有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件

材料非线性问题有限元方法

教学要求和内容

1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；

2.掌握弹塑性增量分析的有限元格式；

3.学习常用非线性方程组的求解方法：

（1）直接迭代法；

（2） Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；

（3）增量法等。

请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。

弹塑性增量有限元分析

一．材料弹塑性行为的描述

弹塑性材料进入塑性的特点：存在

不可恢复的塑性变形；

卸载时：非线性弹性材料按原路径

卸载；

弹塑性材料按不同的路径卸载，并

且有残余应变，称为塑性应变。

1．单向加载

1） 弹性阶段: 卸载时不留下残余变形; 2） 初始屈服：s σσ=

3） 强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范

围扩大：ss σσ'>，s

σ'为相继屈服应力。

4） 鲍氏现象（Bauschinger ）： 二．塑性力学的基本法则

1．初始屈服准则： 00(,)0ij F k σ= 已经建立了多种屈服准则：

（1） V . Mises 准则：000(,)()0ij ij F k f k σσ=-=

2

2

001

1

()(),()2

3ij ij ij s f s s J k σσ===第二应力不变量1122221

,()

3

ij ij ij m m s σδσσσσσ=-=++偏应力张量：平均应力：

（2） Tresca 准则（最大剪应力准则）：

0max ()0ij s F S ττ=-=

2．流动法则

V . Mises 流动法则：

0(,)()ij ij p ij

ij

ij

F k f d d d σσελ

λ

σσ∂∂==∂∂， 0d λ> 待定有限量

塑性应变增量 p ij

d ε 沿屈服面当前应力点的法线方向增加。 因此，称为法向流动法则。

3．硬化法则：

（1）各向同性硬化：(,)()0ij ij F k f k σσ=-=

21(),3p p

s k σεε==⎰ 等效塑性应变，可由单拉试验确定。 （2）运动硬化法则：

* Prager 运动硬化准则；Zeigler 修正的运动硬化准则。 （3）混合硬化法则：

4．加载卸载准则：

（1）若(,)0ij F k σ=，且()

0ij ij ij f σσσ∂>∂，则继续塑性加载

（2）若(,)0ij F k σ=，且()

0ij ij ij f σσσ∂<∂，则按弹性卸载

（3）若(,)0ij F k σ=，且()

0ij ij ij f σσσ∂=∂，

1）对理想塑性材料，则继续塑性流动；2）对硬化材料，则

继续塑性加载，但塑性应变增量为零。0p

d ε=

三．弹塑性增量的应力应变关系 1．建立弹塑性增量应力应变关系的原则

（1）一致性条件：塑性加载时，应力仍在屈服面上

（2）流动法则：新的塑性应变增量，p

ij

d ε，在屈服面上的原应力点的外法线方向。

（3）弹性应力应变关系：应变增量的弹性应变部分与应力关系仍服从胡克定律。

2．各向同性硬化材料的应力应变关系 （1）一致性条件

(,)(,)(,i j i j i j i j d F F d d F σκσσκ

κσκ=++-=，

ij ij F F dF d d σκσκ

∂∂=+=∂∂ 具体形式：

203s

ij s p ij p f d d σσσεσε∂∂-=∂∂， s p

p

E σε∂=∂ 单向拉伸试验测得。

（2）流动法则：

()ij p

ij

ij

f d d σελ

σ∂=∂， 1

()2

ij ij ij

f s s σ=

23p

p s d d εελσ=⇒===⎰

（3）应力应变关系：

e p ij ij ij

d d d εεε=+

())e p p ij ijkl kl ijkl kl kl ijkl kl ijkl kl

d D d D d d D d D d σεεεεε==-=-

注意：屈服条件是已知的，我们应该将塑性应变通过已知量表示出来。根据流动规则，

()ij p ij

ij

f d d σελ

σ∂=∂，需要确定d λ。

249

e

ijkl kl

ij

e

ijkl s p ij kl f D d d f f D E εσλσσσ∂∂=

∂∂+∂∂， s

p

p E σε∂=∂

()ij p ij

ij

f d d σελ

σ∂=∂

2

()

()

()

9

e e p ij ijkl

kl

ijkl kl kl

e kl ijkl

kl kl

e mnqr

e e mn

ijkl

kl ijkl

qr

e kl

mnqr

s p

mn

qr e p ep ijkl kl ijkl

kl ijkl

kl d D d D d d f D d d f

D

f D d D

d D

E D d D d D d σεεεσελσσεεσσσσεεε==-∂=-∂∂∂∂=-∂+∂∂=-=