教案类：北师大版八年级数学上册探索勾股定理第二课时教学设计
数学北师大版八年级上册探索勾股定理(二)教学设计
第一章勾股定理1. 探索勾股定理（第2课时）一、学生起点分析上节课已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点与难点.三、教学过程第一环节：问题引入内容：教师提出问题：上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？如何验证勾股定理呢？第二环节：探索新知活动1：[师] 下面我们利用拼图的方法来验证勾股定理：1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看？3、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2呢？拼法1:大正方形的面积可以表示为___________；也可以表示为________________.∵ c 2= 4•ab/2 +(b -a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2∴a 2+b 2=c 2拼法2:大正方形的面积可以表示为___________； 也可以表示为________________.∵ c 2= 4•ab/2 +(b -a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2活动2：拓展提升[师] 你还能拼出什么图形呢？你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理.第三环节延伸拓展，能力提升1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c22.一个直角三角形的斜边为30cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
八年级数学上册 1.1 探索勾股定理(第2课时)教学设计 (新版)北师大版
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教学设计2
北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。
本章主要让学生通过探索、验证勾股定理，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
本节课的内容是探索勾股定理的证明方法，让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于勾股定理的证明方法，学生可能比较陌生，需要通过实例和引导，让学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义。
2.培养学生通过探索、验证勾股定理的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.能够运用勾股定理解决实际问题，感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：让学生通过探索、验证勾股定理，理解勾股定理的含义。
2.难点：如何引导学生发现和证明勾股定理，以及如何运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探索勾股定理的证明方法。
2.实例法：通过具体的几何图形，让学生直观地理解勾股定理。
3.实践法：让学生通过动手操作，验证勾股定理，增强学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形，如直角三角形、直角梯形等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备勾股定理的相关资料，如历史背景、证明方法等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个直角三角形的两条直角边的长度，让学生思考如何求解斜边的长度。
引导学生回顾平面几何中关于直角三角形的知识，为学习勾股定理做铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示勾股定理的定义和表述，让学生了解勾股定理的基本概念。
通过几何图形的展示，让学生直观地感受勾股定理的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用不同的方法证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现和证明勾股定理。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理 》教学设计2
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容，主要让学生通过实践活动，探索并证明勾股定理。
教材通过生动有趣的故事引入，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，探索并理解勾股定理。
这一节内容既有利于培养学生的动手操作能力，也有利于培养学生的探究能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于证明勾股定理，他们可能还没有接触过。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实践活动，自己去探索并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学的探究过程。
2.能够通过实践活动，探索并证明勾股定理。
3.培养学生的动手操作能力和探究能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实践活动，探索并证明勾股定理。
2.教学难点：如何引导学生自己发现并证明勾股定理。
五. 教学方法1.启发式教学法：通过问题引导，激发学生的思考。
2.实践活动法：让学生通过实际操作，自己去探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备一些直角三角形和直角三角形的斜边，让学生在课堂上进行测量。
2.准备一些相关的多媒体教学资料，帮助学生更好地理解勾股定理。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个有趣的故事，引出勾股定理。
让学生了解到，勾股定理是我国古代数学家毕达哥拉斯发现的。
2.呈现（5分钟）呈现一组直角三角形，让学生进行测量，观察并猜想勾股定理。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组选取一个直角三角形，用尺子测量其三条边的长度，然后计算出斜边的平方是否等于两个直角边的平方和。
通过实践活动，让学生自己验证勾股定理。
4.巩固（10分钟）让学生用自己的语言，描述一下勾股定理的内容。
并通过一些例子，让学生运用勾股定理进行计算。
5.拓展（10分钟）让学生思考，如果一个直角三角形的两条直角边长度相等，那么斜边的长度会是多少？引导学生进一步探究勾股定理的变体。
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理二》教案
-学习并理解勾股定理的几种证明方法（如：构造法、割补法等）。
-了解勾股定理在几何图形中的应用，如：正方形、等腰直角三角形等。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探索勾股定理的证明过程，让学生理解并掌握严密的逻辑推理方法，提高学生的几何逻辑思维。
-对于勾股定理的逆向应用，通过具体例题，让学生学会通过边长关系判断三角形的类型，并提供足够的练习进行巩固。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索勾股定理二》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的边长关系问题？”比如，测量墙角到地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
2.培养学生的空间想象力：通过勾股定理在实际几何图形中的应用，培养学生的空间想象力和几何直观。
3.培养学生的数学应用意识：将勾股定理与生活实际相结合，让学生学会在实际问题中发现数学规律，提高解决实际问题的能力。
4.培养学生的数学抽象能力：引导学生从具体的直角三角形中抽象出勾股定理的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在几何学中有着极为重要的地位，它可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形的斜边长度，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理二》教案
北师大版数学八年级上册1《探索勾股定理》教案2
北师大版数学八年级上册1《探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》是人教版八年级上册数学的一个重要内容。
本节课主要通过引导学生探索勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
教材以古代中国赵爽的弦图为例，让学生通过割补、拼接等方法，证明勾股定理。
教材内容丰富，既有历史文化的传承，也有数学思维的训练。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了相似三角形和全等三角形，对图形的变换和证明已经有了初步的认识。
但如何将这些知识运用到探索勾股定理中，还需要教师的引导和启发。
此外，学生对于古代数学的文化背景可能了解不多，需要在教学中加以补充。
三. 教学目标1.了解勾股定理的证明过程，理解并掌握勾股定理。
2.培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
3.感受数学文化的魅力，增强民族自豪感。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明过程及应用。
2.难点：如何引导学生发现并证明勾股定理。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和启发式教学法，引导学生通过自主探索、合作交流，发现并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备割补、拼接的教具。
3.提前让学生预习相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示古代中国的勾股定理著作《周髀算经》和赵爽的弦图，引导学生了解勾股定理的历史背景，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现问题：在直角三角形中，为什么直角边的平方和等于斜边的平方？让学生思考并尝试解答。
3.操练（30分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用自己的方法证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键在于如何将直角三角形割补、拼接成正方形。
4.巩固（15分钟）让学生用自己的语言阐述证明勾股定理的过程，检查学生是否真正理解并掌握了勾股定理。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了割补、拼接的方法，还有没有其他方法证明勾股定理？让学生进行思考和探索。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调勾股定理的重要性和应用价值。
北师版八年级数学上册教案1 探索勾股定理(2课时)
1探索勾股定理第1课时勾股定理一、基本目标1．经历勾股定理的发现过程，了解并掌握勾股定理的内容．2．通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理．二、重难点目标【教学重点】勾股定理．【教学难点】勾股定理的探究．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.2．下列说法中正确的是(C)A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c23．若Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，则AC长是(B)A．5 B．6C．7 D．8环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．【互动探索】(引发学生思考)要求CD 的长，CD 是△ABC 的高，AB 的长已知，如果能求出三角形ABC 的面积就好办了．【解答】∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ， ∴由勾股定理，得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝16＝42，∴AC ＝4 cm. 又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这个规律常与勾股定理联合使用．【例2】如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．【互动探索】(引发学生思考)结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE ⊥BC 于点E ，在△ABC 中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．【证明】如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .在Rt △ACE 、Rt △ABE 和Rt △ADE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，AC 2＝AE 2＋CE 2，AE 2＝AD 2－ED 2，∴AB 2＋AC 2＝(AE 2＋BE 2)＋(AE 2＋CE 2)＝2(AD 2－ED 2)＋(DB －DE )2＋(DC ＋DE )2＝2AD 2－2ED 2＋DB 2－2DB ·DE ＋DE 2＋DC 2＋2DC ·DE ＋DE 2＝2AD 2＋DB 2＋DC 2＋2DE (DC －DB )．又∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2DC 2＝2(AD 2＋CD 2)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC 中，∠C ＝90°.若a ＝5，b ＝12，则c ＝13；若c ＝41，a ＝9，则b ＝40. 2．等腰△ABC 的腰长AB ＝10 cm ，底BC 为16 cm ，则底边上的高为6，面积为48.3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)若a＝5，b＝12，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b.解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝52＋122＝169.∵c>0，∴c＝13.(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长．【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝92，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC 的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.图1图2【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.请完成本课时对应练习！第2课时 勾股定理的证明一、基本目标勾股定理的面积证法；会用勾股定理进行简单的计算． 二、重难点目标 【教学重点】 勾股定理的面积证法． 【教学难点】 勾股定理的应用．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．在△ABC 中，∠C ＝90°.若a ＝6，c ＝10，则b ＝8.2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为2.5m.3．根据下图，利用面积法证明勾股定理．证明：∵S 梯形ABCD ＝S △ABE ＋S △BCE ＋S △EDA ，又∵S 梯形ABCD ＝12(a ＋b )2，S △BCE ＝S △EDA ＝12ab ，S △ABE ＝12c 2，∴12(a ＋b )2＝2×12ab ＋12c 2， ∴a 2＋b 2＝c 2，即勾股定理得证． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a 2＋b 2＝c 2.【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个大正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等． 左边大正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边大正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm ，底边长为10 cm ，则它的面积为( D ) A ．30 cm 2 B ．130 cm 2 C ．120 cm 2D ．60 cm 22．直角三角形两直角边长分别为5 cm,12 cm ，则斜边上的高为6013cm.3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B 200 m ，结果他在水中实际游了520 m ，该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB ＝AC 2－BC 2＝5202－2002＝480(m)．该河流的宽度为480 m. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，高速公路的同侧有A ，B 两个村庄，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA 1＝2 km ，BB 1＝4 km ，A 1B 1＝8 km.现要在高速公路上A 1，B 1之间设一个出口P ，使A ，B 两个村庄到P 的距离之和最短，求这个最短距离之和．【互动探索】如何找到这个点P ？找到以后如何算出最短距离呢？【解答】作点B 关于MN 的对称点B ′，连接AB ′交A 1B 1于点P ，连接BP .则AP ＋BP ＝AP ＋PB ′＝AB ′，易知点P 即为到点A ，B 距离之和最短的点．过点A 作AE ⊥BB ′于点E ，则AE ＝A 1B 1＝8 km ，B ′E ＝AA 1＋BB 1＝2＋4＝6( km)．由勾股定理，得B ′A 2＝AE 2＋B ′E 2＝82＋62，∴AB ′＝10 km.即AP ＋BP ＝AB ′＝10 km.故出口P 到A ，B 两村庄的最短距离之和是10 km.【互动总结】(学生总结，老师点评)解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的点P 的位置，会构造Rt △AB ′E .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)勾股定理⎩⎨⎧验证⎩⎪⎨⎪⎧拼图法面积法简单应用请完成本课时对应练习！。
数学北师大版八年级上册探索勾股定理(第二课时)教学设计
第一章勾股定理探索勾股定理（第2课时）深圳市光明新区实验学校孔晓康一、学情分析学生的知识技能基础：学生在上节课的学习中已经用数格子的办法发现了勾股定理，会用勾股定理解决较为简单的计算题。
但是数格子的办法只是验证了直角边为整数的直角三角形的情况，并没有对一般的直角三角形进行验证。
学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在活动中学会合作，愿意合作，能够在合作中体验到成功的喜悦。
二、教学目标知识与技能目标：1．掌握勾股定理以及利用拼图验证勾股定理的方法。
2．能应用勾股定理解决一些简单的实际问题.过程与方法目标：1．在拼图的过程中，学习切割拼补的方法，在寻找等量关系的过程中体会同一面积法。
2．经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想。
情感、态度与价值观目标：1．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：1．利用拼图验证勾股定理的思路和方法2．理解并掌握勾股定理，会用勾股定理解决简单的实际问题。
教学难点： 勾股定理的验证四、教学过程本节课设计了五个教学环节：（一）问题情境；（二）合作探究；（三）拓展练习（四） 课堂小结（五）布置作业第一环节： 问题情境内容：教师提出问题：上节课，我们利用方格纸探究了几个简单的直角三角形，发现这几个直角三角形的三边都存在一种相同的数量关系，大家还记得吗？（请一名学生回答）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+课件展示：（勾股定理：222c b a =+）前面，我们利用方格纸只是解决了几个直角边是整数的特殊情况，如果给你一个任意的直角三角形，比如直角边分别等于a 和b ，（这里不妨假设a ＜b ）斜边为c ，我们还能利用上节课中的这个图说明勾股定理的正确性吗？第二环节：合作探究活动1：现在没有方格纸可用，但是上节课中探究勾股 定理的方法也许仍然有效，同学们可以先试一试。
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第一章勾股定理
１．探索勾股定理（二）
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.
学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.
二、教学任务分析
本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.
三、教学目标
1．教学目标
●知识与技能目标
掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
●过程与方法目标
在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
●情感与态度目标
在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
2．教学重点
用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
3．教学难点
验证勾股定理.
四、教法学法
1.教学方法：引导——探究——应用.
2.课前准备：
教具：教材，课件，电脑.
学具：教材，铅笔，直尺，练习本.
五、教学过程
本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）追溯历史，激发情感；（四）例题讲解，初步应用；（五）拓展练习，能力提升；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.
第一环节：复习设疑，激趣引入
内容：教师提出问题：
（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.
意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.
效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.
第二环节：小组活动，拼图验证.
内容： 活动1： 教师导入，小组拼图.
教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）
活动2：层层设问，完成验证一.
学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：
图2 在此基础上教师提问： （1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×2
1ab+c 2.并得到222c b a =+） 从而利用图1验证了勾股定理.
活动3 ： 自主探究，完成验证二.
教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二） 意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.
效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.
第三环节： 追溯历史 激发情感
图1
活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.
国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 .2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.
约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.
不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .
趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下
的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给
出了简洁的证明方法. a b
1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾
股定理的这一证法.
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.
说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.
意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.
效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.
第四环节：例题讲解初步应用
内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.
效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.
第五环节：拓展练习能力提升
内容：一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题
（1）教材P10练习题.
（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？
说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道
题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.
意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.
效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.
第六环节：回顾反思提炼升华
内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.
目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.
效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.
第七环节：布置作业，课堂延伸
内容：教师布置作业
1．习题1．2 1，2，3
2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.
意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.。