新人教版九年级数学第21章二次根式导学案(全章)
麦市中学师生共用导学案
科目： 数学 年级：九 主备人：刘昀 课型：新课 授课时间：7 月 7 日 课时数：1
课题：21.1 二次根式（3） 学习 目标 学习重点 学习难点
1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简； 2、经历探索 a 2=|a|的过程，培养分类的数学思想。
二次根式的性质及运用。 运用二次根式的性质进行二次根式的化简。 学 习 过 程 备 注
a
2
三、自主应用 巩固新知 【例 1】化简： （1） 9 （2） ( 4 )
2
（3） 2 5
（4） ( 3)
2
【例 2】求下列各式的值。 ⑴(
5 4 )
2
⑵ (2 3 )
2
⑶ (
1 2
)
2
⑷ ( 3 . 14 )
2
【例 3】实数 a、b 在数轴上的位置如图： . 化简 a
2
a . . . -1
则下落的时间是_________． 3、已知： a
1 2 ( 5 3)
，b
1 2
( 5
3 ) ，求
a2-ab+b2 的值。
麦市中学师生共用导学案
科目： 数学 年级：九 主备人：刘昀 课型：新课 授课时间：7 月 13 日 课时数：1
课题：21.2 二次根式的除法（1） 学习 目标 学习重点
二次根式的性质及运用。 运用二次根式的性质进行二次根式的化简。 学 习 过 程 备 注
一、自主学习 感受新知 ⑴当 a>0 时， a 表示 a 的 表示 0 的 ，因此， a = ，因此， a 0；当 a=0 时， a 数。
；就是说 a （a≥0）总是一个
2
⑵若 3 x + x 3 有意义，则 x
a ³ b ＝
( a ≥ 0 ，b ≥ 0
)
这就是说：两个二次根式相乘，用被开方数的积作积的被开方数。 【注意】a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说 明，所有字母都表示正数。 反过来也成立： ab ＝ 二、自主应用 巩固新知 【例 1】计算： （1） 5 ³ 7 解： （2）
a
4（ 《原创新课堂》对应练习）
2
1 、 下 列 各 式 中 ， -2 是 。
2
，
a ，
a (a<0) ，
，
3
a 1 是二次根式的
2、当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 5 3x ⑵
3 2x 1
⑶ x 1
2
⑷
x 3
1
⑸
( x 2)
2
⑹
x 8 x 4
2
⑵（ a ）2
2
⑷（ 4 x 1 2 x 9 ）2
2
【例 3】在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
【练习】Р 5
1
四、自主总结 拓展新知 五、课堂作业 P5 1．计算 （1） 9 ）2 （ （2）-（ 3 ）2 （3） （
1 2
2（ 《原创新课堂》对应练习）
第7页
备
注
一、自主探究 学习新知 【探究】 1．填空 （1） 4 ³ 9 =_______， 4 9 =______； （2） 1 6 ³ 2 5 =_______， 1 6 2 5 =________． （3） 1 0 0 ³ 3 6 =________， 1 0 0 3 6 =_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
练习
三、自主总结 拓展新知 四、课堂作业 P12 1 4（ 《原创新课堂》对应练习） 1、若 ( x 2 )( x 3 ) 2、 自由落体的公式为 S=
1 2
x2
x 3 ，则 x 的取值范围是
。
gt2 （g 为重力加速度， 它的值为 10m/s2） 若物体下落的高度为 720m， ，
h 5
2
.
，它们都是表示分别表
的
. ；0 的平方根是 ；在实 。 ”称
我们知道：一个正数有两个平方根，它们 数范围内，
数没有平方根。因此，开平方时，被开方数只能是
【归纳】一般地，我们把形如 a （a≥0）•的式子叫做二次根式， “ 为二次根号．
【注意】二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是 a 的形式；2、被开方 ．． 数必须是 。
1 2
；2 3 3 2 ；b 。
。
二次根式可以进行乘法运算，能否进行二次根式的除法运算？
15 cm
2
，一条边长为 5 cm ，求这
二、自主交流 探究新知 【探究】1、计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？ （1） （2）
1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次 根式的概念。 2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。 二次根式的除法运算和化简。
第9页
学习难点
二次根式的除法运算公式的双向使用。 学 习 过 程 备 注
一、自主学习 感受新知 【问题 1】二次根式乘法法则是什么？完成下列填空： 1、 ( 0 . 09 ) ( 0 . 25 ) 2、若 b 2 ( a 1) b a 1 ，则 a 【问题 2】已知一个三角形的面积为 条边上的高？
2
=_______．
⑶使式子 ( x 5) 有意义的未知数 x 有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 二、自主交流 探究新知 【探究】根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______； 2 ）2=_______； 9 ）2=______； 3 ）2=_______； （ （ （ （
二、自主交流 探究新知 【探究】当 x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？
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三、自主应用 巩固新知 【例 1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、 、 x
x 1
（x>0） 0 、 4 2 、- 2 、 、
1 x y
、 x y （x≥0，y•≥0） ．
【例 2】当 x 是多少时， 2 x 3 +
1 x 1
在实数范围内有意义？
【例 3】⑴已知 y= 2 x + x 2 +5，求
x y
的值．
⑵若 a 1 + b 1 =0，求 a2012+b2012 的值．
【随堂练习】Р 3
1 2
四、自主总结 拓展新知 五、课堂作业 P8 1 3
1 3
³
( a ≥ 0 ，b ≥ 0
)
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
³ 9
（3） 9 ³ 2 7
（4） 2
32
【例 2】化简 （1） 9 1 6 （4） 9 x y
2 2
（2） 1 6 8 1 （5） 5 4
（3） 8 1 1 0 0 （6）
a
3
(a 0)
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3、已知 a、b 为实数，且 a 5 +2 1 0 2 a =b+4，求 a、b 的值．
麦市中学师生共用导学案
科目： 数学 年级：九 主备人：刘昀 课型：新课 授课时间：7 月 5 日 课时数：1
课题：21.1 二次根式（2） 学习 目标 学习重点 学习难点
1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简； 2、经历探索（ a ）2=a（a≥0）的过程，培养分类的数学思想。
2
(
4 5
)
2
( 20 )
2
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 a 0时 , a ⑶计算：
0
2
。
；当 a 0时 ,
a
【归纳】二次根式的性质：
____ ( a 0) a _____ ( a 0) _____ (a 0)
x4
(a 4)
2
的值是一个常数 2，则 a 的取值范围是
4 xy x y )( x y 4 xy x y ) 的值。
4 x 3，求代数式 ( 源自 y 5、已知 x 2 8 x 16
x
2
12 x 36 10
，化简： ( 2 x 8 ) 2 2 | x 6 | 。
6 ）
2
（4） （-3
2 3
）2
(5) ( 2 3 3 2 )( 2 3 3 2 )
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2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: ⑴5 ⑵3.4 ⑶
1 6
⑷x（x≥0）
3．已知 x y 1 +
x 3 =0，求 x 的值．
y
4．在实数范围内分解下列因式: ⑴x2-2 ⑵x4-9 ⑶3x2-5
b
2
. 0
(a b)
2
b . . . 1
代数式：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数 的字母连接起来的式子称为代数式。
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【练习】Р 5
2
四、自主总结 拓展新知 五、课堂作业 P5 5 6 7 8（ 《原创新课堂》对应练习） 。 。 。
1、如果 ( x 2 ) 2 x 2 ，那么 x 的取值范围是 2、若 1<x<2，则 | x 3 | ( x 1) 2 的值为 3、若代数式 ( 2 a ) 2 4、已知 y
麦市中学师生共用导学案
科目： 数学 年级：九 主备人：刘昀 课型：新课 授课时间：7 月 9 日 课时数：1
课题：21.2 二次根式的乘法 学习 目标 学习重点 学习难点
新人教版九年级上册数学教案第二十一章 二次根式
《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥02=a（a≥0（a≥0）．（3（a≥0，b≥0；a≥0，b>0a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）；（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S=二、探索新知（a ≥0）•的式子叫做二（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:（略）例1、1x x>0）、、、1x y+x ≥0，y •≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0、x ≥0，y ≥0）；不是二1x 、1x y +．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +11x +在实数范围内有意义？分析+11x +在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-111x +在实数范围内有意义．例4(1)已知，求x y 的值．(答案:2)(2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a ≥02．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b，求a、b的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a≥0）23．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，x＋x2在实数范围内没有意义．3.1 34．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1a ≥0）是一个非负数；22=a （a ≥0）．教学目标a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．a ≥0）是一个非负数，用具体2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键1a ≥02=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：2=_______）2=_______2=______2=_______；2=______2=_______）2=_______．是4是一个平方等于4的）2=4．）2=22=9）2=32=13）2=72，）2=0，所以例1 计算12 2．（2 32 4．（2）2分析）2=a （a ≥0）的结论解题．2 =32，（2 =322=32·5=45，2=56）274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 2 ）2 （）222-四、应用拓展例2 计算12（x ≥0） 22 3）24）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a 2≥02=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥02=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1a ≥0）是一个非负数；22=a （a ≥0）;反之:a=2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1、的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（12 （2）-2 （3）（12）2 （4）（- 2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（12=9 （2）-2=-3 （3）（12）2=14×6=32（4）（-2=9×23=6 (5)-62．（1）5=2 （2）3.4=2（3）16=2 （4）x=）2（x ≥0） 3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=814.（1）x 2-2=（）（x ）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x(3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1（a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01110=23=37．例1 化简（1 （2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1 （2=4（3 （4 三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．二、填空题1．．2m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以a-1=1995，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x21．2 二次根式的乘除第一课时教学内容a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标（a≥0，b≥0（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=a b，如=或教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×2．利用计算器计算填空（1，（2（34，（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×2(2) 化简:;教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．五、归纳小结本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．cm B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B． D．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．C．× D．×二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，．2．验证：==21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行计1算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（1（2=________；（3；（4=________．3．利用计算器计算填空:，（2，（3=______，（4=________．（1。
人教版版九年级上册第二十一章 二次根式全章教案-1
A B C第一讲 二次根式一、教学目标:(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a ≥0时，()2a = a ；能运用这个性质进行一些简单的计算。
(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。
二、教学重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质三、教学难点：经历知识产生的过程，探索新知识．四、教学过程：1、概念复习：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2、 引入：计算:的平方根是 .(2)如图,在R ∆t ABC 中,AB=50m,BC=a m,则AC= m. (3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为3-b ,则边长为 .（5）对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 3、归纳总结：1、二次根式的定义.______________________________________________________ 说说对二次根式 a 的认识,好吗?_________________________________________2、练习:说一说,下列各式是二次根式吗?(1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m (5)x xy (、y 异号) (6)12+a (7)35 4、例1: 要使式子5-x 有意义，x 的取值范围是什么?5、二次根式性质的探索：22=4，即（4）2= 4；32=9，即（9）2= 9；……观察上述等式的两边，你得到什么启示？揭示：当a ≥0时，()2a = a 。
6、例2：计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）7、练习. （1）=2)32(（2）2)32(- 练习：1、要使下列式子有意义，x 的取值范围是什么?（1）5+x （2）43-x （3）15+x （4）x 101- （5）12+x （6）2x - （7）11-+-x x （8）11+x （9）31x-2、当x=2时，下列各式中，在实数范围内没有意义的是（ ） A 、2-x B 、x -2 C 、22-x D 、22x -3、计算：（1）2)5( （2）2)73(（3）22)2()8(+ （4）222)(b a +4、已知0512=++++-y x y x ，求x+y 的值。
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21.2二次根式的乘除（5）教学目标：（1）理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．（2）通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．教学重点：最简二次根式的运用．教学难点：会判断一个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程： 一、导入新课思考：以下二次根式是最简的吗？（1）31； （2）27 （3）26a （4）312a答：（1）不是，31根号里有分母，可以化简为3331⨯⨯=33（根号内没有分母）（2）不是，27=93⨯=33（被开方数27还可以有因数9可以开方）（3）不是，26a =6a （被开方数还有2a 可以开方）（4）不是，312a =a a a ⨯⨯⨯334=232a a （被开方数有分母且有能开方的因式）上述4个小题只有化成右边的形式才是最简的二次根式二、新课：观察上面的计算题，得到结果33、33、6a 及232a a都具有什么特点呢答：1、被开方数的因式是整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么。
（1）；（2）； （3）ab 12；（4）。
分析：（1）是，满足最简二次根式的两个条件。
（2）不是，或。
（3）不是，。
（4）是，满足最简二次根式的两个条件。
练习1。
试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？（1）b a 23； （2）23ab； （3）22y x +； （4）()b a b a >-； （5）35x； （6）xy 8。
指出：从（1）（2）（6）题可以看到如下两个结论。
1、在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；2、在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式。
练习2：（1）、在下列各式中，最简二次根式的式子为（ ）A 、a 16B 、5nm - C 、18a D 、346y x（2）在式子b a ba a x m +++,2,4,5.0,31,182中，是最简二次根式的式子有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个例2 把下列各式化为最简二次根式： （1）12； （2）b a 245； （3）()38y x +分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质及()02≥=a a a 进行化简。
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21.1.1二次根式的基本性质（1）教学目标：（1a ≥0）的意义求字母的取值范围． （2）二次根式的基本性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）()()02≥=a a a ．教学重点：二次根式的概念；教学难点：a ≥0）”解决具体问题． 教学过程：一．复习：1．如果 x ² = a 那么 x 叫做a 的平方根，表示为x=±a ≥0）a 的算术平方根，-a 的算术平方根的相反数例如（114412；（2）0.810.9--2．练习：（1）求下列各数的平方根和算术平方根：0,10,64.0,92-（2）什么叫一个数a 的平方根？算术平方根？怎样表示？0的平方根是什么？负数有没有平方根？二．二次根式的意义： 前面已经学过，符号“”叫做二次根号，二次根号下面的数叫被开方数。
因为在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数中只能是非负数。
一般地，我们用a 表示被开方数，把式子a ()0≥a 叫做二次根式。
二次根式有两上要点：（1）要含有；（2）被开方数是非负数例1 .x 是怎样的实数时，下列各数在实数范围内有意义？（1）1-x （2）x 5- （3）1+x （4）21--x x分析：当各式的被开方数为非负数时，这些式子在实数范围内才意义。
如(1),就是求当x 是一个怎样的实数时,1-x 非负,因此可以解关于x 的一元二次不等式,分别得出x 的取值范围。
解：（1）由01≥-x 得1≥x 。
当1≥x 时，式子1-x 有意义。
（2）x ≥0（3）x 为一切实数（4）x ≥1且x ≠2 小结:要使一个式了有意义要从两方面来思考（1）分式的分母不为零； （2）偶次根号里的被开方数要是非负数 练习1：x 是怎样的实数时，下列各数在实数范围内有意义？（1）x 34- （2）2-x （3）12+x （4）31+-x三．二次根式的性质求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与原来的各数有什么关系？94,0,2,4解：42)4(22==，2)2(2=，0)0(2=，94)32()94(22==问：如果用字母a 表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？ 答：如果,0≥a 那么()a a =2，我们得到二次根式的基本性质()()02≥=a a a问题：请判断下列各式是否成立？（1）()552= （2）()552=- （3）()552-=- （4）()()0222≥=m m m解：（1）正确（2）正确 （3）错误 ，应该=5（4）正确例2计算（1）253⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()232 （3）()272- （4）()2n m答：（1）53（2）1234)3(222=⨯=⨯= （3）28)7()2(22=⨯-= （4）n m n m 222)(=⨯= 练习2：计算（1）()23.0 （2）2531⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）2321⎪⎭⎫ ⎝⎛- （4）()2b a （5）24332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例3 化简：()xy yx ---22解:∵0≥-y x 即y x ≥ ∴yx x y -=-∴()x y yx ---22=()xy y x y x -=---2练习3：若521=--+-+b a b a ，求a 与b 的值。
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21.2二次根式的乘除(2)教学目标：（1）理解b a ba =()0,0>≥b a ． （2）利用b a ba =()0,0>≥b a 进行运算 教学重点：运用a ≥0，b>0）进行计算和化简． 教学难点：运用a ≥0，b>0）进行计算和化简．教学过程： 一、导入新课分别计算下列各式，并判断各题中的左式与右式的值是否相等？你能发现什么规律吗？请用语言叙述。
（1）94与94； （2）10049与10049； （3）6425与6425。
每题中的左式和右式的值相等。
发现的规律是：两个数的商的算术平方根等于被除数除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
二、新课教学上面的规律，同学们能用式子表示吗？式子在什么条件下成立？答：b a ba =()0,0>≥b a 指出：1、这个式子表示的商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被式的算术平方根除以除式的算术平方根；2、被除式0≥a ，除式0>b ；3、式子b a ba =()0,0>≥b a 可以用来求分式（或分数）的算术平方根。
练习1：选择题：（1）等式1313--=--a a a a 成立的条件是（ ） A 、1≠a B 、3≥a 且1≠a C 、1>a D 、3≥a（2）如果b a是二次根式，应满足的条件是（ ）A 、b a ,同号B 、0,≥≥b o aC 、0,0>≥b aD 、0≥b a例1 化简： （1）49151； （2）1003。
解：（1）49151=7849644964== （2）1003=1003=103练习2：计算：（1）412（2）2563（3）361225例2 化简：（1）24925y x ； （2）4381125b a 。
解：（1）24925y x=yx y x35925224= （2）4381125b a =()()2222955955b aa b aa =⋅练习3：（1）4212116m n （2）6325169y x例3 化简：（1）2509.0421.1⨯⨯； （2）42234984y a a x x +； （3）()()()2789--⋅-.请同学说出各题的解题思路：答(1)中的被除数开方数的分子与分母都是两个因数之积,因此先运用商算术平方根的性质,再运用积的算术平方根的性质将分子与分母别化简。
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21.2二次根式的乘除(3)教学目的：（1）理解b a ba=()0,0>≥b a ； （2）运用b aba =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。
教学重点：运用b a ba=()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。
教学难点：运用b ab a =()0,0>≥b a 进行二次根式的有关运算。
教学过程：一、复习1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则。
二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
即()0,0≥≥⋅=b a b a ab二次根式的乘法法则是： ()0,0≥≥=⋅b a ab b a 这两个式子是互逆的关系。
2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示。
答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即b a b a =()0,0>≥b a 。
二、新课 把式子b a ba =()0,0>≥b a 反过来，得到b a b a =()0,0>≥b a 这是二次根式的除法法则。
运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。
例1 计算 （1）672； （2）61211÷。
解：(1) 672=3232321267222=⨯=⨯== (2) 61211÷=6123÷=6123÷=623⨯=9=3练习1：计算（1）354- （2）531513÷例2 计算：（1）4540（2）345653n m n m ÷ 解：（1）4540=32298984540=== （3）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 5353535353222234563456====指出：在（2）中把两个二次根式中的根号外面的数与被除数开方数分别相除，然后取其积。
练习2：（1）188146÷ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷233212y x xy （3）y x y x x -÷-224 例3 计算 （1）21223222330÷⨯; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷b a a b b a ab b 3252362 分析：二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按先后顺序进行。
人教版初三数学第21章二次根式导学案
第2课时二次根式（2）学习目标：1．通过具体数据的解答，探究a2＝||a；2．理解a2=||a并利用它进行计算和化简．重点：探究a2＝||a。
难点：破除思维定势，理解并掌握此类题型的化简。
预习案一、旧知识回顾1．在化简(－4)2时，小明的解答是(－4)2＝42＝4；小红同学的解答过程是(－4)2＝－4. 谁的解答正确?为什么?2．想一想a2＝？二、教材助读1. 观察：下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律.22＝4＝2；(－2)2＝4＝2；32＝9＝3；(－3)2＝9＝3；……通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说.2. 发现：当a≥0时，a2＝，当a＜0，a2＝ .3. 明确：4. 比较a2与的(a)2区别三、预习自测①（1）(－7)2＝；（2）(3－π)2＝； (3) 62＝；（4）(－32)2＝；（5）(a＋1)2 (a≥－1)＝；（6）(x－2)2 (x≤2)＝ .②已知x＜1，则化简x2－2x＋1的结果＝ .③已知m为任意实数，则下列各式中，一定成立的是（）A．(m)2＝m B．m2＋2m＋1＝m＋1 C．m2＝m D． (m2＋1)2＝m2＋1④化简：4x2－4x＋1 －(2x－3)2. 四、我的疑惑请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
探究案一、学始于疑——我思考、我收获1、式子是一个代数式吗？2、你知道二次根式有哪些性质？二、质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点1：二次根式的性质1、计算：=24=22.0=2)54(=2202、计算：=-2)4(=-2)2.0(=-2)54(=-2)20(问题：二次根式的性质：当a≥0时，a2＝，当a＜0，a2＝ .探究点2：二次根式的性质的应用问题1：如果2)2(2-=-xx，那么x的取值范围是。
问题2：已知2＜x＜3，则3)2(2-+-xx = 。
（二）知识综合运用探究探究点1：二次根式的性质的简单应用（重点）例1化简：⑴2)45(⑵2)32(-⑶2)21(-⑷2)14.3(π-例2实数a、b在数轴上的位置如图：化简222)(baba---a2＝______. . . . . . . .-1 0 1a b富顺县东湖中心校初中数学导学案〈三年级〉富顺县东湖中心校初中数学导学案〈三年级〉拓展提升：已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx三、我的知识网络图二次根式的性质：⎪⎩⎪⎨⎧<=>==0)(a _____0)a ( _____0)a ( ____ 2 a a四、当堂检测（反思静悟、体验成功）1.(213)2 ＋(－213)2的值是 （ ）A ．0B ．23C ．423 D ．以上都不对2．当a ≥0时，a 2、(－a )2、－a 2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） A ．a 2=(－a )2≥－a 2 B ． a 2＞(－a )2＞－a 2 C ．a 2＜(－a )2＜－a 2 D ．－a 2＞a 2＝(－a )23. 若a ＜1，化简(a －1)2 －1的结果为 （ ）A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a4． －0.0004= ； (－2)2= ； (x －4)2( x ≤4)= ． 5．计算： （1） (232)2－(－6)2 ； （2）(2－5)2＋(5－3)2；（3）(x －4)2＋(x －2)2 (2＜x ＜4)； （4）a 2－a 2－6a ＋9 (0＜x ＜3)．五、我的收获训 练 案1. 当a 时，(a )2 =a2.2. 若a ＜0，化简||a －3－a 2= .3.计算：（1）25= ； （2）(－3)2= ； （3）(23)2= ； （4）x 2－4x ＋4= .（x ≥2） 4. 若－3≤x ≤2时，试化简│x －2│＋(x ＋3)2 ＋x 2－10x ＋25.5. 已知m 、n 是两个连续的自然数（m ＜n ），且q ＝mn .设p ＝q ＋n ＋q －m ，则p 的值（ ） A. 一定是奇数 B.一定是偶数 C. 有时是奇数，有时是偶数 D. 既不是奇数也不是偶数6. 若x 、y 满足y ＜x －2 + 2－x ＋4，化简|| y －4－y 2－10y ＋25.7. 若化简||1－x －x 2－8x ＋16的结果是2x －5，试求x 的取值范围．8、边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．富顺县东湖中心校初中数学导学案〈三年级〉。
新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案导学案(全章)
第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程9课时21．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法（1）第9课时解一元二次方程—因式分解法（2）第10课时一元二次方程的解法复习课第11课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第12课时一元二次方程的根与系数的关系（2）原式＝第13课时用适当的方法解一元二次方程教学内容习题课。
人教版九年级上第21章_二次根式_全章学案
二次根式(1)一、学习目标1、理解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合使用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）知识准备：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）学习内容1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断以下各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、计算 ：(1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
2)3(________)(2=a 43、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。
（三）合作探究1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：x 取何值时，以下各二次根式有意义？①43-x 223x + ③ 2、（133a a --有意义，则a 的值为___________．（2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数（四）知识梳理1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
九年级数学上册《第21章 二次根式》导学案 新人教版
1教材P40练习1、2
2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法
六、总结反思：
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x1=__________,x2=__________.
二次根式
学习
目标
1了解用因式分 解法解方程的根据是：“如果两个 因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”
2、会 用因式分解法解某些一元二次方程。
重点
难点
会用因式分解法解一元二次方程
学习内容与流程
一、温故知新：
1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）
2、用因式分解法解方程3x(x+5 )=5(x+5)，所得解为________________
教学反思
与重建
教研组长评价
3、思考：若是否存在ab=1得a=1或b=1？说明理由。
什么叫因式分解法解一元二次方程？
三、例题学习：
例(教材P39例3)解下列方程：（用 因式分解法）
（1） (2)
师生交流与点拨：
总结因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。③对两个一元一次方程分别求解。）
2、在实数范围内因式分解。
（1）4x2-12x (2) 4x2-9 (3) x2-7 (4) (2x-1)2-(x-3)2