阶段性测试题8

阶段性测试题八（不等式）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符号题目要求的。

）1 •不等式|x + 2|+ |x — 1|<4的解集为 （）B • [ — 2,1] D.-2 22x + 1, x>1,y = |x + 2|+ |x — 1|= 3, — 2 < x w 1,3 3当 x>1 时，令 2x + 1<4 得，x<2，则 1<x<2・ 当一2< x < 1 时，y = 3<4 恒成立，则一2 w x < 1. 当 x< — 2 时，令一2x — 1<4 得，x> — 5, • - — |<x< — 2•综上可知,［点评］可用绝对值的几何意义、数形结合简解.4 — [1 — ( — 2)] 12 = 2， c 1 1 刚 53 ••• — 2—2<x<1 + ，即—2<x<21 1 ____________2.(文)若 a>b >2,给定下列不等式①"<7:②a + b >2 . ab :③ab>a + b;④Iog a 3>log b3. a b 其中正确的个数为 ( )A . 0B . 1C . 2D . 3 [答案]D[解析]•/ a>b >2, •••①、②显然正确，又 ab — (a + b) = (a — 1)(b — 1) — 1>(2 — 1)(2 —1) — 1= 0, •③也正确，根据对数函数的性质知， ④不正确.(理)设0<b<a<1，则下列不等式成立的是 ( ).—2x — 1, x< — 2,［解析］ A • (— 2,1) 3 ［答案］D1 1B . loggbVog^avO 2D . a <ab<1［答案］C2［解析］A 中，T b<a , ••• b <ab ,不正确.1 B 中，函数y = log2x 为减函数，C 中，函数y = 2x 为增函数，由b<a<1, •- 2b <2a <21, C 正确.2D 中，由b<a , • a >ab ,不正确.3.已知函数f(x)的定义域为 R , f (x)为f(x)的导函数, 示，f( — 2) = 1, f(3) = 1，则不等式f(x)>1的解集为A . (— 2,3)B . (— a, — 2)C . (3 ,+^ )D . ( — a, — 2) U (3 ,+a ) ［答案］A［解析］由y = f ' (x)图象可知f(x)在(— a, 0)递增，在(0,+a )递减.［答案］D［解析］作可行域如图:A . ab<b 2<1 C . 2b<2a<2 log 1b>log 1a ,B 不正确.函数y = f ' (x)的图象如图所( )z = x + y 的最大值( )则目标函数在A 处取极大值z = 2 — 0= 2, 在C 处取极小值z = 0 — 1=— 1, ••• z 的取值范围为［—1,2］. 5.设a € R ，若函数y = e ax + 3x 在x € R 上有大于零的极值点，则()A . a> — 3B . a< — 31D. a <—3［答案］B［解析］f ' (x) = 3 + ae ax ,若函数在x € R 上有大于零的极值点，则f (x)= 3+ ae ax=0有正根.当f ' (x) = 3+ ae ax = 0成立时，显然有 a<0，此时x = *ln — |，又由x>0 可得参数a 的取值范围为a< — 3.2 2 2 2 y =— x + z ,过点A 时z 取最大值. x — 4y + 3= 0 由$ 得，点A 坐标为（5,2）.故 z max = 5+ 2 = 7.x — 2< 0,（理）已知点 P （x , y ）在不等式组丿y — K 0,/+ 2y — 2> 0,—y 的取值范围是A . [ — 2, — 1]B . [ — 2,1]C . [ — 1,2]D . [1,2][答案]C表示的平面区域上运动，则z = x( )［解析］可行域为如图阴影部分，其中A(2,0), C(0,1),C . a> — 36. 设A= asin x+ bcos x, B= acos x+ bsin x（a、b、c €m= AB, n= ab, p=A 1 2 3+ B 2, z = a 2 + b 2满足A . m >n , p > zB . m < n , p < zC . mn 》pzD . m + z >p + n［答案］D厶.222244［解析］AB = (a + b )sin xcos x + ab(sin x + cos x)2 2 2=ab + (a — b) sin xcos x > ab , /• m > n , 2 2 2 2 p = A 2 + B 2= (A + B)2— 2AB = (a + b)2 — 2AB ,2 2 2 z = a + b = (a + b) — 2ab , p < z , /• m + z > p + n. 7.已知Ovag ,且M =占+ 士, N=® +化，则M , N 的大小关系是()b 1 + a 1 + b 1 + a 1+ bA . M>NB . M<NC . M = ND .不能确定 ［答案］A1 1 — a 1 — b［解析］•/ 0<a< i , ••• 1 + a>0,1 + b>0,1 — ab>0 , /• M — N = ------------ + ---- =b 1+ a 1 + b 2 — 2ab9. (文)设a>0, b>0.若2是4a 与2b 的等比中项，贝V ;+1的最小值为()a b A . 2 .2 B . 4 C . 8 D . 9 ［答案］D2a b2 1 2(2a + b) 2a + b 2b 2a>0,故选A. (1 + a)(1 + b) 2 7 5［点评］可取特值验证，如取 a = 1, b =；，贝V M =-, N = , M>N.3 5 68. (08江西)若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1 + a 2= B + b 2= 1,则下列代数式中值最大的是()A . a 1b 1 + a 2b 2B . a 1a 2+ Sb 2C . a 1 b 2 + a 2b 1 ［答案］A1 2 5 1 4 1［解析］ 特殊值法，取 a 1 = b 1 = 3, a 2 = b 2 = 3,则 a 1 b 1+ a 2b 2 = 9>2, a 1 a 2+b 1 b 2 = 9<2>1 D ・1a 1b 2 + a 2b 1 4 1=孑1，故选A .［解析］由题意知，2 2 = 2? 2a+ b = 1,则；+ 7= -一 + — = 5+ : + 二a b a b a b > 9,当且仅当空=警，即b = a= 1时取“=”.故选D.a b 3(理)设M 是厶ABC 内一点，且AB AC = 2寸3，/ BAC = 30° 定义f(M) = (m, n, p)=m + n + p ,其中 m 、n 、p 分别是△ MBC 、△ MCA 、△ MAB 的面积，当 f(M)= g.又f(x)在(0 , +8)上为增函数，则奇函数f(x)在(—8, 0)上也为增函数，所以0<x<1 或—1<x<0.故选D.y > 011.(文)在直角坐标系中，若不等式组 x表示一个三角形区域，则y w k(x — 1) — 1实数k 的取值范围是()1 4时，- + -的最小值是x yA . 8［答案］［解析］ B . 9 D•/AB AC =2 ,3, / BAC = 30° D . 18•- |AB| |A C |= 4,1 -> ->•- S SBC = 2|AB| |AC| sin30 由 f(M)的定义知，m + n + p = 1,且 m>0, n>0 , p>0 , 1 12 + x + y = 1, • x + y = 2，且 x>0, y>0. • x +4=2(x +y )(x +4 r 2< 1 4•-x + 4的最小值为18.=1 ,1 118,当且仅当x = 6, y =孑时取等号.f(x) — f( — x)10.设奇函数f(x)在(0, +^ )上为增函数，且f(1) = 0，则不等式 <0 集为A .B .C .D . ［答案］D(-1,0) U (1 ,+^ ) (―汽―1) U (0,1)(—^，― 1) U (1 ,+^ ) (—1,0) U (0,1) ［解析］由函数f(x)为奇函数可知 的解f(x) f(X)—迪<0 ,而 f(1) = 0,则 f(— 1) = — f(1) x=0.•••不等式化为’x>0x>0 f(x)<f(1)f(x)<0 x<0或』x<0 或' f(x)>0f(x)>f( -1)2 5+ 2 +A .(―汙一1)B . (—1,2)C .(—〜一1) U (2 ,+s )D . (2, +8 )［答案］Ay> 0［解析］先作出f 的平面区域如图:l y< x［答案］D别为S= 2X8X 8 = 32, S' = 2X 6 X 2= 6,所以点P落入区域N的概率为p= 32 =走,2 2 32 16故选D.第n卷（非选择题共90分）••• y= k（x—1）—1是过定点（1, —1）的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有k<—1，故k< —1时，原不等式组能构成三角形区域.|x> 0（理）（09安徽）若不等式组j；x+ 3y>4L3X+ y w 4 相等的两部分，则k的值是（）所表示的平面区域被直线4y= kx+ 4分为面积7A・33 4 3B.7 C・3 D・4［答案］A［解析］由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如右4图所示，这里直线y= kx+ 4只需经过线段AB的中点D即可，此时3D点的坐标为1，2，代入可得k= 3.12.已知M = ｛（x, y）|x+ y w 8, x>0, y>0｝, N =｛（x, 若向区域M内随机投一点P,则点P落入区域N的概率为y)|x—3y> 0, x w 6, y> 0},( ) ［解析］在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，计算得区域M和N的面积分13、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线=1的解集是 ________ .［答案］11［解析］由题知 1 -2 <2, • •一 2<x - 2<2， • X 〉14'、S 3 S 514.已知等比数列｛a n ｝中，a 1>0 , q>0，前n 项和为S n ,比较3与5的大小结果为a 3 a s当q>0且q z 1时35S 3 S s _ a 1(1 — q) a 1(1 — q ) a3 as a 1q 2(1 — q) a 〔q 4(1 — q)综上可知有S3<S5. a 3 a 315.若关于x 的不等式4x — 2x +1— a ；0在［1,2］上恒成立，则实数［答案］(—R, 0)［解析］•/ 4x — 2x + 1— a ； 0在［1,2］上恒成立, ...4x — 2x +1; a 在［1,2］上恒成立. 令 y = 4x — 2x +1= (2x — 1)2— 1. •/ 1 < X W 2, ••• 2< 2x W 4. 由二次函数的性质可知：当2x = 2，即x = 1时，y 有最小值为0. • a 的取值范围为（一g, 0）. y ； — |x| — 1,16 .在坐标平面内，由不等式组所确定的平面区域的面积为l y <— 2|x| + 3,13.在两个实数间定义一种运算“#”，规定a#b = FT"； b1一 1, a ； b , 1 则方程丄-2 x#2［答案］S 3 S 5< a 3 a s当q = 1时, 笼3, a 3法5，所以驚;235q (1 — q )— (1 —q )q 4(1 — q) 厂<0,所以有 S 3 S 5 —< —a 3 a 5a 的取值范围为［答案］16［解析］由不等式组所确定的可行域如图所示，其中A(—4,—5), C(4, —5), B(0,1—1), D(0,3), S AABD = 2X4X 4 = 8.•••阴影部分面积为16.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)x+ 217. (本小题满分12分)(文)已知关于x的不等式x2 —(1 + a)x+ a>0.(1) 当a= 2时，求此不等式的解集；⑵当a> —2时，求此不等式的解集.x + 2［解析］(1)当a= 2时，不等式化为>0,(x—1)(x—2)所以不等式的解集为{x| —2<x<1或x>2}.x+ 2⑵当a> —2时，不等式可化为>0,(x—1)(x—a)当一2<a<1 时，解集为{x| —2<x<a 或x>1};当a = 1时，解集为{x|x> —2且X M 1};当a>1时，解集为{x| —2<x<1或x>a}.x 1(理)设两个非零向量b= x—2，x—2，c=(x—a—1,4—a),解关于x的不等式b c> —2(其中a> —1).x(x—a —1) 4 —a［解析］b c= +x—2 x—2x2—(1 + a)x+ 4— ax—22x + (1 —a)x—a由 b c> — 2 得>0,x—2(x+ 1)(x—a)>0.x —2由于a> —1,于是有：(1) 当—1<a<2 时，—1<x<a 或x>2;x丰2⑵当a= 2时，原不等式？* ? x>—1且x丰2;x + 1>0⑶当a>2 时，一1<x<2 或x>a.综上所得：一1<a< 2时，解集为(一1, a) U (2, + );a>2 时，解集为(—1,2)U (a,+ g).18. (本小题满分12分)已知向量a= (x, m), b= (1 —x, x),其中m€ R.若f(x)= a b. (1)当m= 3时解不等式f(x)<x;⑵如果f(x)在(—2,+g )上单调递减，求实数m的取值范围.［解析］由于a= (x, m), b= (1 —x, x),所以f(x)= a b=—x2+ (m+ 1)x.(1) 当m= 3 时，f(x) = —x2+ 4x,不等式f(x)<x,即—x2+ 4x<x,解得x>3 或x<0,所以m= 3时，不等式f(x)<x的解集为(一g, 0)U (3,+ g).2m+1(2) 如果f(x)=—x2+ (m+ 1)x在(—2,+g)上单调递减，则有< —2,解得m W —5,所以实数m的取值范围是m W—5.19. (本小题满分12分)(文)已知函数f(x)= ax3+ 3/—x+ 1在R上是减函数，求 a 的取值范围.2［解析］f' (x)= 3ax + 6x—1,•••函数f(x)在R上是减函数，••• f ' (x)< 0 即3ax2+ 6x—1 W 0(x€ R).(1)当a= 0时，f' (x)W0,对x€ R不恒成立，故0.⑵当0时，要使3ax2+ 6x—1W 0对x€ R恒成立，3a<0 a<0应满足* ，即*AW 0 ,36 + 12a W 0综上所述，a的取值范围是(一g ,—3].(理)已知函数f(x)= x2+ ax+ b(a、b € R), g(x) = 2x2—4x—16, (1)求不等式g(x)<0的解集；⑵若|f(x)|w |g(x)|对x€ R恒成立，求a、b；(3) 在⑵的条件下，若对一切x>2，均有f(x)》(m+ 2)x—m —15成立，求实数m的取值范围.2［解析］(1)g(x) = 2x —4x—16<0,二(x+ 2)(x—4)<0 , —2<x<4.•••不等式g(x)<0的解集为{x|—2<x<4}.(2) ■/ |x2+ ax+ b|w |2x2—4x—16|对x€ R 恒成立,•••当x= 4, x=—2时成立，|16+ 4a+ b|w 0 16+ 4a+ b= 0-- ,—|4—2a + b|w 0 4 —2a + b= 0a — 2•- .b=—82(3) 由⑵知，f(x) = x —2x—8.2• x —2x—8> (m+ 2)x —m —15 (x>2),即x2—4x+ 7> m(x—1).... .. x —4x + 7•对一切x>2，均有不等式> m成立.x—1x—4x+ 7 4而=(x—1) + —2x—1 x—1>2% /(x—1) — 2 = 2(当x= 3 时等号成立)V (x—1)•实数m的取值范围是(一a, 2］.［点评］(2)问中抓住|f(x)|< |g(x)|恒成立，特别地g(x)= 0时|f(x)|w 0恒成立，|f(x)|》0, 从而f(x) = 0是解题的关键.20. (本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为［ 2 )，部分对应值如下表，b _+ 3f(x)的导函数f'(X)的图象如图所示.若两正数a、b满足f(2a + b)<1,求二；的取值a十3范围是多少?［解析］由y = f ' (x)图象知，f(x)在［—2,0］为减函数，在［0,4］上为增函数. •- f( — 2)= 1, f(0)=— 1, f(4)= 1, f(2a + b)<1,b + 3 3 7 二的取值范围为3, 3 .21.(本小题满分12分)已知函数f(x)= x +Qt>0)和点P(1,0)，过点P 作曲线y = f(x) x的两条切线 PM 、PN ，切点分别为 MX , y”、N (X 2, y0.(1) 求证：X 1 , X 2为关于x 的方程x 2 + 2tx —1= 0的两根； (2) 设|MN|= g(t),求函数g(t)的表达式；⑶在⑵的条件下，若在区间［2,16］内总存在 m + 1个实数a 1, a ?,…，a m+1(可以相 同)，使得不等式g (a 1) + g@) +…+ g(a m )<g(a m +1)成立，求m 的最大值.［解析］(1)由题意可知：y 1 = X 1 + *, y 2= X 2 + "t ,(x)= 1 —x 2,又•••切线PM 过点P(1,0),即 x 2 + 2tx 1 — t = 0,①同理，由切线 PN 也过点P(1,0)得, x 2 + 2tx 2 — t = 0.②由①②可得，X 1、X 2是方程x 2+ 2tx — t = 0(*)的两根.••• — 2<2a + b<4 ,且a>0, b>0,可行域如图阴影部分. b + 3 a + 3可看作(a , b)与(—3,— 3)两点连线的斜率,记 P(— 3, —3), k pA = 5, k pB = 3,X 1 + X 2 = — 2t⑵由(*)知，X 1 X 2 = — t•切线PM 的方程为:X 1).X 1),|MN 匸寸(x i — X 2)2+ [XI + £ -沁一2][(X i + X 2)2— 4X 1X 2] 1 + [J — =',20t 2+ 20t ,••• g(t) = ：20t 2+ 20t(t>0).⑶易知 g(t)在区间[2,16]上为增函数，• g(2)w g(a )w g(16)(i = 1,2,…，m + 1)，则 m g(2)w g ⑻)+ g@) + …+ g(a m )<g(a m+1)w g(16).即 m g(2)<g(16),即 m 20 22+ 20 2<- 20 162+ 20 16,所以mV 、/1!6,由于m 为正整数，所以 m w 6.又当m = 6时，存在a 1 = a 2=・・・=a 6= 2, a 7= 16满足条件，所以 m 的最大值为6. 22. (本小题满分14分)(文)为2019年奥运会的召开，某工艺品加工厂生产了具有 收藏价值的奥运会标志 一一“中国印 舞动的北京”和奥运会吉祥物 一一“福娃” •该 厂所用的主要原料为 A 、B 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料B 的量分别为5盒和 10盒.若奥运会标志每套可获利 700元，奥运会吉祥物每套可获利 1200元，该厂月初 一次性购进原料 A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉 祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？［解析］设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别 x , y 套，月利润为z 元，由题意得■p 4x + 5y w 200 3x + 10y w 300 x > 0 y > 0目标函数为 z = 700x + 1200y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图:t :X 1X 2=、/(X 1 — X 2)2 1 +目标函数可变形为y=—务+ 1200，..4 7 3•—<—— < ——5 12 10'7 z•••当y=石x+ 金通过图中的点A时，z最大.4x+ 5y= 200解，得点A坐标为(20,24),3x+ 10y= 300将点A(20,24)代入z= 700x+ 1200y 得Z max = 700 X 20+ 1200 X 24 = 42800 元.答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20,24套时月利润最大，最大利润为42800元.(理)要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A、B两种规格，每张钢板可同时截得A、B已知库房中现有甲、A、B两种规格的成品数分别为15块和27块.(1) 问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的两种钢板的总张数最少？(2) 有5个同学对线性规划知识了解不多，但是画出了可行域，他们每个人都在可行域的整点中随意取出一解，求恰好有2个人取到最优解的概率.［解析］设需截甲、乙两种钢板的张数分别为x、y则2x+ y w 15,x+ 3y> 27,{ 作出可行域如图0w x w 5,0w y w 10,(1)因为目标函数为z= x+ y(x、y为整数)，所以在一组平行直线x + y= t(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+ y= 12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解.(2)因为可行域内的整点个数为8个，而最优解有两个，所以每个人取得最优解的概率为4•所以5个人中有2个人取到最优解的概率为C53 4 2 3= 5；3|.答：两种钢板的张数分别为3、9或4、8.5个人中恰好有。