压杆稳定计算与提升措施
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材料力学10压杆稳定_3稳定条件_安全因数法
d 25mm
[例3] 如图，已知 AB 杆的直径 d = 40 mm，长 l = 800 mm；材料为
Q235钢；AB 杆规定的稳定安全因数 nst = 2 ，试根据 AB 杆的稳定 条件确定构架的许可载荷 [F ]。
解： 1）计算 AB 杆所受轴向压力
如图， 由 MC = 0 得
FAB 2.27F
2）计算 AB 杆柔度
查表得 Q235 钢的柔度界限值
p 100
AB 杆柔度
s 61.4 l 80
i
3）计算 AB 杆临界力Байду номын сангаас
由于 s < < p ，AB 杆属于中长杆，
故采用直线公式计算其临界力
cr a b 214 MPa
Fcr Acr 268 kN
第七节 提高压杆稳定性的措施
一、从材料着手 1. 大柔度杆 结论：应提高弹性模量 E。因此，改变钢材的品牌型号对于提高 大柔度压杆的稳定性没有意义。
2. 中柔度杆 结论：选择高强度钢材有利于提高中柔度压杆的稳定性。
二、从柔度着手
降低压杆柔度 将显著提高压杆的稳定性 1）加固压杆两端约束，减小长度因数
2）减小杆长 l
3）采用合理的截面形状，使压杆在各个方向上的柔度 大致相等
[例1] 千斤顶如图，已知丝杠长度 l = 375 mm，有效直径 d = 40 mm，
材料为45 钢，所受最大轴向压力 Fmax = 80 kN，规定的稳定安全系数 为 nst = 4，试校核丝杠的稳定性。
解： 1）计算丝杠柔度
第五节 压杆的稳定计算·安全因数法
一、压杆的稳定条件
F ≤ Fcr ns t
压杆稳定—提高压杆稳定性的措施(建筑力学)
2.采用合理的截面形状： (1)各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面。 (2)压杆两方向约束不同时： 使两方向柔度接近相等 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。 3.减少压杆支承长度： (1)直接减少压杆长度； (2)增加中间支承； (3)整体稳定性与局部稳定性相近。 4.加固杆端约束：尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接。
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应
力时，压杆已因为强度不足而破坏。因此，对于由塑性材料
制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力 s ，即:
或
cr (aa bs)/ bs
令
s (as)/b
(11-15)
得 式中，
s
s
为临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。
但应工大力程于超中某过有个比许数 例多值 极压限 s杆的的，压压它杆杆们稳，的定称柔问为度题中往，长往其杆小临。于界这应P类，力压对一杆于般属用于由临实P界
验所得到的经验公式来计算，常用的有直线形经验公式和抛 物线形经验公式。
1.直线形经验公式
直线形经验公式把压杆的临界应力 下列线性关系:
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第二节压杆的临界力与临界应力
如果将式(11-9)和式(11-13)中的临界应力与柔度之间的函数
关的系曲绘线在图形cr，称直为角临坐界标应系力内总，图将。得如到图临11界-8应所力示随，柔图度中变曲化线
ACB是按欧拉临界应力公式(11-9)制的;曲线EC是按抛物线 形经验公式(11-17)绘制的。两曲线交于C点，C点的坐标可 由式(11-9)和式(11-17)联立解得。例如对Q235钢E = 200 GPa, a = 235 MPa, b= 0. 006 68MPa，此时
cr
与压杆的柔度
表示为
crab
(11-14)
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第二节压杆的临界力与临界应力
式中，a和b为与材料有关的常数，其单位为MPa。一些常用 材料的a、b值可见表11-2。
图11-7表示厂直线形经验公式与欧拉曲线。应当指出，经验 公式(11-14 )也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的
提高压杆稳定性的措施
10.5 提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的中心问题，是提高杆件的临界力（或临界应力），可以从下列两方面考虑。
一、柔度方面
对于材料相同的压杆，其临界力与柔度λ成反比，柔度越小，稳定性越好。
1．选择合理的截面形状
由于λ与i 成反比，A
I i =,所以在截面积一定的情况下，要尽量增大惯性距I 。
如在工程上常采用空心截面（图9-11）或组合截面（图9-12），使截面材料远离中性轴。
图9-11图9-12
2．采用y λ接近z λ的几何截面形状
当压杆在各个弯曲平面内的支承情况相同时，为避免在最小刚度平面内发生失稳，应尽量使各个方向的惯性矩相同，例如圆形、正方形截面。
当压杆两端的支承情况在两个方向不同时，即μ值不同时，则采用y I 和z I 不等的截面与相应的约束条件配合以达到y λ=z λ，从而达到两个方向上抵抗失稳的能力相等或接近的目的。
1． 改善支承条件
因压杆两段支承越牢固，长度系数μ就越小，柔度也小，从而临界力就越大。
2． 减小杆的长度
压杆临界力的大小与杆长成反比，缩小杆件长度可大大提高临界力。
可能时，在压杆中间增加支承，也能起到有效作用。
二、材料方面
在其他条件相同的情况下，选择高弹性模量E 的材料，也可以提高压杆的稳定性。
对于E 值大致相同的材料，如合金钢与Q235钢，就没有必要选用合金钢这种高强度材料，否则造成浪费。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施引言压杆是一种常见的工程结构，在许多领域中都有广泛应用，例如建筑、机械工程等。
然而，由于外界因素的干扰或设计不当，压杆的稳定性可能会受到影响，导致安全隐患和性能下降。
因此，提高压杆稳定性是非常重要的。
本文将介绍一些提高压杆稳定性的措施，涵盖了材料选择、结构设计和应用方法等方面。
1. 材料选择材料的选择对于压杆的稳定性具有重要影响。
以下是一些措施可以提高材料的稳定性：•强度：选择高强度的材料可以提高杆件的抗弯刚度，减少因扭曲和挠度导致的不稳定性。
•塑性：材料的塑性越大，即在超过屈服点后仍能延展，可以提高杆件的能量吸收能力，从而提高稳定性。
•抗腐蚀性：如果压杆在恶劣环境中使用，选择具有抗腐蚀性的材料可以延长压杆的使用寿命，并减少外界因素对稳定性的影响。
2. 结构设计良好的结构设计是确保压杆稳定性的重要条件。
以下是一些结构设计方面的措施：•适当选择剖面形状：选择适当的压杆剖面形状可以提高其抗弯刚度和稳定性，例如矩形、圆形或I型剖面。
•增加支撑点：在压杆的负荷路径上增加适当数量和位置的支撑点可以有效地减少压杆的挠度和变形，提高稳定性。
•增加剪切连接：通过增加剪切连接来加强压杆的稳定性，例如使用焊接、螺栓连接或搭接连接等。
•考虑过载情况：在设计过程中考虑到可能的过载情况，并采取相应的措施以确保压杆在不稳定情况下的安全性。
3. 应用方法合理的应用方法也能提高压杆的稳定性。
以下是一些应用方法方面的措施：•适当的预压：在使用压杆之前，进行适当的预压可以减小压杆受力后的变形，提高后续使用时的稳定性。
•控制温度变化：温度变化会导致压杆结构的膨胀或收缩，进而影响其稳定性。
控制温度变化可以采取隔热、冷却、通风等措施。
•合理的负荷分配：在实际应用中，合理分配负荷是确保压杆稳定性的关键。
通过考虑实际应力和挠度等因素，合理分布和调整负荷，可以提高稳定性。
4. 定期维护进行定期维护可以确保压杆稳定性的长期有效性。
第9章 压杆的稳定
由上可知：木柱的临界压力为Fcr=123kN。
2、压杆的临界应力
(1) 、临界应力与柔度
22 Fcr 2 EI 2E I 2E 2 EE cr i 22 2 2 2 A ul A ul A ul
其中: i
I — 截面的惯性半径；为截面的几何性质； A
由结点B的平衡： Fy 0, FBA sin P max 0;
Pmax 4 FBA max sin Fcr sin 59.6 47.7kN ; 5
三、压杆的稳定计算 一、 稳定条件 压杆要具有足够的稳定性，必须满足压杆的稳定条 件，即
Fcr nw [nw ] 或 nw cr nw — 安全系数法 F
a
B
A
ul 1 1 142.9 p 123; 大柔度杆； 3 i 7 10
2 E 2 200 109 cr 2 Pa 96.7 MPa 2 142.9
Fcr cr A 96.7 615.75 59.6kN FBA ;
（即绕y轴失稳）
120 2003 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
木柱两端铰支，u，则得：
Fcr
2 EI y
ul
2
3.142 10 109 80 106 1012
1 8
2
N 123kN
（2）计算最小刚度平面内的临界压力 （即绕 z 轴失稳）
临界力—压杆在临界平衡状态（刚好达到使压杆处 于不稳定平衡状态）时所受的轴向压力。
二、临界力及临界应力
1、临界力的欧拉公式： F cr
EI
压杆稳定
11500 173 p 100 30 i 2 3
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
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AD梁的强度问题
A
P
B
D
BC杆的强度问题P
A
D
B
C
AD梁的刚度问题
A
B
P
D
C
BC杆的稳定性问题
P
A
B
D
C
C
例：杆的面积均为 ab530 ，高分别为h13(m 0)m h ,210(m 0)0 m
A
y
NB2
z
P
D
B
C
木杆的抗压强度为 c 40MP。a
将杆压坏的压力分别为：
h13m 0,m N 1cA6kN
F
倾覆力矩：MdP(y)
y
Me
弹性恢复力矩： M e
N
MeP(y)－处于稳定平衡；
y
MeP(y)－处于不稳定平衡；
MeP(y)－处于临界状态。
平衡稳定性：是指对于原来的平衡状态而言的。
研究弹性体的平衡稳定性是在对变形后的结构形状考虑其平衡性。
——不稳定平衡
—— 稳定平衡和不稳定平衡
三、其它工程结构的失稳现象
（保证具有足够的强度）
F
细长压杆——需考虑稳定性。
一、刚体平衡的稳定性：
F
小球放在一凹槽内，处于平衡状态。
在外界因素干扰下小球偏离原平衡点，
若小球还稳定平衡
A点是小球的稳定平衡点
不稳定平衡
B
在凸面上的小球处在一平衡位置. B点是不稳定平衡位置。
刚性杆处于压力作用下的的稳定平衡与不稳定平衡平衡。
l1
P
y
l2
Pcr
2EImin l22
30 .84(N)
z
21 019 01 231.52 1 012
P
Pcr
所以，P16kN, P2 30N, P1/P220.0
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800mm ，直径 d20mm,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Pcr .
压杆稳定计算和提 升措施
压杆稳定计算和提升措施
1
§9—1 概述 §9—2 两端铰支细长压杆的临界力 §9—3 其它支承下细长压杆的临界力 §9—4 临界应力、欧拉公式的适用范围 §9－5 压杆的稳定计算及提高压杆稳定的措施 压杆稳定小结
§9—1 稳定问题的概述
材料力学是研究材料机械性能和构件的强度、刚度与稳定性问题
压力容器
容器在外压力 作用下不再保 持原平衡状态。
外压不仅有强度问 题，还有稳定问题。
内压仅是强度问题
压杆的临界压力: Pcr（ 稳定平衡的极限荷载）
压杆的临界压力: Pcr（ 稳定平衡的极限荷载）
压力： P
临界状态
稳
对应的
定
不P 稳
Pcr
平过
度定
衡
平
压 力 Pcr
衡
四、判断压杆稳定的标志——Pcr
h210m 0,0 m N 23N 0
30mm
5mm
N B1
NC1 NC2
30mm
N1 6000200. N2 30
受压的BC杆的破坏形式为：突然产生显著的 弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强 度不够。而是由于压杆不能保持原有直线平 衡状态所致。这种现象称为失稳。
FP
短粗压杆——
max
FN A
Fcr
2EImin (l)2
1、两端铰支：
Fcr
2EImin l2
A
1.0
l
B Fcr
2、两端无转角：Fcr
2EImin
(0.5l)2
A
3、一端铰支， 一端无转角
Fcr
2EImin
(0.7l)2
A
0.5
l
0.7
l
B Fcr B Fcr
4、一端固定， 一端自由
Fcr
2EImin
(2l)2
例：一根 30×5 mm2矩形截面木杆，对其施加轴向压力，若材
料的抗压强度 c 40MPa，当长度分别 l13m 0,lm 210m 0m 0
时，求临界压力: Pcr .木材 (E10GP)a.
Pcr
解：1、短杆是强度问题
P
P
PAc 30 540 6 kN
2、细长杆是稳定问题
Iy
hb 3 12
30 53 31.52 12
解：1、细长压杆的临界载荷
A
Pcr
2EI
l2
2E
l2
d4
64
3200.8 0 2160 940.02 4
24.2(kN)
2、从强度分析 s 235MPa
P
As
0.022235106
4
73.8(kN)
所以， P 3.1
Pcr
B Pcr
ly z
§9—3 其它支承下细长压杆的临界力
杆的两端约束
临界力的欧拉公式
xl
②、挠曲线近似微分方程：
w
A
C M N Fcr w
x
x
Ew IM (x) Ew IF cw r .
wFcrw0 EI
令 : k 2 Fcr EI
wk2w0
③、微分方程的解： w A si kn x B ck ox s
③、微分方程的解： w A si kn x B ck ox s
④、确定积分常数： w (0)w (L)0
B 0,sk i n L 0 . ( w A sk i) n x
Kln （n=0、1、2、3……）
k n Fcr
L EI
n2 2EI
Fcr L2
临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n = 1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Fcr
2EImin
L2
y
Iz
bh 3 12
z Iy
hb 3 12
偏转力矩：Md P
恢复力矩：Mr kl 1、若 Mr Md ,
klP
AB处于稳定平衡。 2、若 Mr Md,
klP
AB处于不稳定平衡。 3、若 Mr Md ,
klP, AB处于临界状态。
二、弹性体的稳定性：
弹性杆在干扰力作用下偏离原平衡位置，分析其稳定性。
P
xP
P y
取上面一段为研究对象
干扰力
P, N, Me
的学科，其任务是解决工程设计中的安全与经济之间的矛盾问题。
1、强度问题： A BC杆，AD梁 max[]
B
C
P
D
3、稳定问题：
A
B
P
D
强度：抵抗破坏的能力。 C
2、刚度问题：
BC杆：l [ l ] A
B
ll
AD梁：wmax[w]
刚度：构件抵抗变形的能力。
C
P 稳定性：构件保持原平
D
衡状态的能力。
粗短压杆是强度问题； 细长压杆是稳定问题。
A
2.0
l
B Fcr
一端固定，一端自由：
Fcr
2EImin (l)2
2.0
l －－相当长度。
一端固定，一端铰接：
Fcr
2EImin (l)2
0.7
例：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
稳定的平衡状态—— P Pcr
临界的平衡状态—— P Pcr 不稳定的平衡状态（失稳）—— PPcr .
P
Pcr
§9—2 两端铰支细长压杆的临界力
假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，
如图，从挠曲线入手，求临界力。
w
C
A
w
x
B
①、AC段： Fcr, M
Fcr 弯矩： mA 0, M(x)Fcrw