高中同步创新课堂数学优化方案人教A必修4课件：第二章2.3.3
(2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)， 3a＝3(－1，2)＝(－3，6)， 2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5) ＝(－2，4)＋(9，－15) ＝(7，－11)．
平面向量坐标(线性)运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘 的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标， 然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
第二章 平面向量
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
第二章 平面向量
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标 表示． 2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法 则．
1．平面向量的正交分解的定义 把一个向量分解为两个_互__相_垂__直_____的向量．
1.如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量 i， j 作为基底，分别用 i，j 表示O→A，O→B，A→B，并求出它们的坐 标．
解：由图形可知，O→A＝6i＋2j，O→B＝2i＋4j，A→B＝－4i＋2j， 它们的坐标表示为O→A＝(6，2)，O→B＝(2，4)，A→B＝(－4，2)．
探究点二 平面向量的坐标运算
(2)由 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， 所以C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)．
设点 M 的坐标为(x，y)， 则C→M＝(x－3，y－4)． 由向量相等坐标相同可得xy－－43＝＝－－1194，，解得xy＝＝－－1151， . 所以点 M 的坐标为(－11，－15)．
2．平面向量的坐标表示 (1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与_____x______ 轴、______y_____轴方向相同的两个_单__位_向__量_____i，j 作为基底．
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理 知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝___x_i_＋_y_j____，则有序 数对___(x_，_y_)_____叫做向量 a 的坐标． (3)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．
A．(－2，1)
B．(2，－1)
C．(2，0)
D．(4，3)
答案：B 3．已知点 A(1，－2)，点 B(4，0)，则向量A→B＝________.
答案：(3，2) 4．已知 a＝(2，1)，b＝(－1，4)，则 2a－3b＝________.
答案：(7，－10)
探究点一 平面向量的坐标表示 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝4 3， ∠xOA＝60°， (1)求向量O→A的坐标； (2)若 B( 3，－1)，求B→A的坐标．
[解] (1)设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)， 所以O→A＝(2 3，6)． (2)B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7)．
求点和向量坐标的常用方法 (1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标 A(x1， y1)和终点坐标 B(x2，y2)，则O→A＝(x1，y1)，O→B＝(x2，y2)，A→B＝ O→B－O→A＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)． (2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置 向量的坐标． [注意] 点的坐标不能直接参与向量的坐标表示及运算．
3．平面向量的坐标运算
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 ①a＋b＝__(x_1_＋_x_2，__y_1＋__y_2)_____； ②a－b＝__(_x1_－__x2_，_y_1_－_y_2_) ____； ③λa＝__(λ_x_1_，__λ_y_1)__．
(2)重要结论：已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则 A→B＝___(x_2－__x_1，__y_2－__y_1)_____．
2.(1)(2015·高考江苏卷)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1， －2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________． (2)已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标． 解：(1)因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 所以2mm－＋2nn＝ ＝－ 9，8， 所以mn＝＝52，， 所以 m－n＝2－5＝－3.故填－3.
(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C
＝(－4，7，4)
C．(－1，4)
D．(1，4)
(2)已知向量 a，b 的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求 a＋b，
a－b，3a，2a＋3b 的坐标．
[解] (1)选 A．法一：设 C(x，y)，则A→C＝(x，y－1)＝(－4， －3)，所以xy＝＝－－24，，从而B→C＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－ 4)．故选 A． 法二：A→B＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选 A．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的坐标是(0，0)．( ) (2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．已知向量 a＝(1，2)，b＝(3，1)，则 b－a 等于( )
探究点三 向量坐标运算的综合应用 已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及O→P＝O→A＋tA→B. (1)t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象 限？ (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能，求出 t 的值；若不 能，请说明理由． [解] (1)O→P＝O→A＋tA→B＝(1，2)＋t(3，3) ＝(1＋3t，2＋3t)．
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题：模块综合检测 Word版含答案
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C .a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，(a －b )·b ＝0， 所以a －b 与b 垂直．故选C .2．已知sin(π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．89C ．－79D ．429解析：选A .由于sin(π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－132 ＝79.3．下列函数中同时满足最值是12，最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A .由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A .4．已知平面对量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ．由于a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )， 所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4.所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A .22B ．32C . 2D ．2解析：选C .由于A ＋B ＋C ＝180°， 所以原式＝3sin A －cos(180°－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝2.6．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：选C .设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝0⇒a·b ＝－1⇒cos θ＝a·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ＝120°.故选C .7．已知α，β为锐角，且tan α＝17，sin β＝35，则α＋β等于( )A ．3π4B ．2π3C ．π4D ．π3解析：选C .由于β为锐角，sin β＝35，所以cos β＝1－sin 2β＝45，所以tan β＝sin βcos β＝34， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝17＋341－17×34＝1.由于α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A .π12B ．π6C .π3D .5π6解析：选B ．y ＝f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m (m ＞0)个单位长度后得f (x ＋m )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3，由于图象关于y 轴对称，令x ＝0，得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝2， 从而m ＋π3＝2k π±π2，故m ＝2k π＋π6或m ＝2k π－5π6，k ∈Z .又m ＞0，所以m min ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C .由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而f (x )＝2sinπ4x . 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.10．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( ) A ．φ B ．π2－φC .π2＋φ D .3π2－φ 解析：选D .|a |＝（2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2，|b |＝1，a·b ＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ.故选D .11．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A .152B ．152C ．7D ．18解析：选A .由于AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(5p ＋2q ＋p －3q )＝12(6p －q )，所以|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×()222－12×22×3×cos π4＋32＝152.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A .由于函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0，0＜θ＜π)为偶函数，所以θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，排解C ，D ；y ＝2cos ωx ∈[－2，2]，结合题意可知T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，排解B ，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12514．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 解析：由于∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )， 所以(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. 所以t ＝5. 答案：515．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由于π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤2， 所以1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案：116(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出全部正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →. 解析：由于 AB →2＝4|a |2＝4，所以|a |＝1，故①正确；由于 BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，所以|BC →|＝|b |＝2，故②错误； 由于 b ＝AC →－AB →，所以a ·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；由于 BC →＝b ，故④正确；由于 (AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， 所以(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确． 答案：①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A (1，－2)，B (－3，－4)，O 为坐标原点． (1)求OA →·OB →；(2)若点P 在直线AB 上，且OP →⊥AB →，求OP →的坐标． 解：(1)OA →·OB →＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5. (2)设P (m ，n )，由于P 在AB 上，所以BA →与P A →共线．BA →＝(4，2)，P A →＝(1－m ，－2－n )，所以4·(－2－n )－2(1－m )＝0. 即2n －m ＋5＝0.①又由于OP →⊥AB →，所以(m ，n )·(－4，－2)＝0. 所以2m ＋n ＝0.②由①②解得m ＝1，n ＝－2，所以OP →＝(1，－2)．18．(本小题满分12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解：(1)cos β＝55，β∈(0，π)， 得sin β＝255，即tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)由于tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310. 所以f (x )＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x ＝－5sin x .所以f (x )的最大值为5.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由于f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 20．(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上全部点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)依据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)，知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由于y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 21．(本小题满分12分)将射线y ＝17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A (cos θ，sin θ)．(1)求点A 的坐标；(2)若向量m ＝(sin 2x ，2cos θ)，n ＝(3sin θ，2cos 2x )，求函数f (x )＝m·n ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域． 解：(1)设射线y ＝17x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α，则tan α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以tan α＜tan π4，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17＋11－17×1＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θcos θ＝43，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45. (2)f (x )＝3sin θ·sin 2x ＋2cos θ·2cos 2x ＝125sin 2x ＋125cos 2x ＝1225sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－125，1225.22．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2，1)，n ＝()0，－5，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0＜β＜π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)由于OA →＝(cos α，sin α)， 所以OA →－n ＝()cos α，sin α＋5. 由于m ⊥(OA →－n )，所以m ·(OA →－n )＝0， 所以2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)由于cos(β－π)＝210， 所以cos β＝－210， 又0＜β＜π， 所以sin β＝1－cos 2β＝7210，且π2＜β＜π. 又由于sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210 ＝25250＝22.。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.1.3
探究点一 向量的概念 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中所有正确命题的序号为________．
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．下列物理量中，不能称为向量的是( )
A．距离
B．加速度
C．力
D．位移
解析：选 A．根据向量的特点，既有大小又有方向，可知 A 项
正确．
第九页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3.如图，在⊙O 中，向量O→B、O→C、A→O是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C
若 a，b 是相等向量，记作 a＝b．
第七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小．( ) (2)向量的模是一个正实数．( ) (3)向量就是有向线段．( ) (4)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
第十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
[解析] A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故
①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相
同，故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向 相同；b＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相 等且方向相同，故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故④不正确． [答案] ②③
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.2.3
＋6e2，若 a，b 共线，则 λ 等于( )
A．－9
B．－4
C．4
D．9
解析：选 B．由 a，b 共线知 a＝mb，m∈R，
于是 2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)， 即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2. 由于 e1，e2 不共线， 所以62m－＋m3λ＝＝00，，
所以 λ＝－4.故选 B．
第三十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
(2)原式＝13a－b－a＋23b＋2b－a ＝13－1－1a＋－1＋23＋2b ＝－53a＋53b＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j) ＝－5＋130i＋－130－53j ＝－53i－5j.
第十一页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例 如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类 项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意 观察，恰当运用运算律，简化运算．
＝b＋16a－16b＝16a＋56b．
第二十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
因为C→N＝13C→D＝16O→D， 所以O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D ＝23O→D＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)． 所以M→N＝O→N－O→M
＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b．
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1.若 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中 a，b， c 为已知向量，求未知向量 x. 解：因为 2x－23a－12b－12c＋32x＋b＝0， 所以72x－23a＋12b－12c＝0， 所以72x＝23a－12b＋12c， 所以 x＝241a－17b＋17c.
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第三章3.2
1．半角公式
第三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．辅助角公式 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2cos(x－θ)成立时， cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，sin θ＝ a2a＋b2，cos θ＝
a2b＋b2，其中 φ、θ 称为辅助角，它们的终边所在象限由点(a， b)或(b，a)决定．
第五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 cos α2的值为( )
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
答案：A
D．±
3 3
第六页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A．－
10 10
B．
2．求解三角函数最值问题的常用方法 (1)形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数，可通过引入辅助角 φcos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2，化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ) ＋c 求解． (2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x，化 为二次函数 y＝at2＋bt＋c 在 t∈[－1，1]上的最值求解．
第十四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
所以原式＝－sin α－sin
2sin2
α 2
α＝
－2sin
2sin
α α 2
αα
2 ＝－
2sin
2cos α
2 .
sin
2
因为 0＜α＜π，所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修4课件：第二章§2.2.1
第二章平面向量§2从位移的合成到向量的加法2・1向量的加法教材助逮.1.问题导航预习案▼自主学习研读・思考•尝试(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗?(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2.例题导读教材P77例1,例2, P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题. 窗=曬教材P81习题2-2 B组Tl, T2, T3你会吗?新知提炼: 1.向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法结论向量衣叫作〃与〃的和，记作a+b9法则角形法则图形即“+〃=曲+就= 人'C定义求两个向量和的运算，叫作向量的加法前提行四边形法则作法结论图形已知不共线的两个向量b,在平面内任取一点O以同一点O为起点的两个已知向量方为邻对角线况就是。
与方的和规定零向量与任一向量a的和都有a+O=O+a=a・2•向量加法的运算律自我尝试1.判断正误.(正确的打y“X”交换律a+b=结合律(a+b)+c= a + (b+c)⑴任意两个向量的和仍然是一个向量.⑵血+勿Wkd + I勿等号成立的条件是a//b.(X )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(X )解析：⑴正确.根据向量和的定义知该说法正确.(2)错误.条件应为a〃方，且“，b的方向相同.(3)错误.当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线.2.在AABC中，必有初+动+就等于(B )A. 0B. 0 3・化简下列各向量:C.任一向量D.与三角形形状有关(1)恥+就= 衣•⑵用+皿+葩=兩.解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1)曲+就=壮(2)啓+曲+2&=啓+葩+皿=肋+曲=戚4.在正方形ABCD中，励1 = 1,则曲+劝1=/2(4)图示：如图所示2.对向量加法的平行四边形法则的四点说明(1)适用范围：任意两个非零向量，且不共线・(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点；②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量•(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量°与方的起点平移到同一点；第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为“与〃的和.(4)图示：如图所示探究案▼讲练互动* __ ________ ______探究点一已知向量作和向量例1如图，已知向量a, b, c不共线，求作向量”+〃+c・［解］法一：如图⑴，在平面内作O\=a, A^=b9 再作梵=c,则dt=a+b+c.解惑•探究•突破（链接教材P81习题2—2 A组T3）则O^=a+b；(1) (2)法二：如图(2),在平面内作芮=a, O^=b f以OA与OB为邻边作平行四边形OADB,则Ob=a-^-b；再作Ot=c f以OD 与OC为邻边作平行四边形ODEC,则处=。
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.3.3
若保持本例条件不变，问 t 为何值时，B 为线段 AP 的中点？ 解：由O→P＝O→A＋tA→B，得A→P＝tA→B. 所以当 t＝2 时，A→P＝2A→B，B 为线段 AP 的中点．
第二十二页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横 坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件 的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的.
第五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的坐标是(0，0)．( ) (2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√
第六页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3.已知 a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)， 且有 c＝pa＋qb，试求实数 p，q 的值． 解：因为 a＝(－1，2)，b＝(1，－1)， 所以 pa＋qb＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q)． 因为 c＝pa＋qb， 所以－2p－p＋q＝q＝－3，2， 解得pq＝＝14，. 故 p，q 的值分别为 1，4.
第四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
3．平面向量的坐标运算 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 ①a＋b＝__(_x_1_＋__x_2，__y_1_＋_y_2_)__； ②a－b＝___(_x_1－__x_2_，_y__1－__y_2_) _； ③λa＝__(λ_x_1_，__λ_y_1)__． (2)重要结论：已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则 A→B＝____(x_2_－__x_1，__y_2_－_y_1_)__．
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.3.4
所以点 C0，54.同理点 D2，32. (3 分) 设点 M 的坐标为(x，y)，
由向量共线定理求 出 C、D 两点坐标， 是解答本题的关键
则A→M＝(x，y－5)，而A→D＝2，－72.
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
因为 A，M，D 三点共线，所以A→M与A→D共线．
2．向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面． (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、 共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意 区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨 迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等 的条件等都可作为列方程的依据．
第十页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
探究点二 三点共线问题 (1)已知O→A＝(3，4)，O→B＝(7，12)，O→C＝(9，16)，求 证点 A，B，C 共线． (2)设向量O→A＝(k，12)，O→B＝(4，5)，O→C＝(10，k)，求当 k 为何值时，A，B，C 三点共线． [解] (1)证明：由题意知A→B＝O→B－O→A＝(4，8)， A→C＝O→C－O→A＝(6，12)，所以A→C＝32A→B， 即A→B与A→C共线． 又因为A→B与A→C有公共点 A，所以点 A，B，C 共线．
第八页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
由向 三十五分。
1.已知向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝ a－b，若 c∥d，则实数 x＝________． 解析：因为向量 a＝(1，2)，b＝(x，1)， 所以 c＝a＋b＝(1＋x，3)， d＝a－b＝(1－x，1)． 因为 c∥d，所以 1＋x－3(1－x)＝0. 解得 x＝12. 答案：12
2017高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件：第二章2.4.1
(4)cos θ＝|aa|·|bb|. (5)|a·b|____≤_______|a||b|. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝____b_·_a_____(交换律)． (2)(λa)·b＝___λ_(a_·_b_)____＝___a_·_(λ_b_)____(结合律)． (3)(a＋b)·c＝___a_·c_＋__b_·c___(分配律)．
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
(2)①因为(a－b)·(a＋b)＝12，
即 a2－b2＝12，
所以|b|2＝|a|2－12＝1－12＝12，
故|b|＝
2 2.
②因为 cos θ＝|aa|·|bb|＝ 22，
又 0°≤θ≤180°，故 θ＝45°.
第二十四页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
第五页，编辑于星期六：二十点 三十五分。
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( ) (3)若 a，b 共线⇔a·b＝|a||b|.( ) (4)若 a·b＝b·c，则一定有 a＝c.( ) 答案：(1)× ：二十点 三十五分。
(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度__|_a_| __与 b 在 a 的方向 上的投影_____|b_|c_o_s_θ___的乘积． 3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ ___a_·_b_＝__0___． (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_____|_a_||b_|___， 当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_|_|b_|____． (3)a·a＝_____|_a_|2____或|a|＝ a·a＝ a2.
高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4课件第二章章末复习提升课ppt版本
所以 a·b＝－12a2.③ 将③代入①，得 a2＝b2， 所以|a|＝|b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝a|a·|b2＝aa·2b＝－12. 又因为 θ∈[0°，180°]， 所以 θ＝120°.
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量 积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当 的直角坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单.
所以 b 与 e1 的夹角等于 b 与 e2 的夹角等于 30°.
由 b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，
所以|b|＝
1 ＝2 3
3 3.
2
答案：2 3 3
5．如图，在平行四边形 ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，H，M 分 别是 AD，DC 的中点，点 F 在 BC 上，且 BF＝13BC.
向量的长度(模)与距离的问题 求向量的模主要有以下两种方法：①利用公式|a|2＝a2 将它转化 为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、 合并，使问题得以解决；②利用公式|a|＝ x21＋y21将其转化为实 数运算，使问题得以解决．
(1)设向量 a＝(0，－1)，向量 b＝(cos x，sin x)，则|a＋ b|的取值范围为________． (2)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|的值为________． [解析] (1)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)， 所以 a＋b＝(cos x，sin x－1)． 所 以 |a ＋ b| ＝ cos2x＋（sin x－1）2 ＝ 2－2sin x ＝
章 平面向量
章末复习提升课
平面向量的线性运算 向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘， 向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化 为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量 满足分配律．利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三 点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出 三点共线．
高中同步学案优化设计数学必修第二册人教版
一、概述在高中数学教学中，同步学案是一种常见的教学辅助材料，它能够帮助学生巩固所学知识、拓展思维、提高解题能力。
然而，当前市面上的同步学案质量良莠不齐，很多学生在使用同步学案时并不能得到有效的帮助。
在本文中我们将从数学必修第二册人教版出发，对同步学案进行优化设计，以期达到更好的教学效果。
二、目的与意义高中数学是学生学习的重要科目之一，数学必修第二册人教版是高中数学教材中的重要一部分。
通过优化设计同步学案，可以更好地贴合教材内容，针对性地辅助学生学习。
这不仅有助于学生对知识的掌握，还能够提高他们的解题能力和思维拓展能力。
本文的目的在于优化设计数学必修第二册人教版的同步学案，提高教学效果，促进学生的数学学习。
三、同步学案优化设计的原则1. 贴合教材内容：同步学案的设计应当严格围绕数学必修第二册人教版教材内容展开，避免偏离教学大纲和课程标准。
2. 难度适中：同步学案的难度应当与教材内容匹配，既不能过于简单导致学生失去学习的兴趣，也不能过于复杂使学生无法理解。
3. 强化重点：同步学案应当重点强化教材中的重要知识点和难点，帮助学生更好地掌握和理解这些内容。
4. 注重启发：同步学案设计要注重启发学生的思维，让学生在解题过程中能够灵活运用所学知识，培养他们的解题能力和逻辑思维能力。
四、同步学案优化设计的具体步骤1. 分析教材内容：首先要对数学必修第二册人教版教材内容进行深入的分析，梳理出各个章节的重点知识点和难点。
2. 设计题目：根据教材内容的分析，针对每个知识点和难点设计相应的题目，确保题目数量和类型的多样性，以满足不同学生的学习需求。
3. 难度控制：在设计题目时要控制好难度，确保题目的难度与教材内容相匹配，能够对学生的知识水平和解题能力进行有效的提升。
4. 编排结构：设计好题目之后，要进行合理的编排，确保同步学案的结构清晰、层次分明，便于学生系统地进行学习和练习。
5. 完善细节：在设计过程中要重点关注题目的完整性和规范性，确保题目的表述清晰，避免歧义，防止给学生造成困扰。