惯性定理正定二次型
二次型的正定性与半正定性判定
二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
正定性与半正定性是二次型的两个重要性质，对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为:$$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$a_{ij}$为二次型的系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。
二次型的基本性质有：1. 对称性：$a_{ij} = a_{ji}$2. 齐次性：$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$，其中k 为常数。
3. 定义正定性与半正定性的前提：二次型必须是实二次型，即系数$a_{ij}$为实数。
二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于零。
正定性的判定方法有以下几种常用方式：1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出，通过变换二次型的系数矩阵，可以得到一个对角阵，该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。
- 若正惯性指数为n，则二次型正定；- 若正惯性指数为0，则二次型半正定；- 若正惯性指数非0非n，则二次型不定。
2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法，通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。
- 若所有顺序主子式大于零，则二次型正定；- 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零，则二次型半正定；- 若存在某个顺序主子式小于零，则二次型不定。
三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于等于零。
§7 正定二次型
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
§7 正定二次型
一、惯性定理 二、正定二次型的概念
三、正(负)定二次型的判别
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理9(惯性定理) 设有实二次型 f x T Ax , 它的秩
f x f Cy ki yi2 .
i 1
充分性 设 k i 0 i 1,, n.
n
任给 x , 则 y C 1 x ,
2 即 f 为正定的 . f x k y 故 i i 0. i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y e s (单位坐标向量) 时,
为半正定二次型 为不定二次型
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
2 2
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
判定正定二次型的三种方法
判定正定二次型的三种方法
1.行列式法
对于给定的二次型f（x1,x2,...，xn）=xtax，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。
2.正惯性指数法
对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于
通过正交变换，将二次型化成标准形后，标准形为平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。
因此，可以先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数与否等同于
定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵a称为正定矩阵.
方法一：利用二次型的等距矩阵的特征值去推论.
先写出二次型的矩阵:
由于:
可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.
由于此二次型的矩阵为:
因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0
故此二次型为正定二次型.
除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.
定义：建有实二次型,如果对于任一一组不全为零的实数,都存有f(x)＜0,则表示此二次型为奇函数二次型,等距矩阵a称作奇函数矩阵；如果都存有f(x)≥0,则表示此二次型为半正定二次型,并说其矩阵为半正定矩阵；如果都存有f(x)≤0,则表示此二次型为半奇函数二次型,并说其矩阵为半奇函数矩阵。
5-3惯性定理与二次型的正定性
数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数
称为负惯性指数，它们的差称为二次型的符
号差.
比如二次型 y12 y22 y32 y42 的规范形
为，则其正惯性指数等于2，负惯性指数也是
2，符号差为 0.
二、二次型的正定性
定义6.3 设二次型 f ( x1, x2,L , xn ) X T AX
对任一非零向量 X，若 f ( X ) 0 ，则称 f 为正 定二次型，A为正定矩阵；若 f ( X ) 0 ，则称
d1, d2 ,L , d p 0, d p1, d p2 ,L , dr 0
再作可逆线性变换
z1 d1 y1
M
zp dp yp
z p1 d p1 y p1
M
zr dr yr
二次型进一步化为
f
z12 L
z2p
z2 p1
L
zr2
此式称为实二次型
f ( x1, x2 ,L , xn )
t1
1 2 5
即当 4 t 0 时，该二次型为正定二次型
5
例5 判定二次型
f 5 x12 6 x22 4 x32 4 x1 x2 4 x1 x3
的正定性。
5 2 2
解：矩阵为 0 4
5 2 2
因 5 0, 5
2 26 0, 2
6
0 80 0,
2 6
2 0 4
所以 f 负定.
例6 若 A正定，则 A-1也正定.
证明：因 A正定，故存在可逆矩阵C ，使 CT AC I
两边取逆得 C 1 A1(CT )1 I
又因 (CT )1 (C 1 )T , (C 1 )T T C 1， 因此 (C 1 )T T A1(C 1)T I
正定二次型
从而 f > 0, 即kA + lB为正定阵 .
16
证明 由于 A, B为实对称阵 ,
故有 ( kA + lB )T = kAT + lB T = kA + lB
即 kA + lB也为实对称阵 .
对 X ≠ 0,
T T 有 f = X T ( kA + lB ) X = kX AX + lX BX
故 X T AX > 0, X T BX > 0, 又因为 A, B正定 ,
二次型 f 正定当且仅当 A 的各阶顺序主子 式全大于零， 式全大于零，
13
2 t t A = t 2 t , t t 2 2 t p2 = = 4 t 2 > 0, 即 p1 = 2 > 0, t 2 2 t t p3 = t 2 t = (2 2t )(2 + t )2 > 0, t t 2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 2 x12
4
三、正定二次型的判定定理
定理 若实二次型 f = X T AX为正定的，那么二次 为正定的，
型的矩阵 A的主对角线元素 a ii > 0 ( i = 1,2, , n ).
证明
为正定的， 因实二次型 f = X T AX为正定的，所以对
任意的 X ≠ 0，均有 X T AX > 0， i 于是， 于是，取 X = ( 0, ,0,1,0, ,0)T ，
实二次型的正定性
1
一、惯性定理
定理（惯性定理） 定理（惯性定理） 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy x = Pz 及
使 及 相等 .
线性代数7-2 惯性定理及正定二次型
定义2 设有实二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) f ( X ) X T AX，
如果对任何非零向量 X x1, x2,, xn T，都有 f ( X ) 0，
则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 A 为正定矩阵；
如果对任何非零向量 X x1, x2,, xn T，都有 f ( X ) 0，
（1） f 为正定二次型（或 A为正定矩阵）； （2） f 的标准形的 n 个系数全为正； （3） A 的特征值全为正； （4） f 的正惯性指数 p n .
a11 a12 a1n
定义3
设矩阵
A
a21
a22
a2
n
，
an1
an2
ann
a11 a12 a1i
则子式
Pi
a21
a22
是正定二次型.
1 1 2
解 f x1, x2 , x3 的矩阵为 1 2 3,
2 3 它的顺序主子式
11 2
1 0,
1
1 1 0,
1
2
3 5 0,
12
23
故 5时，上述二次型是正定的.
a2i ,iFra bibliotek 1,2,, n
ai1 ai2 aii
称为矩阵 A的 i 阶顺序主子式 ，即
a11 a12 a1n
P1 a11 a11 ,
P2
a11 a21
a12 , a22
,
Pn
a21
a22
a2n
.
an1 an2 ann
定理4 对称矩阵 A (aij )nn 为正定矩阵的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都为正，即
则称 f 为负定二次型，并称对称矩阵 A 为负定矩阵.
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。
正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。
了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。
一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式，即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。
如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，都有f(x)>0，那么我们称f(x)是正定二次型。
简单来说，正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。
正定二次型具有许多重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。
1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型，那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式，即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示，通常我们把这个矩阵记作A。
而矩阵A是一个对称矩阵，它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。
正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。
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f (0,,0,1,0,,0)= di0。 这与二次型正定相矛盾。
(2) 对二次型 f= xTAx 经过非退化的线性变换x=Cy, 化为 f = yT(CTAC) y，其正定性保持不变。
这是因为： y00，由于C可逆,相应的 x0=Cy00 若 f=xTAx 是正定的，f =y0T(CTAC) y0=x0TAx0>0， 即 y0T(CTAC) y0 正定，反之亦然。 所以,一个二次型 xTAx 通过非退化的线性变换x=Cy, 将其化为标准形 yT(CTAC) y =d1y12+d2y22++dnyn2 , 即A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,,dn ) ， 就容易判断其正定性。
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
f= b1y12++ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 ②
f =c1 z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2(biຫໍສະໝຸດ ci>0, i=1, ,r)
③
要证正平方项的项数是唯一的.
即要证明：p = t.
用反证法：假设 p>t，此时由②和③可得 f= b1y12+ +bt yt2 + bt+1yt+12+ + bpyp2 bp+1yp+12 br yr2 = c1z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cp zp2 cp+1 zp+12 cr zr2
⑦,⑧二式显然是矛盾的，故假设的p>t不能成立.
同理可证 t p，得 p=t。
故 p 和 q= r p 是由A唯一确定的。
定义6.3
二次型 xTAx 的标准形中，正平方项项
数 p 称为二次型(或矩阵A) 的正惯性指数；负平方项 项数 q=r p称为二次型(或矩阵A) 的负惯性指数； 正负惯性指数的差 p q=2 p r 称为符号差。 秩(A)=r 也叫二次型的秩。 推论 设 A为 n 阶实对称矩阵，正、负惯性指数分别 为 p 和 q，则 A ≃ diag(1, ,1, 1, ,1, 0,,0).
⑤
为了从④式中找到矛盾，令 z1=z2==zt=0, yp+1==yn=0,代入⑤式,得到y1,y2,…,yn的线性方程组
d11 y1 d12 y2 d1n yn z1 0 d t1 y1 d t 2 y2 d tn yn zt 0 y p 1 0 yn 0
其中，di>0 (i=1, ,p+q), p+qn
成立，则p和q是由A唯一确定的。
证：由秩(A)=秩(CT A C)= p+q, 知 p+q 由A唯一确定.
因此，只需证明p由A惟一确定. 设p+q=r(A)=r,
设实二次型 f=xT A x ,经由坐标变换
和 x=Cz ①
x=By
(B,C都可逆)分别化为标准形：
6.3 惯性定理和二次型的规范形
定理6.3(惯性定理) 对于一个n元二次型xTAx，不论做
怎样的坐标变换使之化为标准形，其中正平方项的项
数p和负平方项的项数q是由A唯一确定的。
或者说,
对于实对称矩阵A，不论取怎样的可逆矩阵C,只要使
CTAC== diag(d1, ,dp, dp+1, , dp+q, 0,,0)
④
由① z =C1x=(C 1B) y = Dy（其中D= C1B），即
z1 d11 y1 d12 y2 d1n yn zt d t1 y1 d t 2 y2 d tn yn z n d n1 y1 d n 2 y2 d nn yn
6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4 如果n元实二次型 f(x1,x2,,xn)=xTAx, x= (x1,x2,,xn )T0 (xRn),恒有 xTAx >0, 就称 xTAx 为正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。 由定义可得：
(1) n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,,xn)= d1x12+d2x22++dnxn2 正定的充分必要条件是 di >0 (i=1,2,, n)。
其中1有p个, 1有q个, 0 有n (p+q)个。
换句话说，
对于二次型 xTAx 存在坐标变换 x=Cy ，使得 xTAx =y12++ yp2 yp+12- yr2 (r= p+q) 上式右端称为 xTAx 的规范形。 推论之证明: 由定理6.2~6.3知 ,存在 可逆矩阵C1, 使
T 2 T 1
取
则
C C1C2
CTA C= diag(1, ,1, 1, ,1, 0,,0)
若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。 注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。 1)两个n阶实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的 正、负惯性指数分别相等； 2)全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类(不考虑+1， 1, 0 的排列次序)可以划分为(n +1)(n +2)/2 类。
C1TAC1= diag(d1, ,dp, dp+1, , dp+q, 0,,0)
其中di>0(i=1, ,p+q)。 取可逆阵
1 1 C2 diag( , , , d1 dp
T C2 C2
1 1 , , ,1,,1), d p 1 dr
则
C (C AC1 )C2 diag(1,1,1,,1, 0,,0)