刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(13-14章)【圣才出品】
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刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】
W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
bh02 8
（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。
（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
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（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。
（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】
图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。 由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0； 解得：FN1＝Fx/（lsinα）； 故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。 （2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b） 所示。 由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。 综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值， 且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发 形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的 发形属于何类基本发形。
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材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(应力和应变分析强度理论)【圣才出品】
平面的外法线方向。
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三、三向应力状态分析 1．三向应力圆 如图 7-1-4 所示，以三个主应力表示的单元体，由三个相互垂直的平面分别作应力圆， 将三个平面的应力圆绘在同一平面上得到三向应力状态下的应力圆，如图 7-1-5 所示。与 每一主应力所对应的应力圆可由与该主平面相正交的其余面上的应力作出。 注意：作三向应力圆应至少知道一个主应力的大小和方向。
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实例：在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点处的应力状态，可以作为三向应力状态的实例。 二、二向应力状态分析 1．解析法 如图 7-1-1（a）所示，一单元体 abcd 处于平面应力状态，采用截面法取左边部分单 元体 eaf 为研究对象，如图 7-1-1（b）所示。
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图 7-1-3（a）
图 7-1-3（b） ③求主应力数值和主平面位置 a．求主应力数值的方法 如图 7-1-3（b）所示，点 A1 和点 B1 分别为代表最大主应力和最小主应力，其大小为
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第 7 章 应力和应变分析强度理论
7.1 复习笔记
一、应力状态 一点的应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态的研究对象是单元体，其特征为：①单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀 分布；②任意一对平行平面上的应力相等。 主单元体是指各侧面上切应力均为零的单元体。其中，单元体上切应力为零的面称为主 平面，主平面上的正应力称为主应力。 说明：一点处必定存在一个单元体，使得三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直 的主应力分别记为 σ1、σ2、σ3，且规定按代数值大小的顺序来排列，即 σ1≥σ2≥σ3。 应力状态分类及实例 （1）单向应力状态：也称为简单应力状态，三个主应力 σ1、σ2、σ3 中只有一个不等 于零。 实例：简单的拉伸或压缩。 （2）平面（二向）应力状态：三个主应力 σ1、σ2、σ3 中有两个不等于零。 实例：薄壁圆筒横截面上的点和圆形容器包含直径的任意横截面上的点。 （3）空间（三向）应力状态：和平面应力状态统称为复杂应力状态，三个主应力 σ1、 σ2、σ3，均不等于零。
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(压杆稳定)【圣才出品】
所示。
表 9-1-2
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（2）关于欧拉公式的讨论 ①相当长度 μl 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 μl，它是各种支承条件下， 细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。 ②横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩；杆端 在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力，I 为其相应中性轴的惯性矩。 三、欧拉公式的适用范围及临界应力总图 1．相关概念
图 9-1-1
选取坐标系如图 9-1-1 所示，距原点为 x 的任意截面的挠度为 w，则弯矩 M＝－Fw。
根据压杆变形后的平衡状态，得到杆的挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M EI
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通过对该方程的求解可得到使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力，即两端铰支细长压杆 临界力为
π 2 EI Fcr l 2
上述计算公式称为两端铰支压杆的欧拉公式。
2．欧拉公式的普遍形式
Fcr
π 2 EI
l 2
式中，μl 为相当长度；μ 为长度因数，与压杆的约束情况有关；I 为横截面对某一形心
主惯性轴的惯性矩。
（1）各种支承情况下等截面细长压杆的长度因数及临界压力的欧拉公式，如表 9-1-2
对比项目 平衡状态
应力 平衡方程 极限承载能力
强度问题 直线平衡状态不变
达到限值 变形前的形状、尺寸
实验确定
稳定问题 平衡形式发生变化
可能小于限值 变形后的形状、尺寸
刘鸿文《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(15-18章)【圣才出品】
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第 15 章 平面曲杆
15.1 复习笔记
一、曲杆纯弯曲时的正应力 轴线为曲线的曲杆，其横截面有对称轴，曲杆轴线在纵向对称面内为平面曲线，则称为 平面曲杆。平面曲杆对称弯曲时，荷载作用于纵向对称面内，变形后曲杆轴线仍在纵向对面 内。 曲杆的纯弯曲是指在曲杆的纵向对称面内，两端作用大小相等、方向相反的两个弯曲力 偶矩。
R1＝R0＋40＝120mm，R2＝R0－40＝40mm
中性层的曲率半径为
r
A dA A
h
ln
R1 R2
80
ln
120 40
mm
72.8mm
故截面面积对中性轴的静矩为
S＝A（R0－r）＝80×30×（80－72.8）×10－9m3＝1.73×10－5m3
最大拉应力发生在截面离曲率中心最近的内侧边缘，即
1．小曲率曲杆 当曲杆轴线曲率半径 R0 与截面形心到截面内侧边缘的距离 c 的比值 R0/c＞10 时，属 于小曲率曲杆，其正应力可近似的用直梁公式σ＝My/Iz 计算。
2．大曲率曲杆 当 R0/c≤10 时，为大曲率曲杆，可应用公式σ＝My/Sρ计算其正应力。
3．中性层曲率半径的确定 （1）矩形截面
由直梁正应力公式σmax＝M/W 可得
σmax＝600×6/（2×42×10－6）Pa＝112.5MPa
两者误差比较
（σ内－σmax）/σ内＝（153.6－112.5）/153.6＝26.8%
（σ外－σmax）/σ外＝（87.24－112.5）/87.24＝－29%
15.3 作用于图 15-2-2 所示开口圆环外周上的均布压力 p＝4MPa，圆环的尺寸为 R1 ＝40mm，R2＝10mm，b＝5mm。试求其横截面上的最大正应力。
第 15 章 平面曲杆
15.1 复习笔记
一、曲杆纯弯曲时的正应力 轴线为曲线的曲杆，其横截面有对称轴，曲杆轴线在纵向对称面内为平面曲线，则称为 平面曲杆。平面曲杆对称弯曲时，荷载作用于纵向对称面内，变形后曲杆轴线仍在纵向对面 内。 曲杆的纯弯曲是指在曲杆的纵向对称面内，两端作用大小相等、方向相反的两个弯曲力 偶矩。
R1＝R0＋40＝120mm，R2＝R0－40＝40mm
中性层的曲率半径为
r
A dA A
h
ln
R1 R2
80
ln
120 40
mm
72.8mm
故截面面积对中性轴的静矩为
S＝A（R0－r）＝80×30×（80－72.8）×10－9m3＝1.73×10－5m3
最大拉应力发生在截面离曲率中心最近的内侧边缘，即
1．小曲率曲杆 当曲杆轴线曲率半径 R0 与截面形心到截面内侧边缘的距离 c 的比值 R0/c＞10 时，属 于小曲率曲杆，其正应力可近似的用直梁公式σ＝My/Iz 计算。
2．大曲率曲杆 当 R0/c≤10 时，为大曲率曲杆，可应用公式σ＝My/Sρ计算其正应力。
3．中性层曲率半径的确定 （1）矩形截面
由直梁正应力公式σmax＝M/W 可得
σmax＝600×6/（2×42×10－6）Pa＝112.5MPa
两者误差比较
（σ内－σmax）/σ内＝（153.6－112.5）/153.6＝26.8%
（σ外－σmax）/σ外＝（87.24－112.5）/87.24＝－29%
15.3 作用于图 15-2-2 所示开口圆环外周上的均布压力 p＝4MPa，圆环的尺寸为 R1 ＝40mm，R2＝10mm，b＝5mm。试求其横截面上的最大正应力。
刘鸿文《材料力学》考研复习笔记
绪论一、材料力学的发展材料力学源于人们的生产经验，是生产经验的提炼和浓缩，同时形成理论后又应用于指导生产实践和工程设计。
公元前2250年，古巴比伦王汉谟拉比法典公元1103年，宋代李诫《营造法式》1638年，伽利略，梁的强度试验和计算理论1678年，英国科学家R.Hooke的胡克定律二、材料力学的任务在构件能安全工作的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料，为构件的设计提供必要的理论基础和计算方法。
构件安全工作的条件有以下三条：（1）具有必要的强度，指构件抵抗破坏的能力。
构件在外力作用下不会发生破坏或意外的断裂。
（2）具有必要的刚度，指构件抵抗弹性变形的能力。
构件在规定的使用条件下不会产生过份的变形。
（3）具有必要的稳定性，指构件保持原始平衡构形的能力。
构件在规定的使用条件下，不会发生失稳现象。
三、材料力学的研究对象材料力学主要研究对象是构件中的杆以及由若干杆组成的简单杆系等。
杆件的形状与尺寸由其轴线和横截面确定。
轴线通过横截面的形心，横截面与轴线正交。
根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。
四、材料力学基本假设材料力学中，构成构件的材料皆视为可变形固体。
（1）均匀、连续假设：构件内任意一点的材料力学性能与该点位置无关，且毫无空隙地充满构件所占据的空间。
（2）各向同性假设：构件材料的力学性能没有方向性。
（3）小变形假设：本课主要研究弹性范围内的小变形。
小变形假设可使问题得到如下的简化：a).忽略构件变形对结构整体形状及荷载的影响；b).构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。
（4）大多数场合局限于线性弹性当以上条件部分不能满足时，须采用其他力学理论如结构力学（杆系）、弹性力学（研究对象的差异）、塑性力学、断裂力学、损伤力学、连续介质力学以及随着计算机技术的发展而越来越受到重视的计算力学等等。
本课程材料力学是基础。
五、杆件的基本受力形式杆件受外力作用后发生的变形是多种多样的，但最基本的变形是以下四种：拉伸(或压缩)（第1章）固体；对材料所作的基本假设为均匀连续、各向同性、小变形且大多数情况为线弹性；材料力学研究的对象是杆件；杆件的基本受力形式是拉伸(或压缩)、剪切、扭转、弯曲。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
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单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单
＿
＿
＿
位力单独作用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为 FN（x）、M（x）和T（x），并将已
知外力作用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。
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第 13 章 能量方法
13.1 复习笔记
一、应变能的普遍表达式
1．杆件应变能的计算
（1）轴向拉伸或压缩
线弹性范围内，轴力沿轴线变化的杆件，总的应变能为
V
FN2 x dx
l 2EA
V
W
FN2l 2EA
EA( l 2l
图 13-1-2
V 1
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F3 3
1 2
F4 4
F11
F2
2
在线弹性范围内，应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关，更换两组力
的作用次序得
V 1
1 2
F33
1 2
F44
1 2
F11
1 2
F22
F33
F44
1．功的互等定理
第一组力 F1、F2 在第二组力 F3、F4 引起的位移上所作的功，等于第二组力 F3、F4 在第
)2
轴向拉伸应变能密度为
ν
2
2E
1
2
（2）纯剪切
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：
νε
1 2
τγ
τ2 2G
杆件总的应变能为：
（3）扭转
V V ν dV
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线弹性范围内，在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
一组力 F1、F2 引起的位移上所作的功，可表示为
F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
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2．位移的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位移，可表示为 δ′1＝δ′3
V
T 2 x dx
l 2GI p
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
V
M 2 x dx
l 2EI
2．普遍表达式 Vε＝Fδ/2 式中，δ为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位移。
图 13-1-1 克拉贝依隆原理：受多个外力作用的线弹性体，其总应变能等于各外力单独作用产生的 应变能之和，即 Vε＝W＝F1δ1/2＋F2δ2/2＋F3δ3/2＋… 如图 13-1-1 所示，在组合变形作用下，整个杆件的应变能
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V
FN2 x dx
l 2EA
M 2 x dx
l 2EI
T 2 x dx
l 2GIp
二、互等定理 如图 13-1-2 所示，依次在构件上作用两组力 F1、F2 和 F3、F4，可得到构件的应变能
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：
l
M
x
M EI
x
dx
（2）对有 n 根杆的杆系，点的位移：
n FNi FNili
i1 EAi
（3）对于受扭杆件某一截面的转角有：
l
T
x
T
GI p
x
dx
2．图乘法
利用图乘法可简化对莫尔积分的运算，莫尔积分中有
l M x M xdx MC
4 EA
EA
13.3 计算图 13-2-3 所示各杆的应变能。
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图 13-2-3
解：（a）该阶梯轴的应变能
解：桁架的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
为
FNAC
2F 2
FNBC
2F 2
FNCD＝0，FNAD＝FNBD＝F/2
因此，桁架的应变能为
V
FN2l
2
F
2
2
2l
2
F
2
2
2l
2
F 2
2
l
2EA
2EA
2EA
2EA
2 2 1 F 2l 0.957 F 2l
三、卡氏定理
若将结构的应变能表达为载荷 Fi（i＝1，2，3，…）的函数，则应变能对任一载荷 Fi
的偏导数，等于 Fi 作用点沿 Fi 方向的位移δi，可表示为
i
V Fi
此处卡式定理具体是指卡式第二定理，只适用于线弹性结构。
卡式第一定理（适用于线性、非线性弹性结构）：若结构应变能用位移δ（i i＝1，2，3，…）
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中与 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
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图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
2
F
2
3 8
l
2E
2d 2
2
F
2
1 4
l
2E
d 2
2
7F 2l 8 Ed 2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
的应变能。
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图 13-2-2
的函数来表述，那么应变能对任一位移δi 的偏导数就等于该位移方向上的荷载 Fi，可表示为
Fi
V
1, 2, , i,
i
四、莫尔定理与图乘法 1．莫尔定理 虚功原理：外力所做的虚功等于内力在相应虚位移上所做的功，也等于杆件的虚应变能。 虚功原理与材料性能无关，适用于线弹性材料和非线性弹性材料；力和位移呈非线性关系的 结构也可使用虚功原理。
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图 13-2-1
解：图（a）所示杆件的应变能
Vε1＝F2l/（2EA）＝F2l/[2E·π（d/2）2]＝2F2l/（πEd2）
图（b）所示杆件的应变能
V 2
F 2l F 2l1 F 2l2 F 2l3 2EA 2EA1 2EA2 2EA3
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单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单
＿
＿
＿
位力单独作用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为 FN（x）、M（x）和T（x），并将已
知外力作用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。
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第 13 章 能量方法
13.1 复习笔记
一、应变能的普遍表达式
1．杆件应变能的计算
（1）轴向拉伸或压缩
线弹性范围内，轴力沿轴线变化的杆件，总的应变能为
V
FN2 x dx
l 2EA
V
W
FN2l 2EA
EA( l 2l
图 13-1-2
V 1
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F3 3
1 2
F4 4
F11
F2
2
在线弹性范围内，应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关，更换两组力
的作用次序得
V 1
1 2
F33
1 2
F44
1 2
F11
1 2
F22
F33
F44
1．功的互等定理
第一组力 F1、F2 在第二组力 F3、F4 引起的位移上所作的功，等于第二组力 F3、F4 在第
)2
轴向拉伸应变能密度为
ν
2
2E
1
2
（2）纯剪切
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：
νε
1 2
τγ
τ2 2G
杆件总的应变能为：
（3）扭转
V V ν dV
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线弹性范围内，在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
一组力 F1、F2 引起的位移上所作的功，可表示为
F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
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2．位移的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位移，可表示为 δ′1＝δ′3
V
T 2 x dx
l 2GI p
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
V
M 2 x dx
l 2EI
2．普遍表达式 Vε＝Fδ/2 式中，δ为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位移。
图 13-1-1 克拉贝依隆原理：受多个外力作用的线弹性体，其总应变能等于各外力单独作用产生的 应变能之和，即 Vε＝W＝F1δ1/2＋F2δ2/2＋F3δ3/2＋… 如图 13-1-1 所示，在组合变形作用下，整个杆件的应变能
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V
FN2 x dx
l 2EA
M 2 x dx
l 2EI
T 2 x dx
l 2GIp
二、互等定理 如图 13-1-2 所示，依次在构件上作用两组力 F1、F2 和 F3、F4，可得到构件的应变能
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：
l
M
x
M EI
x
dx
（2）对有 n 根杆的杆系，点的位移：
n FNi FNili
i1 EAi
（3）对于受扭杆件某一截面的转角有：
l
T
x
T
GI p
x
dx
2．图乘法
利用图乘法可简化对莫尔积分的运算，莫尔积分中有
l M x M xdx MC
4 EA
EA
13.3 计算图 13-2-3 所示各杆的应变能。
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图 13-2-3
解：（a）该阶梯轴的应变能
解：桁架的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
为
FNAC
2F 2
FNBC
2F 2
FNCD＝0，FNAD＝FNBD＝F/2
因此，桁架的应变能为
V
FN2l
2
F
2
2
2l
2
F
2
2
2l
2
F 2
2
l
2EA
2EA
2EA
2EA
2 2 1 F 2l 0.957 F 2l
三、卡氏定理
若将结构的应变能表达为载荷 Fi（i＝1，2，3，…）的函数，则应变能对任一载荷 Fi
的偏导数，等于 Fi 作用点沿 Fi 方向的位移δi，可表示为
i
V Fi
此处卡式定理具体是指卡式第二定理，只适用于线弹性结构。
卡式第一定理（适用于线性、非线性弹性结构）：若结构应变能用位移δ（i i＝1，2，3，…）
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中与 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
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图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
2
F
2
3 8
l
2E
2d 2
2
F
2
1 4
l
2E
d 2
2
7F 2l 8 Ed 2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
的应变能。
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图 13-2-2
的函数来表述，那么应变能对任一位移δi 的偏导数就等于该位移方向上的荷载 Fi，可表示为
Fi
V
1, 2, , i,
i
四、莫尔定理与图乘法 1．莫尔定理 虚功原理：外力所做的虚功等于内力在相应虚位移上所做的功，也等于杆件的虚应变能。 虚功原理与材料性能无关，适用于线弹性材料和非线性弹性材料；力和位移呈非线性关系的 结构也可使用虚功原理。
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图 13-2-1
解：图（a）所示杆件的应变能
Vε1＝F2l/（2EA）＝F2l/[2E·π（d/2）2]＝2F2l/（πEd2）
图（b）所示杆件的应变能
V 2
F 2l F 2l1 F 2l2 F 2l3 2EA 2EA1 2EA2 2EA3