全国统考2022高考数学一轮复习素养提升微专题2_抽象函数的定义域的类型及求法学案理含解析北师大版2
抽象函数定义域三种题型及解法
抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}． 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]． 二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21≤x ＋1≤3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21≤x 2≤3，解得－3≤x≤－2或2≤x ≤3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3≤x≤－2或2≤x ≤3}． 四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[]．。
2022版高考数学一轮复习(应试基础必备 高考考法突破)课件：专题2 函数概念与基本初等函数
解决问题 的前提和 关键是？
应掌握基本 初等函数的 单调性以及 函数单调性 的基本求法
考点10 函数的单调性和最值
考点10 考法1 确定函数的单调性或单调区间
方法一：利用定义.
方法二：利用规则和性质.
方法三：导数法是已知函数的解析式， 判断函数的单调性或求单调区间时最常 用的一种方法，具体见专题3考点20.
等关系列不等式或等式，求得参数的取值(范围). (2)确定已知复合函数f［g(x)］中的初等函数f(x)和g(x)，首先由外
层函数f(x)的单调性确定内层函数g(x)在给定区间上的单调性.再结合 内层函数的图象或其单调区间，列出等式或不等式求解.
解题时首先
应明确：设
函数f(x)的单 调增(减)区间 为A，若函数 在区间B上单 调递增(减)， 则B包含于A.
式子来表示这个函数,这种形式的函数叫做分段函数.它是一类 重要函数,它是一个函数,不能误认为它是几个函数.
一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,自 变量取值范围要不重不漏. 2.分段函数的定义域与值域
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，分段函数的 值域也是各段函数值域的并集. 【注意】分段函数虽由几个部分组成,但表示的是一个函 数．根据分段函数的特征知，研究分段函数的有关问题常用 的基本思想方法是分类讨论、数形结合等.
是否符合相应段的
自变量的取值范围.
考点9 分段函数及其应用
考点9 考法4 类 型 2 已 知 函 数 值 或 函 数 值 的 取 值
范围，求自变量的值或自变量的取 值范围
考点9 分段函数及其应用
考点9 考法4 类 型 2 已 知 函 数 值 或 函 数 值 的 取 值
范围，求自变量的值或自变量的取 值范围
抽象函数定义域的四种类型
抽象函数定义域的四种类型抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。
下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。
一、已知的定义域，求’I I的定义域，其解法是：若的定义域为段二匕丄？，则"」I中从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。
例1.设函数"■的定义域为，则（1）函数的定义域为_____________ 。
（2）函数八的定义域为_________________ 。
解：（1）由已知有L -■■-■，解得故的定义域为一：’「（2）由已知，得2 2 '--■■，解得1 ' ■- ■'故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域，求的定义域。
其解法是：若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。
例2.已知函数' -的定义域为—I，则一：' 1的定义域为________ 。
解：由H S，得:■ I < . 'I所以二…：二1，故填-■:三、已知. 山勺定义域，求’'烏的定义域。
其解法是：可先由- 1定义域求得的定义域，再由：…的定义域求得「〔叭》的定义域。
例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是（）A. ■B. ' - 1C. ' ：；-D. '「解：先求•二的定义域Tg + D的定义域是[-乙3]..-2 < x< 3：.1<X+1 <4 , 即卩：的定义域是一乙1再求一…：：丨的定义域v-1 < 2x - 1 <40<x<-2/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是: 先求出各个函数的定义域，再求交集。
2022届高考数学一轮复习第3讲函数的定义域解析式值域考点讲义含解析
函数的定义域、解析式、值域一、函数的定义域定义域特指x 的值。
函数题的解答不能不考虑函数的定义域，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。
但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。
基本解题思路：①注意“定义域优先”；②不要对解析式化简变形；③在解不等式组时要细心、快而准，分类讨论要全面，取交集时需要借助数轴； ④要注意端点值或边界值能否取到； ⑤定义域要用集合或者区间的形式写出； ⑥换元法要注意新变量的取值范围；⑦注意对于指数不等式、对数不等式和分式不等式的解法的通用方法。
（一）单一函数经过四则运算结合求函数的定义域。
1、基本函数定义域的要求： (1)分式函数，分母不为0；(2)偶次根式函数的被开方数为非负数； (不要忘记等号) (3)一次函数、二次函数的定义域为R ；(4)0x 中的底数不等于0； (n x -中的底数也不等于0)(5)指数函数x a y =定义域为R ，对数函数x y a log =定义域为0>x ； (注意0>a 且1≠a ) (6)x y sin =、x y cos =的定义域为R ；x y tan =的定义域为},2|{z k k x x ∈π+π≠；x y cot =的定义域为},|{z k k x x ∈π≠；(7)实际问题应考虑实际限制。
2、剥洋葱原理→一层一层→交集(同时成立) →最后把求定义域转化成解不等式。
例1-1．函数3121)(++-=x x f x 的定义域为( )。
A 、]0,3()3,(---∞ B 、]1,3()3,(---∞ C 、]0,3(- D 、]1,3(- 【答案】C【解析】⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x ，故选C 。
例1-2．函数211ln)(x xx x f -++=的定义域为 。
【答案】]1,0( 【解析】0111>+=+xx x 且0≠x 且012≥-x 解得10≤<x 。
2021-2022年高考数学一轮复习 抽象函数知识梳理2 苏教版
2021-2022年高考数学一轮复习抽象函数知识梳理2 苏教版考情说明：函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。
会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。
知识点说明：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，归纳梳理：1.抽象函数与它的代表函数经典讲练：【1.定义域：】解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
例：若函数的定义域为，求函数的定义域。
解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。
所以函数的定义域为.总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。
【2.值域：】解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定.例：若函数的值域为，求函数的值域。
解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为. 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
【3.周期性：】解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。
例：设是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线对称。
2022年高考数学一轮复习 第二节函数的定义域和值域课件 新人教版2
[自主体验]
已知f(x)＝ (x＋|x|)，g(x)＝
函数f[g(x)]＝
，
值域为
.
第第分三十三。三十页三，页编，辑编于星辑期于一星：期十四一：点二二十十一八分点。三十二
解析：当x≥0时，g(x)＝x2， 故f[g(x)]＝f(x2)＝ (x2＋|x2|)＝ (x2＋x2)＝x2； 当x＜0时，g(x)＝x， 故f[g(x)]＝f(x)＝ (x＋|x|)＝ (x－x)＝0.
其值域为(－∞， ].
第二十二页，编辑于星期四：二十一点 三十二
第二十二页，编辑于星期一：十一点 二十八分。
分。
(3)∵函数y＝x＋ 是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故其图象关
于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时的最值和值域.
∵当x＞0时，y＝x＋ ≥2
＝4.
当且仅当x＝2时，等号成立，
综上所述：
h(a)＝
，
第二十八页，编辑于星期四：二十一点 三十二
第二十八页，编辑于星期一：十一点 二十八分。
分。
(2)画出y＝h(a)的图象，如图所示. 数形结合，可得h(a)min＝h( )＝ .
第二十九页，编辑于星期四：二十一点 三十二
第二十九页，编辑于星期一：十一点 二十八分。
分。
数形结合的思想是每年高考的必考内容，09年宁夏、海南高 考将求分段函数的最值与数形结合思想有机结合，综合考查了考 生对函数图象以及数形结合思想的理解和应用，很好的考查了考
()
A.4
B.5
C.6
D.7
第第分三三。十十一一页页，，编编辑辑于于星星期期一四：：十二一十点一二点十三八十分二。
【解析】 f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图. 令x＋2＝10－x，x＝4. 当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝4＋2＝6.
抽象函数定义域的类型及求法之欧阳文创编
抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤． 故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤．所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
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抽象函数的定义域的类型及求法
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.
类型一已知f (x )的定义域,求f [g (x )]的定义域
其解法是:若f (x )的定义域为[a ,b ],则在f [g (x )]中,令a ≤g (x )≤b ,从中解得x 的取值X 围即为f [g (x )]的定义域.
【例1】已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求f (3x-5)的定义域.
【解题指导】该函数是由u=3x-5和f (u )构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于f (x )与f (u )是同一个函数,因此这里是已知-1≤u ≤5,即-1≤3x-5≤5,求x 的取值X 围. 解∵f (x )的定义域为[-1,5],
∴-1≤3x-5≤5,∴43≤x ≤103,
故函数f (3x-5)的定义域为43,10
3.
类型二已知f [g (x )]的定义域,求f (x )的定义域
其解法是:若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的X 围即为f (x )的定义域.
【例2】已知函数f (x 2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f (x )的定义域.
【解题指导】令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),
由于f (u )与f (x )是同一函数,因此u 的取值X 围即为f (x )的定义域. 解由0≤x ≤3,得1≤x 2-2x+2≤5.
令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),1≤u ≤5.
故f (x )的定义域为[1,5].
类型三已知f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域
其解法是:先由f [g (x )]的定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求f [h (x )]的定义域.
【例3】函数y=f (x+1)的定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是()
A.0,52
B.[-1,4]
C.[-5,5]
D.[-3,7]
答案A
解析因为f (x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x ≤3,所以-1≤x+1≤4,则f (x )的定义域是[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x ≤52,所以f (2x-1)的定义域是0,5
2.故选A .
类型四运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.
【例4】若函数f(x)的定义域是[-3,5],求φ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域.
解得-4≤x≤0.
解由f(x)的定义域为[-3,5],则φ(x)必有{-3≤-x≤5,
-3≤2x+5≤5,
所以函数φ(x)的定义域为[-4,0].。