7弹塑性有限元
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弹塑性有限元法
第六章 弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必 须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性 有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问 题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系 不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷 载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹 性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同 状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于 非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行 分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用 在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件
A
A0
l0 l
l 0 未变形的长度 A 0 未变形的平面面积
FF l
A A0 l0
nom(ll0)
nominal
n o m 名义应力
真实应力
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 名义应变，每单位未变形长度的伸长。
noml0l
ll0 l0
l l0
1
l l0
1 nom
塑性性能的材料实验数据，提供的应变包括塑性应变和弹性应 变，是材料的总体应变。所以总体应变分解为弹性和塑性应变两 项。
弹性应变等于真实应力与弹性模量的比值。
t pl el
el / E
p lte lt/E
p l 真实塑性应变
t 总体真实应变
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
ln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
弹塑性力学的发展
早期 精确算法 线性问题
如今 数字分析法 非线性问题
实际的需要，软件应用计算 ANSYS、ABAQUS
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
PART.02
名义应力（变）与真实应力（变）
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
在ABAQUS中必须 用真实应力和真实应 变定义塑性。
弹塑性问题有限元分析
弹塑性问题的有限元分析
专硕-
1
材料的弹塑性行为实验
2
材料塑性行为的屈服准则
3
材料塑性行为的流动法则
4
材料塑性行为的强化准则
5
材料塑性行为的模型
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小 变形情形下的弹塑性问题。
1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获 得的，如下图所示
但不发生新的塑性流动
4、塑性强化准则 该准则用来描述屈服面是如何改变的，以确定后续屈服面的新 状态，一般可以有几种模型： 等向强化模型 随动强化模型 混合强化模型 5、材料塑性行为的模型 基于以上准则，在根据各种材料的应力应变曲线、经过归纳和 分类给出以下几种典型的描述材料弹塑性行为的模型 （1）、双线性Bauschinger随动强化 （2）、多线性Bauschinger随动强化 （3）、双线性等向强化 （4）、多线性等向强化 （5）、非等向强化 （6）、Drucker-Prager模型 所谓Bauschinger效应为反向屈服点到卸载点的数值为 2 yd 。
I1 1 2 3
I2 1 2 2 3 31(2)
I3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有
一些特殊的性质。
设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且1＞ 2＞ 3
如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2）
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实
验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过
以下关系来换算：
如果定义等效应力为
eq
3 2
y
专硕-
1
材料的弹塑性行为实验
2
材料塑性行为的屈服准则
3
材料塑性行为的流动法则
4
材料塑性行为的强化准则
5
材料塑性行为的模型
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小 变形情形下的弹塑性问题。
1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获 得的，如下图所示
但不发生新的塑性流动
4、塑性强化准则 该准则用来描述屈服面是如何改变的，以确定后续屈服面的新 状态，一般可以有几种模型： 等向强化模型 随动强化模型 混合强化模型 5、材料塑性行为的模型 基于以上准则，在根据各种材料的应力应变曲线、经过归纳和 分类给出以下几种典型的描述材料弹塑性行为的模型 （1）、双线性Bauschinger随动强化 （2）、多线性Bauschinger随动强化 （3）、双线性等向强化 （4）、多线性等向强化 （5）、非等向强化 （6）、Drucker-Prager模型 所谓Bauschinger效应为反向屈服点到卸载点的数值为 2 yd 。
I1 1 2 3
I2 1 2 2 3 31(2)
I3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有
一些特殊的性质。
设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且1＞ 2＞ 3
如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2）
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实
验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过
以下关系来换算：
如果定义等效应力为
eq
3 2
y
弹塑性力学与有限元-应变分析
位移—由于外部因素如载荷或温度 变化,物体内部各点空间位置发生的 变化 ；
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
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y
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1 4
(
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2 yz
2 zx
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I
3
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2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
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2 xy
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1 4
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zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
流体动力学
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
弹塑性有限元在实际工作中的应用
弹性和塑性理论是现代变形固体力学的分支，弹性和塑性理论的任务，一般就是在实验所建立的关于材料变形的力学规律基础上，用严谨的数学方法来研究各种形状的变形固体在外载荷作用下产生的应力、应变和位移。
弹性理论研究的对象是弹性体，指的是一种物体在每一给定温度下，存在着应力和应变间的单值关系，与时间无关。
通常这一关系是线性的，当外力取消后，应变即行消失，物体能够完全恢复原来的形状，同时物体内部的应力也完全消失。
塑性理论研究物体塑性状态的形成及应力和变形规律，塑性状态是指物体应变足够大时，卸去外载后，物体不能恢复其原有形状而产生残余变形，塑性变形是能量的不可逆过程。
一、弹塑性有限元的优势在研究对象上，弹性和塑性理论除了更精确地研究一度空间问题外，更重要的是研究材料力学和结构力学不能解决的问题，例如板、壳等长度和宽度远大于厚度的二度空间问题，以及一些长、宽、厚都是同阶大小的三度空间问题。
在研究方法方面，弹性和塑性理论以其提出问题的普遍性和解答问题的严密性为特点。
在弹性和塑性理论中，一般不采用平面截面假设，而是对无限小的体积素列出平衡方程，将问题归结为求解一系列偏微分方程组，弹性和塑性理论最终提供的是整个物体内部的应力分布规律——应力场。
有限单元法的基本思路是把由无限个质点构成的物体，假想地划分成有限个简单形状的单元。
用这种有限个单元的集合体来代替原来的物体，各个单元之间靠结点连接，结点相当于一个铰链，单元之间的相互作用力靠结点传递。
物体被离散后，首先对其中的各个单元进行力学分析，找出单元间的结点力与结点位移的关系，以及各个单元存在着的相同的规律性。
单元分析后，再对整个物体进行力学分析，找出整个物体所有结点的载荷与位移的关系。
这些关系式构成一个线性方程组，引入边界条件后，求解这个方程组，就可以得出基本未知量的解；根据所得到的解，可以进一步得出各个单元的应变和应力。
利用弹塑性有限元法可以准确地找出金属在轧制时的弹性变形和塑性变形及没有发生变形的区域，此方法应用于冷轧时可进行更精确的计算。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
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Kij
Kim
Kin
m
K rs 22
K
e rs
e1
K 叠加
K
j1
K ji
K jj
K jm
K
jn
r 1, 2,
, n;
s 1, 2, , n
K
m1
K mi
K mj
Kmm
K
mn
K
n1
K ni
K nj
K nm
Knn
m
m
K e 2n2n
u 2n1
Fe 2n1
e1
e1
7.30
7.2.2 整体刚度矩阵
m个单元n结点弹性体,结点位移是整个集合体的未知量，写成 u 3n1
将已知单元结点位移、刚度（影响系数）和结点力放在相应位置上，其余用零充填， 然后叠加
F eT 13n
0T 0T
0T FeT 0T
0T
u eT 13n
0T 0T
0T ueT 0T
0T
e
7 小变形弹-塑性有限元法
弹性体体积为V，以m代表单元数；n表示结点总数。{u}表示系统结点位移
的列阵。
u ux1 uy1 uz1 ux2 uy2 uz2 uxn uyn uzn T
S
上外力
p
用静力等效的原则化到相应的结点上去,结点载荷列阵为:
F Fx1 Fy1 Fz1 Fx2 Fy2 Fz2 Fxn Fyn Fzn T
9
11
2
4
6
8
10
12
(b)
b比a情况可节省存贮单元
（5）[K]是一个奇异阵，在排除刚性位移后，它是正定阵。
m
K
u
m
K
e
u
m
BT
DBtAu
uT K u eT DetA e1
e1
e1
m
只有在每个单元中都有
e 0,
才有eT DetA 0 e1
否则它大于零。整个集合体排除了刚性位移 e 0 即 u 0
p
Re ,Pe ,Qe 分别为集中力、面力、体力移置到单元结点上得
到的等效结点力 均质等厚的三角形单元，重力引起的等效结点力只需把1/3的重量 移置到结点上;作用在长度为的L三角形一个边i,j上强度为p的均布 表面力，只需ptL/2把移置到结点i及j上 ;
线性分布载荷，如在结点i处强度为零，在结点j处强度为p， 则合力大小为ptL/2 ，只需将合力的1/3移置到结点i，2/3移置 到结点j.
1 222 1 2 S
11 33 1 2 S
22 33 1 2 S
1 332 1 2 S
S 2 2 1
3 3G
1112 S
2212 S
3312 S
1
2 12
2S
11 23 S
22 23 S
33 23 S
12 23 S
1
2 23
2S
11 S
31
22 S
r i, j, m; s i, j, m
平面应变 E E (1 2 ); (1 )
K res
E(1 )t
4(1 ) 1 2
A
brbs
1 2 2(1
)
cr cs
1
crbs
1 2 2(1 )
br cs
1
br cs
1 2 2(1
)
crbs
cr cs
1 2 2(1
)
brbs
FF32
F4
已知 : ux1
1, ux2
3
1 0 0 0 ux1
1
0 0 0
K 22 0 K 42
0 1 0
K 24 0 K 44
u y1 u x 2 u y2
F2 F4
K 21 1 3
K 41 1
K
23
3
K 433
●把上式左端已知位移对应的i行i列的交叉刚度系数（i≠j）置 零●，已对知角位线移1,刚对3 度应系的数行（交i叉＝刚j）度置系1，数对乘应位的移载后荷移项至置右已端知与位载移荷；项
d
硬化曲线上:
d dp
T
d d p
1
（2）
弹塑性共存: d de dp d Dde
d D d dp
（3)
T
T
2
d
D
d dp
（1)
T
T
d
p
D
d
D
d
p
T
d
p
Dd
T
D
T
1
dp
Dd
T
D
3
d
D
d
增量理论
d D d ep
由Mises屈服条件(3.17)和Prandtl-Reuss 方程
3 2
ij
ij；
3 11 , 11 2
, 312 , 12
塑性应变增量矢量39页
3 ij
2
等效应变增量
式(3.48)
d
p ij
3 2
d
P
ij
dp
d
p
d
ij
d ij
d
T
ue ux
uy
T
uz
N ue
u e uxi uyi uzi uxm uym
uzm T
e x y z xy yz zx T Bue eT ueT BT
e x y z xy yz zx T DBue S ue
S DB
7.2.1单元刚度矩阵
变分原理中积分看成是不同子域积分的总和,求和的积分＝各 积分求和，故可将变分原理分别用于各个单元
Ku F
此矩阵是单元刚度矩阵扩到 2n 2n后 在同一位置上子矩阵之和。
由于（7.28）中很多位置上子矩阵都为零，（7.30）式不必对全部单元求和
只对分块矩阵 Kres 的下标r=s 或r,s属于同一结点号码的那些单元求和。
其他摆在相应位置上。
[K]具有如下的性质：
1.[K]中每列元素是某一结点在坐标轴方向发生单位位移，其它结点位 移都约束为零时，在所有结点上坐标轴方向需施加的结点力。
1 2
u eT 13n
Ke
3n3n
u
e
3n1
u eT 13n
F
e 3n1
m
e
1
m
ueT
K e ue
m
ueT Fe
e1
2 e1
e1
ueT
m
K
e
ue
m
Fe
0
e1
e1
m
m
K e ue Fe
e1
e1
Ku F
K
m
K
e
m
F Fe
e1
e1
平面应力三角形单元 集合体的结点位移列阵
z2
S
Dep
E
1
•
z r 1 2 S
1 r2 1 2 S
z 1 2 S
r 1 2 S
1 2 1 2 S
z
S
zr
r
S
zr
S
zr
1 2
2 zr
S
1
3 2
z2
r2
2
2
2 zr
2
7.39
7.38
平面应力 [D]ep表达式
33 23 31 0;
11 33 22 33 332
1112 2212 3312
2 12
11 23 22 23 33 23 12 23
2 23
11 31 22 31
33
31
12 31
23
31
2 31
1 1 2
112 S
D
E
ep 1
与加载前应 力水平有关,
与应力增量
无关
•
11 22 1 2 S
带人插值关系
ue
T
Fe
u e
T
N T G NT pt d l N T qt d x d y
Fe ＝N T G N T pt d l N T qt d x d y
＝Re Qe Pe
m
F Fe e1
集合体载 F Re Pe Qe R P Q
荷列阵
Fe (单元等效结点力）
Fje Fxej
Fyej T ,
Fme Fxem
Fe T ym
单元i,j,m上结 点力分块矩阵
m
F Fe 2 n1 e 1
公共边等效节点力抵消
三角形单元
1
i
j
m
n
刚度矩阵
6×6扩充
1
Kiei
Kiej
Kiem
i
K e 2n2n
K
e ji
K
e jj
K
e jm
j
7.28
除对应 i、j、m行,
二次型uT K u 恒大于零 , [K]为正定阵
7.2.3 整体刚度矩阵的修正
置1法: 置0法
K11
K
21
K K
31 41
K12 K 22 K 32 K 42
K13 K 23 K 33 K 43
K14 ux1
K 24 K 34 K 44
u y1 u x 2 u y2
F1
有任意性
K e ue Fe
Fe N T pd s S1
K e BT DBdVe Ve
三维问题
7.17
K e
B T
DBd
xd
yd