认识无理数(1)剖析

第二章实数
1.认识无理数（一）
基于对课程标准的设计
一、学生起点分析
八年级学生已经在学习《有理数》的过程中体会到数不够用了，刚刚学完《勾股定理》，再次感受到需要研究新的数了.在此基础上，学生能在“需要—探究—发现—论证”式的课堂中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法，从非常直观的操作中发现问题，实现数的发展.
二、教材任务分析
《数怎么不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节. 本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受数的发展，建立无理数的概念，第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数.这是第1课时，学生将在具体的背景中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的产生的实际背景和引入的必要性，并能判断一个数是无理数，并能说出理由.
三、教学目标分析
（一）教学目标
知识与技能目标
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2．能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.
过程与方法目标
1．学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.
2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断识别某些数是否为有理数、无理数，训练他们的思维判断力.
3．借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
情感与态度目标
1．激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.
2．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作精神与钻研精神，借助计算器进行估算.
3．了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋半的献身精神.
（二）教学重点
1．让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2．会判断一个数是否为有理数，是否不是有理数.
3．用计算器进行无理数的估算.
（三）教学难点
1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2．无理数概念的建立及估算.
3．判断一个数是否为有理数.
四、教学学法
1．教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.
2．课前准备：多媒体，两个边长为1的正方形，剪刀，短绳.
五、教学过程：
本节课设计六个教学环节；第一环节：章节引入；第二环节：本节引入；第三环节：活动探究；第四环节：献身科学，执着追求；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.
第一环节：章节引入
内容：a.小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题：（1）两个数3.252525……与3.252252225……一样吗？它们有什么不同？
（2）一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角
形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长
又是多少厘米呢？
你能帮小红解决这个问题吗？
b .你能求出面积为2的正方形的边长吗？你知道圆周率 的
精确值吗？它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？
意图：通过这些问题，学生将发现，现实生活中存在不同于有理数的数，从而感受到需要学习新的数，激发学生的求知识欲望.
效果：通过对实际问题的了解、解决，感受实际生活中需解决的问题，激发学生的好奇心和求知欲，引出本章课题《第二章实数》.
第二环节：复习引入
内容：a .阅读下面的资料，在数学中，有理数的定义为：形如p q 的数（p 、q 为互质的整数，且p ≠0）叫做有理数，当p =1，q 为任意整数时，有理数p q 就是指所有的整数，如：
12
=-2等，当p ≠1时，由p 、q 互质可知，有理数p q 就是指所有的分数，如711，-71，-235等，综上所述，有理数就是整数和分数的统称.
请用上述材料中所涉及的知识证明下面的问题：
a .直角边长分别为3和1的直角三角形的斜边长是不是有理数？
b.复习前面学过的数，有理数包括整数和分数，有理数范围是否满足实际生活的需要呢？ 意图：回顾前面学过的数和范围，为数的扩充和发展做好铺垫，也可由问题a 直接进入本课的学习.
效果：学生通过知识回顾，再次感受数的扩充和发展的必要，为学习本节课在知识上、情感上作好准备.
第三环节：活动探究
（一）发现新数
内容：将课前已准备好的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形.
在学生活动的基础上，教师利用多媒体展示其中一种剪拼过程，并抛出下面的议一议：
（1）设大正方形的边长为a ，a 应满足什么条件？
（2）满足：a 2
=2的数a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？说明你的理由？ （3）a 可能是分数吗？说说你的理由？
引出课题《数怎么又不够用了》
意图：让学生通过分析，探索发现问题，感受数不够用了，感受无理数的产生的现实背景
和必然性，培养学生严密的逻辑性推理能力.
效果：学生拿出课前准备好的两个边长为1的小正方形 ，通过师生互动、生生互动，调
动学生学习的自主意识，在此基础上进行分组讨论，a 2
=2中的a 既不是整数，也不是分数，本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的动手能力、合作能力、推理能力，初步感受a 既不是整数也不是分数.
（二）感受新数的广泛性
内容： 面积为5的正方形，它的边长b 可能是有理数吗？说说你的理由。

意图：进一步感受不是有理数的数，感受新数的广泛性。

同时，也是对内容1 的巩固与发展。

效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性。

（三）巩固验证，应用拓展
内容：a． B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一个花园，从A 到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的
长可能是整数吗？可能是分数吗？说明理由.
b．如图（1）是由16个边长为1的小正方形拼成的，试从连接这些
小正方形的两个顶点所得的线段中，分别找出两条长度是有理数的线
段，两条长度不是有理数的线段.
意图：通过练习，巩固新知，同时也让学生感受到新数的运用。

第四环节：介绍历史，开阔视野
内容：早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说，为此希伯斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.
意图：进一步丰富无理数的背景，通过史料，培养学生为捍卫真理而勇于献身的精神，鼓励学生敢于对问题质疑、挑战.
效果：开阔了学生的视野，激发了学生的学习兴趣，产生了很好的教育效果。

第五环节：课时小结
内容a．谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决？
b．感受数不够用了，会确定一个数是有理数或不是有理数.
c．本节课用到基本方法：动手、操作、观察、思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数学知识.
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.
效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结.
第六环节：布置作业
习题2.1
六、反思
附：板书设计
基础训练
一.说说谁“有理”，谁“无理”
以下各数：－1,23,3.14,－π,3. 3,0,2,27,2
4,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)
其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.
在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________.
二.请你辨别：
如图1是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形
图1
边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个.
三、我国国旗旗面为长方形，长与宽之比为3∶2，国旗通用制作尺寸为长24dm ，宽16dm ，国旗对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？学学老师怎么分析的。

四.请你算一算：
在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算：
（1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？
（2）如果精确到百分位呢？
参考答案
一.有理数：－1，23，3.14, 3.⋅3,0,2,27,2
4. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.⋅3 ,2
7 整数：－1，0，2，2
4
二.边长为有理数的正方形有 3 个，边长为无理数的有 6 个
三、解：a 2=2402+1602=83200
故a 不可能是整数，也不可能是分数，更不可能是有理数.
四.(1)1.7米 (2)1.73米。