北京高一下学期期末数学试卷含答案
北京高一高中数学期末考试带答案解析
北京高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在0到2π范围内，与角终边相同的角是（ ） A ．B ．C ．D ．2.sin150°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．3.sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．4.已知，且，那么sin2A 等于（ ） A ．B ．C ．D ．5.函数y=tan4x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．D ．6.要得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，应该把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移7.函数f （x ）=在（0，+∞）内（ ） A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点8.已知函数f （x ）=πcos （），如果存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1﹣x 2|的最小值是（ ） A ．8πB ．4πC ．2πD ．π二、填空题1.已知扇形所在圆的半径为8，弧长为12，则扇形的圆心角为弧度 ．2.已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值是 ．3.已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于 ．4.已知函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为．5.关于函数有下列命题：①f（x）的表达式可改写为；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）的图象关于直线对称；④f（x）在区间上是减函数；其中正确的是．（请将所有正确命题的序号都填上）6.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f （）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．三、解答题1.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．2.已知函数．（Ⅰ）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的对称中心；（Ⅲ）求直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标．3.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．4.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．5.已知函数f（x）=sinx+cos2x．（Ⅰ）若α为锐角，且，求f（α）的值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．6.函数f（x）的定义域为D，函数g（x）的定义域为E．规定：函数（Ⅰ）若函数，写出函数h（x）的解析式；（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并给予证明．北京高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.在0到2π范围内，与角终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，求出结果．解：与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k=1，可得与角终边相同的角是，故选C．【考点】终边相同的角．2.sin150°的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据诱导公式直接求解．解：sin150°=sin30°=故选A．【考点】运用诱导公式化简求值．3.sin20°cos40°+cos20°sin40°的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正弦的两角和公式即可得出答案解：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=故选B．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知，且，那么sin2A等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据角A的范围及同角三角函数的基本关系，求出sinA=，再由二倍角公式求出sin2A的值．解：∵已知，且，∴sinA=，∴sin2A="2" sinA cosA=2×=，故选D．【考点】二倍角的正弦．5.函数y=tan4x的最小正周期为（）A．2πB．πC．D．【答案】D【解析】由条件根据函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．解：函数y=tan4x的最小正周期T=，故选：D．【考点】三角函数的周期性及其求法．6.要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】D【解析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x的图象，向右平移单位即可．故选：D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．7.函数f（x）=在（0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【答案】B【解析】作函数y=与y=cosx的图象，从而利用数形结合的思想判断．解：作函数y=与y=cosx 的图象如下，，∵函数y=与y=cosx 的图象有且只有一个交点， ∴函数f （x ）=在（0，+∞）内有且仅有一个零点， 故选B ．【考点】函数零点的判定定理．8.已知函数f （x ）=πcos （），如果存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1﹣x 2|的最小值是（ ） A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】B【解析】由题意，得f （x 1）是函数的最小值且f （x 2）是函数的最大值．再根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质，得相邻最大、最小值点之间的距离最小值等于周期的一半，由此求出函数的周期，则不难得到|x 1﹣x 2|的最小值．解：∵函数表达式为f （x ）=πcos （），∴函数的周期T==8π∵对任意实数x ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）， ∴f （x 1）是函数的最小值；f （x 2）是函数的最大值 由此可得：|x 1﹣x 2|的最小值为=4π 故选：B【考点】余弦函数的图象．二、填空题1.已知扇形所在圆的半径为8，弧长为12，则扇形的圆心角为弧度 ． 【答案】．【解析】设这个扇形的圆心角的度数为n ，根据弧长公式，求解即可． 解：设这个扇形的圆心角的度数为n ， 根据题意得n==，即这个扇形的圆心角为． 故答案为：． 【考点】弧长公式．2.已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值是 ． 【答案】﹣【解析】先利用α所在的象限判断出cosα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据sinα的值求得cosα的值，进而求得tanα． 解：∵α是第二象限角 ∴cosα=﹣=﹣∴tanα==﹣故答案为：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．3.已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于．【答案】【解析】根据tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y=﹣x （x≤0）上，从而得到α 的值．解：∵已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y=﹣x （x≤0）上，故α=，故答案为：．【考点】任意角的三角函数的定义．4.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为．【答案】f（x）=2sin（2x+）．【解析】直接由函数图象求得A，T，由周期公式求得ω，利用五点作图的第二点求φ，则答案可求．解：由图可知，A=2，T=，∴ω=．由五点作图的第二点可知，2×φ=．解得：φ=．∴函数解析式为：f（x）=2sin（2x+）．故答案为：f（x）=2sin（2x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．5.关于函数有下列命题：①f（x）的表达式可改写为；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）的图象关于直线对称；④f（x）在区间上是减函数；其中正确的是．（请将所有正确命题的序号都填上）【答案】①②【解析】由条件利用正弦函数的图象和性质，诱导公式，得出结论．解：关于函数，f（x）的表达式可改写为f（x）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣），故①正确．由于当x=﹣时，f（x）=0，可得f（x）的图象关于点对称，故②正确．当x=时，求得f（x）=0，不是最值，可得f（x）的图象不关于直线对称，故排除③．在区间（﹣，）上，2x+∈（﹣，），函数f（x）为增函数，故排除D，故答案为：①②．【考点】正弦函数的图象．6.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f （）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．【答案】π【解析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f （）可得函数的半周期，则周期可求．解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．三、解答题1.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）﹣11．（Ⅲ）﹣．【解析】（Ⅰ）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．（Ⅱ）由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．（Ⅲ）由条件利用二倍角的余弦公式，两角和的正切公式，求得所给式子的值．解：（Ⅰ）由三角函数的定义知，角α终边与单位圆相较于点，∴sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）原式====﹣11．（Ⅲ）cos2α=2cos2α﹣1=2•﹣1=，tan（α+）==﹣．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．2.已知函数．（Ⅰ）在给定坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）求f（x）的对称中心；（Ⅲ）求直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）f（x）的对称中心为（Ⅲ）横坐标为或【解析】（Ⅰ）利用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的图象（先列表，再画图）；（Ⅱ）根据三角函数的对称性即可求f（x）的对称中心；（Ⅲ）根据直线与函数y=f（x）的图象的关系解方程即可求出交点的横坐标．解：（Ⅰ）列表：x0π2πf（x）1﹣1函数图象如下图所示：（Ⅱ）∵y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），∴由知：，∴f（x）的对称中心为（Ⅲ）由知：或（k∈Z），∴或即直线与函数y=f（x）的图象交点的横坐标为或【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．3.已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）当时，，当时，．【解析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），（Ⅰ）由周期公式可得最小正周期，解可得单调增区间；（Ⅱ）由可得，易得三角函数的最值．解：由三角函数公式化简可得，（Ⅰ）由周期公式可得函数f（x）的最小正周期，由可得，∴函数f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）∵，∴，∴当时，，当时，．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．4.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）x的取值范围为：．（Ⅲ）存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由sinx≠0，可求f（x）的定义域，利用三角函数周期公式可求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（x）≥0知，，得，即可解得x的取值范围．（Ⅲ）f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，该函数为偶函数，则需满足，从而解得m的值，即可得解．解：（Ⅰ）=，∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（x）≥0知，即，∴，即，∴f（x）≥0时，x的取值范围为：．（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，即，若要使该函数为偶函数，则需满足，∴，∴存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．5.已知函数f（x）=sinx+cos2x．（Ⅰ）若α为锐角，且，求f（α）的值；（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）由α为锐角，可得的范围，结合求得α，代入已知函数解析式求得f （α）的值；（Ⅱ）把不等式|f（x）﹣m|≤2在上恒成立，转化为，求出f（x）的最值后求解关于m的不等式组得答案．解：（Ⅰ）∵α为锐角，∴，则∵，∴，则，∴；（Ⅱ）∵|f （x ）﹣m|≤2，∴m ﹣2≤f （x ）≤m+2， ∵不等式|f （x ）﹣m|≤2在上恒成立，∴，而，∵，∴sinx ∈[]，∴当时，；当时，，∴，∴．∴实数m 的取值范围为．【考点】三角函数的最值．6.函数f （x ）的定义域为D ，函数g （x ）的定义域为E ．规定：函数（Ⅰ）若函数，写出函数h （x ）的解析式；（Ⅱ）判断问题（Ⅰ）中函数h （x ）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）若g （x ）=f （x+α），其中α是常数，且α∈（0，π），请设计一个定义域为R 的函数y=f （x ），及一个α的值，使得h （x ）=cos4x ，并给予证明． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）h （x ）在（1，2）上单调递减，h （x ）在（2，+∞）上单调递增．（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）根据函数的定义即可得到结论． （Ⅱ）根据函数单调性的定义进行判断证明即可； （Ⅲ）根据三角函数的关系进行解方程即可．解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），g （x ）的定义域为R ， ∴（Ⅱ）当x ＞1时，任意取x 1＜x 2∈（1，+∞）， 则，∵①当x 1＜x 2∈（1，2）时，x 1x 2﹣（x 1+x 2）＜0，即h （x 1）﹣h （x 2）＞0， ∴h （x 1）＞h （x 2），故，h （x ）在（1，2）上单调递减．②当x 1＜x 2∈（2，+∞）时，x 1x 2﹣（x 1+x 2）＞0，即h （x 1）﹣h （x 2）＜0， ∴h （x 1）＜h （x 2），故，h （x ）在（2，+∞）上单调递增．综上，h （x ）在（1，2）上单调递减，h （x ）在（2，+∞）上单调递增． （Ⅲ）由函数y=f （x ）的定义域为R ，得g （x ）=f （x+α）的定义域为R ， ∴对于任意x ∈R ，都有h （x ）=f （x ）g （x ） 即对于任意x ∈R ，都有cos4x=f （x ）f （x+α）， ∴我们考虑将cos4x 分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化cos4x=cos 22x ﹣sin 22x=（cos2x+sin2x ）（cos2x ﹣sin2x ）=，∴可取，即可．（答案不唯一）【考点】函数单调性的性质．。
2022-2023学年北京市海淀区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市海淀区高一（下）期末数学试卷一、选选题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．复数i •（3+i ）的虚部是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣32．已知向量a →=（﹣1，1），则下列向量中与a →平行的单位向量是（ ） A ．(√22，−√22) B ．(√22，√22)C ．（1，﹣1）D ．（1，1）3．若tanα=−512，cos α＞0，则sin α＝（ ） A ．1213B ．513C ．−1213D ．−5134．已知tan(α−π4)=2，则tan α的值为（ ） A ．3B ．1C ．﹣3D ．﹣15．下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin2xD ．y ＝cos2x6．已知向量a →=(1，√3)，向量b →为单位向量，且a →⋅b →=1，则|2b →−a →|=（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．37．函数f(x)=sinx +sin(x +π2)的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．28．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“A ＝B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知|AB →|=1，|AC →|=2，AD →⋅AC →=4，则|BD →|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰李凤岐李少菁主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移y （米）与时间t （秒）的关系近似满足y ＝sin （ωt +φ），t ∈[0，8]，其中常数ω＞0，|φ|＜π．经测定，在t ＝2秒时该质点第一次到达波峰，在t ＝8秒时该质点第三次到达波峰．在t ∈[0，8]时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（ ） A ．32秒B ．2秒C ．52秒D ．3秒二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知向量，，则()A. B. C.3 D.53.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()A.8B.16C.D.4.已知m，n是平面外的两条不同的直线，若，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，，，，则()A. B. C. D.6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他按每次通话时间长短进行分组每组为左闭右开的区间，画出了如图所示的频率分布直方图．则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()A.18B.21C.24D.277.已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为()A. B. C.3 D.或38.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势．下图是我国2023年4月到2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度以下简称增速统计图．注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业．下列说法正确的是()A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差大B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数小C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月9.在梯形ABCD中，，，，，，则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.10.已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为()A.0B.C.1D.2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市第一零一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为()A. B. C. D.2.已知复数z满足，则()A. B. C. D.3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面()A.没有其他公共点B.仅有这一个公共点C.仅有两个公共点D.有无数个公共点4.已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为()A. B.C. D.5.将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为若，则四面体的体积为()A. B. C. D.6.“，”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤其中能使得存在且唯一确定的是()A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤8.在中，，，已知点P满足，且，则()A. B. C. D.9.在中，若，，，则为()A. B. C. D.10.如图，四棱锥中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA与直线AD所成角为，直线SA与平面ABCD所成角为，二面角的平面角为，则()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知复数z满足，，则z的虚部为__________.12.已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.13.已知，，则__________.14.如图，在平面四边形ABCD中，，，记与的面积分别为，，则的值为__________.15.如图1是唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体如图当这种酒杯内壁的表面积为，半球的半径为Rcm时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积厚度忽略不计的3倍，则的取值范围是__________取16.如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点包含端点，点E在线段上，且，给出下列四个结论：①存在点P，使得直线平面；②点P沿直线AC从点A移动到点C的过程中，四面体的体积逐渐减小；③若，则点P轨迹的长度为；④当二面角的平面角的正切值为时，平面截正方体所得截面图形的面积为其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
2024北京东城区高一(下)期末数学试题及答案
2024北京东城高一（下）期末数 学本试卷共9页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数13i z =−，212i z =−+，则在复平面内表示复数12z z +的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. cos30cos15sin 30sin15︒︒−︒︒的值为A.12B.2C.2D.13. 从装有2张红色卡片和2张黑色卡片的盒子中任取2张卡片，则下列结论正确的是A.“恰有一张黑色卡片”与“都是黑色卡片”为互斥事件B.“至少有一张红色卡片”与“至少有一张黑色卡片”为互斥事件C.“恰有一张红色卡片”与“都是黑色卡片”为对立事件D.“至多有一张黑色卡片”与“都是红色卡片”为对立事件4. 在ABC △中，cos sin b c B C =，则B ∠= A.π6 B.π4 C .π3 D .π25. 设,a b 为非零向量，下列结论中正确的是A.||||+>−a b a bB.||||||+>−a b a bC.(2)(2)⋅=⋅a b a bD.222()⋅=⋅a b a b6. 某高校的入学面试为每位面试者准备了3道难度相当的题目. 每位面试者最多有三次抽题机会，若某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止. 若李明答对每道题目的概率都是0.6，则他最终通过面试的概率为A.0.24B.0.6C.0.84D.0.9367. 将函数πsin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象关于点(,0)ϕ对称， 则||ϕ的最小值为A.π6B.π4 C .π3 D .π28. 设,αβ是两个不同平面，,l m 是两条不同直线，且m α⊂，l α⊥，则“l β⊥”是“//m β”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，则,<>=a bA.45︒B.60︒C.120︒D.135︒ 10. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，其中,,,,,,E F G H I J K 分别为棱11111111111,,,,,,A B B C C D D A AA BB CC 的中点，那么三棱柱11B FJ A HI −与三棱柱11B EJ C GK −在正方体内部的公共部分的体积为A.16B.14C.13D.12第二部分（非选择题 共70分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知向量a →=（m ，1），b →=（﹣1，2）．若a →∥b →，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．−122．复数z 满足i •z ＝1﹣2i ，则z ＝（ ） A ．2﹣iB ．﹣2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A ．3.6x +3.4y +3.0z B ．x+y+z 2 C ．0.36x +0.34y +0.30zD ．x+y+z34．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π 5．设a ，b 为实数，若a+i b−2i=1+i ，则（ ）A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝5，b ＝3C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝1，b ＝36．将函数y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π2个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A ．y =−√2sinx B ．y =√2cosx C ．y ＝﹣sin x ﹣cos xD ．y ＝cos x +sin x7．已知长方形墙ACFE 把地面上B ，D 两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得AB ＝6米，BC ＝8米．现欲通过计算，能唯一求得B ，D 两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）A ．点D 到AC 的距离B ．CD 长度和DF 长度C ．∠ACB 和∠ADCD ．CD 长度和∠ACD8．设a →，b →为非零向量，|a →|=|b →|，则“a →，b →夹角为钝角”是“|a →+b →|＜√2|a →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ，P 为棱A 1B 1的中点，Q 为线段A 1C 上的动点．以下结论中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使BQ ∥ACB ．不存在点Q ，使BQ ⊥B 1C 1C ．对任意点Q ，都有BQ ⊥AB 1D ．存在点Q ，使BQ ∥平面PCC 110．如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点P 0为射线y ＝﹣x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当0≤t ≤12时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[0，π2]B ．[7π8，11π8] C ．[11π8，15π8] D ．[3π4，11π4] 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√34．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π26．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√558．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ）A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z |为 ． 12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ． 13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 ，圆柱的体积为 ．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ． ①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．21．（15分）对于定义在R 上的函数f （x ）和正实数T ，若对任意x ∈R ，有f （x +T ）﹣f （x ）＝T ，则f （x ）为T ﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）： ①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝x +1．（2）若f （x ）＝x +sin x 为T ﹣阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知f （x ）为T ﹣阶梯函数，满足：f （x ）在[T 2，T]上单调递减，且对任意x ∈R ，有f （T ﹣x ）﹣f （x ）＝T ﹣2x ．若函数F （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣b 有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x 1，x 2，x 3，…直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得F （x ）在[0，2023T ]上有4046个零点，且x 2﹣x 1＝x 3﹣x 2＝…＝x 4046﹣x 4045．2022-2023学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知复数z 满足z ＝1+i ，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵z ＝1+i ，∴z =1−i ，∴在复平面内z 对应的点（1，﹣1）在第四象限． 故选：D ．2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ） A ．y =sin(x +π4) B ．y ＝tan x C ．y ＝cos2xD ．y ＝sin2x解：y =sin(x +π4)的周期T ＝2π≠π，故A 错误；y ＝f （x ）＝tan x 满足f （﹣x ）＝tan （﹣x ）＝﹣tan x ＝﹣f （x ），即y ＝tan x 为奇函数，故B 错误； y ＝f （x ）＝cos2x 满足f （﹣x ）＝f （x ），即y ＝cos2x 为偶函数，且其周期T =2π2=π，故C 正确； y ＝f （x ）＝sin2x 满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），即y ＝sin2x 为奇函数，故D 错误． 故选：C ．3．在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3，则a ＝（ ） A ．12B ．1C ．√3D ．2√3解：在△ABC 中，2a ＝b ，C ＝60°，c =√3， 由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以3＝a 2+b 2﹣ab ＝a 2+4a 2﹣2a 2＝3a 2， 则a ＝1或﹣1（舍去）． 故选：B ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份x （x ＝1，2，3，…，12）的关系可近似地用三角函数y =a +Asin[π6(x −3)](A ＞0)来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A ＝（ ） A ．5B ．10C ．15D ．20解：由题意可知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃， 可得{a +A =28a −A =18，解得a ＝23，A ＝5．故选：A ．5．复数z ＝cos α+i sin α，且z 2为纯虚数，则α可能的取值为（ ） A ．0B ．π4C ．π3D ．π2解：z ＝cos α+i sin α，则z 2＝（cos α+i sin α）2＝cos 2α﹣sin 2α+2sin αcos α＝cos2α+i sin2α， ∵z 2为纯虚数，∴{cos2α=0sin2α≠0，即α=π4+k 2π，k ∈Z ，故α可能的取值为π4．故选：B ．6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α解：若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；如果m ∥α，n ∥α，那么m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 如果m ⊥α，则m 与平行于α的所有直线垂直，又n ∥α，那么m ⊥n ，故C 正确； 若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α或m ∥α或m 与α相交，故D 错误． 故选：C ．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4），则cos ∠POQ ＝（ ） A ．√53B ．√55C ．−√53D ．−√55解：∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P （1，﹣2），Q （3，4）， ∴OP →=（1，﹣2），OQ →=（3，4）， ∴cos ∠POQ =OP →⋅OQ →|OP →||OQ|=1×3−2×4√1+(−2)2⋅√3+4=−55√5√55． 故选：D ．8．已知等边△ABC 的边长为4，P 为△ABC 边上的动点，且满足AP →⋅AB →≤12，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．7B ．9C ．10D ．11解：当P 在线段AB 上，则|AP →|≤12|AB →|=3，即线段AB 上有长度为3的线段满足P 点的位置，当P 在AC 上，由于AC →⋅AB →=4×4×cos π3=8＜12，所以线段AC 满足P 点位置， 当P 在BC 上，则AP →=λAB →+μAC →，λ＞0，μ＞0，λ+μ＝1， 所以AP →⋅AB →=λ|AB →|2+μAC →⋅AB →=16λ+8μ＝16λ+8﹣8λ＝8+8λ， 令8+8λ≤12，解得λ≤12，所以线段BC 上远离B 点的一半线段满足P 点位置， 所以P 的轨迹长度为3+4+2＝9． 故选：B ．9．已知函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω＞0)，则“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数， 则f （x ）在对称轴在（0，π3）上，由ωx +π3=k π+π2（k ∈z ）， 解得x =kπω+π6，故0＜kπω+π6＜π3，解得：ω＞12， 而（1，+∞）⫋（12，+∞），故“f （x ）在[0，π3]上既不是增函数也不是减函数”是“ω＞1”必要不充分条． 故选：B ．10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且|AB|=√3，则PA →⋅PB →的取值范围是（ ） A ．[−12，32]B ．[﹣1，3]C ．[﹣2，3]D ．[﹣1，2]解：如图，不妨设线段AB 的垂直平分线为y 轴，在单位圆中，由|AB|=√3，可得A （−√32，12），B （√32，12），点P 都在单位圆上，故可设点P （cos α，sin α），α∈[0，2π]， 则PA →=(−√32−cosα，12−sinα)，PB →=(√32−cosα，12−sinα)， 所以PA →⋅PB →=cos 2α−34+14−sin α+sin 2α=12−sin α∈[−12，32]． 故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则|5z|为 1 ． 解：复数z 在复平面内所对应的点的坐标为（3，﹣4），则z ＝3﹣4i ， 故|5z |=5|z|=5√3+(−4)2=1．故答案为：1．12．（5分）设向量a →=(1，2)，b →=(4，x)，若a →⊥b →，则x ＝ ﹣2 ． 解：∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=4+2x =0，解得x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．13．（5分）已知圆柱的底面半径为3，体积为32π3的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为 2 ，圆柱的体积为 36π ． 解：因为球的体积为32π3，则球半径r 满足43πr 3=32π3，解得r ＝2，又因为球与圆柱的上、下底面相切，所以圆锥的高为2r ＝4， 所以圆柱的体积为V ＝π×32×4＝36π． 故答案为：2；36π．14．（5分）写出一个同时满足下列两个条件的函数f （x ）＝ ﹣cos4x （答案不唯一） ．①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)； ②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立．解：由①∀x ∈R ，f(x +π2)=f(x)，可知函数的周期为π2，由②∀x ∈R ，f(x)≤f(π4)恒成立，可知函数在x =π4上取到最大值， 则f （x ）＝﹣cos4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T =2π4=π2，满足条件①； 另一方面，f(π4)=−cosπ=1=f(x)max ，满足条件②． 故答案为：﹣cos4x （答案不唯一）．15．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段B 1D 1上，且D 1E =14B 1D 1，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PB 1D 1∥平面C 1BD ； ②存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形； ③若PE ≤5，则点P 轨迹的长度为2√7； ④当AP PC=13时，则平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，当点P 和点A 重合时，平面PB 1D 1∥平面C 1BD ，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接BD 交AC 于点O ，连接C 1D ，C 1B ，C 1O ，AO 1，∵O 1C 1∥PO ，且O 1C 1＝AO ， ∴四边形O 1POC 1平行四边形，∴O 1P ∥C 1O ，∵O 1P ⊄平面C 1BD ，C 1O ⊂平面C 1BD ，∴O 1P ∥平面C 1BD ，∵B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄平面C 1BD ，BD ⊂平面C 1BD ，∴B 1D 1∥平面C 1BD ，又∵B 1D 1∩PO 1＝O 1，B 1D 1，PO 1⊂平面PB 1D 1，∴平面PB 1D 1∥平面C 1BD ；故①正确； 对于②，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由几何关系可知PD 1＝PB 1，要使△PB 1D 1是等腰直角三角形，则PD 1⊥PB 1， 由已知得D 1（0，0，4），B 1（4，4，4），设点P （4﹣a ，a ，0）， 则PD 1→=(a −4，−a ，4)，PB 1→=(a ，4−a ，4)， ∵PD 1⋅PB 1→=0，∴a 2﹣4a +8＝0，此方程无解，则不存在点P ，使得△PB 1D 1是等腰直角三角形，故②不正确；对于③，因为D 1E =14B 1D 1=√2，则E （1，1，4），A （4，0，0），C （0，4，0）， 即EA =EC =√26＞5，则P 轨迹是在AC 上的线段，不包括端点A 、C ，如下图所示， 由已知得△EAC 为等腰三角形，则△EAC 底边上的高EH =3√2＜5，随着P 向点C 运动，EP 逐渐减小，故在线段AH 上存在一点P ，使得EP ＝5， 同理可知靠近点C 处也存在一点P ，使得EP ＝5，设线段PE ＝5，由勾股定理可知PH =√7，所以点P 轨迹的长度为2√7，故③正确；对于④，连接BD ，过点P 作BD 的平行线交AB ，AD 于点M ，N ，连接B 1M ，D 1N ， 则MND 1B 1为平面PB 1D 1截正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1所得的截面图形， 由已知得AP =14AC =√2，由△AMN ∽△ABD 可知，MN =2√2，又因为MB 1=ND 1=2√5，且MN ∥B 1D 1， 所以四边形MND 1B 1为等腰梯形，其中梯形的高ℎ=3√2，所以截面面积为12(2√2+4√2)×3√2=18，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（10分）已知π2＜α＜π，sinα=45．（1）求tan α的值； （2）求cos2αcos(α+π4)的值．解：（1）因为sin 2α+cos 2α＝1，sinα=45， 所以cos 2α=925， 又因为π2＜α＜π， 所以cosα=−35． 所以tanα=sinαcosα=−43； （2）cos2αcos(α+π4)=22√22(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)=√25． 17．（15分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱DD 1，C 1D 1的中点． （1）证明：A 1B ⊥平面ADC 1B 1； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．证明：（1）由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的结构特征，可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥A 1B ， ∵A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，∴A 1B ⊥平面ADC 1B 1． （2）设AB 1∩A 1B ＝O ，连接OE ，∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，∴B 1A ∥C 1D ，且B 1A ＝C 1D ， ∴B 1O ∥C 1D ，且B 1O =12C 1D ，∵E ，F 分别DD 1，C 1D 1的中点，∴EF ∥C 1D ，且EF =12C 1D ， ∴EF ∥B 1O ，且EF ＝B 1O ，∴四边形B 1OEF 为平行四边形，∴B 1F ∥OE ， 又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ．18．（15分）已知在△ABC 中，a cos B +b cos A ＝2c cos A ． （1）求A 的大小；（2）若c ＝4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周长． ①△ABC 的面积为5√3； ②a =√13；③AB 边上的高线CD 长为√32． 解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=c sinC，得sin A cos B +sin B cos A ＝2sin C cos A ，所以sin （A +B ）＝2sin C cos A ，因为A +B +C ＝π，所以sin （A +B ）＝sin C ，所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为C ∈（0，π），sin C ≠0，所以2cos A ＝1，即cosA =12， 又因为A ∈（0，π），所以A =π3；（2）选择①：因为S △ABC =5√3，即12bcsinA =5√3，即12×b ×4×√32=5√3，所以b ＝5， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=25+16−2×5×4×12， 所以a =√21，所以△ABC 的周长为9+√21； 选择②： 因为a =√13，又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即13＝b 2+16﹣2×b ×4×12， 所以b ＝1或3，因为△ABC 存在且唯一，所以舍去； 选择③：因为AB 边上的高线CD 长为√32，即bsinA =√32，所以b ＝1， 又因为a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2=1+16−2×1×4×12， 所以a =√13，所以△ABC 的周长为5+√13． 19．（15分）已知函数f(x)=sin(2x −π6)+2cos 2x −1． （1）求f(π6)的值；（2）若函数f （x ）的单调递增区间；（3）若函数f （x ）在区间[0，m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围． 解：（1）f （x ）=√32sin2x −12cos2x +cos2x =√32sin2x +12cos2x ＝sin （2x +π6），所以f （π6）＝sin （2•π6+π6）＝sin π2=1；（2）由（1）可得，单调递增满足−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π，k ∈Z ， 解得：−π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z ，所以函数的单调递增区间为[−π3+k π，π6+k π]，k ∈Z ；（3）x ∈[0，m ]，可得2x +π6∈[π6，2m +π6]，由题意可得2m +π6∈[2π，3π），解得11π12≤m ＜17π12， 即m ∈[11π12，17π12）．20．（15分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA ＝SD ＝AD ＝2，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ． （1）求证：CD ⊥SA ；（2）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离； （3）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CN CS；若不存在，说明理由．证明：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥SA ；（2）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ∩平面ABCD ＝EM ， 平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以CD ∥EM ， 又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点； 由（1）知，CD ⊥平面SAD ，又CD ⊂平面SCD ，所以平面SCD ⊥平面SAD ，所以点E 到平面SCD 的距离等于点E 到SD 的距离， 因为SA ＝SD ＝AD ＝2，所以△SAD 为正三角形，又E 为AD 的中点， 所以点E 到SD 的距离为√32，因为平面EFM ∥平面SCD ， 所以点M 到平面SCD 的距离为√32； 解：（3）存在，当N 为SC 中点时，平面DMN ⊥平面ABCD ，证明如下： 连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ，因为ED∥CM，并且ED＝CM，所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，又因为N为SC中点，所以NO∥SE，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，又SE⊂平面SAD，由已知SE⊥AD，所以SE⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD，所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，CNCS=12．21．（15分）对于定义在R上的函数f（x）和正实数T，若对任意x∈R，有f（x+T）﹣f（x）＝T，则f（x）为T﹣阶梯函数．（1）分别判断下列函数是否为1﹣阶梯函数（直接写出结论）：①f（x）＝x2；②f（x）＝x+1．（2）若f（x）＝x+sin x为T﹣阶梯函数，求T的所有可能取值；（3）已知f（x）为T﹣阶梯函数，满足：f（x）在[T2，T]上单调递减，且对任意x∈R，有f（T﹣x）﹣f（x）＝T﹣2x．若函数F（x）＝f（x）﹣ax﹣b有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在b∈R，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点，且x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x4046﹣x4045．解：（1）①因为f（x）＝x2，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）2﹣x2＝2x+1≠1，所以f（x）＝x2不是1﹣阶梯函数；②因为f（x）＝x+1，所以f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）+1﹣（x+1）＝1，所以f（x）＝x+1是1﹣阶梯函数；（2）因为f（x）为T﹣阶梯函数，所以对任意x∈R有：f（x+T）﹣f（x）＝[x+T+sin（x+T）]﹣（x+sin x）＝sin（x+T）﹣sin x+T，所以，对任意x∈R，sin（x+T）＝sin x，因为y＝sin x是最小正周期为2π的周期函数，又因为T＞0，所以T＝2kπ，k∈N*；（3）a＝1．证明：函数F（x）＝f（x）﹣x﹣b，则有：F（x+T）＝f（x+T）﹣（x+T）﹣b＝f（x）+T﹣（x+T）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x），F（T﹣x）＝f（T﹣x）﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）+T﹣2x﹣（T﹣x）﹣b＝f（x）﹣x﹣b＝F（x）．取b=f(3T4)−3T4，则有：F(3T4)=f(3T4)−3T4−b=0，F(T4)=F(T−T4)=F(3T4)=0，由于f（x）在[T2，T]上单调递减，因此F（x）＝f（x）﹣x﹣b在[T2，T]上单调递减，结合F（T﹣x）＝F（x），则有：F（x）在[0，T2]上有唯一零点T4，在[T2，T]上有唯一零点3T4．又由于F（x+T）＝F（x），则对任意k∈Z，有：F(T4+kT)=F(T4)=0，F(3T4+kT)=F(3T4)=0，因此，对任意m∈Z，F（x）在[mT，（m+1）T]上有且仅有两个零点：mT+T4，mT+3T4．综上所述，存在b=f(3T4)−3T4，使得F（x）在[0，2023T]上有4046个零点：x1=T4，x2=3T4，x3=5T4，x4=7T4， (x4045)8089T4，x4046=8091T4，其中，x2−x1=x3−x2=⋯=x4046−x4045=T 2．。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
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北京101中学高一年级下学期期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M={x|x2-4x+3<0}，N={x|3-x>1}，则M N=（）A. {x| 1<x<3}B. {x| 1<x<2}C.D. {x| x<3}2. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A. 90B. 100C. 180D. 3003. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。
如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A. 9B. 18C. 20D. 354. 重庆市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是（ ）A. 19B. 20C. 21.5D. 235. 在区间[0，2]上随机取一个实数x ，若事件“3x-m<0”发生的概率为61，则实数m 的值为（） A. lB.21C.31D.61 6. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥--,3,03,01y y x y x 则2x+y 的最小值为（ ）A. 11B. 5C. 4D. 27. 已知实数x ，y 满足a x<a y（0<a<1），则下列关系式恒成立的是（ ） A.111122+>+y x B. ln （x 2+1）>ln （y 2+1） C. sinx>sinyD. x 3>y 38. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=21，有下列结论：①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD ；③平面ACC 1A 1⊥平面BEF ；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等。
正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共6小题。
9. 已知函数f （x ）=x+x8-3（x>0），则f （x ）的最小值是__________。
10. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 9l 90 89 93 乙 8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_______。
11. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是_______。
（填序号）①对立事件；②不可能事件；③互斥但不对立事件；④对立不互斥事件。
12. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_______。
13. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题，其中正确命题的序号是_______。
①α∥β⇒l ⊥m；②α⊥β⇒ l ∥m；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β。
14. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影。
由区域⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤-043,0,02y x y x x 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB|=_________。
三、解答题共5小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 某儿童乐园在“六一儿童节推出了一项趣味活动。
参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数。
设两次记录的数分别为x ，y 。
奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个;②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶。
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀。
小亮准备参加此项活动。
（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由。
16. 如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC，O，M分别为AB，VA的中点。
求证：（1）VB∥平面MOC；（2）OC⊥平面VAB。
17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组。
制成了如图所示的频率分布直方图。
（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85％的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。
18. 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E 分别是AA 1，AC ，AB 的中点，求证：（1）平面MEN ∥平面A 1BC ； （2）A 1C ⊥C 1D ；（3）平面A 1EC ⊥平面A 1CD 。
19. 已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（x1+a ）。
（1）当a=5时，解不等式f （x ）>0；（2）若关于x 的方程f （x ）-log 2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围； （3）设a>0，若对任意t ∈[21，1]，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围。
参考答案1. B 2 C 3. B 4. B 5. A 6. B 7. D 8. C 9. 42-3 10. 2 11. ③ 12.3113. ①③ 14. 32 15. （1）用数对（x ，y ）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S={（x ，y ）| x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，l ≤y ≤4}一一对应。
因为S 中元素的个数是4×4=16，所以基本事件总数为n=16。
记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共有5个， 即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）， 所以P （A ）=165，即小亮获得玩具的概率为165。
（2）记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy<8”为事件C 。
事件B 包含的基本事件共有6个，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），所以P （B ）=166=83。
事件C 包含的基本事件共有5个，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P （C ）=165。
因为83>165， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率。
16. （1）因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB 。
又因为OM ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC 。
（2）因为AC=BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB 。
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面VAB=AB ，所以OC ⊥平面VAB 。
17. （1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02。
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=l ， 解得a=0.30。
（2）由（1）100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12。
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000。
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3，由0.3×（x-2.5）=0.85-0.73，解得x=2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85％的居民每月的用水量不超过标准。
18. （1）因为M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，所以MN∥A1C，ME∥A1B。
又因为MN ME=M，所以平面MEN∥平面A1BC。
（2）因为BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C l，所以BC⊥C1D。
又在平面CDD l C l中，C1D⊥CD1，BC CD1=C，所以C1D⊥平面BCD1A l，又因为A1C⊂平面BCD l A l，所以A1C⊥C1D。
（3）连结A1D，取A1D中点F，取A1C中点O，连结AF，OF，OE，则AF⊥A1D。
因为C1D⊥平面A A DD l，AF⊂平面A A DD l，所以AF ⊥CD ， 又C 1D A 1D=D ， 所以AF ⊥平面A 1CD ， 因为OF21CD ，EA 21CD ， 所以OF EA ，所以四边形OFAE 为平行四边形， 所以EO ∥AF ， 所以EO ⊥平面A 1CD ， 又EO ⊂平面A 1EC ， 所以平面A 1EC ⊥平面A 1CD 。
19. （1）log 2（x 1+5）>0⇔x 1+5>1⇔xx 14+>0⇔x （4x+1）>0， 所以不等式的解为{x| x>0或x<-41}。
（2）依题意，log 2（x1+a ）=log 2[（a-4）x+2a-5]，所以x1+a=（a-4）x+2a-5，①可得（a-4）x 2+（a-5）x-1=0， 即（x+1）[（a-4）x-1]=0， ②当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①式，成立。
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①式，成立。
当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x=-l 或x=41-a 。
若x=-1为方程①的解，则x1+a=a-1>0，即a>1。
若x=41-a 为方程①的解，则x1+a=2a-4>0，即a>2。
要使得方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2。