(11)第四章_悬臂梁桥的计算1
悬臂梁 计算公式
悬臂梁计算公式悬臂梁计算公式。
悬臂梁是一种常见的结构形式，广泛应用于工程建筑中。
它的设计和计算是工程设计中的重要内容，对于确保结构的安全性和稳定性至关重要。
在本文中，我们将介绍悬臂梁的计算公式及其应用。
悬臂梁的计算公式主要包括静力学原理和材料力学原理。
静力学原理是指根据平衡条件和力的平衡条件来计算悬臂梁的受力情况，而材料力学原理则是指根据材料的力学性质来计算悬臂梁的受力情况。
下面我们将分别介绍这两方面的计算公式。
首先是静力学原理。
根据力的平衡条件，悬臂梁在受力时会受到弯矩和剪力的作用。
弯矩和剪力是悬臂梁受力的两个基本参数，它们的计算公式如下：1. 弯矩的计算公式。
悬臂梁的弯矩可以根据悬臂梁的受力情况和外力情况来计算。
一般情况下，悬臂梁的弯矩可以使用以下公式来计算：M = F L。
其中，M表示弯矩，F表示作用在悬臂梁上的外力，L表示悬臂梁的长度。
2. 剪力的计算公式。
悬臂梁的剪力也可以根据悬臂梁的受力情况和外力情况来计算。
一般情况下，悬臂梁的剪力可以使用以下公式来计算：V = F。
其中，V表示剪力，F表示作用在悬臂梁上的外力。
以上是悬臂梁在静力学原理下的计算公式。
接下来我们将介绍悬臂梁在材料力学原理下的计算公式。
材料力学原理是指根据材料的力学性质来计算悬臂梁的受力情况。
材料力学原理下的计算公式主要包括应力和应变的计算公式。
1. 应力的计算公式。
悬臂梁在受力时会产生应力，应力的计算公式如下：σ = M y / I。
其中，σ表示应力，M表示弯矩，y表示悬臂梁截面上某点到受力轴线的距离，I表示悬臂梁的惯性矩。
2. 应变的计算公式。
悬臂梁在受力时会产生应变，应变的计算公式如下：ε = σ / E。
其中，ε表示应变，σ表示应力，E表示悬臂梁的弹性模量。
以上是悬臂梁在材料力学原理下的计算公式。
这些计算公式可以帮助工程师和设计师在设计悬臂梁时准确计算悬臂梁的受力情况，确保悬臂梁的结构安全和稳定。
除了上述的计算公式，还需要考虑悬臂梁的边界条件和约束条件，以及材料的强度和稳定性等因素。
混凝土悬臂与连续体系梁桥的计算PPT课件
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【例2-4-2】图所示三跨变高度连续箱梁桥的跨径组合为40+60+40m，混凝土为 C40，截面周边平均尺寸变化规律示于图b)及表中，试求边跨及中跨抗扭修正系数 β及边跨的荷载增大系数。
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解：1）Cw的计算
① 计算边跨和中跨的跨中截面抗弯惯矩Ic ② 分别计算该两跨的简支梁跨中挠度(单位为m)：
对弯矩 无影响
各支点截面在端弯矩Md作用下的弯矩：
各支点截面在主梁自重作用下的弯矩：
Mid 1Md
Miq 2q自l2
各支点截面的总恒载弯矩Mi为：
Mi Mid Miq
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等截面等跨径连续梁在端弯矩作用下支点弯矩系数
跨 数
各支点截面弯矩系数η1
n
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
1) 求主梁最大正弯矩值
方法1：按近似公式计算
M max
q自l 2 12
(0.933
2.96
2
)
10 402 12
(0.933
2.96 0.1 0.652 )
1077.25kN m
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方法2：
4号结点的弯矩
q ( l)2
M4 Md 导 2
1 262
338kN m
2
3号中支点截面的弯矩系数分别 为：
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三、活载内力计算 ——与施工方法无关
S汽 (1 ) （ mc qk miPk yi )
非简支体系梁桥的荷载横向分布系数mi和内力影响线竖标yi，分别作一些补充 介绍。
1. 荷载横向分布计算的等代简支梁法
悬臂梁理论计算公式
悬臂梁理论计算公式悬臂梁是一种常见的结构形式，在工程中广泛应用。
悬臂梁的设计和计算是工程设计中的重要环节，其计算公式是设计师必须掌握的基础知识。
本文将介绍悬臂梁的理论计算公式，并结合实际工程案例进行分析和应用。
悬臂梁的理论计算公式主要包括以下几个方面，受力分析、挠度计算、应力计算等。
在进行悬臂梁的设计和计算时，需要根据具体的工程要求和材料特性来确定合适的计算公式，并结合实际情况进行合理的计算和分析。
首先，我们来看一下悬臂梁的受力分析。
悬臂梁在受外力作用下会产生弯曲和剪切力，因此需要进行受力分析来确定梁的受力情况。
根据力学原理，悬臂梁受力分析的基本公式为：M = -EI(d^2w/dx^2)。
其中，M为悬臂梁上任意截面处的弯矩，E为杨氏模量，I为截面惯性矩，w为梁的挠度，x为梁的坐标。
这个公式描述了悬臂梁在外力作用下产生的弯曲变形情况，是进行悬臂梁挠度计算的基础。
接下来，我们来看一下悬臂梁的挠度计算公式。
悬臂梁在受外力作用下会发生挠曲变形，挠度计算是悬臂梁设计中的重要环节。
根据悬臂梁受力分析的基本公式，可以得到悬臂梁的挠度计算公式：w = (Fx^2)/(6EI)(3a-x)。
其中，w为梁的挠度，F为悬臂梁上的外力，x为梁的坐标，E为杨氏模量，I为截面惯性矩，a为悬臂梁的长度。
这个公式描述了悬臂梁在外力作用下的挠曲变形情况，是进行悬臂梁挠度计算的基础。
除了挠度计算，悬臂梁的应力计算也是设计中的重要环节。
悬臂梁在受外力作用下会产生应力，需要进行应力计算来确定梁的受力情况。
根据悬臂梁受力分析的基本公式，可以得到悬臂梁的应力计算公式：σ = My/I。
其中，σ为悬臂梁上任意截面处的应力，M为悬臂梁上任意截面处的弯矩，y 为梁的截面高度，I为截面惯性矩。
这个公式描述了悬臂梁在外力作用下的应力情况，是进行悬臂梁应力计算的基础。
在实际工程中，悬臂梁的设计和计算需要根据具体的工程要求和材料特性来确定合适的计算公式，并结合实际情况进行合理的计算和分析。
悬臂梁桥的设计与计算PPT课件
Q 0 R
M 0
Re
H
h 2
27
2、45°斜截面的抗拉验算（按轴心受拉构件）
Zj
Rj cos45
Z j1R g( A gw A gH c4 o 5 s A gc v 4 o)5 s s 28
3、最弱斜截面验算（按偏心受拉构件）
判别标准： 边缘应力最大
A
b1
h cos
W
1 6
•
b1
23
中跨——锚梁与挂孔刚度相近时 悬臂与挂孔联合等代为跨度2l2+l3的简支梁
24
第三节 牛腿计算
一、计算截面宽度
25
二、截面内力
N Rs in H cos Q Rcos H s in
M
Re h tg 2来自H h 2 26
三、验算截面内力 1、竖直截面（按抗弯构件验算）
N 0 H
• 腹板——下弯的纵向钢筋 需要时布置竖向预应力钢筋
16
6、牛腿 • 截面小、受力复杂
17
第二节 悬臂梁桥的计算要点
一、恒载内力 • 静定结构 • 变截面 • 手算可采用影响线加栽 • 施工中的内力状态可能出现控制应力
18
二、活载内力
1、纵向——某些截面可能出现正负最不利 弯矩
2、横向
• 箱梁——专门分析
9 石嘴山黄河公路桥 90
10
安徽五河淮河桥
90
30.4
29 .2
5.0
1.9
半立方抛 物线
10
2、截面形式 • 悬臂部分（锚孔）——吊装时采用肋梁
悬臂施工时采用箱梁 • 挂孔——一般采用肋梁，便于吊装
11
3、梁高 • 一般采用变高度梁 • 支点梁高/跨中梁高 = 2～2.5 优点：增加支点抗弯能力
第四章 悬臂梁桥的设计与计算
三、箱梁对称挠曲应力
1、弯曲正应力
初等梁理论，顶底板 应力均匀分布 空间梁理论，顶底板 应力不均匀分布，有 剪力滞作用。
2、弯曲剪应力 • 开口截面
取微段水平力平衡
• 闭口单室截面 问题：无法确定 积分起点 解决方法：在平 面内为超静定 结构，必须通 过变形协调条 件求解
赘余力剪力流 剪切变形：
三、箱梁对称挠曲应力
1、弯曲正应力
初等梁理论，顶底板 应力均匀分布 空间梁理论，顶底板 应力不均匀分布，有 剪力滞作用。
2、弯曲剪应力 • 开口截面
取微段水平力平衡
• 闭口单室截面 问题：无法确定 积分起点 解决方法：在平 面内为超静定 结构，必须通 过变形协调条 件求解
赘余力剪力流 剪切变形：
– 支点：杠杆原理 – 挂孔、悬臂：采用等刚度原则简化为等代简 支梁，采用刚性横梁法或比拟正交异 性板法计算
等刚度法
• 出发点：
– 横向分布体现肋主梁抗弯与抗扭能力的比例 关系 – 不同体系的梁桥抗扭性能基本相同，抗扭刚 度只与抗扭惯矩有关 – 体系不同体现在总体抗弯刚度上 – 采用挠度相等的办法计算等代刚度
• 底板——满足纵向抗压要求 一般采用变厚度，悬臂端主要受 构造要求控制，支点主要受纵向 压应力控制，需加厚
5、配筋特点 • 纵向钢筋
– 悬臂上只承担负弯矩，配置负弯矩钢筋 – 锚孔可能承担正或负弯矩需双向配筋 – 节段施工的T形刚构
• 主筋没有下弯时布置在腹板加掖中 • 需下弯时平弯至腹板位置 • 一般在锚固前竖弯，以抵抗剪力
第四章 悬臂梁桥的设计与计算
第一节 悬臂梁桥的体系 与构造特点
一、体系特点 • 由于支点负弯矩的卸载作用，跨中正弯 矩大大减小 • 由于弯矩图面积的减小，跨越能力增大 • 体系形式：双悬臂、单悬臂、双悬臂加 挂孔、T形刚构 • 缺点行车条件不好
(11)第四章_悬臂梁桥的计算1
手算可采用影响线加载
求图中截面 K 的恒载弯矩时，内力的表达式可写成：
SG1
g ( x) y ( x)dx
L
在多段静定梁中，内力影响线呈多段直线形，此时 可用影响线的转折点为界来分段计算，最后求和。
当影响线为直线段时，可用下式表示：
y ( x ) x tg
则该段荷载引起的恒载内力为：
单箱单室截面
跨 中 截 面 支 点 截 面
(a )
(b )
较窄桥墩满足较宽 桥面，减少下部工 程量，应用最为广 泛。 分离式双箱单室截面
(c )
多在宽桥中采用 单箱多室截面 箱形截面 多在宽桥中采用
2.跨径布置和梁高尺寸 单孔双悬臂梁桥
①T形截面主梁悬臂一般为中跨的0.3～0.4倍； ②箱形截面主梁悬臂可达中跨的0.4～0.6倍（跨 中最大正弯矩和支点最大负弯矩绝对值大致相 等）。 悬臂端伸入路堤可省去 两个桥台，需在悬臂与 路堤衔接处设置搭板。
③注意：悬臂长、活载挠度大、时跳车动厉害、
桥与路的连接构造易损坏。
(a ) l
x
l
l
x
搭 板
H
l
x
=(0.3~0.4)l
h = (1 / 1 . 2 ~ 1 / 1 . 5 )H
h
H = (1 / 1 0 ~ 1 / 1 3 )l
单孔双悬臂梁桥梁高拟定的常用尺寸
桥 型 跨 径 高跨比（h、H分别为跨中和支点梁高） T型截面 普通钢筋砼 lx=(0.3~0.4)l H=(1/10~1/13) l H=(1/12~1/15) l H=(1/12~1/15) l h=(1/1.2~1.5)H
跨 中 截 面 支 点 截 面
带马蹄形T形截面：
悬臂梁支反力计算
悬臂梁支反力计算
悬臂梁支反力的计算过程可以参照以下步骤：
确定悬臂梁的受力情况。
可以将受力点分解为水平力和垂直力两个方向，分别记为Fx和Fy。
在力的合力和合力矩平衡条件下，进行支座反力的计算。
假设支座B处的反力为RA和RB，而悬臂梁的另一端（如A端）通常无反力。
根据平衡条件，可以列出以下方程组：
∑Fx = 0，从而得出RA = Fx
∑Fy = 0，从而得出RB = Fy
代入力的数值，即可求出支座反力RA和RB的具体数值。
此外，悬臂梁支反力的计算公式还可以表示为：支反力= 负荷× 悬臂长度/ 原始长度。
请注意，以上步骤和公式是基于一些假设和简化得出的，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。
悬臂连续梁桥的计算
悬臂连续梁桥的计算
1.悬挑段的内力计算
悬挑段由于未受到桥墩的约束，其内力计算可以采用简支梁的方法进行。
根据悬挑段的长度、荷载分布和支座反力等信息，可以得到悬挑段的弯矩、剪力和轴力等内力。
2.连续梁段的内力计算
连续梁段的内力计算可以采用静力学原理或结构力学方法。
根据桥梁的几何形状、材料特性和荷载分布，可以利用力平衡方程和变形方程等得到连续梁段各处的内力。
3.荷载的作用效应计算
4.桥梁的抗震设计
在地震区域，悬臂连续梁桥需要进行抗震设计，以保证桥梁在地震作用下具有足够的抗震能力。
抗震设计包括地震荷载的确定、结构的减震措施和抗震性能评估等。
5.结构的受力验算
除了上述几个主要方面的计算，还需要进行杆件的设计和施工方案的确定等。
对于大型的悬挑连续梁桥，还需要进行动力响应和疲劳分析等。
综上所述，悬臂连续梁桥的计算是一项复杂的工作，需要考虑材料的特性、荷载的作用效应以及结构的受力性能等多个方面。
基于这些计算结果，可以进行桥梁的设计和施工，确保桥梁的使用性能和安全性。
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箱形截面
T形截面 预应力钢筋砼 lx=(0.3~0.5)l 箱形截面
h=(1/2~1/2.5)H
h=(1/1.2~1/1.5)H h=(1/2~1/2.5)H
H=(1/15~1/18) l
当不受上述这些条件限制时，就可按照梁的弯矩包络图 面积为最小的原则来确定边孔与中孔径的划分。
多跨悬臂梁桥跨径布置： ①主孔跨径由通航净空确定，或与边孔一起由河床地形和 地质等条件综合考虑来选定。 ②按照弯矩包络图面积为最小原理来确定边孔与中孔的跨 径划分。
支点高H
(1.5～1.8)h (2.0～2.5)h (1.5～2.0)h (2.0～2.5)h (1.5～1.8)h (2.0～2.5)h (2.0～2.5)h (2.0～2.5)h
T形截面 箱形截面 单悬臂梁桥 (b) T形截面 预应力 钢筋混凝土 箱形截面 T形截面 钢筋混凝土 箱形截面 多孔悬臂梁 桥 (c) T形截面 预应力 钢筋混凝土 箱形截面
第一节 悬臂梁桥的体系与构造特点
一、 悬臂梁桥结构 类型和力学特点
1、悬臂梁桥力学特点 （从永久作用和可变作 用两方面与简支梁锚 跨跨中弯矩相比） 恒载：由于支点负弯 矩的卸载作用，跨中 正弯矩显著减小, 可 减小主梁高度降低材 料用量和结构自重， 跨越能力提高。
2、悬臂梁桥结构类型： 悬臂梁桥的上部结构由锚固孔、悬臂和悬挂孔（简称挂孔）组 成。 （1）双悬臂梁桥
第四章 悬臂体系梁桥的计算
前 言
① 普通钢筋混凝土和预应力混凝土简支梁桥的经济跨径分别为 20m和40m左右； ② 跨径超出此范围时，跨中恒载弯矩和活载弯矩将会迅速增大 ，从而导致梁的截面尺寸和自重显著地增加，不但材料耗用 量大而不经济，并且也由于很大的安装重量给装配式施工造 成很大的困难； ③ 为了降低材料用量指标，对于较大跨径的桥梁，宜采用能减 小跨中弯矩值的其他体系桥梁，例如悬臂体系、连续体系的 梁桥等。
假想简支梁跨中挠度 实际桥梁计算点的挠度
I
*
C wI0
C
w
假想简支梁跨中扭角 实际桥梁计算点的扭角
I T C w IT
*
边跨
中跨——锚梁与挂孔刚度相差悬殊时 悬臂等代为跨度2l2的简支梁
挂孔等代为相同跨度的简支梁
中跨——锚梁与挂孔刚度相近时
悬臂与挂孔联合等代为跨度2l2+l3的简支梁
跨 中 截 面 支 点 截 面
带马蹄形T形截面：
适用30m以内跨径 的钢筋混凝土桥梁
底部加宽T形截面： 适用30m～50m以内 跨径的预应力混凝 土桥梁
h
T形截面
(a )
h
(b )
H
H
50m以上跨径使用箱形截面。优点：整体性强、抗扭刚度大、 承受偏载和悬臂施工都有利，顶底板能提供足够的受压面积， 能满足抵抗正、负弯矩预应力钢束布置。
施工中的内力状态可能出现控制应力
二、活载内力 1、纵向——某些截面可能出现正负最不利弯矩
在内力影响线上按最不利荷载位置布载，就可求得截面的 控制内力值。当内力影响线有正负梁中区段时，就应分别 对正负区段加载，以求出正负两个内力值。分别称为最大 和最小活载弯矩。
2、横向 箱梁——专门分析 •多梁式——横向分布系数，必须考虑横向分布系 数沿桥纵向的变化
4 牛腿的受力特点和构造
牛腿受力情况复杂，各种验算有假设性，故斜筋和水平钢筋应富余 些，还应布置较密的箍筋和纵向水平钢筋。
第二节 悬臂梁桥的计算要点
一、恒载内力 静定结构 所有静定结构及整体浇筑一次落架的 超静定结构，主梁自重作用于桥上时，结构已是 最终体系。 变截面 计算变截面梁的恒载内力时，需要计及 恒载集度 g x 沿梁长变化。当 g x的变动幅度在10％ 范围以内时，可近似按均布荷载计算。应取恒载 最大集度和最小集度的平均值来计算。
单箱单室截面
跨 中 截 面 支 点 截 面
(a )
(b )
较窄桥墩满足较宽 桥面，减少下部工 程量，应用最为广 泛。 分离式双箱单室截面
(c )
多在宽桥中采用 单箱多室截面 箱形截面 多在宽桥中采用
2.跨径布置和梁高尺寸 单孔双悬臂梁桥
①T形截面主梁悬臂一般为中跨的0.3～0.4倍； ②箱形截面主梁悬臂可达中跨的0.4～0.6倍（跨 中最大正弯矩和支点最大负弯矩绝对值大致相 等）。 悬臂端伸入路堤可省去 两个桥台，需在悬臂与 路堤衔接处设置搭板。
带挂梁三孔 悬臂梁桥
(b ) l
1
l lg
l
1
l1 =(0.6~0.8)l
lg =(0.4~0.6)l l l l l
g g
(c) l l
1
l
g
1
多跨双悬 臂梁桥
=(0.75~0.8)l
H
h
=(0.5~0.6)l
h = (1 / 1 . 2 ~ 1 / 1 . 5 )H
H = (1 / 1 0 ~ 1 / 1 3 )l
(3)双悬臂梁（或单悬臂梁）与简支挂梁联合组成多孔悬臂梁桥
多跨悬臂梁桥
(4)带挂梁的T形悬臂梁桥
多跨连续梁桥
T形刚构桥
其它特点： （1）悬臂端容易下挠，行车舒适性较差。 （2）一般为静定结构，结构内力不受温度、混凝土收缩徐变 连续刚构桥 和地基沉降等因素的影响。
二、体系特点
g
简支跨径减小
静定体系
lx l
1
lx l
1 gl 8
2
l
1 gl 8
2
l
1
l
1
l
1
(a )
(c )
l1 l
g
l
1 gl 8
2
l
1
l
x
l
1 gl
g
(b )
(d )
弯矩图面积（绝对值）小
支点负弯矩须注意
三、构造特点
1.截面形式 锚跨跨中承受正弯矩、支点附近承受较大负弯矩，故支 点截面底部受压区需加强。 截面形式：T形截面、箱形截面
两个悬臂一般都做成相同尺寸； 其余尺寸拟定可参考后面图表。
悬臂梁桥各种跨长的比例关系
桥 型 结构类型 截面形式
钢筋混凝土
跨中高h
(1/12～1/20)l (1/15～1/25)l (1/20～1/25)l (1/20～1/30)l (1/12～1/20)l (1/20～1/30)l (1/20～1/25)l (1/25～1/35)l
xb
Si
xa
g ( x ) y ( x ) d x tg x
g
设 g 图的形心对应的影响线竖标为
Si g y
y
，则 x t g
y
表明，不论 g 图的形状如何，均可用 g 图面积乘以 相应 g 图形心处的影响线座标来表示所欲计算的内 力值。
呈曲线形时，可以把图分成若干小段，每一段近似作 直线处理。
③注意：悬臂长、活载挠度大、时跳车动厉害、
桥与路的连接构造易损坏。
(a ) l
x
l
l
x
搭 板
H
l
x
=(0.3~0.4)l
h = (1 / 1 . 2 ~ 1 / 1 . 5 )H
h
H = (1 / 1 0 ~ 1 / 1 3 )l
单孔双悬臂梁桥梁高拟定的常用尺寸
桥 型 跨 径 高跨比（h、H分别为跨中和支点梁高） T型截面 普通钢筋砼 lx=(0.3~0.4)l H=(1/10~1/13) l H=(1/12~1/15) l H=(1/12~1/15) l h=(1/1.2~1.5)H
双悬臂梁桥
均布荷载q
恒载：因支点负弯矩的卸载作用而显著减小 车道荷载：与简支梁布置车道荷载时的结果一样 悬臂端伸入路堤、省桥台，需设置搭板、易损。
（2）两个单悬臂梁与中孔简支挂梁组合的三跨悬臂梁桥
单悬臂梁桥
均布荷载q
恒载：因简支挂梁的跨径缩短减小 车道荷载：只按支承跨径较小的简支挂梁产生的正弯矩 计算，因此比简支梁小得多。
支点：杠杆原理 挂孔、悬臂：采用等刚度原则简化为等代简支梁， 采用刚性横梁法或比拟正交异性板法计算 等刚度法 出发点： ◆横向分布体现肋主梁抗弯与抗扭能力的比例关系 ◆不同体系的梁桥抗扭性能基本相同，抗扭刚度只 与抗扭惯矩有关 ◆体系不同体现在总体抗弯刚度上 ◆采用挠度相等的办法计算等代刚度
Cw
手算可采用影响线加载
求图中截面 K 的恒载弯矩时，内力的表达式可写成：
SG1
g ( x) y ( x)dx
L
在多段静定梁中，内力影响线呈多段直线形，此时 可用影响线的转折点为界来分段计算，最后求和。
当影响线为直线段时，可用下式表示：
y ( x ) x tg
则该段荷载引起的恒载内力为：
l1 / l
0.6 ～ 0.8 0.6 ～ 0.8
0.75 ～ 0.8 0.75～ 0.8
lg / l
0.4 ～ 0.6 0.2 ～ 0.4
0.5～ 0.6 0.5～ 0.7
3 适用情况
国内箱形薄壁钢筋混凝土悬臂梁桥最大跨径为 55m ，国 外一般在70～80m以下；
预应钢筋混凝土悬臂梁桥一般在 100m以下，世界最大的 跨径为150m。