界闭集
OB G
CB F
定义2.1.1 定义 m 0 ;设G ,G OB , G 的构 数的指标集,定义 m G nT n n .
成区间列为 n , n n T ,这里 T 为一个至多为可
2.2 可测函数
讨论可测集上的实函数,引进简单函数的概念 设E L,E
n i 1
Ei , Ei 可测且互不相交, i 为实常
n
数, i 1,2, ,n ,称 f i 1i X Ei 为 E 上的一个简单 函数.这里 X Ei 为集 Ei 的特征函数.
易见, f x i ,x Ei ,i 1,2, ,n .
1°有限集的测度为 0 ; 2°若 F1 ,F2 CB且 F1 F2 ,则 m F1 m F2 ; 3°若 F CB , G OB且 F G , 则 m F m G .
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定理2.2.2说明,可测函数类对四则运算封闭. 定理2.2.3 设 f n M E ,n 1,2, 有 f n x f x ,则 f M E .
,且对 x E ,
由该定理可知,可测函数类对极限运算也封闭.
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2.1.2 一般可测集与可测集类
考虑无界集的测度.
定义2.1.4 设E
,若对x 0 ,均有 x,x
x
E LB
则称 E 为L-可测集, m E lim m x,x
En
,且
定理2.1.5 (从上连续性) 设 E1 E2
En L,n 1,2, ,m E1 , 则
n 1
E
lim En
n
En L,m En m E
条件 m E1 是不可少的
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n 1
En LB .
定理2.1.2对有限并成立,只要取 En1 En2 即可 ;
定理2.1.3对有限交成立,只要取 En1 En2
A,B Ei i 1,2,
,n 即可.
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根据上述定义,显然有以下结论:
1°若G1 ,G2 OB , 且G1 G2 ,则 m G1 m G2 ; 2°若G1 ,G2 OB , 则 m G1 特别当 G1
G2 m G1 m G2 .
为Lebesgue可测集,简称为L-可测集或可测集,并
* m E m E m 称 E 为 E的Lebesgue测度. *
将 论.
上全体有界可测集记为 LB ,不难得出下面的结
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1°空集,有界开集,有界闭集均为可测集,且测度与 原定义一致. 2°单调性: 若 E1 ,E2 LB ,E1 E2 ,则m E1 m E2 . 3°完全性: 若 m E 0 (一般称为 m 零集或L-零测 集),则对 E E ,有m E 0 .
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2.1 Lebesgue测度
Riemann积分把区间分成有限个小区间,并要求函 数在每一个小区间上的“变化不大”(连续函数)
当“很不连续”时,上述要求就得不到满足,从而使 很多常用的函数Riemann不可积.
由上可知,空集,有界开集,有界闭集的测度都为一个 非负实数.
下面给出任意有界集测度的定义.首先,对每一个有 界集,显然存在 G OB 及 F CB ,使 F E G ,故可 借助于开闭集的测度来定义任意有界集的测度.
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定义2.1.5 凡从开集出发,通过取余集,取有限或可 数并或交等手续得到的集合,统称为Borel集,或BL B ,称为 可测集.所有Borel集合组成的集类记为 Borel集类.
B L , B 是 L 的真子集
不可测集是存在的,但是列举反例困难
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测度连续性的两个定理
定理2.1.4 (从下连续性) 设 E1 E2
En
,且
En L,n 1,2,
,则
n 1
E
lim En
n
En L,m En m E
定义2.1.3a 设 E 为有界集,记 m* E inf m G
G E,G OB
* m ,称 E 为 E 的外测度.
. OB m* G m G ,E1 E2 m* E1 m* E2 G
定义2.1.3b 设E 为有界集,记 m* E sup m F
F E,F CB ,称 m* E 为E 的内测度.
F CB m* F m F
* 对任意有界集 E , m* E m E .
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* 定义2.1.3 设 E 为有界集,若 m* E m E ,则称E
L 对有限交、并,可列交、并,及有限差运算封闭
构成 -环以及 -代数
1°若 E L ,则 E ð L ; 2°若A,B L,A B ,则 m A B m A m B ; 3°若 A B,B L,B A L ,则 A L .
E f L .
定理2.2.2 设 f ,g M E ,k , , 0 ,则 f kf , f g, f , f g, g x 0 M E . g
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n 1
En n1 m En
En 有界,则
特别有可列可加性: 当 Ei
m
n 1
En n1 m En
E j i j 时,有
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定理2.1.3 若En LB ,n 1,2, , 则E
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定理2.2.1 设 f M E ,则对 ,a,b ,有E f , E f ,E f , E a b ,E f ,
A在 E 上成立 A a.e. 于E .
如著名的Dirichlet函数 X Q x 0 ( a.e. 于
).
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定理2.2.4 设 f M E ,若f g ( a.e.于E),则g M E 定义2.2.3 设 f n M E ,n 1,2, , f 为 E 上的一个 ,
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以下为方便起见,对 及 E上的实函数 f ,记
E f x|f x ,x E
类似有 E f ,E f ,E f 若 x1 x2 ,则E f x1 E f x2 定义2.2.1 设E L, f 为 E 上的实函数,若对 均有 E f L ,则称 f 为 E 上的一个可测函数. ,