有限元讲稿

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第一讲有限元绪论

考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx

EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才能进行，成本高、周期长，并且只适合批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲刚度实验则需要专门的实验台等等。

有限元法讲稿1

机械结构分析的有限元法
• 主讲： • • •
长江大学机械学院周思柱教授博士生导师 2006年10月
第一章
有限元法概述
• 第一节绪论
• 第二节有限元法的特点
• 第三节有限元法分析过程
第一节绪论
需解决的问题：
1.什么是有限元法。（与材料力学、弹性力学的比较等） 2.方法、步骤。
材料力学、弹性力学解决问题中的困难：
节点数:3
轴对承单元
v1 u1 1
节点自由度:2 自由度总数:3×2 节点数:4
处理问题对象: 轴对承问题
板单元(Biblioteka 弯曲) 142 3 4 1
3
节点由度:3
三维
三棱柱 (四面体单元)
W 自由度总数:4×3 Θy Θx
节点数:4
处理问题对象: 板问题
w2 v2 节点由度: 3 2 u2
自由度总数:4×3
节点数:6（12）
处理问题对象: 平面问题
处理问题对象: 平面问题
处理问题对象: 规则方形结构问题
等参元
4 8 节点等参元
7
3
节点数:8 节点自由度:2 6 w2 v2自由度总数:8 × 2 2 u2
处理问题对象:
8
1 5 13
曲面边界问题
8 8 21节点可变 5 等参元
17 1 6 21 4 w2 9
模型载荷
机械设计过程中的一般方法：经验法（类比法）——校核——安全系数造成的结果：有些地方的安全系数过大，而有些还不安全。
发展: • 采用数值法——有限元法——40年代提出有限元法的观点—— 早期用于飞机上的计算—— 60 年代弹性平面问题 —— The Finite Element Method (Analysis) • 弹性——弹塑性，粘弹性静力——动力，稳定性固体——流体，传热学，电磁学（凡是有场的存在，就可采用有限元法） • 与优化、辅助设计（CAD、CAM）结合，IDEAS （大型软件）

有限元法基础讲稿-第1讲新

u l
i
E
Eu l
i
材料力学中以拉应力为正，而有限单元法中，以向右的节点力为正，所以下式中加一负号。单元左端节点力：单元右端节点力：
AE u l AE U A u l U A
i j
i
i
有限元法及ansys概述
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
有限元法及ansys概述
… 发展与现状
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
• 20世纪70年代以来，有限单元法进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工程领域，成为连续介质问题数值解法中最活跃的分支。由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域。它使许多复杂的工程分析问题迎刃而解。
有限元法及ANSYS概述
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
• 在本章中,我们将简要介绍有限单元法和ansys软件的发展与现状，以及矩阵分析法和有限元法分析的一般步骤。
• 主题:
A. CAE与数值模拟方法 B. 发展与现状 C. 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
有限元法及ansys概述
有限元法及ansys概述
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
实际，在节点i和j，除了水平位移外，还可产生垂直位移（但在小变形条件下，垂直节点位移对铰接杆的内力无影响）。引入垂直节点位移vi、vj和垂直节点力Vi、Vj ，把单元刚度矩阵扩展为四阶形式，单元节点力为

有限元法讲稿

平面问题的有限单元法有限单元法是随着计算机的出现而发展起来的一种有效数值计算方法，有限单元法出现于40年代，被应用于飞机结构分析，有限元这个术语是1956年首先使用的。

目前已广泛地用于工程结构的力学分析中。

第一节基本概念一、实质理想化连续体―――――――单元集合体（解析模拟、逼近求解区域）无限自由度有限个自由度有限单元法首先把结构划分成许多单元,在一定的简化假设前提下,研究单元的力学特性，即单元分析；然后把各单元综合起來, 把局部的力学特性扩展到整体, 即整体分析；12最后导出一组以结构结点位移为未知量的代数方程组。

通过求解方程组而得到单元的结点位移值，就可近似计算出结构任意一点的受力状态。

这种以结点位移为基本未知量的计算方法称为有限单元位移法。

二、理论基础弹性力学：变分原理能量原理基本方程：几何方程、物理方程1. 平面问题的几何方程⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=v u x y y x x v y u y v x u xy y x 00γεεε3这就是弹性力学平面问题的几何方程，它给出了某一点的位移与该点应变之间的关系。

反映了变形协调关系。

2. 平面问题的物理方程⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ2100010112 即： D εζ= 给出了力与变形之间的关系，称为平面问题物理方程，是针对平面应力问题推导出的。

对于平面应变问题，只需将公式中的E 换成21μ-E，把μ换成μμ-1即可。

这样，弹性矩阵D 就变为：4⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=)1(22100011011)21)(1()1(μμμμμμμμE D （2.8）这就是适用于平面应变问题的弹性矩阵。

3. 弹性体的能量原理（1）应变能在弹性范围内，对于平面问题，某个面积A 的应变能可以用下式表示tdxdy V xy xy y y Ax x )(21γτεσεσ++=⎰⎰ 写成矩阵的形式为5t d x d y V AT ζε⎰⎰=21 （2）外力势能外力势能用矩阵的形式可表示为∑-=i T i P V P d 式中 {}iy ixi P P =P −−作用在弹性体i 点的外力分量； {}i i i v u =d −−i 点的位移分量（3）弹性体的总势能弹性体在外力作用的总势能定义为应变能和荷载势能之和，即∑⎰⎰-=+=i T i AT PP tdxdy V V E P ζεd 21 （4）最小势能原理6单元的众多的结点位移)(e δ中, 须满足条件：0)(=e P E δ即 0)()(=∂∂e e P E δ的一组位移才是真正的位移。

有限元方法课件演示文稿

其中，
，单元[xi1, xi ] 的中点为于是有
第24页，共56页。
如果把单元刚度矩阵 K和(i) 单元荷载向量 “F扩(i) 大”，便得到
和为 K(i)
F(i)
类似地，可写出和 K(3) .K(4)
第25页，共56页。
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
第26页，共56页。
依边界条件
2
fuh
)dx
1 n
2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
13
第13页，共56页。
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元ei [xi1, xi ]上，uh可写成
或写成
uh (x)
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
其中这就是总荷载向量.
(7.17)
第18页，共56页。
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的K计算，
实际上是把中K四(i个) 元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算b也是如此．我们引入，只是B为(了i) 叙述方便，实际上
3 第3页，共56页。

张年梅有限元方法讲义

张年梅有限元方法讲义全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：张年梅有限元方法讲义有限元方法是一种非常重要的数值计算方法，广泛应用于力学、电磁学、声学、地球物理学等领域。

张年梅是中国工程院院士、有限元方法的权威专家，他在有限元方法的研究和应用方面取得了很多成果。

他的有限元方法讲义成为了很多工程学子和研究人员学习的重要参考资料。

有限元方法是一种用数值方法解决复杂工程问题的工具。

它将实际工程问题抽象为有限个简单形状的单元，并通过适当的数学方法和计算机程序求解得到问题的近似解。

有限元方法的基本思想是将一个复杂的结构或领域分割成有限个简单的子结构或子域，然后在每一个子结构或子域上建立合适的数学模型，最后通过组合所有子结构或子域的模型获得整体结果。

张年梅有限元方法讲义详细介绍了有限元方法的基本原理、数学模型的建立和求解方法。

讲义先介绍了有限元方法的起源和发展历程，然后对基本概念和术语进行了解释，包括有限元模型、单元、节点、网格等。

接着讲义详细介绍了有限元方法的基本原理，包括离散化、变分原理、加权残差法、Galerkin法等。

有限元方法的数学模型的建立是有限元分析的关键步骤。

张年梅有限元方法讲义介绍了常见的结构、固体、流体、电磁等问题的有限元建模方法，包括线性弹性分析、非线性分析、热传导分析、流体动力学分析等。

在建立数学模型之后，有限元方法的求解方法也是十分重要的。

张年梅有限元方法讲义介绍了有限元方法的常用数值解法，包括直接法、迭代法、有限元展开法等。

有限元方法在实际工程问题中有着广泛的应用。

张年梅有限元方法讲义通过大量的案例和实例展示了有限元方法在结构分析、热力分析、电磁分析等领域的应用。

讲义还介绍了有限元方法在工程设计和优化中的应用，包括拓扑优化、材料优化、结构优化等。

张年梅有限元方法讲义是一部权威的、全面的有限元方法教材，受到了广大工程学子和研究者的欢迎和好评。

通过学习这本讲义，读者可以系统地了解有限元方法的基本原理和求解方法，掌握有限元方法在工程问题中的应用技能，为解决工程问题提供强有力的工具支持。

理学有限元讲稿等效载荷

（8）精度较高的平面单元简介
如前所述，线性位移模式的单元为常应变单元，当单元尺寸较大时会产生明显误差。为减少离散化带来的误差，使所求得位移和应力能更好反映真实状态，可采用具有较高阶次位移插值函数的单元，即精度较高的平面单元。对平面问题，常用的较高精度单元是矩形单元和六节点三角形单元。
（8）精度较高的平面单元简介
（3）等效节点载荷的计算
如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为{P}=[X, Y]T，相当于在点(x,y)处作用集中力为{P}tdxdy，则等效节点载荷为：
如果单元某边界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量为{q}=[qx, qy]T，若将微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中力为P={q}tds，则等效节点载荷为：
（5）代入边界条件
在建立了结构总刚度矩阵后，就可以建立节点位移所满足的线性方程： [K]{}={R} 式中，{}为全部节点位移列阵，{R}为全部节点载荷列阵。但由于没有代入边界条件，这个方程组的解是不确定的。从线性代数理论上讲，上述线性方程组是奇异的，即线性代数方程组的系数矩阵的行列式的值为零det[K]=0，因此线性代数方程组无法求解。这一点从力学意义上理解，是因为采用位移法求解时，如果对受载结构不引入符合实际的几何约束条件，则该结构将产生没有限制的刚体运动，显然解是不确定的。这一点反映在数学上，总刚度矩阵[K]是奇异的，即它的行列式的值为零，因而其逆阵不存在。因此对结构受力分析，要使有限元模型能够求解，必须保证至少有一个节点是完全固定的几何约束，即整个结构不能存在刚性运动。
（9）热应力的计算
对于平面热应力问题，温度T仅是坐标x,y的函数T=T(x,y)，温度产生的体积膨胀或收缩只影响弹性体的正应变，此时材料的应力-应变关系变为:

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图2 绘制圆的对话框
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图3 矩形和圆的示意图
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（iii）布尔加法运算合并实体
在主菜单中选取Preprocessor|Modeling| Operate|Booleans|add|areas，弹出如图4对话框，在绘图区选取各图形，确认图4中第三栏的 Count项显示为5时单击OK完成布尔加法运算，合并出图5所示图形。
图13 定义力学参数对话框18
（3）模型的网格划分
在主菜单中选择Preprocessor|Meshing|Mesh Tool,将弹出图14左侧对话框。
选择
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图14 工具、控制菜单
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图14左图的下半部分
单击
选择
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图15 生成网格流程
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（4）施加载荷与压力
（i）确定分析类型
单击
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图8 单元类型对话框
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图9 单元库对话框
(ii)选择分析类型
回到图8所示对话框单击Options按钮，出现如图 10所示对话框，在单元类型中选择Plane strs w/thk, 再在单元输出选项中选择Nodal stress，最后单击OK 完成。
图10 选择单元分析类型对话框
❖ 例：如图所示带有三个圆孔的钢板模型，板厚20mm。板的
材料参数为：杨氏弹性模量E=200Gpa，泊松比u=0.25，大圆孔半径为50mm，两个小圆孔半径为10mm，倒角半径为 20mm，圆孔间的距离如图示。小圆孔上的位移被完全约束，大圆孔下端作用有指向下方的集中力1000N。
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前处理模块
参数定义实体建模网格划分
求解模块
通用后处理模块
后处理模块
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时间历程后处理模块
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2.ANSYS的输入方式
❖ ANSYS有多种输入方式供用户选择：
菜单方式（用鼠标在菜单中进行选取）命令方式（从键盘向命令行中输入）函数方式（从键盘向命令行中输入）
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3.应用举例
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图6 钢板与三个孔洞圆
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（v）布尔减法运算除去圆实体
在主菜单中选择Preprocessor|
Modeling|Opearate|Booleans| Subtract|Areas,将弹出一个对话框，先用鼠标在绘图窗口选取平板基体，单击Apply确认，再选取三个圆实体，单击OK完成，所得结果如图7所示。
ANSYS
通用程序应用举例
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1
ANSYS通用程序应用举例
❖1.ANSYS软件的功能 ❖2.ANSYS的输入方式 ❖3.应用举例(重点)
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
在工具栏中点击SAVE_DB 存盘。
图7 布尔减法运算后结果
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（2）定义材料类型
（i）选择材料类型
在主菜单中选取Preprocessor|Element Types|Add/Edit/Delete,得到图8所示对话框，再单击Add得到图9所示，在单元库中选取Solid82，单击OK完成。
8
(1)建立几何模型
（i）定义一个矩形
在主菜单中选择
Preprocessor|Modeling|Create| Areas|Rectangle|By 2 Corners,
弹出如图1对话框。在图1对话框中输入如下的
参数： x=0 y=0 Width=80 Height=100
单击OK，在绘图区得到如图？？所示矩形。
17Βιβλιοθήκη （iv）定义材料的力学参数
在主菜单中选择Preprocessor|Matereal Props|Matereal Models,得到定义材料属性的对话框如图12，选取Isotropic将
弹出如图13所示对话框，输入杨氏弹性模量与泊松比。
弹性模量泊松比
图12 定义材料属性对话框
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笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
1.ANSYS软件的功能
❖ 一个典型的ANSYS分析过程包括以下三个步骤：创建有限元模型
施加载荷求解
查看分析结果
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1.ANSYS软件的功能
❖ ANSYS软件功能强大与它拥有众多应用模块是分不开的，而程序通常使用以下三个模块：
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图1 矩形示意图
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(ii)建立实体板
在主菜单中选择Preprocessor| Modeling|Create|Areas|Circle| Solid Circle，弹出如图2对话框。
在对话框中输入参数： x=80,y=50,radius=50; 单击Apply; x=0 ,y=20,radius=20; 单击Apply; x=0,y=80,radius=20; 单击Apply; 在绘图区将显示如图3左侧图形！
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（iii）定义模型厚度
在主菜单中选择Preprocressor|Real Constants|
Add/Edit/Delete,得到添加实常数对话框，单击Add、 OK将弹出图11所示对话框定义单元厚度，在THK选项中输入20，单击OK完成。
图11 定义单元厚度对话框
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5?
单击
图4 Add Areas对话框
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图5 布尔加法运算后结果
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（iv）生成孔洞圆实体
在主菜单中选择 Preprocessor|Modeling| Create|Areas|Circle|SolidCircle, 在弹出的对话框中依次输入： x=80,y=50,Radius=30,单击 Apply； x=0,y=20,Radius=10,单击 Apply； x=0,y=80,Radius=10,单击 Apply；得到图6所示图形。
在主菜单中选取Solution| Analysis Type|New Analysis,在菜单中确定分析类型为Static,单击OK。
（ii）施加位移约束
实用菜单中选取Plot|Nodes显示结点如图16所示。