有限元与数值方法-讲稿8 有限元法应用中的实际考虑
有限元法基础及应用实验
有限元法基础及应用实验有限元法（Finite Element Method，缩写为FEM）是一种数学方法，用于求解工程和物理问题的数值解。
它将复杂的连续模型划分为许多简单的几何单元，通过在每个单元上建立数学模型来近似原始问题。
有限元法在各种工程领域中都有广泛的应用，包括结构力学、流体力学、电磁学和热传导等。
在本实验中，我们将介绍有限元法的基本概念，并通过一个实例来演示其应用。
首先，让我们了解有限元法的基本原理。
有限元法的关键思想是将连续域离散化为有限数量的局部区域，即有限元。
每个有限元都由节点和单元组成，其中节点是有限元的角点，单元是相邻节点之间的连线。
在每个有限元上，我们通过选择适当的数学模型来近似原始问题。
通常，我们使用多项式形式的基函数来表示解的近似。
基函数的选择是根据所研究的问题和材料性质来确定的。
有限元法的解决过程包括离散化、建立积分方程和求解方程组三个主要步骤。
在离散化阶段，我们将连续域分割为有限数量的有限元，并在每个有限元内定义适当的数学模型。
建立积分方程是将连续问题转化为离散问题的过程。
通过在适当的数学模型上进行积分，我们可以得到描述物理问题的离散方程。
最后，在求解方程组阶段，我们使用一般的数值方法，如高斯消元法或迭代法，求解得到近似解。
接下来，让我们通过一个简单的实例来演示有限元法的应用。
假设我们要求解一个简单的静力学问题，即在一个弹性材料的悬臂梁上施加一个集中力。
首先，我们将连续域离散化为有限数量的有限元。
然后，我们在每个有限元上建立数学模型，用合适的基函数表示位移场的近似解。
在离散方程的建立过程中，我们可以利用平衡条件和弹性力学原理得到离散方程。
最后，我们可以使用数值方法求解得到近似解，并对其进行分析和评估。
有限元法的应用不仅限于结构力学，还可以扩展到其他领域，如流体力学和热传导等。
在流体力学中，有限元法可以用于求解流体流动和传热问题。
通过将流体域离散化为有限数量的单元，并通过合适的数学模型近似流体场，我们可以使用有限元法求解流体流动和传热方程。
数值分析在有限元法中的应用
数值分析在有限元法中的应用数值分析在有限元法中的应用数值分析是一种利用数值方法解决数学问题的学科，它的应用广泛涵盖了许多领域。
在工程学领域中，有限元法是一种常用的数值分析方法，用于解决结构力学问题。
本文将探讨数值分析在有限元法中的应用，并介绍其在工程领域中的重要性。
一、有限元法概述有限元法是一种通过将复杂的问题分解为有限数量的简化元素来近似求解的数值方法。
它将一个复杂的结构划分为有限个小的子区域，称为有限元。
通过求解每个有限元的方程，并将它们组合起来，可以得到整个结构的近似解。
有限元法主要包括两个关键步骤：离散化和解算。
离散化是将结构分割为有限元，并建立每个有限元的数学模型。
通常，有限元是由简单形状的单元组成，如线段、三角形或四边形。
每个有限元都有一组控制节点，位于其边界上。
通过在节点上建立适当的形函数，可以对有限元内的解进行近似。
解算是通过构建全局刚度矩阵和载荷矢量，并求解线性方程组来计算结构的响应。
全局刚度矩阵可以通过将每个有限元的局部刚度矩阵组装起来得到。
载荷矢量是根据结构的边界条件和施加的外部载荷计算得到的。
最终，通过解线性方程组可以得到结构的位移、应力等重要结果。
二、数值分析在离散化中的应用数值分析在离散化过程中起着重要的作用。
它通过适当选择有限元类型和节点布局来获得更好的近似结果。
一般来说，有限元类型的选择取决于结构的几何形状和物理性质。
例如，三角形元素适用于解决较为复杂的问题，如非线性力学问题。
而矩形元素则适用于解决较简单的问题，如弹性力学问题。
另外，数值分析还可以用来优化节点布局。
节点的位置对于有限元模型的精确度和稳定性起着决定性的作用。
通过使用数值分析技术，可以确定合适的节点位置，使得解的近似值更接近于精确解。
三、数值分析在解算中的应用数值分析在解算过程中也扮演着重要的角色。
它可以通过选择合适的解算方法和求解器来提高计算效率和精度。
常用的解算方法包括直接法和迭代法。
直接法是指通过求解线性方程组的精确解来获得结构的响应。
机械工程中的数值计算与有限元分析
机械工程中的数值计算与有限元分析随着科学技术的发展，数值计算方法在机械工程中变得越来越重要。
机械工程师们通过数值计算，可以更准确地预测和分析各种运算，从而帮助他们设计更高效、更可靠的机械系统。
在机械工程中，数值计算主要用于模拟和分析各种物理现象。
其中，有限元分析是一种广泛应用的数值计算方法。
有限元分析通过将复杂的连续体分割成许多小的离散单元，然后以数值方法求解这些单元的行为，从而近似求解整个物体的行为。
有限元分析可以用于解决各种力学问题，如结构分析、热传导分析和流体力学分析等。
在有限元分析中，首先需要将要分析的物体划分成许多离散的单元。
这些单元可以是一维、二维或三维的，根据实际情况来确定。
然后，通过应力平衡、热传导方程和流体力学方程等，建立每个单元内部的力学模型。
接下来，通过数值方法求解单元之间的边界条件和相互作用，从而得到整个物体的行为。
在有限元分析中，广泛使用的数值方法有有限差分法、有限体积法和有限元法等。
其中，有限元法是最常用的数值方法之一。
有限元法将连续体分割成许多小的单元，在每个单元上建立一个适当的数学模型，并将这些模型组合成整个物体的数学模型。
然后，通过数值方法求解这个数学模型，得到物体的应力、应变、温度等重要信息。
有限元分析在机械工程中的应用非常广泛。
例如，在结构分析中，有限元分析可以帮助工程师验证和改进结构的强度和刚度。
工程师可以通过建立合适的力学模型，分析结构在外力作用下的应力分布和变形情况，并进一步评估结构的耐久性和安全性。
在流体力学分析中，有限元分析可以用于模拟流体在复杂空间中的运动和交互。
工程师可以根据流体力学方程，建立合适的数学模型，并通过求解这个模型来分析流体的压力、速度和温度等重要参数。
除了有限元分析，机械工程中的数值计算还有很多其他应用。
例如，工程师可以使用有限差分法来解决一些偏微分方程。
有限差分法通过将空间和时间离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，并通过迭代求解这组方程，得到偏微分方程的数值解。
有限元与数值方法讲稿PPT课件
• Natural element (Belytschko,1998)
• 扩展的有限元法（x-FEM)
• 等几何法（isogeometric method)
• 变分法
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有限元法的发展历史
近似求解偏微分方程的数值方法：
Lord Rayleigh and Ritz , Galerkin 采用试函数(trial functions) 对偏微分方程的解进行近似
1. 应力-外力之间的关系：平衡方程（运动方程）
2. 位移和应变的关系：几何关系
3. 应力-应变之间的关系：物理本构
研究变形机理，变形的诱因（外部作用） 例如： 弹性力学问题：Hooke定律。 热弹性问题： 热膨胀规律,弹性常数岁温度的变化规律。 塑性力学： 屈服条件，强化准则，流动准则。 断裂力学： 裂纹起裂条件和裂纹扩展规律等。
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计算固体力学的主要方法
• 有限元法（位移协调元,杂交元，应力元，拟协调元）
• 边界元法
• 无网格法(mesh-free method):
• Non-structural finite difference(Orkisz,2001)；
• Element-free Galerkin(Belytschko,1994)
• 根据研究对象的不同：弹性力学，塑性力学，断裂力学，冲 击力学; 材料力学，理论力学等
• 根据采用的方法：实验，理论和计算
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固体力学的任务（续）
• 重点：建立固体在外部作用下的变形和应力以及演化规律的数学模型（控制方程） • 例如：
• 应力~外力之间的关系：平衡方程（运动方程） • 应力~应变之间的关系：本构方程
有限元法及应用总结
有限元法及应用总结有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数学建模方法，用于求解连续介质的力学问题。
它通过将连续介质分割为有限数量的小单元，通过离散化的方式将连续问题转化为离散问题，然后通过数值计算方法进行求解。
有限元法的基本步骤是：建立初始网格、选择合适的单元类型和数学模型、建立有限元方程、求解有限元方程组、计算和评估结果。
1.建立初始网格：将连续介质分割为离散的小单元。
可以根据问题的特点选择不同形状的单元，如三角形、四边形、六边形等。
初始网格的密度应根据问题的要求进行合理的选择。
2.选择合适的单元类型和数学模型：根据问题的情况，选择合适的数学模型，如线性模型、非线性模型、静力学模型、动力学模型等。
同时，根据问题的要求选择合适的单元类型，如三角形单元、四边形单元等。
3.建立有限元方程：根据选择的数学模型，使用变分原理或其他方法建立有限元方程。
有限元方程通常是一个矩阵方程，包含未知变量和已知条件，通过求解该方程可以得到问题的解。
4.求解有限元方程组：将有限元方程组转换为代数方程组，使用数值计算方法求解。
常用的求解方法有直接解法和迭代解法，如高斯消元法、LU分解法、共轭梯度法等。
根据问题的特点选择合适的求解方法。
5.计算和评估结果：得到问题的解后，可以通过计算和评估结果来验证数值解的准确性和可靠性。
常见的评估方法有误差分析、收敛性分析、模型验证等。
有限元法的应用非常广泛，涉及机械、土木、航空航天、电子、生物医学等多个领域。
通过有限元法可以模拟和分析各类结构的力学行为和变形特性，以及流体、热传导等物理问题。
在机械工程中，有限元法可以用于模拟零件的变形、应力和疲劳行为，优化结构设计，确定最佳工艺参数等。
在土木工程中，可以用于模拟建筑物、桥梁、隧道等结构的稳定性和强度，评估结构的安全性。
在航空航天工程中，可以用于模拟飞机、航天器的疲劳和破坏行为，优化材料和结构设计。
在电子工程中，有限元法可以用于模拟芯片、电路板的热分布和应力分布，优化散热和布线设计。
有限元数值计算范文
有限元数值计算范文有限元数值计算是一种通过数值方法来解决实际工程问题的数学模拟技术。
它主要应用于结构力学、流体力学和热传导等领域，可以用来分析结构的强度、刚度、振动特性、热流传递以及流体流动等问题。
本文将介绍有限元数值计算的基本原理和应用。
一、有限元数值计算的基本原理：有限元数值计算的基本原理是将复杂的连续体问题分割成许多简单的几何单元，也称为有限元。
每个有限元内部的物理场量（如位移、应力、温度等）可以通过一个数学函数进行近似表示。
在有限元分析中，基本的假设是物理场的变化在每个有限元内是线性的，并且通过有限元之间的插值函数进行连接。
1.几何建模：根据实际问题的几何形状，将其建模成有限元的几何形状。
2.网格划分：将几何模型划分成许多小的有限元，构成有限元网格。
3.材料特性定义：为每个有限元指定相应的材料特性，如弹性模量、泊松比等。
4.加载和边界条件定义：确定边界条件和加载情况，如力、位移等。
5.求解方程组：根据有限元离散化的模型，建立求解方程组，例如强度方程或热传导方程等。
6.求解方程组：通过数值方法求解建立的方程组，得到物理场量的近似解。
7.结果分析和后处理：对求解结果进行分析和后处理，获得感兴趣的结果，如位移、应力、温度分布等。
二、有限元数值计算的应用：1.结构力学：有限元数值计算在结构工程中的应用非常广泛，可以用于分析结构的强度、刚度、振动特性、疲劳寿命等。
例如，有限元分析可以用来确定承受外部载荷时结构的应力和变形情况，从而评估结构的安全性。
2.流体力学：有限元数值计算在流体力学领域的应用主要包括流场分析和传热问题。
通过有限元数值计算，可以研究液体或气体在管道、河道或空气中的流动行为，从而得到流速、压力、温度等物理量的分布。
3.热传导：热传导问题是指物体内部或跨界面的热量传递过程。
有限元数值计算可以用来分析热传导问题，例如通过实验测量温度分布，确定材料的热传导系数，并进一步预测温度变化。
总之，有限元数值计算是一种重要的数学模拟技术，可以帮助工程师解决复杂的实际问题。
《有限元法及其应用》课件
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
张年梅有限元方法讲义
张年梅有限元方法讲义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张年梅有限元方法讲义有限元方法是一种非常重要的数值计算方法，广泛应用于力学、电磁学、声学、地球物理学等领域。
张年梅是中国工程院院士、有限元方法的权威专家，他在有限元方法的研究和应用方面取得了很多成果。
他的有限元方法讲义成为了很多工程学子和研究人员学习的重要参考资料。
有限元方法是一种用数值方法解决复杂工程问题的工具。
它将实际工程问题抽象为有限个简单形状的单元，并通过适当的数学方法和计算机程序求解得到问题的近似解。
有限元方法的基本思想是将一个复杂的结构或领域分割成有限个简单的子结构或子域，然后在每一个子结构或子域上建立合适的数学模型，最后通过组合所有子结构或子域的模型获得整体结果。
张年梅有限元方法讲义详细介绍了有限元方法的基本原理、数学模型的建立和求解方法。
讲义先介绍了有限元方法的起源和发展历程，然后对基本概念和术语进行了解释，包括有限元模型、单元、节点、网格等。
接着讲义详细介绍了有限元方法的基本原理，包括离散化、变分原理、加权残差法、Galerkin法等。
有限元方法的数学模型的建立是有限元分析的关键步骤。
张年梅有限元方法讲义介绍了常见的结构、固体、流体、电磁等问题的有限元建模方法，包括线性弹性分析、非线性分析、热传导分析、流体动力学分析等。
在建立数学模型之后，有限元方法的求解方法也是十分重要的。
张年梅有限元方法讲义介绍了有限元方法的常用数值解法，包括直接法、迭代法、有限元展开法等。
有限元方法在实际工程问题中有着广泛的应用。
张年梅有限元方法讲义通过大量的案例和实例展示了有限元方法在结构分析、热力分析、电磁分析等领域的应用。
讲义还介绍了有限元方法在工程设计和优化中的应用，包括拓扑优化、材料优化、结构优化等。
张年梅有限元方法讲义是一部权威的、全面的有限元方法教材，受到了广大工程学子和研究者的欢迎和好评。
通过学习这本讲义，读者可以系统地了解有限元方法的基本原理和求解方法，掌握有限元方法在工程问题中的应用技能，为解决工程问题提供强有力的工具支持。
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对结构进行模态分析有助于观察模型中可能存在的问题
9
有限元法实施的基本步骤
计算结果检查、分析与模型修正
程序是否有警告或报错？计算结果是否有明 显错误？ 计算结果是否体现了应有的对称性?
结构变形大小是否在合理范围内？结构变形 后是否有不合理的裂缝等出现？
结构固有频率大小和模态形状是否合理？ 是否有不该出现的应力集中？ 单元类型、网格疏密程度是否合理？ 可否利用对称性或者选择适宜的算法加快求 解过程？
1
ELEMENTS FEB 25 2005 16:47:45
X Z
Y
对称边界条件
旋转对称结构
4
建模中应该注意的问题
采用正确的单位制，必要时对计算结果进行单位制转换 （如采用非国际单位制时，可能需要对固有频率计算结果 进行相应转换） 例：采用Kg-N-mm单位制时，对结构固有频率的计算 结果应乘以系数 1000 选择正确的单元类型 应力分析中，尽量避免使用三节点三角形和四节点四面体 （不能反映应变的线性变化）；而在温度场分析中，则无 此限制（并不关心温度的梯度）
根据收敛性检查确定 网格密度
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有限元分析流程举例
问题：计算一个有裂 纹方板的应力分布
考虑到对称性，选取右半 边结构，采用平面应力单 元离散后得到应力分布
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有限元分析流程举例
根据初步计算结果找出应力集中 部位和应力梯度变化较大部位， 或者对单元应力进行误差估计
对必要部位进行网格加密，重新 计算应力分布，得到精度改进的 应力分析结果
有限元与数值方法第九讲
2.4 有限元法应用中的实际考虑
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351 时间：2013年5月24日：8：00—10：50
1
第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式
2.1 弹性力学有限元的一般格式 平面问题的有限元格式 弹性力学有限元的一般格式和求解步骤 有限元解的性质和收敛准则 2.2 单元与插值函数的构造 2.3 等参元与数值积分 等参元与数值积分 典型的等参单元 2.4 有限元法应用中的实际考虑 建立有限元模型： 计算结果的性质和处理 子结构法 对称性和周期性的利用 非协调元与分片实验
%～45%用于模型的建立 和数据输入； 50%～55%用于分析结果的 判读和评定； 5%用于真正的分析计算。
40 ～45% 5% 50 ～55%
前处理
分析计算
后处理
13
网格剖分错误（如有裂缝）
约束不足（引入刚体位移）或过度约束（特别是位移耦合时）
几何性质定义错误（如梁的偏心）
单元类型（如剪切自锁等）、算法有关参数（如频率响应中振型阶 数、接触计算中惩罚因子）选择不当 单位制不统一或不匹配 材料本构模型未正确选用
……
8
总刚度阵奇异的检查
刚度阵奇异时，需对有限元模型进行如下检查：
5
建模中应该避免的问题
错误的单元连接关系
边界交叉
单元边界出现多余节点
平面单元 梁
平面单元
梁
梁和平面单元直接相连（铰链机构）
梁和平面单元相连（可传递弯矩）
6
建模中应该避免的问题
形状畸形的单元
四边形单元长宽比过大（应尽可能限制为2-4以内） 单元尺寸突变
尺寸变化太突然
改进的网格尺寸
7
建模中应该避免的问题
2
建模中应该注意的问题
几何建模时应该体现焊缝等应力关心部位 根据精度需求、结构特征和硬件能力确定各部位网格剖 分的疏密程度
需要网格加 密的部位
3
建模中应该注意的问题
对结构几何细节可进行合理的简化 充分利用各种对称性（包括轴对称性 和旋转对称性） 正确模拟边界条件、位移耦合关系等 注意检查重合的节点，消除多余的自 由度