微积分考试试题
初级微积分测试题
初级微积分测试题1. 计算下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 + 4x - 2b) g(x) = 4sin(x) + 2cos(x)c) h(x) = e^x - ln(x^2)解答:a) f'(x) = 6x + 4b) g'(x) = 4cos(x) - 2sin(x)c) h'(x) = e^x - 2/x2. 求下列函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)dxb) ∫(5sin(x) + 2cos(x))dxc) ∫(e^x + 1/x)dx解答:a) ∫(2x^3 + 3x^2 - 5x + 1)dx = (1/2)x^4 + x^3/3 - 5x^2/2 + x + Cb) ∫(5sin(x) + 2cos(x))dx = -5cos(x) + 2sin(x) + Cc) ∫(e^x + 1/x)dx = e^x + ln|x| + C3. 计算下列定积分：a) ∫[0,1] (x^2 - 3x + 2)dxb) ∫[π/2,π] (2sin(x) + 3cos(x))dxc) ∫[1,e] (ln(x) + x)dx解答:a) ∫[0,1] (x^2 - 3x + 2)dx = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x |[0,1] = (1/3) - (3/2) + 2 = -1/6b) ∫[π/2,π] (2sin(x) + 3cos(x))dx = -2cos(x) + 3sin(x) |[π/2,π] = -2cos(π) + 3sin(π) - (-2cos(π/2) + 3sin(π/2)) = -2c) ∫[1,e] (ln(x) + x)dx = xln(x) + (1/2)x^2 |[1,e] = e - 1 + (1/2)e^2 - (1/2) = (1/2)e^2 + e - (3/2)4. 求下列函数的极限：a) lim(x→3) (2x^2 - 5x + 3)b) lim(x→0) (3sin(x)/x)c) lim(x→∞) ((2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + x))解答:a) lim(x→3) (2x^2 - 5x + 3) = 18b) lim(x→0) (3sin(x)/x) = 3c) lim(x→∞) ((2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + x)) = 25. 解以下微分方程：a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1, y(0) = 1b) dy/dx + y = e^x, y(0) = 2c) d^2y/dx^2 + y = 0解答:a) dy/dx = 3x^2 + 2x - 1∫dy = ∫(3x^2 + 2x - 1)dxy = x^3 + x^2 - x + C将y(0) = 1代入得C = 1因此，y = x^3 + x^2 - x + 1b) dy/dx + y = e^x这是一个一阶线性非齐次微分方程解齐次方程dy/dx + y = 0得y = Ce^(-x)令特解为y = Ae^x，代入方程得 A = 1因此，y = Ce^(-x) + e^x将y(0) = 2代入得C + 1 = 2，解得C = 1因此，y = e^(-x) + e^xc) d^2y/dx^2 + y = 0这是一个二阶线性齐次微分方程特征方程r^2 + 1 = 0有两个虚根r = ±i因此通解为y = C1cos(x) + C2sin(x)通过以上测试题，我们可以巩固初级微积分的知识，包括函数的导数、不定积分、定积分、极限和微分方程的解法。
微积分测试题
微积分测试题一、选择题1. 下列函数中，是一次函数的是（）A. y = x^2 - 3x + 1B. y = √xC. y = sin(x)D. y = e^x2. 函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的驻点是（）A. (1, -1)B. (1, 1)C. (2, -4)D. (2, 4)3. 函数 f(x) = ln(x) 在 x = 1 处的极限值是（）A. 1B. 0C. ∞D. -∞4. 函数 f(x) = sin(x) 在π/2 处的导数值是（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 曲线 y = x^3 在 x = 2 处的切线斜率为（）A. 12B. 8C. 4D. 2二、计算题1. 计算函数 f(x) = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 2 的导函数 f'(x)。
2. 计算曲线 y = sin(2x) 与 x 轴围成的面积。
3. 求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 4 在 x = 1 处的导数值和二阶导数值。
4. 计算函数 f(x) = e^x 的定积分∫[0, 2] f(x) dx。
5. 求函数 f(x) = ln(x) 在 x = 3 处的斜率。
三、证明题1. 证明函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π/2] 上递增。
2. 证明函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 在 x = 2 处存在局部最小值。
3. 证明函数 f(x) = ln(x) 在 x = e 处存在斜率为 1 的切线。
4. 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导，若 f'(x) = 0 在 (a, b) 内有多个根，则证明 f(x) 在 (a, b) 内有多个驻点。
5. 证明函数 f(x) = e^x 的反函数 g(x) = ln(x)。
四、应用题1. 抛物线 y = ax^2 + bx + c 经过点 (1, 5) 和 (2, -4)，求其解析式。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案1. 计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数。
解答:使用导数的定义，对函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 进行求导。
f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将函数表达式代入求导公式并化简：f'(x) = lim(h→0) [3(x + h)^2 - 2(x + h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5)] / h = lim(h→0) [3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [6hx + 3h^2 - 2h] / h= lim(h→0) [h(6x + 3h - 2)] / h= lim(h→0) 6x + 3h - 2= 6x - 2因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
解答:使用链式法则来求解函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
令 u = 4x^3 + 2x，则 g(x) = sqrt(u)。
g'(x) = du/dx * (d(sqrt(u))/du)计算 du/dx：du/dx = d(4x^3)/dx + d(2x)/dx= 12x^2 + 2计算 d(sqrt(u))/du：d(sqrt(u))/du = 1 / (2 * sqrt(u))= 1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))将 du/dx 和 d(sqrt(u))/du 代入链式法则公式：g'(x) = (12x^2 + 2) * (1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x)))= (12x^2 + 2) / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))= (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)因此，函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数为 g'(x) = (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
微积分综合练习试题和参考答案与解析
(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续，则k =x _ 0•答案：k = 1(1)设函数y 二-xe，则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案：x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案：1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案：CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞 一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0答案：D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案：A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案： Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =(）时，函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =(）时，函数f f(x)—w，在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是（)X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 （导数与微分部分）(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案：2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案：y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x，则f (3) =答案： f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案：f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ，贝y f (0)二答案：f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx，贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案：C(2)设y = lg2 x，则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案：B(3)设y二f (x)是可微函数，则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a，其中a 是常数，则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ，求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ，求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12，求讨.x答案：D21 解： / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续，则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(-：：,•：：)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案：B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分试题及答案
微积分试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0B. 2C. 4D. 8答案：C2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x dx \) 的值是：A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案：B二、填空题1. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) \) 等于__________。
答案：\( 9x^2 - 4x + 1 \)2. 曲线 \( y = x^3 \) 与直线 \( y = 6x \) 相切的点的横坐标是__________。
答案：2三、简答题1. 请说明如何求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数。
答案：函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数可以通过对数函数的导数公式求得，即 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
2. 计算定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \)。
答案：首先找到 \( e^x \) 的原函数，即 \( e^x \) 本身。
然后根据定积分的计算法则，代入上下限得到 \( e^e - e \)。
四、计算题1. 求曲线 \( y = x^2 + 3x - 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线斜率及切点坐标。
答案：首先求导得到 \( y' = 2x + 3 \)。
将 \( x = -1 \) 代入得到切线斜率 \( m = 1 \)。
切点坐标为 \( (-1, 0) \)。
2. 计算由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 4x \) 及 \( x \) 轴所围成的平面图形的面积。
答案：首先求出两曲线的交点，然后计算定积分 \( \int_{0}^{2} (4x - x^2) dx \)，结果为 \( \frac{16}{3} \)。
五、证明题1. 证明 \( \frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^5] = 10x(x^2 + 1)^4 \)。
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《微积分》试题
一、选择题（3×5=15）
1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为(d)
(A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5)
(C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)5
2、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是(b)
(A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。
(B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。
(C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。
(D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。
3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ）
A、导数
B、变化率
C、相对变化率
D、微分
4、下列论断正确的是（ a ）
A、可导极值点必为驻点
B、极值点必为驻点
C、驻点必为可导极值点
D、驻点必为极值点
5、∫e－x dx=(b)
(A)e－x＋c(B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c
二、填空题（3×5=15）
1.设，则。
[答案： ]
2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点(0,1) 处的切线方程是_____________。
[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０]
任课教师：系主任签字：
3、物体运动方程为S=1
1+t （米）。
则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度
为a=＿＿＿＿。
[答案：41-，4
1 ]
4.设,则 。
[答案：
3
4]
5．若⎰
+=c e 2dx )x (f 2
x ，则
f(x)=_________。
[答案：2
x
e ]
三、计算题 1、设x sin e
y x
1tan = ，求dy 。
（10分）
解：dy=d x sin e x
1tan =dx x sin x 1sec
x 1x cos e
22x
1tan
⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 2．计算
⎰+2x )e 1(dx。
（15分）
解：原式＝⎰+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝⎰⎰++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝⎰+++-+x
x x x e
11
dx e 1e e 1 ＝x -ln(1+e x )+x
e
11
+ +c
3.求
（15分）
解：
4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为ｋ）０ ）求速度与时间的关系。
（15分）
解：设速度为ｕ，则ｕ满足ｍ＝dt
du
＝ｍｇ－ｋｕ 解方程得ｕ＝
k
1
（ｍｇ－ｃｅ-kt/m ） 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝k
mg
（１－ｅ-kt/m ）
5．设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续且f(a)>g(a)，f(b)<g(b)，求证：在（a,b ）内，曲
线y=f(x)与y=g(x)至少有一个交点。
（15分）
证：据题意F(x)=f (x)-g (x)，显然在[a,b]上连续且F(a)=f (a)-g (a)>0，F(b)=f (b)-g(b)<0，据闭区间上连续函数的零值定理，可知：在（a,b ）内至少存在一点ξ，使F （ξ）=0，即f (ξ)-g (ξ)=0，所以
f (
《微积分》试题（二）
开卷( ) 闭卷(√) 适用专业年级：2008级农资等
姓名 学号 专业 班级
本试题4大题，共4页，满分100分。
考试时间120分钟
2、试卷若有雷同以零分计
3、请将选择填空题答在指定位置,否则无效 一、填空题（每空2分，共20分）
1、 。
2、 。
3、 。
4、=a , =b 。
5、 。
6、 。
7、 。
8、 。
9 。
1、当0→x 时x cos 1-与n
x 为同阶无穷小,则=n 。
2、已知,0≠m ⎩⎨⎧==t
y t x m ln ,则=dx dy。
3、设)(x f 是定义在实数集上以2为周期的函数,且)11()(≤<-=x e x f x
,则
=⎪⎭
⎫
⎝⎛23f 。
4、已知bx ax x x f ++=2
3)(在1-=x 处取得极小值2-,则=a , =b 。
5、
()=+'⎰⎰D
dxdy y x
f 22
,其中{}
41),(22≤+≤=y x y x D 。
6、由抛物线2
x y =与直线0,1==y x 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 。
7、=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+∞→1
11lim x x x x 。
8、已知)(x f 在0x 点连续,且A x x x f x x =-→0
)
(lim
,则=')(0x f 。
9、xy y ='的通解为 。
1、a x f x x =→)(lim 0
是a x f x x =→)(lim 0
的（ ）条件。
A 、充分
B 、必要
C 、既不充分也不必要
D 、充要
2、若实系数方程0012
23344=++++a x a x a x a x a 有四个实根，则方程
023*******=+++a x a x a x a 的实根个数为（ ）。
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0
3、设在区间],[b a 上)(x f 可导且0)(>'x f ，令()a b b f s dx x f s b
a -==⎰)(,)(21，
则有（ ）。
A 、21s s <
B 、21s s >
C 、21s s =
D 、无法判断 4、下列广义积分收敛的是（ ）。
A 、
⎰
+∞
+1
21dx x x B 、⎰1021sin 1dx x x C 、⎰+∞+1211
dx x D 、⎰+∞1x
dx 5、已知f 是R 上的可微函数,()
,x
e f y =则
==0
x dx
dy
（ ）。
A 、()x
e
f ' B 、()x
x
e f e ' C 、)1(f D 、)1(f '
6、函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1
cos 1
2
)(x x a x x x f π在定义域内处处连续，则=a （ ）。
A 、2
B 、-2
C 、1
D 、-1
7、⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(0
)0,0(),(),(22y x y x y x xy
y x f 在（0，0）点（ ）。
A 、可微
B 、连续
C 、有极限
D 、偏导数存在 8、若A x f x x =→)(lim 0
，则)(x f 在0x 点（ ）。
A 、有定义
B 、无定义
C 、A x f =)(0
D 、以上答案都不对 9、()3
1-=x y 的极值点个数为（ ）。
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 10、),(,0y x f b a <<在2
R 上连续，⎰⎰
=x
a b
a
dy y x f dx ),(（ ）。
A 、
⎰⎰
x
a
b
a
dx y x f dy ),( B 、⎰⎰b
a
b
a
dx y x f dy ),(
C 、
⎰⎰
x b
b
a
dx y x f dy ),( D 、⎰⎰b
y
b a dx y x f dy ),(
三、计算题（每小题10分，共50分）
1、计算4
2
sin lim
x
tdt x x ⎰→
2、已知)(x f y =是由方程y
e xy -=1所确定的隐函数,求)0(y ''。
3、计算⎰+dx x x
2cos 1cos ln 。
4、求函数xyz
e x u 3=的全微分du 。
5、计算⎰⎰D
y
x d e
σ，其中D 是由直线1,,=-==y x y x y 所围成的平面有界闭区域。
四、证明题（10分）
证明：对任意的,0>x 不等式)1ln()1(1x x e x
++>-成立。