静电场库仑定律高斯定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
静电场的基本方程微分形式积分形式物理意义
对场中一个点电荷，受力 F QE 仍成立
已知 x ，原则上可求出 E x 。若不能
积分,可近似求解或数值积分。但是在许多实际情
况 x 不总是已知的。例如，空间存在导体介
质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现 束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不 为
三、静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理
⑴ ⑵
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。 说明在回路内无涡旋存在，静电场线是不闭合的。
2、旋度方程
L
E dl E dS 0
S
E 0
⑴ 又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。 ⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
§1. 电荷和电场
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律
F
Q’
F
QQ ˆ r 2 40 r 1
r
Q
描述一个静 止点电荷对 另一静止点 电荷的作用 力
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对Q的作用 力为 F F ；⑶ 两种物理解释: 对静电情 超距作用：一个点电荷不需中间媒介 况两种观 直接施力与另一点电荷。 点等价 场传递：相互作用通过场来传递。
例题： 电荷 Q均匀分布于半径为 a的球体内，求各点场强 的散度和旋度。
§2
电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向 两者关系：
I dI J dS
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
§11-3 静电场的高斯定理
§11-3 静电场的高斯定理一、 电场线电场线是为了描述电场所引进的辅助概念，它并不真实存在。
1、E用电场线描述规定：E 方向：电力线切线方向大小：E 的大小=该电力线密度=垂直通过单位面积的电力线条数=dsdN即 ds dNE（即：某点场强大小=过该点并垂直于E的面元上的电力线密度。
）2、静电场中电场线性质⑴不闭合、不中断、起自正电荷，止于负电荷。
⑵任意两条电场线不能相交，这是某一点只有一个场强方向的要求。
二、 电通量定义：通过电场中某一面的电力线数叫做通过该面的电场强度通量，用e 表示。
下面分几种情况讨论。
1、匀强电场⑴平面S 与E 垂直。
如图所示，由E的 大小描述可知：⑵平面S 与E 夹角为 ，如图所示，由E的大小描述知：S E ES ES ecos )(n S S式中n 为S的单位法线向量。
2、在任意电场中通过任意曲面S 的电通量如图所示，在S 上取面元dS ，dS 可看成平面，dS 上E 可视为均匀，设n为S d 单位法向向量，S d 与该处E 夹角E 为 ，则通过dS 电场强度通量为：S d E d e通过曲面S 的电场强度通量为：se e S d E d在任意电场中通过封闭曲面的电场强度通量e sE dS vv Ñ注意：通常取面元外法向为正。
三、高斯定理高斯定理是关于通过电场中任一闭合曲面电通量的定理，现在从一简单例子讲起。
1、如图所示，q 为正点电荷，S 为以q 为中心以任意r 为半径的球面，S 上任一点p 处E为：r e r q E 2042、通过闭合曲面S 的电场强度通量为：ssr se dS rq e S d rq S d E 202044（r、ds v同向）202044 qdS r q dS r q ss结论：e 与r 无关，仅与q 有关)(0const 2、点电荷电场中任意闭合曲面S 的电场强度通量⑴q 在S 内情形如图所示，在S 内做一个以q 为中心， 任意半径r 的闭合球面S 1，由1知，通过S 1 的电场强度通量为q。
高斯定理(高斯定理是什么？高斯定理怎么用？)
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
EE
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
高斯定理举例：
均匀带电球面（球体、球壳等）的 电场分布 均匀带电直线（圆柱面、圆柱体等）
的电场分布 均匀带电无限大平面的电场分布
例：均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
S
s (柱面）
h 0
2 rhE h 0
E
2 0 r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E y en
E
O
r
讨论
o
E O
无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析: 视为 无限长均匀带电直 线的集合；
r
P
dE '
选同轴圆柱型高斯 面；
由高斯定理计算
dE
dE dE'
0 rR
高斯 Carl Friedrich
Gauss 德国 1777～1855 数学家、天文学家
静电场的高斯定理
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
电场中的高斯定理
电场中的高斯定理高斯定律（gauss' law），属物理定律。
在静电场中，穿过任一封闭曲面的电场强度通量只与封闭曲面内的电荷的代数和有关，且等于封闭曲面的电荷的代数和除以真空中的电容率。
该定律表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
静电场中通过任意闭合曲面（称高斯面）s 的电通量等于该闭合面内全部电荷的代数和除以真空中的电容率，与面外的电荷无关。
物理定律由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。
如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。
这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理。
与静电场中的高斯定理相比较，两者有著本质上的区别。
在静电场中，由于自然界中存有着单一制的电荷，所以电场线存有起点和终点，只要闭合面内有净余的也已（或负）电荷，沿着闭合面的电通量就不等于零，即为静电场就是有源场；而在磁场中，由于自然界中没单独的磁极存有，n极和s极就是无法拆分的，磁感线都就是无头无尾的滑动线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。
特别要强调两点： 1.关于电场线的方向的规定：电场线上每一点的切线方向就是该点电场的方向。
2.关于电场线的疏密的规定：电场线在某处的疏密要反映电场强度的大小，即在电场中通过某一点的电场线的数密度与该点电场强度的大小呈正相关，即： e=dn/ds，其中ds是在电场中的某一点取一个通过该点的且与电场线垂直的微分面，dn就是穿过该面ds的电场线的根数。
高斯定理来源于库仑定律,依赖场强共振原理,只有当电场线密度等同于场强悍小时场线通量就可以与场强通量等同于,并统一遵守高斯定理。
高斯面上的实际场强就是其内外所有电荷产生的场强共振而变成的合场强。
但利用高斯面所求出的场强则仅仅就是分析高斯面上场强原产时所牵涉的电荷在高斯面上产生的合场强,而不涵盖未牵涉的电荷所产生的场强。
静电场103静电场的高斯定理
contents
目录
• 静电场简介 • 高斯定理的推导 • 高斯定理的应用 • 静电场的物理意义 • 高斯定理的局限性
ห้องสมุดไป่ตู้ 01
静电场简介
静电场的定义
静电场是由静止电荷产生的电场，其 电场线不闭合、不发散，且与带电体 的位置和电量分布有关。
静电场的电场线起于正电荷或无穷远 ，终止于负电荷或无穷远，沿电场线 方向电势降低。
按空间分布分类
根据静电场的空间分布，可将静电场分为均匀静电场 和非均匀静电场。
按电场线特征分类
根据静电场的电场线特征，可将静电场分为标量场和 矢量场。
02
高斯定理的推导
电场线的引入
电场线
表示电场中电场强度分布的曲线，其 上的每一点的切线方向与该点的电场 强度方向一致。
电场线的特点
不闭合、不相交、不相切、终止于正 负电荷。
揭示了电场与电荷之间的内在联系， 是静电场的基本定理之一，对于研究 静电场的性质和规律具有重要的作用。
推导过程
基于库仑定律和电场叠加原理，通过 引入电场线，利用微积分的知识，逐 步推导出高斯定理。
03
高斯定理的应用
电场分布的确定
高斯定理
通过一个闭合曲面的电场线数，等于该曲面所包围的电荷量与一个电荷量单位 的比值。
应用
通过测量或计算某一闭合曲面内的电场线数，可以确定该闭合曲面内的电场强度 。
04
静电场的物理意义
静电场的能量分布
静电场的能量分布反映了电场中电场力做功的能力，即电场能密度。在静电场中 ，电场能密度与电场强度成正比，表示单位体积内的电场能。
电场能密度可以通过积分计算得到整个电场的总能量，对于了解和预测电场的行 为具有重要意义。
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4 0
0 8.851012 F m1
F12
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
q2 r12
q1
(3)无论 q1、q2 正负如何，上式都适用
(4)并且，F12
F21
，说明库仑力满足牛顿第
三定律
(5)当有多个点电荷存在时，其中一个点电荷 受到的作用力为其他点电荷单独存在时对 该点电荷作用力的矢量和。
电磁学
公元前600年
古希腊泰勒斯 第一次记载电现象
1820年
1831年
奥斯特发现 电流对磁针的作用
法拉第发现 电磁感应
1865年麦克斯韦提出 电磁场理论
1905年爱因斯坦建立 狭义相对论
18世纪：莱顿瓶、富兰克林风筝实验、 库仑扭秤实验、伏打电池
19世纪：莫尔斯电报机、电路定律、 电动机、发电机、无线电、电子管
r2
q
l
4. 建立坐标，将dE投影到坐标轴上
x
2
dl
dEx dE cos dEy dE sin
5. 选择积分变量
r、、l 是变量，而线积分只要一个变量
选θ作为积分变量
l actg( ) actg
d l a csc2 d
dE
r2 a2 l2
0
Rd 4 0 R2
sin
4 0R2
( cos )
0
2 0 R
d o
R
dE
X
例3、求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知：q、 R、 x 求：Ep
解：细圆环所带电量为
dq 2rdr q R2
由上题结论知：
dE
1
4 0
(r 2
(2)电荷足够小，不会改变原有电场的分布。
2．试验电荷在电场中不同点所受电场力的大
小、方向都可能不同；而在同一点，电场
力的大小与试验电荷电量成正比，若试验
电荷异号，则所受电场力的方向相反。
E
F
q0
((12))反E映的电大场小本为身单性位质电，荷与在所该放点电所荷受无电关场；力， E 的方向为正电荷所受电场力的方向；
(4)常见带电体系的场强和电势：
无限长均匀带电直线的场强、无限大均匀带电平 面的场强、均匀带电球面的场强和电势、均匀带 电球体的场强；
(5)一些概念：电场线、电通量、电势能、等 势面，场强与电势梯度
§10-1 电荷的基本认识
一、电荷的种类 1．物体具有吸引轻小物体的性质，就说它带
有电荷 起电方式有两种：摩擦起电、静电感应 2．两种电荷：正电荷和负电荷（象正负数一 样可抵消）
xdq x2)3
2
x 2rdr 4 0 (r 2 x2 )3 2
E dE
R 0
x rdr 20 (r 2 x2 )3
2
dr
Rr
(1
20
r2 x2 dE
xP
x )
R2 x2
讨论
E (1 x )
2 0
R2 x2
当R>>x
2
xq
E
4 0(
x2
a2
3
)2
i
E
4 0(
xq x2
a2
3
)2
i
讨论（1）当 q 0，E的方向沿x轴正向
当 q 0，E 的方向沿x轴负 向
（2）当x=0,即在圆环中心处，E 0
当 x E 0
E
4 0(
xq x2
a2
3
)2
i
§10-3 电场强度
F
一、电场
q2
q1
1．电荷激发电场，静止电荷激发静电场；
电场的基本性质是对处在其中的电荷有作用 力（电场力）。
电荷 电场
2．电磁场是物质的一种形态，有能量、动量 等属性。
电磁场分布在整个空间中，要逐点描述它。
二、电场强度
1．试验电荷
(1)点电荷，以确定电场各点的性质；
由对称性
E 0
E d E//
d E cos
cos x r
r (a2 x2 )1 2
dq
y
a
rr
p d E//
x
x
z d E dE
E
1
4 0
2 a
q
2a
dl r2
cos
1
4 0
q r2
cos
1
4 0
(a 2
qx x2)3
er
F
r
r
1
4 0
Qq0 r2
er
Q O
P
r
q0
，为点O到点P的单位矢量。
F
根据定义，P点场强为：
E
F
1 Q
E q0 40 r 2 er
O
由 (1)此E可的知方，向点沿电着荷以的Q电为场中分心布的特矢点径为（：Q为正 电荷，Q>0）或其反方向（Q为负电荷，
F F1 F2 Fn
除以
q0，得：E
E1
E2
En
其一中 点，的E场 强qF0，为E1各 点qF01 电…荷E同n 时Fq存0n 为在Q时1、空Q2间…同 Qn 单独存在时对该点的场强。
电场强度叠加原理：点电荷系所激发的电场 中某点处的电场强度等于各个点电荷单独 存在时对该点的电场强度的矢量和。
结论
E p
E
1 r3
E
y
EB B
E
r
l
l
r
E
E
A
E
Ax
dq r0
dE
2．电荷的连续分布
P
体密度 、面密度 、线密度
对于电荷连续分布的带电体，先把其分解
成由许多微元组成，求出各电荷元的场强， 再求其矢量积分。
E
dE
Q
dq
(2)QE< 0的）大；小只与距离r有关，因此在以Q为中 心的球面上场强的大小相等，为球对称分
布。并且，E与 r 2成反比，r 时，E=0。
四、场强叠加原理
以 F1、F2 … Fn分别表示点电荷 Q1、Q2 …
Qn单独存在时对电荷 q0的电场力，则它们
同时存在时，电场对 q0的力为：
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引
3．摩擦起电和静电感应都有一个特点：两物 体同时带电，且所带电荷等量异号
这就表明：起电过程是电荷从一个物体（或 物体的一部分）转移到另一物体（或同一 物体的另一部分）的过程。
二、电荷守恒定律
电荷既不能被创造，也不能被消灭，它 们只能从一个物体转移到另一物体，或者 从物体的一部分转移到另一部分。在任何 物理过程中，电荷的代数和是守恒的。
qL
q
4 0aL(L a) 4 0a(L a)
例2、求一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场。
已知： q 、a 、 x。
dq dl
q dl
2a
dE dq
4 0r 2
dq
y
a
r
p d E//
x
x
z d E dE
dE dE// dE
五、电偶极子的电场 强度及其他
E
y
EB B
1. 如图已知：q、-q、
电偶极矩
p
r>>l， ql
E
r
l
l
E
E
A
E
Ax
求：A点及B点的场强
r
解：A点 设+q和-q 的场强 分别为 E和 E
E
q
4 0 ( r
l )2 2
i
q
(3)单位：N / C (4)即已为知：EF，电qE荷 q 在电场中某点所受电场力 3．匀强电场：电场中空间各点场强的大小和
方向都相同。
三、点电荷电场强度
（场以点点）电，荷点Q所O到在点处P为的原位点矢O为，r任，取把一试点验P
电荷 q0放在P点，有库仑定律可知，q0 所受
电场力为：
其中
3．设
r12
表示
q1指向
q2的矢量，e12
r12 r12
为
q1
指向 q2的单位矢量，则 q2受到 q1的作用力
F12为：
F12
k
q1q2 r122
e12
F12
q2 r12
q1
(1) 比例系数 k 9109 N m2 C2
(2)令k 1 ，其中真空电容率
Q 40r 2 er
要根据带电体的对称性来进行取微元和计算
例1、求一均匀带电直线在O点的电场。
已知： q 、 a 、1、2、。
解题步骤
dE
y
dE y
1. 选电荷元 d q d l
2.确定dE 的方向 3.确定 dE的大小
dEx O
ar
1 dl
1
dE 4 0sin d源自4 0aEx