2.3向量的坐标表示和空间向量的基本定理
空间向量的基本定理及坐标表示
求
解:
a b , a b ,8a。
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
例2：P80例2.
base vectors. 空间任何三个 e1 , e 2 , e 3 都叫做 基向量
特别地, 设e1 , e 2 , e 3为有公共起点 O的三个两 两垂直的单位向量 ( 我们称它们为单位正交 基底) , 以 e1 , e 2 , e 3 的公共起点O为原点, 分别 以e1 , e 2 , e 3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系 Oxyz. 那么, 对于空间任 意一个向量 p, 一定可以把它平移, 使它的起
基本定理：
间任一向量 p, 存在唯一的有序实数组 x, y, z,
定理： 如果三个向量e1 , e 2 , e 3不共面, 那么对空
使得p xe1 ye 2 ze 3 .
定理告诉我们，若三向 量不共面， 则空间任一向量都可由 他们线性表示 我们把e1 , e 2 , e 3 叫做空间的一个基底base , 不共面的向量都可构成 空间的一个基底 .
空间向量的基本定理及坐标表示
我们知道, 平面内任意一 个向量p都可以用两个不 共线的向量a, b来表示(平 面向量基本定理 ).对于空 间任意一个向量, 有没有 类似的结论呢? 如图3.1 15, 设i, j, k是空
i
z
P
k
O
j
Q
y
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3.1 15
间三个两两垂直的向量, 且有公共起点O.对于空间 任意一个向量 p OP , 设点Q为点P在i, j所确定的 平面上的正投影,由平面向量基本定理可知, 在OQ , k所确定的平面上, 存在实数z , 使得OP OQ zk.
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
1:如何确定空间中点的坐标? (对空间任一点 P(x,y,z),如图(1)所示,过 P 作面 xOy 的垂线,垂足 为 P',在面 xOy 中,过 P'分别作 x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为 A,C, 则|x|=P'C,|y|=AP',|z|=PP'.
比如在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,AA1=1,则 B1(2,3,1),B(2,3,0),C1(0,3,1),A1(2,0,1),如图(2))
空间向量基本定理的应用
【例 3】 如图所示,在空间四边形 OABC 中,其对角 线为 OB、AC,M 为 OA 的中点,D 为 BC 的中点,G 为 △ABC 的重心,用向量 OA , OB , OC 表示 MG .
解:∵G 为△ABC 的重心,
1 ∴ AG = AD , 3
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.
2:投影是向量还是数量? (投影是数量,可正可负可为 0)
三、空间向量基本定理
3:在上述实例②中,向量 p 如何用向量 a,b,c 表示?
(p= AB + AD + AA1 =a+b+c)
3:(1)如果向量 e1、 e2、 e3 是空间三个不共面的向 量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ 1、λ 2、λ
BA = BA + AA =- OC + OO =c-b, CA = CA + AA = OA - OC + OO =a-b+c.
空间向量的坐标表示
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
2.3.2《空间向量基本定理》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1
2
2
= 1 AD + AC AB 2
（2）MN = 1 CD = 1 AD AC
2
2
EF MN = 1 AD + AC AB 1 AD AC
2
2
= 1
2
2
AD AC
=0
4
江西省新余市第一中学
刘斌
03 问题探究
如果向量e1 ,e2 ,e3是空间三个 不共面 的向量, a 是空间任一向量,
05 典例讲评
练习2 .如图，已知三棱锥O - ABC ,M 为 AB 中点, N为OM中点，OA OB OC 1 , 且OA,OB,OC 两两垂直，
(1)试用AO, AB, AC 表示CN ;
解: (1)
因为 CN = AN AC
= 1 AO AM AC 2
=
1 2
AO
1 2
AB
面的向量作为基底表 2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本
示其它向量，并解决 定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.
一些简单问题
07 课后作业
1. O, A,B,C 为空间中的四点，且 向量 OA,OB,OC 不能构成空间中 的一个基底，则（ ） A. OA,OB,OC 共线 B. OA,OB 共线 C.OB,OC 共线 D.O, A,B,C四点共面
c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
则 a,b,c 构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①为真命题,构成基底的向量
必须不共面; ②为真命题;
③为假命题,a,b不共线,
当 c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
空间向量的分解与坐标表示 教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。
空间向量基本定理PPT精品课件
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
规律技巧总结
如何分析气压带的成因 (1)由于地面冷热不均，引起大气的膨胀上升， 或收缩下沉，从而导致近地面形成低气压区或高 气压区的原因，称之为热力原因。如赤道低气压 带和极地高气压带。
(1)图甲中字母所表示的纬度，正确的是( B )
A．A为10°N
B．C为30°N
考点2 气压带和风带的分布规律
气压带、风带的形成是全球性大气环流的结 果，由于大气环流的规律性，使得地球上气压带、 风带的分布也具有明显的规律性。从全球看，气 压带与风带是相间分布的，即两个气压带之间必 定存在一个风带。(如下图，以北半球为例)
【真题1】 (2013·四川)读下图，回答(1)～(2)题。
2.3.2
向量的坐标表示和空间向 量基本定理
一、空间向量基本定理：
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共
起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P
在i,j所确定的平面上的正投影，
由平面基本定理可知，
在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得
OP=OQ+zk,
而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 可知，存在有序之前数对(x,y)， z
变式训练2：读风带示意图，回答(1)～(2)题。
规律技巧总结
(1)从气压带来看，全球七个气压带是高低 相间分布的，且以赤道为轴南北对称分布。
(2)风带的分布是以赤道为轴南北对称分布 的。
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
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M
23
1 OA 2 1 (OB OC) 6 32
A
Q P
C
1 OA 1 OB 1 OC
633
B
N
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OQ OM MQ 1 OA 1 MN 1 OA 1 (ON OM） 23 23
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
一、向量的直角坐标运算
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 ) , 则
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
注：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
它们都不是 0 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
i, j, k上的分向量。
pP
k
iO j
y
Q
这种分解我们把它叫做空间向 x 量的正交分解.
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
oj
a
x
在空间中，能得出类似的结论:
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
1 OA 1 (ON 1 OA)
O
23 2
1 OA 1 1 (OB OC)
M
3 32
1 OA 1 OB 1 OC 36 6
Q
A
P
C
B
N
空间向量运算 的坐标表示
空间直角坐标系 z
从空间某一个定点O引三条
互相垂直且有相同单位长度的
数轴，这样就建立了空间直角
坐标系O-xyz．
O
y
x 点O叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，
|CA1|cos(A1CB)|CB|1
C1 B1
C B
平面向量基本定理:
如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1, 2 ,
使 a 1e1 2e2
说明： (1)不共线的向量e1, e2 叫做这一平面内所有向量
的一组基底;
(3) 任一向量 a 都可以沿两个不共线的方向（e1, e2 的
这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称
为xOy平面、 yOz平面和 xOz平面．
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四 指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转
90o 指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.
我们也称这样的坐标系为右手系．
说明:
☆本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系.
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标.
z
e3
e1
O e2
A(x,y,z) y
z
解: (1)因为AB=2,BC=3,AA1=5 A1
所以C1为(3,2,5)
D1
从而
A C 1(3,2,5)3i2j5k (2)因为点D1为(3,0,5)
所A 以 1D (3,0,5)
(A) O
D
x
B1 C1
By C
设a xi y j zk, 那么 a i (xi y j zk) i xi i y j i zk i 由于ii |i|21, 而i j,i j 0同理ki 0 所 a i以 x 同 a j理 y ,a k z
a (a1, a2 , a3 )( R)
A1
(1)向量 CA1在CB上的投 ; 影 D
解:(1)向量CA1在CB上的投;影 A
|CA1 |cosA1CB|CB|1
C1 B1
C B
D1
例2.如图,已知单位正方体 A1
ABCD-A1B1C1D1,求
D
(2)BC是单位向,且 量垂直于平A面
ABB1A1,求向量 CA1在BC上的投.影 解:(2)向量 CA1在BC上的投影为
我 们 把 aix,ajy,akz分 别 称 为 向 量 a 在 x轴 ,y轴 ,z轴 正 方 向 上 的 投 影 . 向量的坐标等于 标它 轴在 正坐 方向上. 的
一般地,若b0为b的单位向量, 称ab0 | a | cos a,b 为向量a在向量b上的投影.
例2.如图,已知单位正方体
D1
ABCD-A1B1C1D1,求
方向）分解成两个向量（1e1, 2e2）和的形式；
(4)基底给定时,分解形式唯一.
例题讲解
例 2 如图，M，N分别是四面体OABC的边 OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分.用向
量OA，OB，OC 表示OP和OQ.
解:OP OM MP 1 OA 2 MN
O
23
1 OA 2 (ON OM )
特殊的： i, j, k两两垂直时
OP OQ zk. OQ xi y j.
OP OQ zk xi y j zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示
复习： 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
平面向量的正交分解及坐标表示 y
a xi y j