等腰直角弯与全等三角形(佳德 易建洪)

等腰直角弯与全等三角形

泸州市七中佳德学校 易建洪

【概念解读：】

等腰直角弯：在等腰直角三角形中，去掉斜边的部分，叫等腰直角弯。

（弯头双垂线）

（共点双弯）

“V”型

“K”型等腰直角弯

等腰直角

弯头双垂线：有直线经过等腰直角弯的直角顶点时，经过两弯头顶点画已知直线的垂线段，称为弯头双垂线，弯头双垂线与等腰直角弯中的两条线段组成的直角三角形全等。由直线与等腰直角弯的位置关系分为“K ”型与“V ”型。

共点双弯：有时在等腰直角弯的直角顶点处造出共顶点的另一个等腰直角弯，称为共点双弯。共点双弯中的两组等边分别组成的三角形全等。

等腰直角弯往往隐含在等腰直角三角形与正方形中，有时也通过核心全等三角形识别等腰直角三角形与正方形。

【核心全等三角形：】

1.如图，△ABC 中,∠ACB ＝90o ,AC ＝BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E .

⑴ 直线MN 绕点C 旋转到图⑴的位置时,求证:△ACD ≌△CBE ； ⑵ 直线MN 绕点C 旋转到图⑵的位置时,求证: △ACD ≌△CBE .

（图1）

N

M

E

D

C

B

A

（图2）M

D

C E

N

B

A

解析：在图1与图2中，∠ACD 与∠BCE 互余，∠ACD 与∠DAC 互余，由同角的余角相等得∠BCE ＝∠DAC ，又∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC ，由角角边判定△ADC ≌△CE B . 证明：（1）∵点D 、C 、E 在同一直线上，且∠ACB ＝90o

∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－∠ACB ＝180°－90°＝90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°

在Rt △ADC 中，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，且∠ACD ＋∠BCE ＝90° ∴∠DAC ＝∠BCE ，又∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝BC ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）

（2）∵∠ACB ＝90o

，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°

∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°

在Rt △ADC 中，∠ACD ＋∠DAC ＝90°，且∠ACD ＋∠BCE ＝90° ∴∠DAC ＝∠BCE ，又∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝BC ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）

2. 如图，△ABC 与△DEC 都是等腰直角三角形，

∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC ＝BC ，DC ＝E C .

求证：△ACD ≌△CE B .

解析：由∠ACB ＝∠DCE ＝90°知，∠ACD ＝∠BCE ，且AC ＝BC ，DC ＝EC ，由边角边公理即可判定△ACD ≌△CE B . 证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°

∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB 即：∠ACD ＝∠BCE ，又AB ＝BC ，DC ＝EC ∴△ACD ≌△CEB （SAS ）

在图1、图2和图3中的全等三角形就是等腰直角弯中的核心全等三角形。

（图3）

A

B

C

D

E

【等腰直角弯的运用：】 一、弯头双垂线

出现等腰直角弯的图形中，往往需要作弯头双垂线。构造全等三角形解决问题。 例题1. 如图4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2,0)，点A 的坐标为(－6,3)，则B 点的坐标是___________.

解析：因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，符合等腰直角弯的条件，因此过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点D 、E ，如图5，则△ADC ≌△CEB ，由点C (－2,0)，A (－6,3)，知AD ＝CE ＝3，BE ＝DC ＝D 0－C 0＝6－2＝4，OE ＝CE －CO ＝3－2＝1，又点B 在第一象限，所以点B 的坐标为（1，4）.

答案：（1，4）.

例题2. 如图6，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2

，BC ＝3，将腰CD 以D 为旋转中心逆时针旋转90º至ED ，连接AE ，则△ADE 的面积为

___________.

（图6）

（图7）

B

解析：因为∠EDC ＝90°，腰CD 与ED 旋转重合，DC ＝DE ，符合等腰直角弯的条件，

因此过点C 、E 分别作直线AD 的垂线段，如图7，则△DCF ≌△EDG ，∴EG ＝DF ＝AF －AD ＝BC －AD ＝3－2＝1，∴S △ADE ＝2

1AD EG ＝

2

1×2×1＝1.

答案：1.

例题3.如图8，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝

x

2(x ＞0)的图象上，

顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3反比例函数y ＝

x

2(x ＞0)的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为_________________.

解析：在正方形A 1B 1P 1P 2中，有等腰直角弯P 1B 1A 1和B 1A 1 P 2，因此过P 1作P 1C ⊥y 轴于点C ，过P 2作P 2D ⊥x 轴于点D ，过P 3作P 3E ⊥于x 轴于点E ，过P 3作P 3F ⊥P 2D 于点F .如图9，则有△P 1B 1C ≌△B 1A 1O ≌△A 1P 2D ，△P 3P 2F ≌△P 3A 2E .因为P 1在双曲线上，所以设点P 1的坐标为（a ,a 2），即CP 1＝a ,OC ＝a

2,所以OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，OA 1＝B 1C ＝P 2D

＝

a

2－a ，故OD ＝a ＋

a

2－a ＝

a

2，所以点P 2的坐标为（

a

2，

a

2－a ），将点P 2的坐标代入

反比例函数解析式，得：（a

2－a ）×

a

2＝2，化简得：a 2＝1，所以a 1＝－1（舍），a 2＝1，

所以点P 2的坐标为（2，1），设点P 3的坐标为（b ,b

2），因为P 3E ＝P 3F ＝DE ＝

b

2，OE ＝

OD ＋DE ＝2＋

b

2，所以2＋

b

2＝b ，解得：b 1＝1－3（舍），b 2＝1＋3，所以

b

2＝

133

12-=

+

，所以点P 3的坐标为（

3＋1，

3－1）.

答案：（3＋1，3－1）. 二、共点双弯

有等腰直角弯的图形中，直角顶点没有直线或者用弯头双垂线不能求解时，可以考虑

制造共点双弯，再借助全等三角形解决问题。

例4．如图10，点P 在双曲线y ＝

x

6上，以P 为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，E 为y

轴负半轴上的一点，PF ⊥PE 交x 轴于点F ，则OF －OE 的值是 ．