全等三角形及等腰三角形专项复习.docx
北师大版数学七年级下全等三角形、等腰三角形专题复习
初中数学试卷金戈铁骑整理制作全等三角形、等腰三角形专题复习一、知识回想1. 全等三角形的性质：全等三角形对应边；全等三角形对应角.2. 全等三角形的判断方法有：，，，，〔简记形式〕3. 等腰三角形：〔1〕定义；〔2〕性质：①等腰三角形的两底角；简记为②“三线合一〞是指.③对称性，等腰三角形有条对称轴，是.〔3〕等腰三角形的判断：①两边相等的三角形是〔定义〕②；简记.4. 等边三角形：〔1〕定义：腰和底边相等的等腰三角形是；〔2〕性质：①等边三角形的三边，②等边三角形三内角，都为.③等边三角形对称性，等边三角形有条对称轴，是.④在直角三角形中，300角所对的的一半.〔3〕等边三角形的判断方法：①三边相等的三角形是；②三内角相等的三角形是，③有两个角为600的三角形是；④有一个角为600的是等边三角形.二、典例解说1. 利用相等线段的和差找对应边相等证明三角形全等.例 1. 如图，在△ ABC与△ FED中， AD=CF， BC=DE， BC∥ DE；求证 :AB∥ FE.BCFA DE2. 利用相等角的和差找对应角相等证明三角形全等.例 2. 如图，假定AB=AE,∠ 1=∠ 2=∠ EFB，那么AF=AC吗？说明原因.AE12B F C3.利用三角形全等找出对应相等的边或角，再次证明三角形全等解题〔两次全等〕例 3. 如图，在四边形 ABCD中，AE⊥ BD,CF⊥BD, AB=CD, AE=CF，试判断 AD与 BC有何关系？并说明原因 .ADFEB C4. 经过增添协助线，达成解题.例 4．如图，在△ ACB中，∠ C=900， AD均分∠ CAB，DB=DE，〔1〕假定 AC=8,AB=10 , S△ABC=24 , 求 CD的长 .〔2〕研究线段AB、AC、 CE之间的数目关系，并证明你的结论.AECD B5.等腰三角形问题 .例 5. 如图，点 E 在△ ABC的 AC边的延伸线上， D 点在 AB 边上，DE交 BC于点 F，DF=EF，BD=CE.求证：△ ABC是等腰三角形 .ADB F CE6.等边三角形问题 .例 6. 如图，△ ABC、△ ADE是等边三角形 .(1) 找出图中一对全等三角形 , 并证明 .(2)猜想线段 AC、 CE、 CD三者有何数目关系，说明原因 .EAB DC知识应用：1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一局部，很快他就依据所学知识画出一个与书上完整同样的三角形，那么这两个三角形完整同样的依照是〔〕BED CAEC AB D F1 题图2题图 3 题图4题图2. 如图，∠ 1=∠ 2，要使△ ABD≌△ ACD，需增添一个条件 ,那么增补以下一个条件后, 仍无法判断△ ABD≌△ ACD的是 ()A.∠ B=∠CB.∠BAD=∠ CADC. BD=CDD. AB=AC3．如图，是屋架设计图的一局部，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、 DE垂直于横梁 AC，AB=8m，∠ A=30°，那么 DE等于〔〕C,3m4. 如图，∠ EAF=15°， AB=BC=CD=DE=EF，那么∠ DEF等于〔〕A.90 °B. 75°°°5．以下列图，∠ BAC =108° ,AB =AC=BE=CD , 那么图中共有等腰三角形〔〕A.6 个个个个A DB EC F5题图6题图8题图6．，如图： AB∥ DE， AB=DE，要使ABC≌Δ DEF.(1)假定以“ SAS〞为依照，还要增添的条件为__；(2)假定以“ ASA〞为依照，还要增添的条件为_____；(3)假定以“ AAS〞为依照，还要增添的条件为_；7. 假定等腰三角形的一个内角是800,那么它的另两个角是；假定等腰三角形的两边长 a, b ；知足a24a b26b 130，那么周长为.8.如图，∠ BAC=30o，点 D 为∠ BAC 角均分线上一点， DE⊥A B 于 E， DF//AB ，交 AC于点 F，DE=5 ，那么△ AFD的面积为.C9. 如图， AB=BC=10, AD⊥ BC, AF ⊥ CD, BD=4 , 求 CE的长 .EFA B D10. 如图，在△ ABC中， BD=DC，∠ 1=∠2，求证： AD均分∠ BAC.A1D2B C11. 如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， CE⊥ AB 于点 E， AD=AC， AF 均分∠ CAB?交 CE于点F，DF的延伸线交 AC于点 G，求证：〔 1〕DF∥ BC；〔 2〕 FG=FE.12. 如图，长方形ABCD中， E 是 AD上一点，∠ EBC=30o，∠ ECD=15o，求证： BC=2CD.EA DB C13. 如图，在△ ABC中， AB AC， AD为∠ A 的均分线，求证：AB AC BD CD.14.如图，△ ABC 和△ DCE都是等边三角形， B、 C、 E 共线， BD 与 AC、AE 订交于 M、 P， AE 与 CD订交于 N.求证：〔 1〕△ BCD≌△ ACE； (2) ∠ APB=度； (3) PC均分∠ BPE吗？说明原因 .ADPM NBCE 15.如图，点 P 是等腰 Rt △ ACB内随意一点〔 AC=BC〕，连结 AP、 BP、 CP，以 CP为腰作等腰Rt△ PCE ，连结 BE，(1) 图中的全等三角形是.〔说明：结论中不得含有未表记的字母〕；(2) 当∠ APB=115 时，求∠ PBE的度数；(3) 在 (2) 的条件下，设∠APC= x，尝试究：△PBE能够是等腰三角形吗？假定能，求知足条件的 x 的值；假定不可以，说明原因.APCB。
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。
全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。
如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。
二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。
3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。
4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。
5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。
三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。
如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。
四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。
2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。
3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。
4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。
5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。
全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。
动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。
将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。
全等三角形知识点总结计划及对应学习复习计划练习题文档
全等三角形专题讲解〔一〕知识储藏1、全等三角形的概念：1〕能够重合的两个图形叫做全等形。
2〕两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。
两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
3〕全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌〞表示全等，读作“全等于〞。
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。
【例1】如图，△ABC≌△DEF，那么有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
3、全等三角形的判定定理：“边角边〞公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
【例2】“角边角〞公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。
【例3】“角角边〞公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
【例4】“边边边〞公理：三边对应相等的两个三角形全等。
【例5】“斜边直角边“公理1斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
【例6】〔二〕双基回眸1、以下说法中，正确的个数是〔〕①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4B．3C．2D．12、如果ABC≌ΔDEF，那么AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于〔〕A．6B．5C．4D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，假设∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，那么∠EAC的度数为〔〕A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是〔〕．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，△ABC的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是〔〕A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙2〔三〕例题经典例1：如图，ABC≌ΔDCB．1〕假设∠D＝74°∠DBC＝38°，那么∠A＝_____，∠ABC＝_____；〔2〕对应边AC＝，AB=；〔3〕如果AOB≌ΔDOC，那么AO= _，BO= _，∠A=_，∠ABC=．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．3例6：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：〔1〕AB＝DC：〔2〕AD∥BC．例6图例7：阅读下题及一位同学的解答过程，答复以下问题：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C。
中考数学考点20等腰三角形总复习(解析版)
等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。
【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 【答案】D【解答】解：当相等的两边是4cm时.4+4＞5.能够组成三角形.则它的周长是4+4+5＝13（cm）；当相等的两边是5cm时.4+5＞5.能够组成三角形.则它的周长是5+5+4＝14（cm）．故选：D．2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°【答案】A【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线.∠BAC＝60°.性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°.∵AD＝AC.∴∠ADC＝∠C＝＝75°.∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．故选：A．3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．【答案】5【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.∴∠DBF＝∠FBC.∠ECF＝∠BCF.∵DE∥BC.交AB于点D.交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF.∠CFE＝∠ECF.∴BD＝DF＝3cm.FE＝CE＝2cm.∴DE＝DF+CE＝5（cm）．故答案为：5．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°【答案】A【解答】解：①如图.等腰三角形为锐角三角形.∵BD⊥AC.∠ABD＝40°.∴∠A＝50°.即顶角的度数为50°．②如图.等腰三角形为钝角三角形.∵BD⊥AC.∠DBA＝40°.∴∠BAD＝50°.∴∠BAC＝130°．故选：A．5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．【答案】（1）BE＝DE（2）∠BDE的度数为30°【解答】解：（1）证明：在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC.∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°.∠C＝40°∴∠ABC＝60°.∵∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°.故∠BDE的度数为30°．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．【答案】（1）略（2）∠DEF＝70°【解答】证明：∵AB＝AC.∴∠ABC＝∠ACB.在△DBE和△ECF中.∴△DBE≌△ECF.∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF.∴∠1＝∠3.∠2＝∠4.∵∠A+∠B+∠C＝180°.∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．【答案】（1）△OCD是等边三角形（2）△AOD是直角三角形（3）α＝110°或125°或140°【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC.∴OC＝DC.∵∠OCD＝60°.∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形.∴∠ODC＝60°.∵△BOC≌△ADC.α＝150°.∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°.∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°.∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形.∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°.∠ADC＝∠BOC＝α.∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α.∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°.∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时.190°﹣α＝α﹣60°.∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时.190°﹣α＝50°.∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时.α﹣60°＝50°.∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时.△AOD 是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】A【解答】解：∵△ABC 是等边三角形.∴AC ＝AB .∠CAB ＝60°.∵将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC∴△CP 1A ≌△BP A .∴AP 1＝AP .∠CAP 1＝∠BAP .∴∠CAB ＝∠CAP +∠BAP ＝∠CAP +∠CAP 1＝60°.即∠P AP 1＝60°.∴△APP 1是等边三角形.∴P 1P ＝P A ＝4.性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长.h 是任意边上的高9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC中.AB＝AC.点E为AC的中点.延长BC 到点D.使得CD＝CE．延长DE交AB于点F.若∠A＝60°.EF＝4cm.则DF的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【答案】A【解答】解：∵AB＝AC.∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形.∴∠ACB＝60°.∴∠ACB＝∠CED+∠D.∵CD＝CE.∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°.∴∠AEF＝∠CED＝30°.∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°.∵EF＝4cm.∴设AF＝x.则AE＝2x.∴由勾股定理得：x2+42＝4x2.∴x＝.∴AF＝.AE＝.∴BF＝AB﹣AF＝2AE﹣AF＝.∵∠D＝30°.∴BD＝2BF＝.∴DF2＝BD2﹣BF2＝3BF2.∴DF＝BF＝×＝12．10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°【答案】D【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠ABC＝60°.∵△BQC≌△BP A.∴∠BP A＝∠BQC.BP＝BQ＝4.QC＝P A＝3.∠ABP＝∠QBC.∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°.∴△BPQ是等边三角形.∴PQ＝BP＝4.∵PQ2+QC2＝42+32＝25.PC2＝52＝25.∴PQ2+QC2＝PC2.∴∠PQC＝90°.即△PQC是直角三角形.∵△BPQ是等边三角形.∴∠BOQ＝∠BQP＝60°.∴∠BP A＝∠BQC＝60°+90°＝150°.∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC.∵∠PQC＝90°.PQ≠QC.∴∠QPC≠45°.即∠APC≠135°.∴选项A、B、C正确.选项D错误．故选：D．11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．【答案】略【解答】证明：∵BM＝CN.BC＝AC.∴CM＝AN.又∵AB＝AC.∠BAN＝∠ACM.∴△AMC≌△BNA.则∠BNA＝∠AMC.∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°.∴∠AQN＝∠ACB.∵∠BQM＝∠AQN.∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC.∠A＝40°.∴∠ABC＝∠C＝＝70°.∵AD＝BD.∴∠DBA＝∠A＝40°.∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°.故选：B．2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC.BE＝CE.∴AE⊥BC.故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.故选：D．3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：连接AD.则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC.即：×8•DF+8•DE＝24.可得：DE+DF＝6.∵DF＝2DE.∴DF＝4.故选：A．5．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解答】解：如图.分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时.符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时.符合条件的C点有4个．故选：C．55．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【解答】解：延长BD交AC于E.如图.∵CD平分∠ACB.BD⊥CD.∴△BCE为等腰三角形.∴DE＝BD＝1.CE＝CB＝3.∵∠A＝∠ABD.∴EA＝EB＝2.∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：A．6．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．【答案】34°【解答】解：∵AB＝AD.∴∠B＝∠ADB.∵∠BAD＝44°.∴∠ADB＝＝68°.∵AD＝DC.∠ADB＝∠C+∠DAC.∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°.故答案为：34°．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【答案】（1）48°（2）AE＝FE【解答】解：（1）∵AB＝AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD.∠ADC＝90°.又∠C＝42°.∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD.∵EF∥AC.∴∠F＝∠CAD.∴∠BAD＝∠F.∴AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．【答案】（1）30°（2）CD＝CF【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝60°.∵DE∥AB.∴∠B＝∠EDC＝60°.∵DE⊥EF.∴∠DEF＝90°.∴∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB.∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F+∠CEF.∠F＝30°.∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝CF.∴CD＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．【答案】（1）＝；（2）＝（3）3【解答】解：（1）当E为AB的中点时.AE＝DB；（2）AE＝DB.理由如下.过点E作EF∥BC.交AC于点F.证明：∵△ABC为等边三角形.∴△AEF为等边三角形.∴AE＝EF.BE＝CF.∵ED＝EC.∵∠DEB＝60°﹣∠D.∠ECF＝60°﹣∠ECD.∴∠DEB＝∠ECF.在△DBE和△EFC中..∴△DBE≌△EFC（SAS）.∴DB＝EF.则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时.如图所示.同理可得△DBE≌△EFC.∴DB＝EF＝2.BC＝1.则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD.∴∠C＝∠ABC＝30°.又∵CD＝CE.∵∠C+∠D+∠CED＝180°.即30°+2∠D＝180°.∴∠D＝75°．故选：B．2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0.∴.解得：.当b为底时.三角形的三边长为2.2.3.周长为7；当a为底时.三角形的三边长为2.3.3.则周长为8.∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D．3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3【答案】C【解答】解：连接OA.∵OC⊥AB.∴∠ADC＝90°.∴∠DAC+∠ACD＝90°.∵∠BAC＝30°.∴∠ACO＝60°.∵OA＝OC.∴△AOC为等边三角形.∵OC⊥AB.∴OD＝OC＝2.故选：C．4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4【答案】C【解答】解：根据等边三角形：三线合一.设它的边长为x.可得：.解得：x＝4.x＝﹣4（舍去）.故选：C．5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°【答案】B【解答】解：过C点作CD∥m.∴∠ACD＝∠1＝25°.∵m∥n.∴CD∥n.∴∠2＝∠DCB.∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB.∴∠2＝∠ACB﹣25°.∵△ABC为等边三角形.∴∠ACB＝60°.∴∠2＝60°﹣25°＝35°.故选：B．6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．【答案】B【解答】解：连接AD交BC于点O.取AC中点N.连接ON.如图.∵△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC＝8.∠ABC＝60°.∵△BCD是等腰三角形.∴BD＝DC.∴AD垂直平分BC.∴BO＝CO＝4.∵AN＝CN.∴ON＝AB＝4.ON∥AB.∵AB∥DE.∴ON∥DE.∴.∴＝2.∴OD＝AO.∴tan∠ABO＝.即.∴AO＝4.∴OD＝2.在Rt△BOD中.BD＝＝2．故选：B．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠BAC＝60°.∵AD是BC边上的中线.∴∠BAD＝BAC＝30°.AD⊥BC.BD＝CD＝BC.∴∠CDE＝90°.∵DE＝BC.∴DE＝DC.∴∠DEC＝∠DCE＝45°.∴∠AEF＝∠DEC＝45°.∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°.故选：B．8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．【答案】6【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∴EF＝2.∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝∠C＝60°.又∵DE∥AB.DF∥AC.∴∠DEF＝∠B＝60°.∠DFE＝∠C＝60°.∴△DEF是等边三角形.∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．【答案】2【解答】解：如图.连接AC交BD于点O∵AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.∴AC垂直平分BD.△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°.AB＝AD＝BD＝8.BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°.∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4.OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝210．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．【答案】（.4）或（.4）或（10.4）【解答】解：设点P的坐标为（x.4）.分三种情况：①PM＝P A.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴PM＝x.P A＝.∵PM＝P A.∴x＝.解得：x＝.∴点P的坐标为（.4）；②MP＝MA.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴MP＝x.MA＝＝.∵MP＝MA.∴x＝.∴点P的坐标为（.4）；③AM＝AP.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴AP＝.MA＝＝.∵AM＝AP.∴＝.解得：x1＝10.x2＝0（舍去）.∴点P的坐标为（10.4）；综上.点P的坐标为（.4）或（.4）或（10.4）．故答案为：（.4）或（.4）或（10.4）．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10【答案】C【解答】解：∵在△ABC中.AB＝BC＝10.∠A＝36°.∴∠C＝∠A＝36°.∵AB的垂直平分线是DE.∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝36°.∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°.∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°∴∠BEC＝∠EBC.∴CE＝BC＝10.故选：C．2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°【答案】D【解答】解：∵AB＝AD＝DC.∠BAD＝α.∴∠B＝∠ADB.∠C＝∠CAD＝β.∵DE⊥AD.∴∠ADE＝90°.∴∠CAD+∠AED＝90°.∵∠CDE＝γ.∠AED＝∠C+∠CDE.∴∠AED＝γ+β.∴2β+γ＝90°.故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC.∴AD是△ABC的中线.∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB.∵S△ABC＝AC•BF.∴AC•BF＝2AB.∵AC＝AB.∴BF＝2.∴BF＝4.故选：B．4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：如图.在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）．故选：D．5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°【解答】解：由翻折可知：△BED≌△BCD.∴∠EBD＝∠CBD.∠E＝∠C＝90°∵△EDF是等腰三角形.∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°.∴∠CBF＝45°.∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°.∴∠BDC＝67.5°.故选：C．6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°【答案】C【解答】解：∵m∥n.∴∠ACB＝∠1＝70°.∵AB＝BC.∴∠BAC＝∠ACB＝70°.故选：C．7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定【答案】B【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.∴∠ABE＝∠CBE.∠ACE＝∠BCE.∴∠CBE＝∠BEM.∠BCE＝∠CEN.∴∠ABE＝∠BEM.∠ACE＝∠CEN.∴BM＝＝NE.∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC.∵AB＝AC＝4.∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2【答案】C【解答】解：延长AP交BC于E.∵AP垂直∠B的平分线BP于P.∴∠ABP＝∠EBP.∠APB＝∠BPE＝90°.在△APB和△EPB中.∴△APB≌△EPB（ASA）.∴S△APB＝S△EPB.AP＝PE.∴△APC和△CPE等底同高.∴S△APC＝S△PCE.∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2.故选：C．9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128【答案】A【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形.∴∠B1A1A2＝60°.∵∠MON＝30°.∴∠OB1A1＝30°∴A1B1＝OA1＝1.∴A2B1＝1.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形.∴A1B1∥A2B2∥A3B3.B1A2∥B2A3.∴A2B2＝2B1A2.B3A3＝2B2A3.∴A3B3＝4B1A2＝4.A4B4＝8B1A2＝8.A5B5＝16B1A2＝16.以此类推：△A7B7A8的边长为26＝64.故选：A．10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．【答案】（1）略（2）EF＝．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD.∠ADB＝90°∠CAD.∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD.∵∠ADB+∠CDA＝180°.∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD.∴∠ACB＝∠ADC.∴AD＝AC；（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G.∵∠CFD＝∠CAB.∠CFD＝∠CAD+∠ACE.∠CAB＝∠CAD+∠DAB.∴∠ACE＝∠DAB.又∵∠ACD＝∠ADC.∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE.∠B＝∠ADC﹣∠DAB.∴∠ECB＝∠B.∴CE＝BE.∵DG∥CE.∴∠ECB＝∠BDG.∴∠BDG＝∠B.∴DG＝BG.∵∠AEC＝∠DGA.AC＝DA.∠ACE＝∠DAG.∴△AEC≌△DGA(AAS).∴DG＝AE.又∵AE＝BD.∴DG＝BD＝BG.∴△BDG为等边三角形.∴∠ABC＝60°；②EF＝．过点D作DH∥AB交CE于点H.由①知△EBC和△HDC均为等边三角形.设AE＝BD＝x.则BE＝BC＝8﹣x.∴DH＝CD＝8﹣2x.∵DH∥AB.∴＝.即＝.∴x＝2.∵∠ACE＝∠DAB.∵△F AE∽△ACE.∴＝.∵AC＝AD＝3AF.∴＝.EF＝AE＝．。
专题 全等及等腰三角形(知识点精讲)(学生版)
专题01全等及等腰三角形重难突破知识点一全等三角形判定定理及性质1．全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等②全等三角形的对应角相等2．全等三角形的常用判定方法①三边分别相等的两个三角形全等（SSS）②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）典例1（2021春•龙华区期中）如图，锐角ABC∠∠=︒，则A=，若20CBD∆的两条高BD、CE相交于点O，且CE BD的度数为()A．20︒B．40︒C．60︒D．70︒（2021春•福田区校级期中）如图，已知90∆与Rt ABD∆C D∠=∠=︒，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt ABC全等．以下给出的条件适合的是()A．ABC ABD=D．AC BC=∠=∠C．AC AD∠=∠B．BAC BAD知识点二等腰三角形性质及判定1．等腰三角形的性质性质：等腰三角形的两个底角相等；简述为：等边对等角.推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．总结：（1）等边对等角①在同一个三角形中，将边相等转化为角相等；②结合三角形内角和定理，解决三角形中有关角度的计算问题.（2）三线合一①证明角相等；②证明线段相等；③证明线段垂直.2．等腰三角形的判定①定义：两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为：等角对等边．典例1（2021春•罗湖区期中）如图，ABC=，AD平分BACBC cm∠交BC于点D，点E为∆中，10==，8AB AC cm∆的周长为()AC的中点，连接DE，并且//DE AB，则CDEA．20cm B．12cm C．13cm D．14cm（2021春•南山区校级期中）一个等腰三角形的周长为16cm，其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为()A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm典例3（2020春•龙岗区校级期末）如图，在以BC为底边的等腰ABCAC=，则ABC∆的面积是()A∆中，30∠=︒，8A．12B．16C．20D．24知识点三等边三角形性质及判定1．等边三角形的定义三边都相等的三角形是等边三角形．2．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60︒．注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的性质，即也具有“三线合一”的性质；（2）根据定义，等边三角形还有一个性质，等边三角形的三边都相等；（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.3．等边三角形的判定方法①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．典例1（2020春•顺德区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE CD=，则E∠的度数为()A．15︒B．20︒C．30︒D．40︒如图，E 是等边ABC ∆中AC 边上的点，12∠=∠，BE CD =，则ADE ∆的形状是()A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状知识点四含30°角的直角三角形的性质定理性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意：（1）此性质只适用于含30°角的直角三角形，而非一般的直角三角形或非直角三角形；（2）应用时，要找准30°角所对的直角边，明确斜边.典例1（2020秋•天河区期末）在ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2AC =．则AB 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．4典例2（2021春•罗湖区期中）如图ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，23BC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，则EBD ∆的面积为()A ．334B ．338C ．34D ．38巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2021春•罗湖区校级期中）如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，若4AC BE =，则下面结论正确的是()A ．6ABC BDE S S ∆∆=B ．7ABC BDE S S ∆∆=C ．8ABC BDE S S ∆∆=D ．9ABC BDES S ∆∆=2．（2021春•福田区校级期中）如图，在Rt AEB ∆和Rt AFC ∆中，90E F ∠=∠=︒，BE CF =，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，EAC FAB ∠=∠．有下列结论：①B C ∠=∠；②CD DN =；③CM BN =；④ACN ABM ∆≅∆．其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020•龙岗区模拟）平面直角坐标系中，已知(1,2)A 、(3,0)B ．若在坐标轴上取点C ，使ABC ∆为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是()A ．5B ．6C ．7D ．84．（2020春•钦北区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，8AB =，将ABC ∆沿CB 方向向右平移得到DEF ∆．若四边形ABED 的面积为8，则平移距离是()A ．1B ．2C ．4D ．85．（2019秋•罗湖区校级期末）如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，若15C ∠=︒，8EC =，则AEC ∆的面积为()A ．32B ．16C ．64D ．1286．图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的1)2后，得图③，④，⋯，记第(3)n n 块纸板的周长为n P ，则1n n P P --的值为()A ．11(4n -B ．1()4nC ．11(2n -D ．1()2n二、填空题（共5小题）7．（2021春•龙华区期中）已知实数x ，y 满足|6|30x y --=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是．8．（2019春•槐荫区期末）如图，AB AC =，DB DC =，若ABC ∠为60︒，3BE cm =，则AB =cm ．9．（2020秋•罗湖区校级期末）ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，0.5BC cm =，则AB 的长是cm ．10．（2019春•龙岗区期末）如图，已知////a b c ，a 与b 之间的距离为3，b 与c 之间的距离为6，a 、b 、c 分别经过等边三角形ABC 的三个顶点，则此三角形的边长为．11．（2021春•宝安区校级月考）如图，△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，点D 为BC 边上的点，点E 为线段CD 上一点，且CE ＝1，AB ＝2，∠DAE ＝60°，则DE 的长为．三、解答题（共2小题）12．（2021春•龙华区期中）已知：如图，在ADC ∆中，AD CD =，且//AB DC ，CB AB ⊥于B ，CE AD ⊥交AD 的延长线于E ，连接BE ．（1）求证：CE CB =；（2）若30CAE ∠=︒，2CE =，求BE 的长度．13．已知：如图，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接AC ，BD ，且D 、E 、C三点在一直线上，AD =，2DE EC =．（1）求证：ADB AEC ∆≅∆；（2）求线段BC 的长．。
完整版-全等三角形总复习
完整版-全等三角形总复习完整版全等三角形总复习全等三角形是初中数学中的重要内容，它不仅是几何证明的基础，也是解决许多实际问题的工具。
在这篇文章中，我们将对全等三角形进行一次全面的复习。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的形状和大小完全相同，对应边相等，对应角相等。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
比如，若△ABC ≌△DEF，则 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等。
例如，△ABC ≌△DEF 时，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等、面积相等。
三、全等三角形的判定1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”（HL）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
四、全等三角形的常见模型1、平移型两个三角形沿着某一条直线平移，对应边平行且相等，对应角相等。
2、对称型两个三角形沿着某一条直线对称，对应边相等，对应角相等。
3、旋转型两个三角形绕着某一点旋转一定的角度，对应边相等，对应角相等。
五、证明全等三角形的步骤1、分析题目仔细阅读题目，找出已知条件和需要证明的结论。
2、确定方法根据已知条件和图形特点，选择合适的全等三角形判定方法。
3、书写证明按照逻辑顺序，清晰地书写证明过程，每一步都要有依据。
六、全等三角形的应用1、测量可以利用全等三角形测量无法直接测量的距离或长度。
2、证明线段和角的相等关系通过证明两个三角形全等，得出对应线段和角相等。
等腰三角形的复习
等腰三角形的复习等腰三角形是初中数学中的重要内容，它具有独特的性质和判定方法。
在这篇文章中，我们将对等腰三角形进行全面的复习。
一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
二、等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。
三、等腰三角形的判定1、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
2、有两条边相等的三角形是等腰三角形。
四、等腰三角形中的常见结论1、等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边。
2、等腰直角三角形的两个底角都是 45°，且两条直角边相等。
五、等腰三角形的相关计算1、已知等腰三角形的顶角或底角，求其他角的度数。
例：等腰三角形的顶角为 80°，则底角为（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。
2、已知等腰三角形的腰长和底边长，求周长。
例：等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，则周长为 5 ＋ 5 ＋ 6 ＝16。
3、已知等腰三角形的边长和角度，求面积。
例：等腰三角形的腰长为 10，底角为 30°，过顶点作底边的垂线，根据直角三角形中 30°所对的直角边是斜边的一半，可得高为 5，则面积为 1/2 × 6 × 5 ＝ 15。
六、等腰三角形的证明题证明一个三角形是等腰三角形是常见的题型。
通常需要通过已知条件，运用等腰三角形的性质和判定来证明。
例：已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BC 于点 D。
证明：△ABC 是等腰三角形。
证明：因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。
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全等三角形及等腰三角形专项复习
【知识梳理】
全等三角形的性质：________________________________________________________________________
1、三角形全等的判定方法有___________________________________________________________________ O
2、等腰三角形的性质：边 _________________ ；角_________________ ;
叙述三线合_的内容__________________________________________________________________ O
4、等边三介形的性质：边 _______ ；角__________ o
5、判定等腰三角形的方法有 _____________ 角___________ °
6、判定等边三角形的方法有：边 ___________ o角 ____________ o边角_________________________ o
【典例解析】
一、三角形全等
例1己知：在梯形ABCD中，AB//CD, E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F.求证：AB=CF.
例2 （2013・铜仁）如图，△ABC和都是等腰三角形，且ZBAC=90°, ZDAE=90°, B, C, £＞在同一条直线上.求证：BD=CE.
【跟踪练习】
1、（2010年天津市）如图，已知AC = FE , BC = DE ,点A、D、B、F在一条直线上，要使'ABC竺'FDE, 述需添加一个条件，这个条件可以是_____________________ ,并写出证明过程
• •
2.（2013・内江）□知，如图，/\ABC和△££＞（?都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°, D为4B边上
一点，连接AE.求证：BD=AE.
3、如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°, AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45。
的直角三角板AED {III图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A, Q重合，连接BE, EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.
4、（2010镇江）如图，在AABC和AADE中，点E在BC边上，ZBAOZDAE,
ZB=ZD, AB=AD.
(1)求证：Z\ABC竺AADE；
(2)如果ZAEC=75°
二、等腰三角形
例1、如图，已知：点D,E在ZXABC的边BC上AB二AC, AD二AE.求证：BD=CE（两种方法）
例2、如图，在AABC中,AB=AC, E为CA延长线上一点，ED丄BCTD交AB丁F 求证：AAEF为等腰三角形.
【跟踪练习】
1、如图：△ABC中,AB-AC, PB=PC・求证：AD丄BC
2、已知：如图,BE和CF是AABC的高线,BE二CF, H是CF、BE的交点. 求证：HB=HC
3、如图所示，ZBAC=ZABD, AC二BD,点0是AD、BC的交点，点E是的小点.试判断0E和的位置关系,并给出
证明.
4、如图，已知在等边三角形ABC屮，D是AC的屮点，E为BC延长线上一点，且CE=CD, DM丄BC, 垂足为M。
求证：M是BE的中点。
E。