特殊角的三角函数值及计算
各种特殊角的三角函数值
各种特殊角的三角函数值
在三角学中，特殊角是指能够被简单地表示并具有整数倍
关系的角度。
这些特殊角在三角函数的计算中起着重要的作用，因为它们的三角函数值可以通过简单的几何构造或代数运算来得到。
在本文中，我们将讨论一些常见的特殊角，包括0度、30度、45度、60度和90度，并计算它们的正弦、余弦和正切值。
0度角
当角度为0度时，正弦函数的值为0，余弦函数的值为1，而正切函数的值则为0。
这是因为0度角位于坐标系的正方向上，可以看作是x轴的正方向。
30度角
30度角是一个常见的特殊角，它等于π/6弧度。
在30度
角处，正弦函数的值为1/2，余弦函数的值为√3/2，正切函
数的值为1/√3。
45度角
45度角是另一个常见的特殊角，它等于π/4弧度。
在45
度角处，正弦函数和余弦函数的值都为√2/2，而正切函数的
值为1。
60度角
60度角是一个常见的特殊角，它等于π/3弧度。
在60度
角处，正弦函数的值为√3/2，余弦函数的值为1/2，正切函
数的值为√3。
90度角
90度角是最常见的特殊角之一，它等于π/2弧度。
在90度角处，正弦函数的值为1，余弦函数的值为0，而正切函数的值则为无穷大。
在三角函数的计算中，特殊角的值可以帮助我们简化复杂的计算，并更好地理解三角函数的性质和应用。
因此，熟练掌握各种特殊角的三角函数值是十分重要的。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
常用特殊三角函数值公式
编号：________________ 常用特殊三角函数值公式常用特殊三角函数值公式特殊三角函数性质特殊三角函数是性质特殊的一类三角函数的总称，主要包括正弦三角函数、余弦三角函数、正切三角函数、余切三角函数、正割三角函数、和余割三角函数。
特殊三角函数值：特殊三角函数值一般指在0，30°，45°，60°，90°，180°角下的正余弦值。
这些角度的三角函数值是经常用到的。
并且利用两角和与差的三角函数公式，可以求出一些其他角度的三角函数值。
特殊三角函数值公式有哪些α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6+√2)/4 tαnα=2-√3cotα=2+√3 secα=√6-√2 cscα=√6+√2α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2 cosα=√(2+√2)/2 tαnα=√2-1cotα=√2+1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4+2√2)a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2cscα=√2α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2cscα=2√3/3α=67.5°(3π/8) sinα=√(2+√2)/2 cosα=√(2-√2)/2 tαnα=√2+1cotα=√2-1 secα=√(4+2√2) cscα=√(4-2√2)α=75°(5π/12) sinα=(√6+√2)/4 cosα=(√6-√2)/4 tαnα=2+√3cotα=2-√3 secα=√6+√2 cscα=√6-√2α=90°(π/2) sinα=1cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=-1 α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞特殊三角函数相关公式sin(a+b)=sin a cos b +cos a sin bcos(a+b)=cos a cos b -sin a sin bsin(a-b)=sin a cos b -cos a sin bcos(a-b)=cos a cos b +sin a sin btan(a+b)=(tan a +tan b )/(1-tan a tan b ) tan(a-b)=(tan a -tan b )/(1+tan a tan b )。
三角函数中的特殊角
三角函数中的特殊角三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在三角函数中，特殊角是具有一些特殊属性和数值的角度。
本文将详细介绍三角函数中的特殊角。
1. 0度角和360度角0度角和360度角是特殊角中最简单的两个角度。
在单位圆上，0度角和360度角分别对应于x轴的正方向。
在三角函数中，sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0。
同样，sin(360) = 0，cos(360) = 1，tan(360) = 0。
2. 90度角和270度角90度角和270度角分别对应于y轴的正方向和负方向。
在单位圆上，90度角和270度角分别对应于正方向和负方向的y轴。
在三角函数中，sin(90) = 1，cos(90) = 0，tan(90) = ∞。
同样，sin(270) = -1，cos(270) = 0，tan(270) = -∞。
3. 180度角180度角是一个特殊的角度，对应于x轴的负方向。
在单位圆上，180度角对应于负方向的x轴。
在三角函数中，sin(180) = 0，cos(180)= -1，tan(180) = 0。
4. 30度角和150度角30度角和150度角是特殊角中较为常见的两个角度。
在单位圆上，30度角和150度角分别对应于x轴正方向和y轴正方向之间的角度。
在三角函数中，sin(30) = 0.5，cos(30) = 0.866，tan(30) = 0.577。
同样，sin(150) = 0.5，cos(150) = -0.866，tan(150) = -0.577。
5. 45度角和225度角45度角和225度角是特殊角中较为常见的两个角度。
在单位圆上，45度角和225度角分别对应于x轴正方向和y轴负方向之间的角度。
在三角函数中，sin(45) = 0.707，cos(45) = 0.707，tan(45) = 1。
同样，sin(225) = -0.707，cos(225) = -0.707，tan(225) = -1。
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
（1）我们要用到科学计算器中的 键： sin cos tan
（2）按键顺序
◆如果锐角恰是整数度数时，以 “求sin18°”为例，按键顺序如下：
按键顺序 显示结果
sin18°
sin 18 sin18
0.309 016 994
∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31
1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
7
4
=
显示结果
17.30150783
如果再按“度分秒健”就换算成度分 秒， °′″
即∠ α＝17o18’5.43”
2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函
数值求出相应的锐角.
例如：sin A=0.9816，∠A＝
；
cos A＝0.8607，∠A＝
；
tan A＝56.78，∠A＝
。
小结 :
1.30°、45°、60°角的三角函数值， 并且进行计算；
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
活动4
当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余 弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得 到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。 sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′
用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值．
60°
30° 45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝ 2a2 a2 3a
sin 30o a 1 2a 2
30°
cos 30o 3a 3 2a 2
tan 30o a 3 3a 3
三角函数公式特殊角值
三角函数公式特殊角值三角函数是数学中的一类重要函数，主要涉及三角形中各个角的关系。
在三角函数的研究中，特殊角值是指一些角度的具体数值，它们的三角函数值可以通过特定的公式计算出来，不需要使用计算器或查表。
特殊角值在解决三角函数相关问题时起到了很大的作用，因此它们的相关知识点在数学学习中是非常重要的。
特殊角值通常是指一些特殊角的正弦、余弦、正切等三角函数的精确值。
这些特殊角的值既可以是整数延伸范围内的角度（如30度、45度、60度等），也可以是常见的分数角度（如30度的一半，即15度）。
下面是一些常见的特殊角值及其三角函数的精确值：1.30度角：正弦值：sin(30°) = 1/2余弦值：cos(30°) = √3/2正切值：tan(30°) = 1/√32.45度角：正弦值：sin(45°) = √2/2余弦值：cos(45°) = √2/2正切值：tan(45°) = 13.60度角：正弦值：sin(60°) = √3/2余弦值：cos(60°) = 1/2正切值：tan(60°) = √3通过这些特殊角值的计算，我们可以得到许多其他角的三角函数值。
特殊角值在解决三角函数问题时具有很大的优势。
例如，如果我们需要计算一个角度为45度的三角函数值，可以直接使用相关的特殊角值，而不需要使用计算器或查表。
这样不仅可以减少计算的复杂度，还可以提高计算的速度。
因此，掌握特殊角值的相关知识对于数学学习是非常有帮助的。
此外，特殊角值还能够在解决实际问题时进行应用。
例如，在物理学中，通过特殊角值可以计算物体在倾斜平面上的运动情况。
在工程学中，特殊角值也可以用来进行房屋建筑或工程设计中的测量和计算。
因此，特殊角值在实际应用中具有广泛的应用价值。
总结来说，特殊角值是指特定的角度的三角函数值可以通过公式直接计算得到的数值。
掌握特殊角值的知识对于解决三角函数相关问题和在实际应用中进行计算和测量非常重要。
高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧
高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧三角函数是数学中的重要概念，而在高中数学中，我们经常会遇到需要计算三角函数值的情况。
为了简化计算过程，我们可以利用特殊角值的技巧，来快速得到结果。
本文将介绍一些常见的特殊角值，并说明如何利用这些特殊角值简化计算。
一、特殊角值的定义在三角函数中，我们通常会用到正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
而特殊角值指的是一些特定角的函数值，这些值具有简单的表达式，可以方便我们进行计算。
下面是一些常见的特殊角值及其函数值：1. 0度：sin 0° = 0，cos 0° = 1，tan 0° = 02. 30度：sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√33. 45度：sin 45° = √2/2，cos 45° = √2/2，tan 45° = 14. 60度：sin 60° = √3/2，cos 60° = 1/2，tan 60° = √3以上是一些常见的特殊角值，我们可以将它们牢记于心，以便在计算过程中使用。
二、利用特殊角值简化计算的技巧1. 利用特殊角的三角关系在三角函数中，存在一些特殊的角之间的关系，如30度角、45度角、60度角之间的关系。
通过利用这些关系，我们可以推导出其他角的函数值，从而简化计算。
以30度角为例，我们已知 sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√3。
利用这些已知值，我们可以得到其他角的函数值：- sin 60° = sin (2 * 30°) = 2 * sin 30° * cos 30° = √3/2- cos 60° = cos (2 * 30°) = cos² 30° - sin² 30° = 1/2- tan 60° = tan (2 * 30°) = 2 * tan 30° / (1 - tan² 30°) = √3通过这种方法，我们可以快速得到其他角度的三角函数值，从而简化计算过程。
三角函数值大全
三角函数值大全（1）特殊角三角函数值sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0cos0=1cos30= 二分之根号3cos45= 二分之根号2cos60=cos90=0tan0=0tan30= 三分之根号3tan45=1tan60= 根号3tan90=无cot0=无cot30= 根号3cot45=1cot60= 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°< α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.附：三角函数值表sin1= sin2= sin3=sin4= sin5= sin6=sin7= sin8= sin9=sin10= sin11= sin12=sin13= sin14= sin15=sin16= sin17= sin18=sin19= sin20= sin21=sin22= sin23= sin24=sin25= sin26= sin27=sin28= sin29= sin30=sin31= sin32= sin33=sin34= sin35= sin36=sin37= sin38= sin39=sin40= sin41= sin42=sin43= sin44= sin45=sin46= sin47= sin48=sin52= sin53= sin54= sin55= sin56= sin57= sin58= sin59= sin60= sin61= sin62= sin63= sin64= sin65= sin66= sin67= sin68= sin69= sin70= sin71= sin72= sin73= sin74= sin75= sin76= sin77= sin78= sin79= sin80= sin81= sin82= sin83= sin84= sin85= sin86= sin87= sin88= sin89=sin90=1cos1= cos2= cos3= cos4= cos5= cos6= cos7= cos8= cos9= cos10= cos11= cos12= cos13= cos14= cos15=cos19= cos20= cos21= cos22= cos23= cos24= cos25= cos26= cos27= cos28= cos29= cos30= cos31= cos32= cos33= cos34= cos35= cos36= cos37= cos38= cos39= cos40= cos41= cos42= cos43= cos44= cos45= cos46= cos47= cos48= cos49= cos50= cos51= cos52= cos53= cos54= cos55= cos56= cos57= cos58= cos59= cos60= cos61= cos62= cos63= cos64= cos65= cos66= cos67= cos68= cos69= cos70= cos71= cos72= cos73= cos74= cos75=cos79= cos80= cos81= cos82= cos83= cos84= cos85= cos86= cos87= cos88= cos89=cos90=0tan1= tan2= tan3= tan4= tan5= tan6= tan7= tan8= tan9= tan10= tan11= tan12= tan13= tan14= tan15= tan16= tan17= tan18= tan19= tan20= tan21= tan22= tan23= tan24= tan25= tan26= tan27= tan28= tan29= tan30= tan31= tan32= tan33= tan34= tan35= tan36= tan37= tan38= tan39= tan40= tan41= tan42=tan43= tan44= tan45= tan46= tan47= tan48= tan49= tan50= tan51= tan52= tan53= tan54= tan55= tan56= tan57= tan58= tan59= tan60= tan61= tan62= tan63= tan64= tan65= tan66= tan67= tan68= tan69= tan70= tan71= tan72= tan73= tan74= tan75= tan76= tan77= tan78= tan79= tan80= tan81= tan82= tan83= tan84= tan85= tan86= tan87= tan88= tan89=tan90=无取值。
三角函数特殊角
三角函数特殊角三角函数是数学中常见的函数类型之一，而在三角函数中，特殊角是指能够通过明确的数值计算得出精确值的角度。
特殊角是三角函数的重要概念之一，在解决各种数学问题中具有重要作用。
本文将重点讨论一些常见的三角函数特殊角及其计算方法。
正弦函数和余弦函数在三角函数中，最常见的两个函数是正弦函数和余弦函数。
在单位圆上，我们定义特殊角为0度、30度、45度、60度和90度时，正弦函数和余弦函数的数值如下：•当角度为0度时，正弦函数的值为0，余弦函数的值为1。
•当角度为30度时，正弦函数的值为1/2，余弦函数的值为√3/2。
•当角度为45度时，正弦函数的值为√2/2，余弦函数的值也为√2/2。
•当角度为60度时，正弦函数的值为√3/2，余弦函数的值为1/2。
•当角度为90度时，正弦函数的值为1，余弦函数的值为0。
正切函数另一个常见的三角函数是正切函数。
在特殊角中，我们定义角度为0度、45度和90度时，正切函数的数值如下：•当角度为0度时，正切函数的值为0。
•当角度为45度时，正切函数的值为1。
•当角度为90度时，正切函数的值为不存在，因为在这个角度上正切函数的值趋近于无穷大。
应用举例特殊角在数学问题中有很多应用，例如在三角形的计算中，我们可以通过特殊角来求解各种未知量。
又如在物理学中，特殊角的概念也被广泛运用，例如在力学问题中，根据特殊角可以方便地计算各种受力方向与大小之间的关系。
总结特殊角是三角函数中的重要概念，通过熟练掌握特殊角的数值和计算方法，可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。
特殊角的认识不仅在数学问题中有应用，也可以在其他学科领域中发挥重要作用。
因此，对于特殊角的理解和掌握具有重要意义。
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特殊角及计算 归纳结果 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA
当锐角越来越大时, 的正弦值越来___________，的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值．
（1）cos 2
60°+sin 2
60°． （2）cos 45sin 45︒
︒
-tan45°．
2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3A 的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ．
一、应用新知：
1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= .
2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= .
3．求下列各式的值．
(1)o 45cos 230sin 2-︒ (2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)︒+︒+︒
+︒-
︒45sin 30cos 30tan 1
30sin 145cos 222
4．求适合下列条件的锐角．
(1)2
1cos =α
(2)3
3tan =
α
(3)2
22sin =
α
(4)33)16cos(6=- α
（5） （6）
6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长.
7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 形状是________________.
8. 在△ABC 中，∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角，且sin α=5
3
,则sin(90°-α)=_
二、选择题．
|tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α0
1tan 3=-α3
1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3
5
，AB=15，则AC 的长是（ ）．
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A ．2
B 32 D ．1
3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1
2
，那么（ ）
A ．0°<∠A ≤60°
B ．60°≤∠A<90°
C ．0°<∠A ≤30°
D ．30°≤∠A<90°
4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3
2
，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tanA•的值为（ ）．
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
6．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：3：2，则sinA+tanA 等于（ ）．
A ．
323
1
3331.3.
62
2
2B C D +
7．若（ 3 tanA-3）2
+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形
C ．是含有60°的任意三角形
D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题．
1．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为_____，•周长为___．
2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5
2 ，则cosA=________．
3．已知：α是锐角，tan α=7
24
，则sin α=_____，cos α=_______ 四、计算： （5）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（6）sin 45tan 30tan 60︒
︒-︒
+cos45°·cos30°
（7）1
01(32)4cos30|123-⎛⎫
++-- ⎪⎝⎭
° （8）2cos602sin 302︒︒-;
◆拓展训练
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，•根据勾股定理有公
式a2+b2=c2，根据三角函数的概念有sinA=a
c
，cosA=
b
c
，
sin2A+cos2A=
2222
222
a b a b
c c c
+
+==1，
sin
cos
A
A
=
a
c
÷
b
c
=
a
b
=tanA，•其中sin2A+cos2A=1，
sin cos A
A
=tanA可作为公式来用．例如，△ABC中，∠C=90°，sinA=
4
5
，求cosA，tanA
的值．。