第4章函数
《Excel数据分析》第4章 函数的应用(3)
大数据挖掘专家
3
比较与合并文本
1. EXACT函数
➢ EXACT函数的功能是比较两个字符串是否完全相同。EXACT函数的使用格式如下。
EXACT(text1,text2)
➢ EXACT函数的常用参数及其解释如表所示。
参数
参数解释
text1 必需。表示第一个文本字符串
text2 必需。表示第二个文本字符串
5
比较与合并文本
（2） 确定公式 ➢ 按下【Enter】键，并使用填充公式的方式返回其他评论与第一条评论对比结果，如图所示。如果是重复，
那么返回值为TRUE，如果非重复，那么返回值为FALSE。
大数据挖掘专家
6
比较与合并文本
2. CONCATENATE函数
➢ CONCATENATE函数可以将几个文本字符串合并为一个文本字符串。CONCATENATE函数的使用格式如 下。
大数据挖掘专家
26
替换文本
1. SUBSTITUTE函数
➢ 在Excel 2016中，通过SUBSTITUTE、SREPLACE和REPLACEB函数对文本字符进行指定替换。 ➢ SUBSTITUTE函数的功能是在无文本字符串中，用新的文本替代旧的文本。SUBSTITUTE函数的使用格式
如下。
SUBSTITUTE(text, old_text, new_text, instance_num)
大数据挖掘专家
20
检索与提取文本
3. LEFT函数
➢ LEFT函数的功能是基于指定的字符数返回文本字符串中的第一个或前几个字符。LEFT函数的使用格式如 下。
LEFT(text, num_chars)
第四章可测函数
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
则称 fn在E上几乎一致收敛于 f ，记为 fn f a.u.于E
注：1°”一致收敛”强于“收敛”， “收敛”强于“几乎处处收敛” 2°叶果洛夫定理得逆命题就是若 fn f a.u.于E ，则 fn f a.e.于E 3°叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系， 根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一 个子集 上E当 作一致收敛的函数列来处理。
黎斯条件下的子列在叶果洛 夫条件下
（3）著名的勒贝格微分定理：若 f (x) 是[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可导。 （4）[0,1]上的狄利克雷函数 D(x) 0 a.e.于 [0,1]
性质：
（1）1 a.e.于E
且 2
a.e.于E
，则 1
或 2
a.e.于E
，
且
1
2
a.e.于E
.
（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函
1 f (x), f (x) g(x),(g(x) 0 集中在零测集上）可测集。
可 测
定理 5：设 fn(x) 是E上一列（或有限个）可测函数，则
函 数
(x) inf n
fn (x)与
第4章--生产函数--习题
第四章生产函数分析一、名词解释1．固定投入比例生产函数2．固定替代比例生产函数3．短期生产4．长期生产5．边际报酬递减规律6．等产量线7．边际技术替代率8．边际技术替代率递减规律9．等成本线10．等斜线11．扩展线12．规模报酬13．规模报酬递增14．规模报酬不变15．规模报酬递减二、选择题7．如果生产函数为Q = min (3L，K)，w = 5，r = 10，则劳动与资本的最优比例为( )。
A．3 : 1 B．1 : 2 C．1 : 3 D．2 : 18．下面情形表示生产仍有潜力可挖的是( )。
A．生产可能性边界上的任意一点B．生产可能性边界外的任意一点C．生产可能性边界内的任意一点D．以上都有可能知识点：总产出、平均产出、边际产出的概念及三者之间的关系9．当生产函数Q = f (L，K)的AP L为正而且递减时，MP L可以是( )。
A．递减且为正B．为0 C．递减且为负D．上述任何一种情况都有可能10．在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，下列说法中正确的是( )。
A．总产量最先开始下降D．平均产量首先开始下降C．边际产量首先开始下降D．平均产量下降速度最快11．下列各项中，正确的是( )。
A．只要平均产量减少，边际产量就减少B．只要总产量减少，边际产量就一定为负值C．只要边际产量减少，总产量就减少D．只要平均产量减少，总产量就减少12．劳动(L)的总产量下降时( )。
A．AP L是递减的B．AP L为零C．MP L为零D．MP L为负13．在总产量、平均产量和边际产量的变化过程中，首先发生变化的是( )。
A．边际产量下降B．平均产量下降C．总产量下降D．B和C14．如果一种投入要素的平均产量高于其边际产量，则( )。
A．随着投入的增加，边际产量增加B．边际产量将向平均产量趋近C．随着投入的增加，平均产量一定增加D．平均产量将随投人的增加而降低15．总产量最大，边际产量( )。
A．为零B．最大C．最小D．无法确定16．当且AP L为正但递减时，MP L是( )A．递减B．AP L为零C．零D．MP L为负17．下列说法中错误的是( )。
第4章 函数(GAI)
（4）有时为了明确表示函数无返回值，可以将函 数定义为“void”类型。但应注意：一旦函数定义为 “void”类型，就不能再使用被调用函数的返回值。
函数的调用
一个函数被另一个函数调用的过程称为函数的 调用。 一、函数调用的一般形式 函数调用的一般形式 所谓函数调用（function call），是指使程序流 程转向所定义的函数。 1.函数调用的一般形式如下： 函数名(实际参数表列) 其中，“函数名”必须与函数定义、函数声明 时的函数名同名；
一、内部函数 static 类型标识符 函数名(形参表列) 例如： static int function(int x,int y) 内部函数又称静态函数。
二、外部函数 外部函数 在需要调用外部函数的文件中，用extern声明的函数是外 部函数。
编译预处理
一、C语言提供的预处理主要有以下3种： （1）宏定义。 （2）文件包含。 （3）条件编译。 1. 宏定义可分为不带参数的宏定义和带参数的宏定义两种。 1．不带参数的宏定义 不带参数的宏定义的一般形式如下： #define 宏名 宏体
C语言中用来说明变量存储类别（属性）关键字有4个：auto （自动），static（静态），register（寄存器）和extern （外部）。 在定义局部变量时，如果不赋初值，则对于静态局部变 量来说，编译时，系统自动赋初值0或可以重新赋值；而对 于自动变量来说，它的值是一个不确定的数。
内部函数和外部函数
第4章
重点内容总结 1.函数的定义与声明 2.函数的调用 3.变量的存储类别 4.内部函数与外部函数 5.编译预处理
函数
函数的定义与声明
一、从定义的角度看，函数可以分为系统库函 数和用户自定义函数。 1.系统库函数(标准库函数)。系统库函数用户无 须定义。 库函数从功能上可分为以下几种： 1）字符分类函数：用于对字符按ASCII码分 类（分为字母、数字、控制字符、分隔符、 大小写字母等）。
第4章：复变函数的幂级数展开
| f n +1 ( z ) + f n + 2 ( z ).... + f n + p ( z ) |< ε
一致收敛级数的连续性 设
f ( z) = ∑
k =0 ∞
在E上一致收敛，如果{fk(z)} f k ( z ) 在E上连续，那么和函数f(z)
也是E上的连续函数。
7
一致收敛级数的积分 设
f ( z) = ∑
f ( z ) = ∑ f k ( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + ... + f k ( z ) + ...
k =0
5
∞
ε—N语言描述 任给ε>0, 以及给定的z∈E, 存在正整数N=N(ε,z), 当n>N时
| f ( z ) − sn ( z ) |< ε
其中部分和为
16
1 f ( z) = 2 1+ z
+i
的二个奇点为 z = ±i ,故
1 2 4 6 = 1 − z + z − z + ... 2 1+ z
-i
的收敛半径为 | z |<1.
17
4.2 解析函数的Taylor 展开
幂级数在收敛圆内：解析函数 逆定理：解析函数可展开成幂级数
定理：设 f(z) 在以 a 为圆心的圆 C 内 解析，则对于圆 内的任何 z 点, f(z) 可以用幂级数展开为
(−1) ln(1 + z ) = ∑ k k =0
∞
k +1
z
k +1
; (| z |< 1)
2、若取其他分枝：ln1=2kπi, c= 2kπi
北师大版初中数学八年级(上)第四章一次函数4-1函数 教学详案
第四章 一次函数1 函 数教学目标1.初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；了解函数的三种表示方法.2.通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力.3.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.教学重难点重点：初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系，了解函数的三种表示方法. 难点：根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值.教学过程导入新课1.分别指出下列关系式中的变量与常量：（1）圆的面积公式2πS R =（S 是面积，R 是半径）； （2）正多边形的内角公式(2)180n nα-︒=（α是正多边形的一个内角的度数，n 为正多边形的边数）.2.假设甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系如图，那么可知道：（1）这是一次 米赛跑；（2）甲、乙两人中先到达终点的是 .设计意图：利用学生感兴趣的生活知识，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，以愉快的心情开始一节课的学习，激发学习数学的积极性.探究新知一、合作探究问题一想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.(1)根据上图填表：t∕min012345…h∕m…(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？问题二瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表：层数n12345…物体总数y…对于给定任一层数n,相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？问题三一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T＝t+273,T≥0.(1)当t分别为-43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？(2)给定一个大于-273℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？上面的三个问题中，有什么共同特点？都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.（教师巡视）学生独立思考，然后小组内讨论，最后学生代表发表各小组的见解.设计意图：这样能较好地体现数学的现实性，可以形成良好的数学观.二、新知一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量,y是因变量.函数的形式:一般有列表法、图象法和关系式法.理解函数的概念应抓住以下三点：（1）函数的概念由三句话组成：“两个变量”，“x的每一个值”，“y有唯一的值”；（2）判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系的存在，更重要的是看对于x的每一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应；（3）函数不是数，它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.课堂练习1.下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A B C D2.已知函数y＝2x-6，当x＝3时，y＝；当y＝-6时，x＝.3.下列关于变量x，y的关系式：①3x-4y＝0；②5x-y2＝1；③y＝|x|；④y＝2x2+1；⑤xy＝1.其中，y是x的函数的是.4.近日，某县提出了“绿色环保，安全骑行”的倡议，号召中学生在骑自行车时要遵守交通规则，注意交通安全.周末，小明骑共享单车到图书馆，他骑行一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向图书馆方向前进，途中突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在等红绿灯的路口处找到了钥匙，便继续前往图书馆.小明离家距离与所用吋间的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）图中自变量是，因变量是；（2）小明等待红绿灯花了分钟；（3）小明在分钟时间段的骑行速度最快，最快的速度是米/分；（4）在前往图书馆的途中，小明一共骑行了米.5.一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.（1）写出表示y与x的函数关系的式子.（2）指出自变量x的取值范围.（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？参考答案1.D2.0，03. ①③④⑤4.（1）时间，离家距离（2）2（3）12～13,240（4）19805.解：（1）y＝50-0.1x.（2）0≤x≤500.（3）y＝50-0.1×200＝30，因此当汽车行驶200km时,油箱中还有30 L汽油.课堂小结(学生总结，老师点评)1.函数的概念2.函数的三种表达方法3.自变量的取值范围布置作业随堂练习第1题习题4.1第2题板书设计第四章一次函数1函数1.函数的概念: 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量,y 是因变量.2.函数的三种表达方法：列表法图象法关系式法。
第4章 Python函数定义与使用
4.1 定义函数
4.1.3 函数的返回值 函数使用return语句带回返回值，该返回值由函数名带回
，并结束函数的执行。不论return语句出现在函数的什么 位置，一旦得到执行将直接结束函数的执行。 如果函数没有return语句或者执行了不返回任何值的return 语句，Python将认为该函数以return None结束，即返回 空值。也可以将Lambda表达式作为函数的返回值，关于 Lambda表达式将在后面的章节中介绍。
4.2 函数参数
函数参数有形式参数（形参）和实际参数（实参）的区别 。在函数定义里关键字def定义函数时函数名后面括号里 声明的参数是形参，形参的个数可以为0个或多个，如果 没有形参，声明函数时函数名后的括号也不能够省略，当 形参的个数多于1个时各参数之间用逗号隔开。
函数调用时在函数名后括号中提供的数值为实际参数，在 调用函数时，将实参的值传递给形参，函数中参与运算等 操作的数据是实参，所以只有函数的实参才是正真起作用 的值，而函数的形参不代表任何具体的值，仅仅是为了实 现函数的某种功能。
，也可以没有，多个形式参数之间用逗号隔开。同样地，函数参 数也不用指定参数类型。 函数体是复合语句，函数体语句需要采用缩进书写规则。 如果函数有返回值，返回值是通过函数体中的return语句获得的 ，return语句可以在在函数体内任何地方出现，表示函数调用执 行到此结束；如果没有return语句，会自动返回空值（None）， 如果有return语句但return后面没有接表达式或者值得话也是返 回None值。
Python
第4 章 Python函数定义
与使用
本章内容
4.1 定义函数 4.2 函数调用 4.3 匿名函数 4.4 函数的变量 本章小结
第4章 利用函数编程
9
4.1.2 函数的定义
2. 无参函数的定义格式 无参函数的定义格式是传统格式。定义无参函数的语句 格式有以下两种形式 ：
[<类型标识符>] <函数名>（） [< 类 型 标 识 符 >] < 函 数 名 > ｛ (void) 函数体 ｛ 或 return语句 函数体 } return语句 }
〘格式说明〙与有参函数的定义格式相比，函数名后 面的括号中没有参数，是空的，即函数名(void)与函数名( ) 是一样的涵义。
2
4.1.1 函数的引出
〘问题描述4－1〙在这之前的程序设计中，我们多次使 用系统提供的函数，如使用printf()实现数据的输出,用sqrt() 进行开方运算等。这些函数功能单一，使用方便，有效地减 少了程序设计的工作量。但在程序设计中，经常遇到多次运 用同一算法的程序实现问题，此时需要编写实现该算法的自 定义函数，通过反复调用来实现最终目的，这不仅能避免程 序重复编码，而且使得程序结构清晰，实现功能共享。现讨 论求以下组合数的编程问题。
21
4.2.2 函数调用声明
｛ int a，b，c； printf(“Please input two integer numbers:”)； scanf(“%a，%b\n”，&a，&b)； c=max(a，b)； //函数调用语句 printf(“max is%d\n”，c)； ｝
[问题点拨] 函数声明方式不同，会使程序结构完全不一样。 因此，在复杂的调用中，必须考虑好定义与调用的先后顺序， 否则将发生错误。
6
4.1.1 函数的引出
float factorial (int x) //函数定义说明，求x的阶乘 { int i； float f＝1； for(i＝1；i<＝x；i++) f＝f*i； return (f)； //返回计算结果 } 我们把这种程序设计称为模块化程序设计，也是结构化 程序设计的一条重要原则。由于C语言采用了函数模块化的 结构，因而易于实现结构化程序设计，使得程序层次结构清 晰，便于程序的编写、阅读、调试，这就是采用函数模块化 （自定义函数）的目的意义。
第4章数字特征与特征函数
( ) a0 ( ) a0 1 ( ) ( )
例: 有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个 的寿命 X kபைடு நூலகம்(k 1, 2,3, 4,5) 服从同一指数分布,其概率密度为
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
y0 y0
于是Y的数学期望为
fY ( y )
0,
y0
E (Y ) y fY ( y )dy y5 e y dy
0
1 5
例: 随机变量X服从柯西分布,其分布密度为
1 f ( x) , x 2 (1 x )
求E(X)。 解:
xf ( x, y )dxdy
yf ( x, y )dxdy
xf X ( x) dx
yfY ( y ) dy
推广: E (c1 X1 c2 X 2 cn X n ) c1E ( X1 ) c2 E ( X 2 ) ④设X与Y相互独立,则 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
所以X的数学期望不存在。
1 1 x dx 2 x dx 2 2 0 (1 x ) (1 x ) 1 ln(1 x 2 ) 0
三、随机变量函数的数学期望 定理: 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数), 当X是离散型随机变量时,若 g ( x ) p 绝对收敛，则
推广: n个相互独立的随机变量 E ( X1 X 2
X n ) E ( X1 ) E ( X 2 )
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1）直接展开法 解析，故积分为0；
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数， 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时，
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明：
（1）洛朗级数是双边幂级数，泰勒级数只有正幂项； （2）洛朗级数是泰勒级数的推广，泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况； （3）系数公式不同，洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项， 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项，有无穷多项）
1
1
z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4章函数
函数是数学中一个基本概念，我们这里所讨论的函数，作为一种特殊的二元关系，其定义域和值域是一般的集合。
本书后面很多地方要用到本章给出的一些有关函数的基本概念和性质。
这里主要讨论了函数的基本概念，函数的复合、反函数等，并给出了相关的性质。
下面就此作一简单介绍。
一、函数的基本概念
定义1设A和B是集合，f是从A到B的二元关系，若对每一个x∈A，都存在惟一的一个y ∈B，使得<x，y>∈f，则称f是从A到B的函数或映射，记作f:A→B。
<x，y>∈f也记作f(x)=y.y 称为x在f下的象(象点、函数值)，x称为y在f下的原象(自变量)。
对函数f:A→B，A称为f的定义域，记为D o m(f)。
集合Im(f)={f(x)|x∈D o m(f)}称为f的象或值域。
有时也将Im(f)记为f(A)，它是B子集(可能是真子集)。
特别需要注意，集合A上的恒等关系是A上的函数(映射)，称为A上的恒等函数。
若f，g:A→B，使得∀a∈A，f(a)=g(a)，称函数f与g相等，记为f=g。
定义2设函数f:A→B，
(1)若对任意的x1，x2∈A，且x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射或一对一的映射(又叫内射或入射)。
此定义和以下说法是等价的：若对任意x1，x2∈A，且f(x1）=f(x2)，必有x1=x2称f是单射。
(2)若f(A)=B，则称f是满射(或映上的映射、到上的映射)。
(3)若f是单射且是满射，则称f是双射或一一对应。
容易举出是单射而不是满射、是满射而不是单射、既是满射也是单射、既不是满射也不是单射的例子。
设函数f:A→B，对A1⊆A，B1⊆B，称f(A1)={f(x)|x∈A1}为A l在f下的象，称f-l(B l)={x∈A|f(x)∈B1}为B l在f下的原象(或逆象)。
可以证明下面结论:
定理1设函数f:A→B，对A1，A2⊆A，B1，B2⊆B，则有
(1)f(A1∩A2)⊆f(A1)∩f(A2)
(2)f(A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)
(3)f(A1-A2)⊆f(A1)-f(A2)
(4)f-1(B1-B2)⊆f(B1)-f(B2)
(5)A1⊆f-1(f(A1))，f(f-1(B1))⊆B1
(7)f-1(B1∪B2)=f(B1)∪f(B2)
(8)f-1(B1∩B2)⊆f(B1)∩f(B2)
上面式子中有些不是等式，希望通过例子说明，可以发生不相等情形.
二、函数的复合、反函数
由关系的复合知道，若有关系R:A→B，S：B→C，则复合关系R o S是从A到C的关系。
若R，S都是函数，则复合关系R o S是从A到C的函数，因为有下面定理：
定理2设有函数f:A→B，g:B→C，则复合关系f o g是从A到C的函数，且有(f o g)(x)=g(f(x))。
称f o g是函数f和g的复合函数(或f与g的合成)。
关于函数的复合与函数的单、满、双射有下面的结论：
定理3设有函数f:A→B，g:B→C。
(1)若f，g是单射，则f o g也是单射；
(2)若f，g是满射，则f o g也是满射；
(3)若f，g是双射，则f o g也是双射。
可以举例说明上面定理的逆命题不成立，但有下面定理：
定理4设有函数f:A→B，g：B→C。
(1)若f o g是单射，则f是单射；
(2)若f o g是满射，则g是满射；
(3)若f o g是双射，则f是单射，g是满射。
定义3设有函数f:A→B，若逆关系f c:B→A是从B到A的函数，则称f c是f的反函数，并记f c为f-1(也称为逆函数)。
由定义可知：当函数f:A→B的反函数f-1存在，若f(x)=y，则f-1(y)=x，且有下面结论成立：
f o f-1=I A；f-1o f=I B
定理5函数f:A→B存在反函数的充分必要条件是f是双射。
定理6设函数f:A→B的反函数f-1存在，则f-1也是双射，且(f-l)-1=f.
定理7设函数f：A→B，g:B→C，f，g的反函数都存在，则复合函数f o g的反函数也存在，且(f o g)-l=g-l o f-1。
三、集合的基数
定义4设A，B为两个集合，若存在从A到B的双射，则称A与B等势，记作A~B，也称A 和B有相同的基数，记作|A|=|B|。
否则称A的基数不等于B的基数，记作|A|≠|B|。
若从集合A到集合B存在单射，则|A|≤|B|，若从A到B存在单射，但不存在满射，则|A|<|B|；
容易知道，两个有限集合只有当它们的元素的个数相等时才是等势的，因此有限集不可能与它的真子集等势。
定义5凡与自然数等势的集合A称为可数集或可列集，也可称A是可数的或可列的，可数集的势记为c
o。
关于集合的势与等势及可数有下面的结论：
定理8
(1)任何无限集必含有可数子集。
(2)可数集的任何无限子集是可数的。
(3)从可数集A中减去一个有限子集M，则A-M仍是可数集。
(4)两两不相交的有限个可数集的并是可数集。
(5)两两不相交的可数个有限集的并是可数集。
(6)两两不相交的可数个可数集的并是可数集。
(7)可数个可数集的并是可数集。
(8)有理数集的全体是可数集。
(9)任何实数区间[a，b]上的有理数的全体是一个可数集。
(10)若S是一个不可数的无限集合，A是S的一个有限或可数子集，则S-A~S。
(11)凡无限集必含有一个和它自身等势的真子集。
(12)开区间(0，1)是不可数的。
集合(0，1)的基数记为c，称为连续统的势。