等腰与全等三角形综合
专题10.等腰三角形有关的全等判定
---等腰（边）三角形有关的全等判定
复习与回顾
三角形全等的判定方法
SSS
SAS
AAS ASA
HL
1.三角形全等的判断定理 （1）三角形全等的判断定理
三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的三角形全等（HL） （2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
BF＝CD; ∠CBF＝∠ACD＝90°
CB＝AC， ∴△CBF≌△ACD（SAS）． ∴∠BCF=∠CAD． 又∵∠BCF+∠GCA=90°， ∴∠CAD+∠GCA=90°． 即AD⊥CF．
应用举例3：利用等腰三角形的性质判定三角形全等
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点， DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连 接CF．
(1)求证：CD=BF； (2)求证：AD⊥CF；
(3)连接AF，试判断△ACF的形状.
（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示， 由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是 ∠DBF的平分线， ∴BE垂直平分DF， ∴AF=AD(等腰三角形的性质：三线合一) ∵CF=AD（全等三角形的对应边相等） ∴CF=AF（等量代换） ∴△ACF是等腰三角形．
思考探究二：与等腰（边）三角形有关的全等问题
A
E
D
G
BF
C
思考探究二：与等腰（边）三角形有关的全等问题
A
A
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
等腰三角形和等边三角形的综合题
等腰三角形的性质应用及判定【例1】（扬州中考）如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）【例2】如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D,又延长BA 到E ，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE 为等腰三角形【例4】如图，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M,N 分别在AB,AC 上，则△AMN 的周长是【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A.20° B.120° C.20°或120° D.36°【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为：【例7】如图，点O 事等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD 是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？(2)求证：△COD 是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由A EB C O D E A B C D EA B C D FAM ND B C A M NDB CP Q BDBE【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC 中，点D,E 分别在边BC,AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC 的度数。
【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE 和△BCF ，连接BE,AF 。
等腰三角形勾股定理及全等的综合应用
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD-DF=12-5=7；
(2)证明：如图2，在BF上取一点H使BH=EF，
连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
=
∵ ∠ = ∠ = ° ，
=
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴AE=CH，∠AEF=∠BHC，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x,则
EB=ED=x,CE=4-x,
∵∠C=∠PDE=90°，
2
2
2
2
2
∴PC +CE =PE =PD +DE
，
2
2
2
2
∴2 +(4-x) =1 +x ，
解得：x=
．
则DE=
，
证：CD⊥BF；
2
2
2
(2)连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC =BE +CD ，试判断
CD与BE的位置关系，并证明．
解:(1)证明：在△ACD和△AFE中
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ACD≌△AFE(SAS)，
∴∠DCA=∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
(2)解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF=AC，连接EF，
∵BA⊥CF，AC=AF，
∴BC=BF，
由(1)可知CD∥EF，CD=EF，
2
2
2
∵BC =BE +CD ，
2
2
2
∴BF =BE +EF ，
第13讲 全等三角形综合
2t＝5，解得：t＝2.5， CQ＝BP＝6， v×2.5＝6，解得：v＝2.4． 综上所述：当 v＝2.4 或 2 时△ABP 与△PQC 全等．
4 故若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为 15 cm/s 时，能够使△BPD 与△
4 CQP 全等．
变 1．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点 P 从点 B 出发，以 2cm/ 秒的速度沿 BC 向点 C 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒： （1）PC＝_______cm；(用含 t 的代数式表示) （2）当 t 为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点 P 从点 B 开始运动的同时，点 Q 从点 C 出发，以 v cm/秒的速度沿 CD 向点 D 运动，是否存在这样 v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出 v 的值；若不 存在，请说明理由．
1． 利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的 思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题．
2． 利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函 数或方程．
考点一 动点问题
例 1．如图，已知△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在 线段 BC 上以 3cm/s 的速度由点 B 向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向 A 点运动． （1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等， 请说明理由． （2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
全等三角形与等腰三角形的应用
全等三角形与等腰三角形的应用一：线段的相等1：若所证线段恰好是两个三角形的边，则证这两条线段所在的三角形全等。
?2：若所证线段是同一三角形的边，则证此三角形是等腰三角形；也可通过证中垂线得出结论。
3：上面两种方法无法解决问题时，要用构造法来解题。
例1：如图点A ，B ，C 在一直线上，DC?AC ，AE ∥CD ，A D ⊥BE ，垂足为F ，AB=CD ：求证：AE=AC例2：如图1，已知C 是线段AB 上的一点，△ACD 和△BCE 是等边△，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ；求证：（1）：AE=BD （2）：∠AOB=120° （3）：CM=CN 。
引伸1：若M ，N 分别是DB ，AE 中点，△MCN 是等边三角形吗？若是，请证明，若 不是，请说明理由。
（图2）引伸2：若△ECB 绕点C 顺时针旋转α度，例2中的结论成立吗？若成立，请给于 证明；若不成立，请说明理由。
例3：如图，已知在△ABC 中，D 为AC 上一点，且DC=(1/2)AD ，∠ADB=60°， ∠C=45°，A E ⊥BD 于E ，连接CE ； 求证：EA=EB=EC 。
例4：如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAC=∠DAE ，DB 交AC 于F ，且AF 平分BD ，GE 交AD 于G 。
求证：CG=GE 。
例5：已知：如图，AF 平分∠BAC ，B C ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于P ，M ； （1）：求证：AB=CD ；（2）：若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由。
图2图1例6：如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点， 易证CD=BE ，△AMN 是等边三角形； （1）：当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立，请证明,若不成立，请说明理由；? （2）：当△ADE 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？?若是，请给出证明，若不是，请说明理由。
全等三角形综合练习
全等三角形综合训练（一）1、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B,AC=BD,求证：A B∥CD。
2、如图，在ABC中，AB=AC, F、E 分别是AB、AC上的点，AM⊥CF于M,AN⊥BE于N,且AM=AN,求证：BF=CE.3、如图，已知等腰R t△ABE与等腰R t△ACD,∠BAE=∠CAD=90°,AM⊥DE于M, 交BC于N,求证：AN为△ABC的中线。
4、如图在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边向形外作等边△ABE和等边△ACD,DE和AF交于F点，求证：EF=DF5、如图、已知等边△ABC和等边△BDE,点A、B、D在一条直线上，连AE、CD交于点P.(1)AE=CD;(2)求∠DPE的度数；（3）若△BDE绕B点旋转任意角度，其它条件不变，则(1)、(2)的结论是否仍成立？试证明。
6、如图、已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC=BC,CD=CE,M、N分别为AE、BD的中点，连CM、CN.（1）判断CM与CN的位置关系和数量关系；(2)若Rt△CDE绕C点旋转任意角度，其它条件不变，则(1)的结论是否仍成立？试证明。
7、如图，已知等腰Rt△ABC的直角顶点C在X轴上，B在Y轴上。
（1）若点C的坐标为（2，0），A的坐标为（-2，-2），求点B的坐标;(2)在（1）的条件下，AB交X轴于F,边AC交Y轴于E,连EF,①求证：CE=AE;②求证：∠CEB=∠AEF。
（3）如图，直角边BC在坐标轴上运动，使点A在第四象限内，过点A作AD⊥y轴y于点D,求的值。
8、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1, 0）,点D 为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO;过D作DM⊥AC于M.（1）求证：∠ABD=∠ACD;(2)若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE;(3)当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由。
尺规作图等腰三角形全等三角形及直角坐标
尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、 掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程2、 巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力3、 掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想． 教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、 选择题(1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）(2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以表示为( )A.(0，3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，0)(3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限(4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A.经过原点B.平行于y 轴C.平行于x 轴D.以上说法都不对(5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（ ）个公共点A ．0B ．1C ．2D ．3(6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C '，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标是A ．)3,2(--b aB ．)3,2(--b aC ．)2,3(++b aD ．)3,2(++b a2、填空题(1) 在平面直角坐标系中，点P)1,1(2+-m 一定在第 象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标为 ． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ．(4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________．A B C3、在所给的图中按所给的语句画图:①连结线段BD; A②过A、C画直线AC；③延长线段AB；④反向延长线段AD． C DE4、如图，使用圆规和直尺分别画出∠AOB和∠BOC的角平分线OM和ON，并说明作图过程．如果∠MON=68º，那么∠AOC应为多少度？5、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．6、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。
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例题讲解与练习
1、(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成 立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点 互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF 均为等边三角形，连接BD、CE, 若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
例题讲解与练习
3、在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，点B分别是y轴，x轴上两个动点，直 角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E.
(3)如图③，若点A在x轴上，且A(－4，0)，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB 为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当 点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求 出BP的长度．
例题讲解与练习
3、在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，点B分别是y轴，x轴上两个动点，直 角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E. (1)如图①，已知C点的横坐BC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，点B分别是y轴，x轴上两个动点，直 角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E. (2)如图②，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE
下课了啦！ 继续努力！ 下次课见！
作业：2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限 内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四 象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E. (1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论； (2)当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
例题讲解与练习
2、 (3)深入探究：Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与B不重合)，连 接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究 AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；Ⅱ.如图④，当动点D在等边△ABC 的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是 否有新的结论？并证明你得出的结论．
例题讲解与练习
2、(1)操作发现：如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC， 以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你 发现的结论；
例题讲解与练习
2、(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与(1)相 同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？
课堂总结： 1、让学生总结本节课的收获 2、老师点评本节课学生的表现 3、学生的努力方向
作业：1.如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出 发，各自沿BA，AD方向运动到点A，D停止，运动的速度相同，连接EC，FC. (1)在点E，F运动过程中，∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由； (2)在点E，F运动过程中，以点A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由； (3)连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．
习题：等腰与全等三角形综合
上次作业处理
例题讲解与练习
1、(1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直 线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
例题讲解与练习
1、(1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直 线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE. (2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上, 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.