社会统计学 第五章 正态分布

在相同条件下进行N次实验 或观察，随机事件A出现的次 数为n，频次n与实验次数N 的比值n/N，称作N次实验或 观察中事件A的频率，即这一 事件出现的概率。 频率是试验值，而概率是个 理论值，其值是唯一的。
n P ( A) N
（2）古典概率类型
在古典概率类型问题中，所有可能的试验结果是有 限的，即试验的基本事件数是有限的，并且，所有 这些基本事件都是等可能的。 若事件组 A1, A2 , A3 ,, An 满足下面三个条件，则称该事 件为等可能完备事件组。
（1）二项试验
一个二项实验是一个满足如下条件的实验:
实验由确定的试验数所组成; 每个试验只有两个可能的结果,通常称为”成功” 和”失败”; 任一试验的结果独立于任何其他试验结果; 在各次实验中,”成功”的概率和”失败”的概率 都是固定的常数,并且他们的和等于1。
（2）二项实验的概率
1 5 p , q 1 p , n 20, m 7. 6 6
因此,20次中恰好出现7次6点的概率为:
P
7 20
1 7 5 20 -7 C （ ） （ ） 6 6
7 20
二项实验的概率
如果单次试验中,事件成功与失败的概 1 率相等,即 p q 2 则上述二项实验 的概率公式可简化为:
C
m n
Pnm m!
例7：
一条航线上共有十个航空站，请问这条航 线上共有多少种不同的飞机票？ 有四栋大楼将分配给四个单位使用，分配 原则是每个单位只允许分配一栋，请问共 有多少种分配方案？
例8：
抛掷一枚骰子20次,则恰好出现7次“6 点”的概率. 解:这是一个二项实验,依题意,此时
例2：某年级共有学生100名，其中来自广东 省的有25名，来自广西省的有10名，问任抽 一名，来自两广的概率是多少？

（2）一般情况
对于任意两个事件A和B，不满足事件A和 事件B互不相容，则事件“A+B”的概率为事 件A的概率与事件B的概率之和减去事件A 与事件B同时发生的概率： 公式为： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
2.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她 说有两个.你问大的是女孩吧?她说是.那么 两个孩子都是女孩的概率是多少?
概率在日常生活中运用的例子:
双色球由33个红球和16个蓝球组成，彩民 需选6个红球和1个蓝球组成一张彩票。一 等奖需所有红球和蓝球都猜中。求一等奖 的中奖概率？ 如果任意七个球猜中6个球即为二等奖，求 二等奖的概率？
EG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数 与抛掷总次数的比接近1/2。。。。。。
一些试验者所做试验的记录
试验者 狄摩根 布丰 皮尔逊 皮尔逊 投掷总次数n 2048 4040 12000 24000 出现正面朝上的次数m（频数） 1061 2048 6019 12012 频率=m/n 0.518 0.5069 0.5016 0.5005
m n
m n m
n! m n m p q m !(n m)!
复习：排列
一般来说，从n个不 同元素中，任取m （m<n)个元素按照 一定的顺序排成一 列，称为从n个不同 元素中每次取m个 元素的一个排列， 这些排列的种数记 作
p
m n
n! ( n m)!
n!表示n的阶乘， n!=n×(n-1)(n-2)……3 ×2 ×1
EG,向空中抛掷一枚硬币,落地后正面朝上的结果是不能事 先确定的,从副洗好的扑克牌中任意抽出一张来，它是黑 桃2的结果也是不能事先确定的。
问题：既然社会中存在大量的非确定性现 象，那么预期或预测如何可能？
统计规律：从表面上看来非确定性现象好像是捉 摸不定的，纯粹是偶然性起支配作用，但实际上 ，在研究了大量同类现象后，通常会揭示出一种 确定的规律性，这就是所谓的统计规律。
举例
分析哪些是必然事件，哪些是不可能事件 或随机事件？
例1.某企业有青年工人100名，其中20名已婚，今 任抽25名，那么其中含有5名为已婚者的事件是？ 例2.任抽25名，其中至少5名为未婚者的事件是？ 例3.任抽25名，其中有21名为已婚者的事件是？
4.概率的计算方法
（ 1）频率法
5.概率的加法运算
1）特殊情况 若事件A与事件B互不相容（互斥），即两件 事情不可能同时发生，那么事件A或事件B发 生的概率等于两事件单独发生概率之和： P(A+B)=P(A)+P(B)
例1：抛掷骰子一次，若事件A表示出现5点 的情况，事件B表示出现6点的情况。那么， 抛掷骰子一次，出现5点或6点的概率为？
对于一个二项实验,设在单次试验中,事件A发生( 成功)的概率为P,事件A不发生(失败)的概率为q,即
1n次试验中事件A恰好发生m次的概 且 p q ,则在 n ( q p ) 率为 的二项展开式中当P的指数是m的那一 项,即
P( A) p, P( A) q,
Pn(m) C p q
例题3：
为了研究父代文化程度对子代文化程度的 影响，某大学统计出学生父亲具有大学文 化程度的占25%，母亲具有大学文化程度 的占18%，而父母双方都具有大学文化的 占10%，问学生中任抽一名，父代至少有 一名具有大学文化程度的概率是多少？
例4：
若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数点的 情况，事件B表示出现的点数大于3的情况 。请问，抛掷骰子一次，出现偶数点或点 数大于3的概率为：
随机事件：随机现象的结果 以及这些结果的集合。 随机事件有两种极端情况：

必然事件：如抛掷一枚在硬币若 无支撑落于地上； 不可能事件：如抛掷一枚硬币悬 于空中。
1.概率定义
日常生活中，人们常 用“比较级”来表示 随机事件发生可能性 的大小，例如：
某生明年不可能考上
概率就是随机事 件发生可能性大 小的数量表示。
第五章 抽样分布与推断
第一节 抽样分布
1
一 随机现象及其特征
随机现象例子：



全国每天有多少婴儿出生？ 多少人因车祸死亡？ 多少人结婚，多少人离婚？ 多少人晚间收看新闻联播？ 天气的变化？ 手术的成功？ 骰子的点数？
这些现象的共同点：在一 定条件下（例如某天、某 时）事物出现只具有可能 性而但不具有必然性。 这种现象就是随机现象， 大量存在自然、经济、社 会领域内。 社会现象分成两种确定性 现象和非确定性现象
……
确定性现象与非确定性现象
确定性现象:在一定的条件(S)下某种结果必然会 发生的现象,此时现象的可能结果只有一个,并且事 先就能够确定.
EG,向空中扔一石块必然会落地;标准大气压下水在100℃ 时肯定会沸腾.
非确定性现象:指在某种条件实现后,某种结果可 能发生也可能不发生的现象.也就是说,此时存在多 种可能性,但究竟发生哪种结果事先却不能肯定.
例5：
根据统计结果，在自然生育情况下，男婴 出生的概率为22/43；女婴出生的概率为 21/43。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都 生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是 多少？其中一名孕妇生男婴、一名孕妇生 女婴的概率是多少？
（2）一般情况
对于任意两个事件A和B，不满足相互独立 时，乘法公式为：
三、二项分布与均值分布
1.二项分布（Bernoulli Distribution)
二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的 概率分布,它是由伯努利创始的,因此又称为伯努利 分布 社会调查问卷中有许多变量取值只有两类的问题：

是否结过婚？ 是否赞成“一对夫妻只生一个孩子”？ 免收农业税以来，你家经济状况是否得到改善？
p
m n
复习：组合
一般来说，从n个不 同元素中，任取m （m<n)个元素编成 一组，称为从n个不 同元素中每次取m 个元素的一个组合 ，这些组合的种数 记作
m Cn
C
m n
n! m!( nm)!
n!表示n的阶乘， n!=n×(n-1)(n-2)……3 ×2 ×1
排列和组合的区别
有顺序——排列； 无顺序——组合； 两者的联系：

大学； 某生明年可能考上大 学； 某生明年很可能考上 大学；
概率的表达实质和这 些“比较级”是一样 的，只是更为精确。
2.随机事件的概率
在一组不变的条件S下，重复做n次试验，m为 在n次试验中事件A发生的次数。当n很大时， 事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数p附件 摆动，并且随着试验次数n的增加，其摆动幅 度会越来越小，则事件A称为随机事件，并把 数值p称为随机事件A发生的概率，记作： P(A)= p
P(AB)=P(A)P(B/A)
P(B/A)又称为条件概率，表示在事件A发生 的条件下事件B发生的概率。
例6：
盒中装有16个球，其中6个为玻璃球，剩 下10个为木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取2个，问 得到都是蓝色玻璃球的概率是多少？ 得到一个是蓝色玻璃球，一个是蓝色木质 球的概率是多少？
1.随机现象具有双重性
偶然性：在一次试验或观察中事件出现的可能具 有偶然性；可能会出现; 它表示为：若……，可能…… 统计规律性：在相同条件下，进行大量重复试验 或观察时，随机事件出现可能的大小是稳定的。 概率论研究的正是随机现象的统计规律性。
2.偶然性和规律性的关系
单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具
3.概率的取值范围
不可能发生的事件，称为不可能事件，概率p=0; 一定发生的事件，称为必然事件，概率p=1; 一般的随机事件，发生的可能性处于“必然”与“不 可能”之间，发生的概率为： 0≤P(A)≤1
概率值越大，这一事件发生的可能性越大。