人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步培优(含答案)

人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积

同步培优

一、选择题

1. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()

A．△ABE B．△ACF

C．△ABD D．△ADE

2. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．不能确定

3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°.”时，应先假设()

A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°

C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°

4. 如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于()

A. 55°

B. 65°

C. 70°

D. 75°

5. 已知A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()

A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上

B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内

C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外

D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内

6. 2020·黄石模拟 如图，在平面直角坐标系中，A (－2，2)，B (8，2)，C (6，6)，

点P 为△ABC 的外接圆的圆心，将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°，点P 的对应点P ′的坐标为( )

A ．(－2，3)

B ．(－3，2)

C ．(2，－3)

D ．(3，－2)

7. 如图，在

Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝7，点D 在边BC 上，CD ＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是( )

A . 1＜r ＜4

B . 2＜r ＜4

C . 1＜r ＜8

D . 2＜r ＜8

8. 如图0，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )

图0

A.3

2

B ．2

C.813

13

D.121313

二、填空题

9. 如图，P A ，PB 是☉O 的切线，A ，B 为切点，点C ，D 在☉O 上.若∠P=102°，则∠A+∠C= .

10. 如图，AT

切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝

________.

11. 如图，⊙M

的圆心在一次函数y ＝1

2x ＋2的图象上运动，半径为1.当⊙M 与y

轴相切时，点M 的坐标为__________．

12. 如图，菱形

ABOC 的边AB ，AC 分别与☉O 相切于点D ，E ，若点D 是AB

的中点，则∠DOE= .

13. 在周长为26π的⊙O 中，CD 是⊙O 的一条弦，AB 是⊙O 的切线，且AB ∥CD ，

若AB 和CD 之间的距离为18，则弦CD 的长为________．

14. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E.则⊙O 的半径为________．

15. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D

是半圆O 上一点，C 是AD ︵

的中点，

CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．

16. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.

三、解答题

17. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．

(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)

(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．

图

18. 如图①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)当BD是⊙O的直径时(如图②)，求∠CAD的度数．

19. 如图，在平面直角坐标系中，以点

O 为圆心，5个单位长度为半径画圆．直

线MN 经过x 轴上的一动点P (m ，0)且垂直于x 轴，当点P 在x 轴上移动时，直线MN 也随之平行移动．按下列条件求m 的值或取值范围． (1)⊙O 上任何一点到直线MN 的距离都不等于3； (2)⊙O 上有且只有一点到直线MN 的距离等于3； (3)⊙O 上有且只有两点到直线MN 的距离等于3；

(4)随着m 的变化，⊙O 上到直线MN 的距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明所有各种情形及对应m 的值或取值范围．

20. 已知：AB 是⊙O

的直径，点P 在AB ︵

上(不与点A ，B 重合)，把△AOP 沿OP

折叠，点A 的对应点C 恰好落在⊙O 上．

(1)当点P ，C 都在AB 上方时(如图8①)，判断PO 与BC 的位置关系(只回答结果)；

(2)当点P 在AB 上方而点C 在AB 下方时(如图②)，(1)中的结论还成立吗？证明你的结论；

(3)当点P ，C 都在AB 上方时(如图③)，过点C 作CD ⊥直线AP 于点D ，且CD 是⊙O 的切线，求证：AB ＝4PD.

人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积

同步培优-答案

一、选择题

1. 【答案】B

2. 【答案】B

3. 【答案】A

4. 【答案】B【解析】连接OP，如解图，则OP⊥AP.∵∠D＝60°，∴∠COP＝120°，∵∠A＝20°，∠APO＝90°，∴∠AOP＝70°，∴∠AOC＝50°，∵OB＝OC，

∴∠OBC＝180°－50°

2＝65°.

解图

5. 【答案】D[解析] 由题意可知A，B，C三点在同一直线上，且点B在点A，C之间，因此过点A，C可以画一个圆，且点B在圆内．

6. 【答案】A

7. 【答案】B【解析】连接AD，则AD＝AC2＋CD2＝42＋32＝5，∵⊙A与

⊙D相交，∴3－r<5<3＋r，解得2＜r＜8，又∵点B在⊙D外，∴r

解图

8. 【答案】B

[解析] ∵∠ABC ＝90°，

∴∠ABP ＋∠PBC ＝90°. ∵∠P AB ＝∠PBC ，

∴∠ABP ＋∠P AB ＝90°，∴∠APB ＝90°，

∴点P 在以AB 为直径的圆上，设圆心为O ，连接OC 交⊙O 于点P ，此时CP 最小．

在Rt △BCO 中，∵∠OBC ＝90°，BC ＝4，OB ＝3，

∴OC ＝5，OP ＝OB ＝3，∴PC ＝OC －OP ＝5－3＝2，∴PC 的最小值为 2.

二、填空题 9. 【答案】219° [解析]连接AB ， ∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，

∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，

∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.

10. 【答案】50°

【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.

11. 【答案】(1，52)或(－1，32) [解析] ∵⊙M 的圆心在一次函数y ＝1

2

x ＋2的图象

上运动，∴设当⊙M 与y 轴相切时圆心M 的坐标为(x ，1

2x ＋2)．∵⊙M 的半径为1，∴x ＝1或x ＝－1，当x ＝1时，y ＝52，当x ＝－1时，y ＝3

2.∴点M 的坐标为(1，52)或(－1，32)．

12. 【答案】60°

[解析]

连接OA ，

∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ，

∵AB 与☉O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB. ∵D 是AB 的中点，

∴OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOD=∠AOB=30°， 同理∠AOE=30°，

∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°， 故答案为60°. 1

13. 【答案】24

【解析】设AB 切⊙O 于点E ，如解图，连接EO 并延长交CD 于点M ，∵C ⊙O ＝26π＝2πr ，∴r ＝13，∵AB ∥CD ，且AB 与CD 之间的距离为18，∴OM ＝18－r ＝5，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠CMO ＝∠AEO ＝90°，∴在Rt △CMO 中，CM ＝OC 2－OM 2＝12，∴CD ＝2CM ＝24.

解图

14. 【答案】

25

4 【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，

则OD ＝OA.∵BC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴

AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝1

2AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △ODF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，

即62＋(8－r)2＝r 2

，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.

解图

15. 【答案】②③

[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是

AD ︵

的中点，

∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，

∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .

∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，

∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F . ∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵

. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵

， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，

∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，

∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．

16. 【答案】2或4[解析] 设圆O的半径为r cm如图①所示，r－1＝3，得r＝4；如图②所示，r＋1＝3，得r＝2.

三、解答题

17. 【答案】

解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，

则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.

∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，

∴BM＝40千米．

答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．

(2)能．理由如下：如图，连接BC.

∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，

∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，

∴BC＝CM2＋BM2＝902＋402＝10 97(千米)＜100千米，

∴到C城后还能接收到信号．

18. 【答案】

(1)证明：如解图，连接OA，OD.设∠ABC＝x，

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，

∴∠ADB＝3x，∠ACB＝2x，

解图

∴∠DAC＝x，∠AOD＝2∠ABC＝2x，

∴∠OAD＝180°－2x

2＝90°－x，(2分)

∴∠OAC＝90°－x＋x＝90°，∴OA⊥AC，

又∵OA为⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线．(4分) (2)解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD ＝90°，

∵∠ABC ∶∠ACB ∶∠ADB ＝1∶2∶3, ∠ABC ＋∠ADB ＝90°， ∴∠ABC ＋3∠ABC ＝90°，(6分) 解得∠ABC ＝22.5°， ∴∠ADB ＝67.5°，∠ACB ＝45°， ∴∠CAD ＝∠ADB －∠ACB ＝22.5°.(8分)

19. 【答案】

解：(1)m ＜－8或m ＞8 (2)m ＝－8或m ＝8

(3)－8＜m ＜－2或2＜m ＜8

(4)当m ＝－2或m ＝2时，⊙O 上有且只有三个点到直线MN 的距离等于3； 当－2＜m ＜2时，⊙O 上有且只有四个点到直线MN 的距离等于3.

20. 【答案】

解：(1)PO 与BC 的位置关系是PO ∥BC . (2)(1)中的结论仍成立．

证明：由折叠的性质可知△APO ≌△CPO ， ∴∠APO ＝∠CPO . 又∵OA ＝OP ， ∴∠A ＝∠APO ， ∴∠A ＝∠CPO .

又∵∠A 与∠PCB 都为PB ︵

所对的圆周角， ∴∠A ＝∠PCB ，∴∠CPO ＝∠PCB ， ∴PO ∥BC .

(3)证明：∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD . 又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ， ∴∠APO ＝∠COP .

由折叠的性质可得∠AOP ＝∠COP ， ∴∠APO ＝∠AOP .

又∵OA ＝OP ，∴∠A ＝∠APO ， ∴∠A ＝∠APO ＝∠AOP ，

∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠COP＝60°.

又∵OP＝OC，

∴△POC也为等边三角形，

∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.

∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°，

∴在Rt△PCD中，PD＝1

2PC.

又∵PC＝OP＝1

2AB，

∴PD＝1

4AB，即AB＝4PD.