基于D_P准则的三维弹塑性有限元增量计算的有效算法
弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
4。3弹塑性增量分析的有限元格式
§4.3 弹塑性增量分析的有限元格式 一、弹塑性问题的增量方法材料和结构的弹塑性行为与加载及变形历史有关。
在进行结构的弹塑性分析时，通常将载荷分成若干个增量，然后对于每一载荷增量，将弹塑性方程线性化，从而使弹塑性分析这一非线性问题分解为一系列问题。
假设对于时刻t 的载荷和位移条件的位移t i u ，应变t ij ε和应力t ij σ已经求得。
当时刻过渡到t t + ，载荷和位移有一增量，t tti i iF F F +=+ （在v 内） t tti i i T T T +=+ （在S σ内） （1）t tti i i u u u +=+ （在u S 内）现要求解t t + 时刻的位移，应变和应力t tt i i i u u u +=+t tt ij ij ij εεε+=+ （2）t tt ij ij ij σσσ+=+它们应满足的方程和边界条件是：平衡方程,,0ttij j ij j i i F F σσ+++= （在v 内） （3） 应变和位移关系 ,,,,11()()22t t t ij ij i j j i i j j i u u u u εε+=+++ （在v 内） （4） 应力和应变关系epij ijkl kl D τσε= （t t ττ≤≤+ ） （在v 内） （5）边界条件tti i i i T T T T +=+ （在S σ上） （6） t ti i i i u u u u +=+ （在u S 上） （7）且 t ti ij j T n σ=i ij j T n σ= （8）二、增量有限元格式增量形式的虚位移原理：如果时刻t t + 的应力tij ij σσ+ 和体积载荷ti i F F + 及边界载荷ti i T T + 满足平衡条件，则此力系在满足几何协调条件的虚位移()i u δ [在v 内，,,1()()2ij i j j i u u δεδ=+ ，在u S 上，()i u δ =0]上的总虚功等于0，即()()()()()()0t tt ij ij ij i i i i i i vvS dv F F u dv T T u ds σσσδεδδ+-+-+=⎰⎰⎰ （9）将（5）式代入，可得：()()()()()()ep ijkl kl ij i i i i vvS tttij ij i i i i vvS D dv F u dv T u dsdv F u dv T u dsσστεδεδδσδεδδ--=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（10）其矩阵形式为：()()()()()()T T T ep vvS t ttT T T vvS D dv u Fdv u Tds dv u Fdv u Tdsσστδεεδδδεσδδ--=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（11）基于增量形式虚位移原理有限元表达格式的建立步骤和一般全量形式完全相同，eu N a =（12）eB a ε=（13）代入（11）式，并利用虚位移任意性，有ep K a Q τ=（14）ep K τ、a、Q分别是系统的弹塑性刚度矩阵、增量位移矢量和不平衡力矢量。
基于D—P准则的三维弹塑性有限元增量计算的有效算法
ｅｈｒ ｍ ｇｌａ ｉ ｅ ａ ｏｄ邮 ｔ ｓ
ｍｅ ｏ Ｗ ｈ ｎ】 ｔ ｄ． ｅ ｈ
ｏ ｌ ｌＢ ｔ ｓ ｒａ ０ｄｓ ｐ．Ｗｈｎｖｒ 噶ｅ ｅ ｅ ｅｙ
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Ａ ｓｒｃ： ｂ ｔ ｔＩ ａ ｎ岫 ｐｐｒ ｆｏｓ ａｅ， ｏ ￣ ｄ衄 ｐｐｌ ｙｕｅ ｅ ｏｕ ｄ ｓ ａ ｄＤ—Ｐｙｅ ｉｄ 】 ｆ 州 ａ ｏ￣ ｃｒ ｃ ｏ Ｏｎｄ ｏ ｌ ℃ｄ＇ｔ ｉ ｄ ｉ ｅ ｃ ｔ ｎｌ￣ ｆ ｗ ｒｅ耵 ｂｃｙｄｒ ｅ ｗ ｌ ￣ ｆ ｌ ｌ ｕ ｅ ］ ｅｖ ｈ
水利 系教授 。主要从事水 工结 构及 岩石力学 方面的研究工作 。
ＹＡ Ｇ ａ ｇ ａ 皿 Ｎ ７ ｎ Ｚ Ｎ ｎ， Ｊ ， ＨｏＵ Ｗ ｅ．ｕ ｎ ｊ ａ ｙ （ ｎ 巾 瞰ｔ ｆ ｙｍｄ Ｄ ｏＨｄ ｉ ｃ勘 衄 ， ｚ ｇ ａ Ｔ ｎｌ ｕＩ ｄ ￣ ， 哪 ００ ．ｈ ＿ ！０ ４ ｃ ｉ ８ 越）
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蚯 如 哪 ｙ
Ｋ ｙｗｏｄ ： ｅ ｓ ｓｅ ｏ ｅｔ ｎ ｔ ｄ ；ｏ ｄ ｆ ｗ ｕｅ ；ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｔ ｓｓｔ ｂ ｒ ｓｅ ｈ ｒ ｅ ａ ＇ Ｅｅ ｎ ｍａ ｌ ｏ ｒｌ ｌｍｔ］ｅ ｒ ｏ ｄ
１ 引
言
岩土工程 ， 尤其是岩体工程里 ， 荷载量级都很大 ， 如高 拱坝对水荷载的极限承载力可达上亿 吨， 而这对两岸 高陡边坡所 承受的的自重荷载来说 ， 还只是一个小数 ， 又如高地应力区大型地下洞室、 高边坡（ 如三峡船闸高 边坡 ） 开挖 过 程 中的释 放 荷 载量 级 也 十 分 巨大 。若 采 用精细的步长划分 ， 计算量将很大。岩体地质构造复 杂， 三维网格划分时经常会有畸形单元。由于地址缺 陷或加固措施导致相邻单元材料性质差异过大 ， 再加 上高水平的荷载， 各种因素交互影响 ， 使得在计算过程 中， 经常出现局部发散现象 ， 使得增量计算难以进行下 去， 最终结果可信度低 ， 也难 以从计算结果判断何时结 构丧失稳定性。而对岩土工程来说， 往往更关注结构 的稳定性和极限承载力 ， 而非应力和位移分布。
7弹塑性有限元
e
7 .1 7
三维问题
K
e
B D B d x d y d z B D B
T T 1 1 1 Ve
1
1
1
J d d d
二维问题
K
e
B D B t d x d
不相加 !按结点号码从小到大依次排列
1 A1 E 1 l 0 1 3 2 0 2 2 u 1 F1 u2 0 u F 3 3
K u F
e
K
e 1
y
u x
uy
u yi
uz
N
u
e
u xi
u zi u xm
u ym
e
u zm
T
T
z
xy
yz
zx
T
B u
T
e u
e
eT
B
T
e
x
y
z
xy
yz
zx
D B u S u
2 K 12 K 22
① ① ②
3 0 K 23 K 33
② ②
K n a
K 22
②
K 32
1 2 3
A1 E l A E 1 l 0
A E A E 2 1 l l A2 E l
1 1 0
e
1 2
e
弹塑性有限元方法-1
{ } [ D ]{ } 简写成：
弹性矩阵: 平面应力： 平面应变：
1 E [ D] 1 2 0
1 0
0 0 1 2
E 在平面应力的 [ D ] 中，用 1 2
边界条件： 力边界 S 上：
x nx yx n y qx xy nx y n y q y
u E [1 1] 1 l u2
(2) x
u du (2) 1 [1 1] 2 dx l u3
u E [1 1] 2 l u3
(2) (2) x E x
4．建立有限元方程 基于虚功原理来建立。 虚功原理：
L
0
x x Adx q udx P u x L
弹塑性有限元方法
主要参考书：
1.谢贻权，何福保. 弹性和塑性力学中的有限元方法，机械工业出版社，1981 2.冯肇华. 有限单元体法基础，吉林人民出版社，1984 3.卓家寿，弹性力学中的有限元方法，高等教育出版社，1987 4.王勖成，邵敏. 有限单元的基本原理与数值方法，清华大学出版社，1997 5.彭颖红. 金属塑性成形仿真技术，上海交通大学出版社，1999 6.李尚健. 金属塑性成形过程模拟，机械工业出版社，1999
{ }T { }d { f }T { p}d { f }T {q}ds { f }T {P}
S
平面问题：
( x x y y xy xy )tdxdy ( px u p y v)tdxdy (qx u q y v)tds Px u Py v
Байду номын сангаас0 0 0 1 2 2(1 )
弹塑性有限元分析
自行证明！
3）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量部分就等于塑 性应变增量，即 p p
deij d ij
2016/9/23
12
塑性本构关系（3/6）
Levy-Mises增量（流动）理论（续）
4）应力主轴与应变增量主轴重合； 5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 d ，则
ij
（非关联流动）
ij
非负比例因子，与 塑性势的量纲有关
垂直于等势面。称为 塑性流动法则。
若屈服函数 f 是连续可微的，则可取 f 做为势函数。
（关联流动）
d ijp f d ij
i
1 2 2 2 2 2 2 12 23 31 11 22 22 33 33 11 6 2 3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2
1950年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论 的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。 1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关 于塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微 观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力 学等方面进行研究，例如无屈服面理论等。
其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外， 普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实 验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
第二章 弹塑性有限元分析
目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问 题）的有限元方法。 特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹 性的Hooke定律 内容：
引言 单轴试验下材料的弹塑性性态 屈服条件、屈服面与屈服函数 塑性本构关系 弹塑性问题的有限元解法
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
有限元与数值方法-讲稿19弹塑性增量有限元分析课件
有限元与数值方法-讲稿19弹塑性增量有限元分析课件第一篇：有限元与数值方法-讲稿19 弹塑性增量有限元分析课件材料非线性问题有限元方法教学要求和内容1.掌握弹塑性本构关系和塑性力学的基本法则；2.掌握弹塑性增量分析的有限元格式；3.学习常用非线性方程组的求解方法：（1）直接迭代法；（2）Newton-Raphson 方法，修正的N－R 方法；（3）增量法等。
请大家预习，争取对相关内容有大概的了解和把握。
弹塑性增量有限元分析一．材料弹塑性行为的描述弹塑性材料进入塑性的特点：存在不可恢复的塑性变形；卸载时：非线性弹性材料按原路径卸载；弹塑性材料按不同的路径卸载，并且有残余应变，称为塑性应变。
1．单向加载1）弹性阶段: 卸载时不留下残余变形;2）初始屈服：σ=σs3）强化阶段：超过初始屈服之后,按弹性规律卸载，再加载弹性范'为相继屈服应力。
围扩大：σ'>σss，σs 4）鲍氏现象（Bauschinger）：二．塑性力学的基本法则1．初始屈服准则：F0(σij,k0)=0已经建立了多种屈服准则：（1）V.Mises 准则：F0(σij,k0)=f(σij)-k0=01(第二应力不变量),k0=(σs0)231偏应力张量：sij=σij-δijσm,平均应力：σm=(σ11+σ22+σ22)31f(σij)=sijsij=J22（2）Tresca准则（最大剪应力准则）：F0(Sij)=τmax-τs=02．流动法则V.Mises 流动法则：dε=dλpij∂F(σij,k0)∂σijpij=dλ∂f(σij)∂σij，dλ>0 待定有限量塑性应变增量 dε沿屈服面当前应力点的法线方向增加。
因此，称为法向流动法则。
3．硬化法则：（1）各向同性硬化：F(σij,k)=f(σij)-k=012p2pppk=σs(ε),ε=⎰dεijdεij等效塑性应变，可由单拉试验确定。
33（2）运动硬化法则：* Prager运动硬化准则；（3）混合硬化法则： Zeigler修正的运动硬化准则。
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基于D-P准则的三维弹塑性有限元增量计算的有效算法A practical3D ela sto2pla stic incremental method in FEMba sed on D-P yield criteria杨 强,陈 新,周维垣(清华大学水利系,北京 100084)摘 要:针对岩土材料常用的D-P准则,提出了一种新的增量分析方法,不用形成弹塑性增量矩阵,直接导出了符合正交流动法则的转移应力的解析解。
该方法无论是对小步长还是大步长加载均有良好的收敛性。
当采用精细的步长划分时,它就是严格意义上的理想弹塑性增量计算。
在大步长情况下,在收敛域内最大载荷低于结构真实的极限承载力;对应的应力场是一个静力容许应力场;同时由于正交流动法则在平均意义下得到满足,收敛域内最大载荷接近结构真实的极限承载力。
按此法所得结果接近真解且偏于安全。
将整个计算模型装入三维非线性有限元程序TFI NE中,对某拱坝进行了超载分析。
关键词:转移应力;极限载荷;点安全度中图分类号:T U452 文献标识码:A 文章编号:1000-4548(2002)01-0016-05作者简介:杨 强(1964-),男,云南人。
1988年在清华大学获硕士学位,1996年在奥地利Innsbruck大学获博士学位,现为清华大学水利系教授。
主要从事水工结构及岩石力学方面的研究工作。
Y ANG Qiang,CHE N X in,ZH OU Wei2yuan(Department of Hydraulic Engineering,Tsinghua University,Beijing100084,China)Abstract:In this paper,focused on popularly used D-P yield criteria in geomaterials,a new incremental method in which the stresses to be trans2 ferred according to normal flow rule are directly derived without forming elasto2plastic increment matrix,was proposed.This method converges for either small load steps or large load steps.When very small load steps are used,the method is equivalent to standard elasto2plastic incremental method.When large load steps are used,the maximum load applied is lower than limit load in structure,the calculated stress field is an static ad2 missible one.As normal flow rule is satisfied in average,the maximum load is close to limit load.The soltion calculated by the method is on the safe side and close to real solution.The method was embedded into a3D nonlinear FEM software named TFINE,and overloading analysis was performed on an arch dam.K ey words:the stresses to be transferred;normal flow rule;limit load1 引 言Ξ岩土材料具有很复杂的本构特性,如各向异性、硬化、软化等,目前描述岩土材料的本构模型非常多。
但在实际工程三维有限元计算分析中,尤其是在岩体工程里,大量使用的仍是最简单D-P准则及理想弹塑性分析。
其主要原因是参数选取不易。
如在二滩高拱坝建设中,做了大量坝肩岩体现场大型抗剪试验,但具体到某一岩级,试验点数仍然很有限,且离散性很大。
很难完全依赖试验确定参数,一般都要进行工程类比,对中、小工程工程类比更是参数确定的主要手段。
最终一般只能给出岩体的抗剪参数f,c值。
在这种情况下,从工程实用角度来说,追求本构关系的精致、完备并无太多实用意义。
相对而言,在岩土工程三维非线性有限元分析里,计算收敛性是一个较大的问题。
弹塑性增量计算要采用精细的步长划分,才能确保计算收敛到正确解。
在岩土工程,尤其是岩体工程里,荷载量级都很大,如高拱坝对水荷载的极限承载力可达上亿吨,而这对两岸高陡边坡所承受的的自重荷载来说,还只是一个小数,又如高地应力区大型地下洞室、高边坡(如三峡船闸高边坡)开挖过程中的释放荷载量级也十分巨大。
若采用精细的步长划分,计算量将很大。
岩体地质构造复杂,三维网格划分时经常会有畸形单元。
由于地址缺陷或加固措施导致相邻单元材料性质差异过大,再加上高水平的荷载,各种因素交互影响,使得在计算过程中,经常出现局部发散现象,使得增量计算难以进行下去,最终结果可信度低,也难以从计算结果判断何时结构丧失稳定性。
而对岩土工程来说,往往更关注结构的稳定性和极限承载力,而非应力和位移分布。
Ξ基金项目:国家自然科学基金资助项目(59879005);清华大学基础研究基金资助项目收稿日期:2001-04-12 第24卷 第1期岩 土 工 程 学 报V ol.24 N o.1 2002年 1月Chinese Journal of G eotechnical Engineering Jan., 2002 本文针对目前三维非线性有限元分析岩土材料常用的D -P 准则,提出了一种新的增量分析方法,它直接导出了符合正交流动法则的转移应力的解析解,不用形成弹塑性增量矩阵。
该方法无论是对小步长还是大步长加载均有良好的收敛性。
当采用精细的步长划分时,它就是严格意义上的理想弹塑性增量计算。
当采用大步长增量计算,所得到是在平均意义上符合正交流动法则的一个静力容许应力场;在收敛域内,所能施加的最大荷载接近极限载荷的下限。
2 转移应力的解析解在三维有限元弹塑性增量分析里,D -P 准则由于简单实用,且和当前地质方面所能提供参数相适应,一直是目前应用最广的岩土材料屈服准则,其形式为f =αI 1+J 2-k ≤0(1)式中 J 2=16[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2],I 1=σ1+σ2+σ3,其中σ1,σ2,σ3为主应力。
α和k 可通过拟合莫尔-库仑准则而得。
例如,在π平面上,若D -P 准则为库仑六边形的外接园,则α=2sin φ3(3-sin φ),k =6c cos φ3(3-sinφ)(2)式中 φ和c 为材料的摩擦角和粘聚力。
设某一高斯点在某一加载步或迭代步前初始应力为σ0且满足f (σ0)≤0。
对某一个加载步或迭代步,由位移法求得该点应变增量为Δε,它对应于弹性试应力σ1=σ1ij =σ0+D :Δε,这里D 为弹性张量;若f (σ1)>0,则需进行应力调整。
若此加载步或迭代步中塑性应变增量为Δεp,则调整后的应力为σ=σij =σ0+D :(Δε-Δεp)=σ1-D :Δεp。
将正交流动法则d εp=d λ5f 5σ近似写成增量形式Δεp =Δλ5f 5σ,并以σ1确定5f Π5σ的代表值。
则由条件f (σ)=0,σ=σ1-ΔλD :5f 5σσ=σ1(3)即可确定调整后应力σ=σij =(1-n )σ1ij +p δij (4)这里n =wμJ 2,p =-mw +13nI 1,m =α(3λ+2μ),w =f3αm +μ(5)其中J 2,I 1,f 均由σ1确定。
λ,μ为拉梅常数,即λ=E ν(1+ν)(1-2ν),μ=E2(1+ν)(6)式中 E ,ν为杨氏模量和泊松比。
容易证明由式(4)确定的调整后应力σ必在屈服面上,即f (σ)=0。
故对每个增量步或迭代步,应力转移值为Δσ=σ1-σ=n σ1ij -p δij (7) 求得由式(7)确定的转移应力Δσ后,可采用最普通的常刚度迭代进行应力转移计算。
该方法避免了复杂的塑性矩阵的运算,直接求得满足正交流动法则的应力转移值。
显然当采用精细的步长划分时,正交流动法则d εp=d λ(5f Π5σ)得到充分满足,它就是严格意义上的理想弹塑性增量计算。
以σ1确定5f Π5σ对计算收敛起到重要作用,此时转移应力的方向指向屈服锥体的中心线,所以调整后应力总能退回到屈服面上来。
若以σ0确定5f Π5σ,如果σ1和σ0相差较大,则有可能调整后应力无法退回到屈服面上来。
这实际上也是一般弹塑性计算当增量步过大就不收敛的重要原因之一。
一般弹塑性计算也不进行校核。
本文建议的方法在任何步长下都能确保调整后应力在屈服面上。
大量的数值计算表明该方法具有良好的收敛性,所以可以用计算是否收敛来作为整体结构是否失稳的判据。
在大步长情况下求得的应力场与精细的步长划分下的所得是有差异的。
我们可以从极限承载力的角度来探讨一下这个问题。
在比例加载下,结构所能承受的最大荷载为极限承载力。
在精细的步长划分下,理想弹塑性增量计算的最大荷载就是严格意义上的极限承载力。
极限分析的下限定理认为:“一个满足平衡条件并且到处都不破坏材料屈服条件的应力场,是一个静力容许应力场;跟静力容许应力场对应的外荷载是极限荷载的下限;最高的下限便是极限荷载”。
显然,在大步长情况下,在收敛域内最大载荷低于结构真实的极限承载力;对应的应力场是一个静力容许应力场;同时由于正交流动法则在平均意义下得到满足,收敛域内最大载荷接近结构真实的极限承载力。
所以按此法所得的极限承载力接近真解且偏于安全。
3 其他考虑岩土材料为低抗拉材料,故还应考虑抗拉条件:σ1≤σt ,σ2≤σt ,σ3≤σt(8)式中 σt 为材料单轴抗拉强度。
在程序流程上,首先判断抗拉条件是否满足,若不满足,则调整应力满足之;其次再按D -P 准则判断调整应力。
整个计算模型被装入三维非线性有限元程序TFI NE 里。
在TFI NE 里,材料有三种破坏模式Ξ:71Ξ对理想弹塑性模型而言,屈服即为破坏。
第1期杨 强,等1基于D -P 准则的三维弹塑性有限元增量计算的有效算法(1)剪切破坏(相对于D -P 准则,式(1));(2)拉坏(式(8));(3)拉-剪破坏,即材料既拉坏又剪坏。
TFI NE 的塑性屈服区3种图案如图1,分别代表这三种破坏模式。