《线性代数》课程复习大纲与练习题

《线性代数》课程复习大纲与练习题
第一章 线性方程组
1.线性方程组的概念
（1）线性方程组的一般形式：⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++s
n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********
（2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解 （1）初等变换的定义
（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解
3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解
记⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=s
sn
s s n
n b a a a b a
a a
b a a a A 212222
21111211称为线性方程组的增广矩阵 （1）线性方程组有解⇔秩（A ）＝秩（A ）
当线性方程组有解时：秩（A ）＝未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A ）<未知量个数n 时，线性方程组有无穷多解。

（2）线性方程组无解⇔秩（A ）<秩（A ）
4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++0
)1(00221122221211212111n sn s s n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）解的情况：
r(A)=n ，（或系数行列式0≠D ）只有零解；
r(A)<n ，（或系数行列式D ＝0）有无穷多组非零解。

（2）解的结构：
r n r n c c c X --+++=ααα 2211。

（3）求解的方法和步骤：
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组；
③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。

第二章 向量空间
1. n 维向量的基本概念
向量是另一种描述事物形态的数量形式，由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量. 2. n 维向量的线性运算和线性组合
（1）向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律；
（2）向量组的线性组合:设s ∂∂∂，，， 21是一组n 维向量, s k k k ,,,21 是
一组数,则称s s x k k k ∂++∂+∂ 211为s ∂∂∂，，， 21的(以s k k k ,,,21 为系数的)线性组合.它也是n 维向量. 2.向量组的线性相关性
（1） “向量β是向量组s ααα,...,,21的线性组合”或“向量β可由向量组
s ααα,...,,21线性表出”的定义
（2）“向量组s ααα,...,,21可由向量组t βββ,...,21线性表出”，“向量组
s ααα,...,,21与向量组t βββ,...,21等价”
（3）向量组s ααα,...,,21线性相关的定义 （4）向量组s ααα,...,,21线性无关的定义 （5）两个判别法
①β可由s ααα,...,,21线性表出⇔βααα=+++s s x x x ...2211有解
②s ααα,...,,21线性相关（线性无关）⇔0...2211=+++s s x x x ααα有非零解（只有零解）
3.求向量组的一个极大线性无关组
4.向量组的秩
（1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩
（2）求法 设A ＝(n ααα,,,21 )，将A 化为阶梯阵，则A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

5.子空间的定义，以及用线性无关的向量组生成向量空间
6.向量的运算： （1）向量内积
n
n b a b a b a +++=' 2211βα；
（2）向量长度
2
2221n a a a +++='= ααα
（3）向量单位化
α
α
1
；
（4）向量组的正交化（施密特方法） 设n ααα,,,21 线性无关，则 11αβ=， 122112βαββ
ββα''-
=，
221332
2
31
1
1
3ββαββββαβββα''''--=，………。

第三章 行列式
1．行列式的定义
用2
n 个元素ij a 组成的记号
nn
n n n n a a a a a a a a a
2
1
2222111211称为n 阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 （1）一阶行列式a
a
=，二、三阶行列式有对角线法则；
（2）N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法
①定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

②方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

（3）特殊情况：
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （4）行列式值为0的几种情况： ①行列式某行（列）元素全为0； ②行列式某行（列）的对应元素相同； ③行列式某行（列）的元素对应成比例； ④奇数阶的反对称行列式。

3.用克拉默法则求解线性方程组的解：线性方程组的系数行列式不等于零。

第四章 矩阵
1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算
（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A 、B 为同阶方阵，则B
A A
B ⋅=；
④
n kA k A
=
3．矩阵的秩
（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵
（1）定义：A 、B 为n 阶方阵，若AB ＝BA ＝I ，称A 可逆，B 是A 的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质： ()
111
---⋅=A B AB ，()()'='--11
A A ；
（3）可逆的条件： ①
≠A ； ②r(A)=n; ③A I →
（4）逆的求解 伴随矩阵法
*
11A A A
=
-；
②初等变换法 ()()1
A I －施行初等行变换 −−−−−→−I A
5．用逆矩阵求解矩阵方程：
B AX =，则B A X 1-=；
A X
B =，则1-=BA X ；
C AXB =，则11--=CB A X
第五章 特征值与特征向量
1．定义 对方阵A ，若存在非零向量X 和数λ使
AX ＝λX ，则称λ是矩阵A 的特征值，向量X 称为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

2．特征值和特征向量的求解：
求出特征方程0=-A I λ的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X ＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：
（1）A 可逆的充要条件是A 的特征值不等于0； （2）A 与A 的转置矩阵有A '有相同的特征值； （3）不同特征值对应的特征向量线性无关。

4.矩阵的相似
（1）定义 对同阶方阵A 、B ，若存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称A 与B 相似。

（2）求A 与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P 和∧）： ①求出所有特征值； ②求出所有特征向量；
③若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A 可对角化（否则不能对角化），将这n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P ，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

（3）求通过正交变换Q 与实对称矩阵A 相似的对角阵：
方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。

5.二次型
（1）定义 n 元二次多项式
()∑==n
j i j
i ij n x x a x x x f 1,21,,, 称为二次型，若
()
j i a ij ≠=0，则称为二交型的标准型。

（2）二次型标准化：
配方法和正交变换法。

正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q ，Q Q
'=-1
，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

（3）二次型或对称矩阵的正定性： ①定义；
②正定的充要条件：
i.A 为正定的充要条件是A 的所有特征值都大于0； ii.A 为正定的充要条件是A 的所有顺序主子式都大于0；
期末综合练习题
一、单项选择题
1. 若B A ,都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是
( D ).
(A) T T T A B AB =)(. (B) 1
11)(---=A B AB .
(C) ***=A B AB )(. (D) 2
22)(A B AB =. 参见课本P116矩阵的乘法，P122转置、方幂，P132逆矩阵
2. 若A 为三阶方阵，将矩阵A 第一列与第三列交换得矩阵B ，再把矩阵B 的第二列加到第三列得矩阵C ，则满足C AQ =的可逆矩阵Q 为( C ).
(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101001010. (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛110001010. (C) 001011100⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭. (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001110.
参见课本P113、P132，矩阵的运算、变换，逆矩阵
3.若B A ,都是n 阶方阵，且0≠B ，0=AB ，则必有( C ).
(A) 0B ≠. (B) *0B ≠. (C) 0T A =. (D)
222)(B A B A +=-.参见P113，矩阵的运算
4.已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，向量组
1235,,,αααα的秩为4，则向量组1234523, , , ααααααα--，的秩为
（ B ） .
(A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定 参见教材P43，向量组的秩
5. ()()r A r A b = 是非齐次线性方程组Ax b =有无穷多解的 ( B ). (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 既非充分条件又非必要条件. (D) 不能确定. 参见教材P10，线性方程组有解判别定理
6. 若向量组1(1,3,6,2)T
α=，2(2,1,2,1)T
α=-，3(1,1,,2)T
a α=--的秩为2，
则a 为 ( B ).
(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1. 参见教材P43，向量组的秩
7.设A, B 为n 阶方阵，且r(A)=r(B)，则( D ). (A) 0)(=-B A r ； (B) )(2)(A r B A r =+；
(C) )(2)(A r B A r =，
； (D). )()()(B r A r B A r +≤，
参考教材P135-138
8.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( A ).
(A) ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200120011. (B)
110120002-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (C) 110020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. (D)
111020002⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.
参见教材P161
9.已知A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是( C ). (A) 1A -. (B) 2A . (C) T A . (D) *A . 参考教材P152，特征值与特征向量
10. 设矩阵j i j i j i j i b a b B a A 2)(,)(4444-===⨯⨯且，，则行列式=||B ( A ).
(A) ||24A -；
(B) ||24
A ； (C) ||24A --； (D) ||24
A -
参考教材P78，行列式性质与运算 二、填空题
1. 已知A 为3阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若 2A =，则
*1
1
()4A A --= -4 .参见教材P132，逆矩阵
2. 设A =110122114312121-⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪
-⎝⎭，则0Ax =的基础解系中所含向量的个数是
2 .参见教材P13-15
3. 已知22021202x -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝
⎭与10
00000
2y ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则y = 4 .
参见教材P159，相似矩阵
4. 矩阵
112203112A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为 332
221
10
22111⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
- ⎪
⎪⎝⎭.
参见教材P132，逆矩阵
5. 若矩阵
111111t A t t ⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭为正定的，则t 满足的条件为2t >. 参考教材P175正定矩阵
6. 若向量组
123
1111 , 0, 412a ααα-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，则=a __2____；
参见教材P27，向量组的线性相关
7. t 满足什么条件1t =-时，方程组0123012320123tx x x x tx x x x x ⎧++=⎪⎪
+-=⎨⎪
-+=⎪⎩有非零解。

参见教材P19，齐次线性方程组的解
8. 若方阵A 的每行的元素的和均为a ，则A 的一个特征值为a ，一个特征向量为)1,,1,1( 。

参见教材P152，特征值与特征向量
9. 设4阶方阵B A 和的伴随矩阵为*
*B A 和，且它们的秩为
4)(3)(==B r A r ，，则秩 =**)(B A r 1；参见教材P132-138
10. 已知实二次型
32212
3222132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则实常数a 的取值范围为 2/7||<a ； 参见教材175，正定二次型 三、解答题
1. 已知2X AX B =+，其中
2111A ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭，1221B ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，求矩阵X . 解：2X AX B =+1
(2)(2)E A X B X E A B -⇒-=⇒=-
而
01213E A -⎛⎫
-= ⎪
-⎝⎭ 21E A -=-，()()*131********E A E A ---⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 117(2)12X E A B ---⎛⎫
=-= ⎪
--⎝⎭
参见教材P113，矩阵运算
2. 设矩阵111111111111
a a A a a ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭，A 的秩为3，求a .
解：
()2111111
3(1)111111a a A a a a a =
=+- 当1a =时，
111111*********
1A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1111000000000
00
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭，()1r A =；
当3a =-时，
3111131111311113A -⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭～01
0000100001000
0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭，从而()3r A =
参见P15，矩阵的秩
3. 设γβααα,,,,321都是4维列向量，且4阶行列式a =βααα,,,321，
b =321,, ,αααγ，求4阶行列式γβααα+,,,321。

解：γ
αααβαααγβααα,,,,,,,,,321321321+=+
321321,,,,,,αααγβααα-=b
a -=
参见教材P78，行列式的运算
4. 设非齐次线性方程组 1234123412341435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪
++-=-⎨⎪+++=⎩ , 问,a b 为何值时, 系
数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解．
解：对增广矩阵进行初等行变换
()1111143511131A A b a b -⎛⎫
⎪==-- ⎪
⎪⎝⎭ ～
11
1110115300424542a a b a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭ ，
当42450a a b -=+-=即2,3a b ==-时，系数矩阵的秩为2。

此
时()()24
r A r A ==< ，方程组有无穷多解，
A
～102420115300000-⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ 得通解为 121212
34224315,(,)
010001x x k k k R k R x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
参见教材P14
5. 已知二次型222
123123121323(,,)442f x x x x x x x x x x ax x =++--+通过正交变换x Py =化成标准形222
12333f y y by =++，(1) 求参数,a b 的值；(2)求正交矩阵P .
解:（1）1222121A a a --⎛⎫ ⎪=- ⎪
⎪-⎝⎭相似于对角矩阵30003000b ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以有
11133,30b A E ++=++-= 解之得：2,3a b =-=-
（2）
122212221A --⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭， A 的特征值为1233,3λλλ===- 当123λλ==时，解方程组(3)0A E x -=得基础解系
12111,001ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正交话并单位化得
12,0p p ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
== ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎝⎭⎝
； 当33λ=-时，解方程组(3)0A E x +=得基础解系
3111ξ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，单位化得3p =。

令
123
(,,)
P p p p
⎛
==
⎝，则在正交变换x Py
=下，二次型f
有标准形：222
123123
(,,)333
T T
f x x x x Ax y y y y y
==Λ=+-.
参见教材P163
6. 已知向量组
123
102
0,1,2
101
ααα
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
4
1
3
α
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭。

求该向量组的秩以及一个极大无关组。

解：
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
→
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
1
1
3
2
1
1
2
1
1
1
3
2
1
1
2
1
A
所以该向量组的秩为3，而
123
102
0,1,2
101
ααα
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，为其一个极大无关组。

参见教材P36-40
7. 求正交变换
，用此正交变换将二次型
222
12312312
(,,)2564
f x x x x x x x x
=++-化为标准形。

解：二次型222
12312312
(,,)2564
f x x x x x x x x
=++-的矩阵为
220
250
006
A
-
⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
220
||250(1)(6)
006
E A
λ
λλλλ
λ
-
-=-=--
-其特征值为
1231,6λλλ===
解1()0E A x λ-=，得11λ=
所对应的特征向量为
1210ξ⎛⎫⎪=⎪
⎪⎭ 解2()0E A x λ-=，得236λλ==所对应的特征向量
为
22102,001ξξ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪ ⎪
⎭⎝⎭
三个特征向量是相互正交的。

正交变换矩阵为
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-=100
05
251051
52P ，标
准型为222
12366f y y y =++
参见教材P165-173
8. 设线性方程组为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+-=+++=+++=+++b x x x x x x a x x x x x x x x x x 43214321432143213172315320
3，问a ,b 各取何值时，线
性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

解：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛------→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2200001400111
100311
1131117231531203111b a b a A 当≠a 4时，方程组有唯一解
当=a 4，≠b 2时，方程组无解 当=a 4，=b 2时，)(A r =)(A r ＝3 < 4，方程组有无穷多组解,其通
解为 T
T k )0,1,1,2()0,0,1,1(-+-=α，k 为任意常数 参见教材P7-17，线性方程组解的情况和有解判别定理
9．设矩阵()1234,,,A αααα=，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-,向量
1234b αααα=+++求线性方程组b Ax =的通解
解：由1234b αααα=+++得线性方程组b Ax =的特解*(1,1,1,1)T
η=。

由234,,ααα线性无关，1232ααα=-知()3R A =，线性方程组0Ax =的
基础解系含有431-=个解向量。

而1232ααα=-，0Ax =的基础解系为()T
0,1,2,11-=η。

b Ax =的通解为1*k ηηη=+。

参见教材才P28
10. 计算5阶行列式： 400
30
80
700
900
06050
20001+++++++++=
a a a a a a a a a D
解：
)
9(4876
54321)
9(+=+++++++++=a a a a a a a a a a D
参见教材P78，行列式计算。