正弦交流电的相量图表示法
三相电压的相量表示
三相电压的相量表示是将时间上连续变化的三相正弦交流电压以复数形式表达，这种方法可以直观地描述各相电压在幅值、频率以及相位上的关系。
在电力系统分析中，通常采用极坐标或直角坐标（也称作笛卡尔坐标）来表示。
极坐标表示：
对于星形连接（Y接法）的三相电源或负载，其相电压相对于同一基准（例如A相）的相量表示为：
- A相：UA = V∠0°
- B相：UB = V∠-120°
- C相：UC = V∠120°
这里的V代表每相的有效电压幅值，角度表示的是相对于A 相的相位差，按照逆时针方向，B相滞后A相120度，C相超前A相120度。
直角坐标表示：
在静止对称坐标系（如αβγ坐标系或dq0坐标系）中，也可以转换成直角坐标形式表示，但此处不涉及具体的坐标变换过程。
对于三角形连接（Δ接法）的三相电压，线电压与相电压之间的关系如下：
- 线电压UAB = UA - UB = 380∠30° (假设有效线电压为380V)
- 线电压UBC = UB - UC = 380∠-90°
- 线电压UCA = UC - UA = 380∠150°
相量图中，三个电压相量按照120度均匀分布，且同时绕着同一个轴以相同的角速度逆时针旋转，这个角速度对应的就是系统的角频率ω（对于50Hz的交流电，ω=2π×50 rad/s）。
通过相量图和相量计算，能够简化复杂电路的分析和计算。
相量图表示法教案
学时:2学时教学目的：1.运用相量图分析交流电路； 2.相量图与波形图的关系。
重点：相量图的注意事项；难点：运用相量图分析交流电路。
导入新课：相量图是学习正弦交流电的基本工具，在计算相应的问题时是可以起到很好的作用的。
§ 5—2正弦交流电的相量图表示法一、表示正弦交流电的方法1.解析式。
例如 V t U u u m )sin(ϕω+=2.波形图。
例如下图1所示3.相量图。
例如下图2所示二、相量图（矢量图） 1.旋转矢量与波形图的关系怎样用相量图来表示正弦交流电呢？现在以正弦电动势V t E e m )sin(ϕω+=为例说明如下：如图2所示，在直角坐标系内，作一条有向线段OA ，其长度为正弦电动势e 的最大值m E ，它的起始位置与x 轴正方向的夹角等于初相0ϕ，并以正弦电动势的角频率ω为角速度逆时针匀速旋转，则在任一瞬间旋转相量与x 轴的夹角即为正弦电动势的相位)(0φω+t ，它在y 轴的投影)(Oa 即为该正弦电动势的瞬时值。
正弦交流电的相量用“m E 、m U 、mI ”表示。
但实际应用更多的是有效值相量（如图3所示），即将有向线段OA 的长度定为正弦量的有效值，相应符号则为“E 、U 、I ”。
例如，当0=t 时，旋转相量在y 轴的投影为e图12.应用相量图时应注意以下几点：①同一相量图中，各正弦交流电的频率应相同。
②同一相量图中，相同单位的相量应按相同比例画出。
③一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆时针转动的角度为正，顺时针转动的角度为负。
有时为了方便起见，也可在几个相量中任选其一作为参考相量，并取消直角坐标轴。
④用相量表示正弦交流电后，它们的加、减运算可按平行四边形法则进行。
3.举例已知V t u )30314sin(2301+=，V t u )60314sin(2402-=，利用相量图求21u u u +=和21u u u -='的瞬时值表达式。
第六讲 正弦交流电的基本概念及
I= √2
Im
U= √2
Um
E=
返回
Em
√2
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Байду номын сангаас
2.1.(1) 分析计算正弦交流电时是否也与直流电一样 是从研究它们的大小和方向着手？ 【答】不是，应从研究它们的频率、大小和相位着手。
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例2-2 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。 解：角频率为 =2f=2×50=100 =314rad/s
【答】（a）式中 ( a ) i
10 30
10 sin( t 30 ) A 是瞬时表达式，
是相量表达式，二者不等；（b）式中I为有效值， 5 45 A U 20 60 V 是相量，二者不等；（c）式中 是相量表达式， 是瞬时值表达式，二者不等。 )V 20 2 sin( t 60
2.2 正弦量的相量表示法
一、相量法
正弦交流电动势 e E m sin( t ) 的相量式为：
E E (cos j sin ) E
说明： （1）相量是表示正弦量的一种方式，相量不是时间 函数。
（2）相量是正弦量的复数表示形式，但不是正弦量。
（3）相量的加减只能是同频率正弦量的相加或相减
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V
= u － i = －60O －30O = －90O
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交流电相位差分析
e1 = Em1sin（ ωt + 1 ） e2= Em2sin（ ωt + 2）
正弦交流电
同频正弦信号的相位关系
同
相 位
2
1
相
i2
位
i1
t
i1 1 2 0
t
i i 领先于
1
2
相
i1
位
落 后
2 1
i2
1 2 0
t i i1 落后于 2
例 已知： i sin1000 t 30
幅度： 频率：
Im 1A
I 1 0.707 A 2
1000 rad/s f 1000 159 Hz
解：
3
I 141 .4 30 100 30 86.6 j50 A 2
U 311.1 60 220 60 110 j190.5 V 2
I
100 / 6
/3
220
U
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 A
I2 10 e j30 A
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
旋转矢量
最大值 Um
有效值 U
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号： Um、Im
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
3. 相量符号 U、I包含幅度与相位信息 U、I
则： U U1 U2 U1 U 2 e j(12 )
3. 除法运算
设： U1 U1e j1 U2 U 2e j 2
则：
U1 U2
U1 U2
e j12
正弦交流电路的相量表示法
220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t
例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A
正弦交流电的相量表示法(2)
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
15、正弦交流电的相量表示法cos
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
电工技术：正弦交流电的相量表示法(2)
+j
例:题2： 已知
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V
求：
U 2
U 1
41.9
60
u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
30
+1
Hale Waihona Puke 同频率正弦量的相量运算同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
方法一：同频率的正弦量相加减运 算，变成对应的相量相加减运算。 例:题2： 已知 求：
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 o ) V u (t ) u1 (t ) u 2 (t )
求：
U 2 U 1
+1
u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) u (t ) u1 (t )-u 2 (t )
首尾相接法 根据几何关系求得相加后的电压有效值和初相角：
平行四边形法
+1
U 10 53 o V u (t ) u1 (t ) u 2 (t ) 10 2sin(314t 53o ) V
U
u1 (t ) 6 2sin(314t 30 ) V u2 (t ) 4 2sin(314t 60 ) V
求：
U 2
60
U 1
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正弦量的相量表示法
• 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三
要素表示出来。
• 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法：
u
u Um sin(t )
+
②正弦波形图示法: (见右图) 0
_
t
③ 相量表示法。
波形图 瞬时值 相量图
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
HOME
谢谢观看！ 2020
相量表示法
• 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在复数平面建立直角坐标系OX为 实轴、OY为虚轴。
jy A b
设在复平面上一复数A(a,b).
在直角坐标系上可表示为.
A = a + jb
用极坐标系则表示为.
0 ax
A=r/
变换关系为：r a2 b2
arctg b
或： a r cos b r sin
HOME
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 3. 一般取直角坐标轴的水平正方向为参考方向，逆 时针转动的角度为正，反之为负。 4. 用相量表示正弦交流电后，它们的加减运算可按 平行四边形法则进行。
HOME
小结：正弦波的四种表示法
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
U1
相位哪一个领 先？哪一个落 后？
HOME
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
a
5.2 正弦交流电的相量图表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋H转OME
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其