完整版排列组合题型归纳
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2. 掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N mi m2 L m n种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有口种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N mi m2 L m n种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C3然后排首位共有C 4最后排其它位置共有A 3由分步计数原理得C 4C 1A 3 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素•若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法• 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有Z A IA 480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题 ，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不 同种数为20三. 不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A 5种，第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 A ：不同的方法， 由分步计数原理，节目的不同顺序共有A 5A 4 ________________ 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两 个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻， 那么不同插法的种数为_^0_四. 定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题 ，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的C 」3 13全排列数,则共有不同排法种数是：A；/A；（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A4种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A4种方法。
思考：可以先让甲乙丙就坐吗？—（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？Cw五.重排问题求幕策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为m n种练习题：1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422•某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法78六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1 ）!种排法即7 !一般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法•如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有一A nn练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七•多排问题直排策略ABCDEFGHA1例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排•个特殊元素有A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A14种,其余的5人在5 个位置上任意排列有A种,则共有A4A4A5种—前■排后为练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种九•小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？解：把1 , 5 , 2 , 4当作一个小集团与3排队共有A|种排法，再排小集团内部共有A；A；种排法，由分步计数原理共有A；A；A；种排法.*1524-----小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题：1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为A；A；A：2. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻,女生也相邻的排法有A；A：A5种十•元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。
olo ololo ololo olo将n个相同的元素分成m份（n, m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板, 插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n m11练习题：1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？C：2 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数C13）s十一•正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,234,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C；, 只含有1个偶数的取法有c；c；,和为偶数的取法共有c5c； C；。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有c5c； C；9有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中淘汰•练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取书得c2c2c2种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDE，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）, 则C：C：C；中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EFCDAB）B F,AB,CD）共有A3种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有C；C；C；/A3种分法。
练习题：1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队，有多少分法？（C；3C；C： / A；）2.10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（15403. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_______ （C：C；A6/ A2 90）十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有空种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员c5c3c2种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C；C；种，由分类计数原理共有c5c3c4 c；c；种。
练习题：1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有徑2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.（27）本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略例14.马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9 的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C；种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，模型等，可使问题直观解决如占位填空模型，排队模型，装盒练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法解:从5个球中取出2个与盒子对号有C；种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5 号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原理有2C；种对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题：1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？（9）2. 给图中区域涂色，要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色，则不同的着色方法有竝种十六.分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2X3X 5 X 7 X11X 13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C5 c f c； c；c5练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C； 12 58, 每个四面体有3对异面直线，正方体中的8个顶点可连成3 58 174对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案海个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略例17. 25人排成5X 5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9人排成3X 3方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3X3 方队中选3人的方法有c3c f c；种。
排列组合的题型与方法
（二）分组分配问题 5.限制条件的分配问题分类法: 例6.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西 部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不 到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
A 60 种。 A
5 5 2 2
（一）排序问题 4.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位 置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例4.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念， 若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有 A1 种 ,
3
种，4名同学在其余4个位置上有 A4 种方法； 4
解析、(1)先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中 选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务， 2 1 1 不同的选法共有 C10 C8C7 2520 种
（二）分组分配问题 2.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若 干组，可用逐步下量分组法.
例3、(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的 调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( A )
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少 一本，不同的分法种数为( B ) A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
2 4 C5 A4 240
（二）分组分配问题
4.名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法): 例5：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少 一个名额，有多少种不同分配方案？
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？ 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合题型总结
【一】特殊对象问题：
在处理排列问题时，所要研究的对象 有两组，一是要被排列的对象，一是位置， 在这两组对象中有时候会出现一个或者多 个特殊的对象： 若有一个特殊对象，一般先把特殊的对象 优先进行处理 ，然后再对其他的没有特殊 要求的对象进行全排列；
特殊对象问题：
如果出现了 两个特殊要求 ，一般使用 分类 的方法处理，针对其中的一个的位置不同 进行分类来处理，再或者用间接法 例1、有5人排成一列，其中甲不在第一的 位置，有多少种排法？ 例2、有5人排成一列，其中甲不能在第一， 乙不能在最后，有多少种排法？
【十一】相对顺序固定问题
相对顺序固定问题，常用两种方法： （1）一般要先处理掉没有相对顺序要求的 元素，再把剩下的有相对顺序要求的元 素按照要求摆放， （2）先随意地进行排列，再除以随意摆放 过程中相对顺序固定部分的顺序
【十一】相对顺序固定问题
例1、书架上6本不同的书，现在要放上去3本， 但要保持原来6本的相对顺序不变，有多少种放 法？
【五】不相邻问题
例1、某人射击训练，8枪命中3枪，恰 好没有任何2枪连续命中，有多少种情况？ 例2、8人排成一列，甲乙丙三人不可相 邻，有多少种排法？ 例3、8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的， 也不许关掉两端，多少种方法？ 例4、某人射击训练，8枪命中3枪，恰 好2枪连续命中，有多少种情况？
【六】成双成对问题
【二】名额分配问题
这种问题处理时，要注意两个特征： 1、名额之间没有什么不同 2、名额分配时的具体要求是什么 当问题中要求分配时每人至少一个时，只需要在 所有名额形成空隙中选取比人数少一个的空隙， 放入相同的挡板即可 若问题中没有具体分配要求时，可以补上和人数 相同的名额转化成第一组问题来处理
(完整版)排列组合题型总结排列组合题型总结,推荐文档
同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）
12345
在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共
种（以数字作答） （72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如
图 3），现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不
C62
C
42C
2 2
=15
种
A33
练习：1．6 本书分三份，2 份 1 本，1 份 4 本，则有不同分法？
2．某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方
法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题
例 7 （全国卷（文、理））如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因 而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还 应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一． 直接法
1．特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位 数各有多少个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择 A52 ，其余 2 位有四个可供选择 A42 ，由乘 法原理： A52 A42 =240 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有 A53 =60，1 不在千位时，千位有 A41 种选法，个位有 A41 种， 余下的有 A42 ，共有 A41 A41 A42 =192 所以总共有 192+60=252 二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 A64 2 A53 A42 =252 例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们 任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，
排列组合总结(含答案)
1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
排列组合12种题型归纳(解析版)
第30讲 排列组合12类【题型一】 人坐座位模型1：捆绑与插空【典例分析】1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多2个女生相邻：解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，22423245C A A A（2）分类讨论24422422243445224542451; (2); (3)2C A A A A A C A A A （）都不相邻：A 两队各自相邻：一对两人相邻：！【方法技巧】人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：容斥原理()n A B ⋃=()()()n A n B n A B +-⋂【变式演练】1.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A ．30 B ．36 C ．60 D ．72【答案】C【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案．【详解】记事件:A 2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A 的排法种数为()242448n A A A ==，记事件:B 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B 的排法种数为()4424n B A ==，事件:A B ⋂女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件A B 的排法种数为232312A A =种，因此，出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦()12048241260=-+-=种，故选C ．2.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．144B．120C．72D．48【答案】B【分析】先求出只有3个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出3个歌舞类节目不相邻且2个小品类节目相邻的排法，相减可得．【详解】先考虑只有3个歌舞类节目不相邻，排法有3334144A A=种，再考虑3个歌舞类节目不相邻，2个小品类节目相邻的排法有：22322324A A A=，因此同类节目不相邻的排法种数是14424120-=．故选：B．3.2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）A．28种B．32种C．36种D．44种【答案】B【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.【详解】根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有132312C A=种排法，当乙或丙不排在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有22224A A=种排法，所以高校甲排在第二个时共有16种排法；高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有1112 222216C C C A=种排法；综上：共有32种排法满足题意.故选：B.【题型二】人坐座位模型2：染色（平面）【典例分析】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域颜色不相同的概率是A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7 答案：D55315232553555351235125122404==4207;(2)4----+++2A C C A C C C C C ----⨯⨯涂色法：（1）用了几种颜色；（2）尽量先图相邻多的“三角形”：本题先把ABE 作为“三角形”1、用了5色：A 、用了4色：(1)先涂ABE:A 用第色：（3）D 用第4种：（相同）3、用了3色：同先涂ABE:A 结束。
排列组合知识总结+经典题型
排列组合知识总结+经典题型(1)知识梳理 1．分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事，有几类方法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有2．分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进展正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n 个不同〔1〕规定0! = 1〔2〕含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =特别提醒：排列与组合的联络与区别.联络：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？〔1〕甲不站两端；〔2〕甲、乙必须相邻；〔3〕甲、乙不相邻；〔4〕甲、乙之间间隔两人；〔5〕甲、乙站在两端；〔6〕甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2. 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？〔1〕男运发动3名，女运发动2名；〔2〕至少有1名女运发动；〔3〕队长中至少有1人参加；〔4〕既要有队长，又要有女运发动.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.〔1〕恰有1个盒不放球，共有几种放法？〔2〕恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？〔3〕恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种B.80种C.100 种D.140 种2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有〔〕A.48 种B.12种C.18种D.36种3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔〕A.48B.12C.180D.1624.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。
排列组合的21种经典题型及解法
排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。
2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。
3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。
4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。
5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。
6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。
解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。
7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。
解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。
8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。
9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。
11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。
12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。
排列组合十四种题型归纳梳理非常完美
排列组合十四种题型归纳梳理目录专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】18+38=56．【例2】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A 种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A 种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448（个)．故选：C ． 【例3】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个；②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为 175．类型二、乘法原理【例1】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，则不同的走法有4416种【例2】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464不同的放法，故答案为：64．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ，故答案为120．【例3】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法； 第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C （种)．答案为：40【例4】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y mn 中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11Bx y x ，，且||9}y 内的椭圆个数为（ ） A ．43 B ．72 C ．86 D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，mn ，所以有两类， 一类是m ，n 从{1，2，3，6，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6，7，8}中选一个 方法是：2816，所以满足题意的椭圆个数是：561672，故选：B ．【例5】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析： ①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法，②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A 种选法，则可以组成520100个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法， ②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法， 则可以组成566180个数字允许重复的三位数；类型三、基本计数原理的综合应用【例1】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【解析】按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：2323A A ； 另一类是首位是偶数，有：322322()A A A ，则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A ．故答案为：20．【例2】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)nn n 均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（ ）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)，而小于1000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336个．综上，小于1000的“良数”的个数为393648个，故选：D ．【例3】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A 个；②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A 个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A 个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个.故答案为 175．【例4】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A ．504B ．210C ．336D ．120 【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果 根据分步计数原理得到共有插法种数为789504，故选：A ．【例5】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法， 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172根据分类计数原理知共有25672328故选：B ．专题2 排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法，第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法 最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法，故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A ．2283C AB ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，∴为26A ，故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C AD ．2274C A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ，故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“ -”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“ -”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，故选：B ． 例5．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有（ ）种，甲不站在正中间的排法有（ ）种．（2）甲、乙相邻的排法有（ ）种，甲乙丙三人在一起的排法有 种．（3）甲站在乙前的排法有（ ）种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有（ ）种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有（ ）种．（4）甲乙不站两头的排法有（ ）种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有（ ）种． （5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有（ ）种．（6）女生互不相邻的排法有（ ）种，男女相间的排法有（ ）种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有（ ）种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有（ ）种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！；（2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！； （4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！；（6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．例6．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A = 320种不同的排法． （2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A = 400种不同的排法． （3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A = 400种不同的排法． （4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -= 000种不同的排法． （5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法． 例7．三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A =种； （2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A =种； （3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A =种； （4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A =种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A =种 例8．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A 种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A 种情况，则共有5353720A A ⨯=种排法； （2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A 种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A 种情况，则共有43451440A A =种排法； （3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法； （4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A种站法，则共有7257354320A A A -=种排法； （5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法； （6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法． 例9．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种； （2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况， 则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况， 其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法； （6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法； （7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况， 再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法； （8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A =种情况， 将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A 种不同排法； （9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A 种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 种不同排法．专题3 数字问题例1．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A ．288 B ．360 C ．480 D ．600【解析】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有13A 种取法，首位数字不能为0，有14A 种取法，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，则五位奇数共有113344288A A A =，故选：A ． 例2．用0、1、2、3、4、5这六个数字，组成数字不重复且大于3000，小于5421的四位数有（ ）个A ．175B ．174C ．180D ．185【解析】分以下三种情况讨论：①首位数字为3或4，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为352120A =；②首位数字为5，百位数字不是4，则百位数字可以在0、1、2、3中随便选择一个，后面两个数位上的数没有限制，此时，符合条件的数的个数为124448C A =；③首位数字为5，百位数字为4，则符合条件的数有5401、5402、5403、5410、5412、5413、5420，共7个.综上所述，大于3000，小于5421的四位数的个数为120487175++=.故选：A.例3．将数字1、1、2、2、3、3、4、4排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）A ．216B ．72C ．266D ．274【解析】由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是1、2、3、4的全排列，共44A 种，现考虑第一行数字的排列为()1,2,3,4， 则第二行数字的排列可以是：()2,1,4,3、()2,3,4,1、()2,4,1,3、()3,1,4,2、()3,4,1,2、()3,4,2,1、()4,1,2,3、()4,3,1,2、()4,3,2,1，共9种.由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有449924216A =⨯=种.故选：A.例4．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（ ）．A ．7200B ．6480C ．4320D ．5040【解析】第一类，偶数数字取0先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，有315440C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有11333354A A A =种排法所以本类满足条件的五位数有4054=2160⨯个第二类，偶数数字不取0，先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，有325460C C =中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列，即有143472A A =种排法，所以本类满足条件的五位数有6072=4320⨯个综上：这样的五位数个数为2160+4320=6480，故选：B例8．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ）A ．6种B ．24种C ．36种D ．42种【解析】解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有24A 种，再把2个报道的频道选1个有12A 种，根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有214224A A =种．故选：B ． 例5．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）A ．72B ．84C ．96D ．120【解析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有144496C A ⋅=种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复.故共有961284-=种.故选：B.例6．由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）A ．36个B ．42个C ．48个D ．120个【解析】分两类：一、若五位数的个位数是0，则有1432124n =⨯⨯⨯=种情形；二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有3216⨯⨯=种情形，依据分步计数原理可得23618n =⨯=种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为12241842n n n =+=+=，应选B ． 例7．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？ （5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有1299972648A A =⨯=个；（2）当百位为1时，共有299872A =⨯=个数；当百位为2时，共有299872A =⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A +=个数，所以315是第727212156++=个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A =个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有1218841792A A A =个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；（4）当选出的偶数为0时，共有1335180A A =个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A =个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；（5）当挑出两个数时，渐减数共有210C 个，当挑出三个数时，渐减数共有310C 个，⋅⋅⋅，当挑出十个数时，渐减数共有1010C 个，所以这样的数共有23101001101010101021013C C C C C ++⋅⋅⋅+=--=个. 例8．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【解析】（1）个位是0时，有2412A =个；个位是2时，有339⨯=个；个位是4时，有339⨯=个.故共有30个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况.共有：12123322223320C A C A A A ⨯+⨯++=个.（3）当百位是2时，共有112328A A ⨯+=个；当百位是3时，共有2412A =个；当百位是4时，共有2412A =个；故共有32个.专题4 分堆问题例1．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）A ．每人都安排一项工作的不同方法数为54B ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4154A CC ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为()3122352533C C C C A +D ．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A + 【解析】①每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A 错误，②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为2454C A ，即选项B 错误，③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（312252532222C C C C A A +）33A ，即选项C 错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有13C ,从余下四人中安排三个岗位1112342322C C C A A ， 故有231231111324334322=C C C A C C A A C ；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有23C ,从余下三人中安排三个岗位33A ，故有2333C A ；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333C C A C A +， 即选项D 正确，故选：D ．例2．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（ ）A ．116B ．100C ．124D ．90【解析】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组①若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法；②若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法，故有101525+=种分组方法． 第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去A 医疗点，可分配到,B C 医疗点中的一个，有122C =种分配方法， 再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有222A =种分配方法，则有224⨯=种分配方法．根据分步计数原理，共有254100=⨯种分配方法．故选：B ． 例3．高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).（1）共有多少种分配方案？（2）6名学生确定后，分成A 、B 、C 、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？ （3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.【解析】（1）由题意得：问题转化为不定方程12345=6x x x x x ++++的非负整数解的个数， ∴方程又等价于不定方程12345=11x x x x x ++++的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为410210C =，∴共有210种分配方案.（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到A 、B 、C 、D 四个小组.第一种分法：1人，1人，1人，3人，有3464480C A =种方法；第二种分法：1人，1人，2人，2人，有221146421422221080C C C C A A A ⨯⨯=种方法.共有48010801560+=种方法.（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有63729=种不同的方案. 例4．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）【解析】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有男医生的情况数有455C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618C C ==.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818-=. 例5．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【解析】（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况，即有6种不同的分法； （2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法， 则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =。
排列组合题型方法归纳
排列组合1、加法（分类）1.甲、乙、丙、丁参加4×100比赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒2、减法（对立或重复）2.0、1、2、3、4、5组成四位数3.从5个黑球3个白球中取出3个球，至少有一个白球3、乘法（分步）4.{1,2,3,4,5}的子集5.集合A有m个元素，求其子集个数4、除法（定序、均分）6.A、B、C、D、E、F排队，其中A、B必须从左向右排列7.A、B、C、D、E、F排队，其中A、D、E必须从左向右排列8.把4个不同的小球均分成两份9.把14个不同的小球均分成7份，数量分别为3，3，2，2，2，1，1（只列式不计算）5、捆绑法（相邻）10.10人排队，其中甲、乙必须相邻11.11人排队，其中甲、乙、丙必须相邻6、插空法（不相邻）12.10人排队，其中甲、乙、丙不相邻7、隔板法13.10个相同小球分给3个小朋友（每人至少一个）14.x+y+z=20有多少组正整数解15.10个相同小球分给3个小朋友（无限制）16.x+y+z=20有多少组非负整数解8、转化法17.如图所示，由A到B的最短路径有几条？变式1由A到B过C的最短路径有几条？变式2由A到B不过C的最短路径有几条？变式3由A到B的最短路径有几条？18.凸n边形的对角线在其内部最多有多少个交点9、常见分配问题19. 10个老师→3个学校20. 4个老师→3个学校（每个学校至少一名）21. 6个老师→3个学校（每个学校至少一名）10、错位问题22. 将1,2填在中，每个数都与编号不同23. 将1,2，3填在中，每个数都与编号不同11、涂色问题24. 如图所示，给下图涂色，相邻区域颜色不同，共4种颜色。