2019-2020学年甘肃省兰州一中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年甘肃省兰州一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知向量a ⃗ =(4,2)，b ⃗ =(x,3)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数x 的值为( )A. 3B. 6C. 32 D. 23 2. 已知向量a ⃗ =(−1,−2)，向量b ⃗ =(−3,4)，则向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为( )A. 1B. −1C. √5D. −√5 3. sin20°cos10°−cos160°sin10°=( )A. −√32B. √32C. −12D. 124. 在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点P(−√2,1)，则cos2α=( )A. 2√23B. 13 C. −13 D. −2√236. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =4，b =2√2，A =45°，则B 的大小为( )A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120° 7. 已知向量|a ⃗ |=4,|b ⃗ |=8,a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则|2a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 8√3B. 6√3C. 5D. √198. 设点A ，B ，C 不共线，则“(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件9. 函数y =sin3x1+cosx ，x ∈(−π,π)图象大致为( )A.B.C.D.10. 若函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0,a]上单调递增，则a 的最大值为( )A. π2B. π3 C. 5π12 D. 7π1211. 已知函数f(x)=asinx −bcosx(a,b 为常数，a ≠0，x ∈R)的图象关于x =π4对称，则函数y =f(3π4−x)是( )A. 偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B. 偶函数且它的图象关于点(3π2,0)对称 C. 奇函数且它的图象关于点(3π2,0)对称 D. 奇函数且它的图象关于点(π,0)对称12. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 满足a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，且|a ⃗ |<|b ⃗ |<|c ⃗ |，则a ⃗ ⋅b ⃗ 、b ⃗ ⋅c ⃗ 、a⃗ ⋅c ⃗ 中最小的值是( ) A. a ⃗ ⋅b⃗ B. a⃗ ⋅c ⃗ C. b ⃗ ⋅c ⃗D. 不能确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，若sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ，则∠A 的大小为______． 14. 若tanα=3，则cos2α+3sin 2α=______．15. 已知θ是第四象限角，且tan(θ−π4)=−43，则sin(θ+π4)=______16. 已知两点A(−1,0)，B(1,0)，若直线x −y +a =0上存在点P(x,y)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则实数a 满足的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=cos(2x +π3)．(1)求函数y =f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．18. 在平面直角坐标系xOy 中，点A(−1,−2)、B(2,3)、C(−2,−1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求t 的值．19. 已知函数f(x)=√3sinx −2sin 2x2．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在[0,2π]内的所有零点．20. 已知函数f(x)=2a ⃗ ⋅b ⃗ ，x ∈R ，其中a ⃗ =(2cosx,−√3sin2x)，b ⃗ =(cosx,1)，(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)在△ABC 中，f(A)=−2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求△ABC 中的面积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cos(A −B),sin(A −B))，n ⃗ =(cosB,−sinB)，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−35 (1)求sin A 的值；(2)若a =4√2，b =5，求角B 的大小及向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．22.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，最小正周期为2π3，且最小值为−1．(1)求函数f(x)的解析式．(2)若x∈[π6,m]，f(x)的值域是[−1,−√32]，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：向量a ⃗ =(4,2)，b ⃗ =(x,3)，若a ⃗ //b ⃗ ， 可得12=2x ，解得x =6． 故选：B ．利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可． 本题考查向量共线定理的应用，基本知识的考查．2.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(−1,−2)，向量b ⃗ =(−3,4)； ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =(−1)×(−3)+(−2)×4=3−8=−5； ∴向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |=√(−3)2+42=−1．故选：B ．根据向量a⃗ 在b ⃗ 方向上的投影=a ⃗ ⋅b⃗ |b ⃗ |，带入数值即可． 本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题．3.答案：D解析：解：sin20°cos10°−cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30°=12． 故选：D ．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数公式，化简求解即可． 本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数公式的应用，基本知识的考查．4.答案：B解析：解：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．D 为边BC 上的一点，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 是四等分点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后得到答案． 在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) 5.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的定义的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−√2, 1)，所以cosα=√2√3，所以cos2α=2cos2α−1=2×23−1=13．故选：B．6.答案：A解析：解：在△ABC中，由正弦定理可得asinA =bsinB，即4sin45∘=2√2sinB，∴sinB=2√2sin45°4=12，又a>b，∴B=30°．故选：A．由已知及正弦定理可求sin B的值，结合大边对大角及B的范围即可得解B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：根据条件：|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2=√4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√64+64+64=8√3．故选A．由条件可求出a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos60°=16，进而根据|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2即可求出|2a⃗+b⃗ |的值．考查数量积的运算及计算公式，根据|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2求|2a⃗+b⃗ |的方法．8.答案：C解析：解：由于点A ，B ，C 不共线，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇔(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0⇔AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”； 故“(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件． 故选：C ．由于点A ，B ，C 不共线，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇔(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0⇔AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”，根据充分必要条件的定义判断即可． 本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：函数y =sin3x 1+cosx 满足f(−x)=−sin3x1+cosx =−f(x)，函数为奇函数，排除A ， 由于f(π2)=sin3π21+cosπ2=−1，f(π3)=sinπ1+cos π3=0，f(2π3)=sin2π1+cos 2π3=0故排除B ，C 故选：D ．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．10.答案：C解析：解：把函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 若函数g(x)在区间[0,a]上单调递增， 在区间[0,a]上，2x −π3∈[−π3,2a −π3]， 则当a 最大时，2a −π3=π2，求得a =5π12， 故选：C ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a 的最大值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．11.答案：D解析： 【分析】本题主要考查三角函数的性质的应用，根据函数的对称性求出b =−a 是解决本题的关键． 根据函数f(x)的对称性求出b =−a ，然后求出函数y =f(3π4−x)的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f(x)的图象关于直线x=π4对称，∴f(π4)=√22(a−b)=±√a2+b2，平方得a2+2ab+b2=0，即(a+b)2=0，则a+b=0，b=−a，则f(x)=asinx+acosx=√2asin(x+π4)，又a≠0，则y=f(3π4−x)=√2asin(3π4−x+π4)=√2asin(π−x)=√2asinx为奇函数，且图象关于点(π,0)对称，故选：D．12.答案：C解析：解：由a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，可得c⃗=−(a⃗+b⃗ )，平方可得2a⃗⋅b⃗ =c⃗2−(a⃗2+b⃗ 2).同理可得2b⃗ ⋅c⃗= a⃗⃗⃗ 2−(b⃗ 2+c⃗2)、2a⃗⋅c⃗=b⃗ 2−(a⃗2+c⃗2)，∵|a⃗|<|b⃗ |<|c⃗|，∴a⃗2<b⃗ 2<c⃗2则a⃗⋅b⃗ 、b⃗ ⋅c⃗、a⃗⋅c⃗中最小的值是b⃗ ⋅c⃗．故选：C．由a⃗+b⃗ +c⃗=0⃗，可得2a⃗⋅b⃗ =c⃗2−(a⃗2+b⃗ 2).2b⃗ ⋅c⃗= a⃗⃗⃗ 2−(b⃗ 2+c⃗2)、2a⃗⋅c⃗=b⃗ 2−(a⃗2+c⃗2)，利用|a⃗|<|b⃗ |<|c⃗|，即可比较．本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．13.答案：2π3解析：解：已知等式利用正弦定理化简得：a2−b2−c2−bc=0，即b2+c2−a2=−bc，∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，∵∠A为三角形内角，∴∠A=2π3．故答案为：2π3．已知等式利用正弦定理化简，得到一个等式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的等式代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．此题考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．14.答案：1910解析：解：cos2α+3sin 2α=cos 2α−sin 2α+3sin 2α=cos 2α+2sin 2αsin 2α+cos 2α，两边同除cosα，原式=1+2tan 2αtan 2α+1=1+2×3232+1=1910．故答案为：1910．先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin 2α+cos 2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解． 本题考查二倍角公式和同角三角函数关系的综合应用，运用了同除余弦可化切的解题思路，考查学生的运算能力，属于基础题．15.答案：35解析：解：已知θ是第四象限角，且tan(θ−π4)=−43=tanθ−11+tanθ，∴tanθ=−17=sinθcosθ． 又sin 2θ+cos 2θ=1，∴sinθ=−√210，cosθ=7√210， ∴sin(θ+π4)=sinθcos π4+cosθsin π4=35， 故答案为：35．由题意利用两角和差三角公式，同角三角函数的基本关系，求得sinθ和 cosθ的值，可得要求式子的值．本题主要考查两角和差三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．16.答案：[−√2,√2]解析：解：∵直线l ：x −y +a =0，点A(−1,0)，B(1,0)， 直线l 上存在点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴P 的轨迹方程是x 2+y 2=1．∴如图，直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点， ∴圆心O(0,0)到直线l ：x −y +a =0的距离： d =|a|√2≤1，解得−√2≤a ≤√2．∴实数a 的取值范围为[−√2,√2]. 故答案为：[−√2,√2].问题转化为求直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点时，a 的取值范围，利用数形结合思想能求出结果． 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．17.答案：解：(1)函数f(x)=cos(2x +π3)．由2x +π3=kπ得x =kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x =kπ2−π6，k ∈Z ，(2)当−π12≤x ≤π2时，−π6≤2x ≤π，π6≤2x +π3≤4π3，所以当2x +π3=π，即x =π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x +π3=π6，即x =−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cos π6=√32．解析：(1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程． (2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.答案：解：(1)(方法一)由题设知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4)． 所以|AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2． 故所求的两条对角线的长分别为4√2、2√10．(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为B 、C 的中点，E(0,1)又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为BC =4√2、AD =2√10； (2)由题设知：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+2t,5+t)． 由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得：(3+2t,5+t)⋅(−2,−1)=0， 从而5t =−11，所以t =−115．或者：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，t =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−115解析：(1)(方法一)由题设知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4)． 从而得：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2． (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： 由E 是AC ，BD 的中点，易得D(1,4) 从而得：BC =4√2、AD =2√10；(2)由题设知：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+2t,5+t)． 由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得：(3+2t,5+t)⋅(−2,−1)=0， 从而得：t =−115．或者由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，得：t =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−115本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力．19.答案：解：(1)f(x)=√3sinx −2sin 2x 2=√3sinx −(1−cosx)=2sin(x +π6)−1．∵T =2π．由2kπ−π2≤x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ． 解得：2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，k ∈Z ．∴函数f(x)单调递增区间为：[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k ∈Z ．(2)令2sin(x +π6)−1=0，即sin(x +π6)=12． ∴x +π6=2kπ+π6，或x +π6=2kπ+π−π6．可得：函数f(x)在[0,2π]内的所有零点为：0，2π3，2π．解析：(1)利用倍角公式、和差公式即可化简f(x)，再利用单调性即可得出．(2)令2sin(x +π6)−1=0，即sin(x +π6)=12.可得x +π6=2kπ+π6，或x +π6=2kπ+π−π6.即可得出函数f(x)在[0,2π]内的所有零点．本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.答案：解：(1)因为a ⃗ =(2cosx,−√3sin2x)，b ⃗ =(cosx,1)，所以f(x)=2a ⃗ ⋅b ⃗=4cos 2x −2√3sin2x =2cos2x −2√3sin2x +2=4cos(2x +π3)+2， 由T =2π2=π，由2kπ≤2x +π3≤2kπ+π， 解得：kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z故f(x)的最小正周期为π，单调减区间为：[kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ； (2)因为在△ABC 中，f(A)=−2， 所以cos(2A +π3)=−1， 所以2A +π3=π， 即A =π3， 又AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3， 所以12|AB||AC|=3，即|AB||AC|=6，所以S △ABC =12|AB||AC|sin π3=3√32， 故△ABC 中的面积为3√32．解析：(1)平面向量的数量积、三角函数图象的性质可得：f(x)=4cos(2x +π3)+2，由T =2π2=π，则易得：f(x)的最小正周期为π，单调减区间为：[kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ；(2)由三角函数求值及三角形的面积公式可得：A =π3，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =3，所以12|AB||AC|=3，即S △ABC =12|AB||AC|sin π3=3√32，得解． 本题考查了平面向量的数量积、三角函数图象的性质及三角形的面积公式，属中档题． 21.答案：解：(1)由题意可得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =cos(A −B)cosB −sin(A −B)sinB =cos[(A −B)+B]=cosA =−35， ∴sinA =√1−cos 2A =45；(2)由正弦定理可得asinA =b sinB ， ∴sinB =bsinA a=5×454√2=√22， ∵a >b ，∴A >B ，∴B =π4，由余弦定理可得(4√2)2=52+c 2−2×5c ×(−35)， 解得c =1，或c =−7(舍去)，故向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =ccosB =1×√22=√22．解析：(1)由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =cosA =−35，由同角三角函数的基本关系可得sin A ；(2)由正弦定理可得sinB =bsinA a，结合大边对大角可得B 值，由余弦定理可得c 值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．22.答案：解：(1)由函数的最小值为−1，A >0，得A =1，∵最小正周期为2π3， ∴ω=2π2π3=3，∴f(x)=cos(3x +φ)， 又函数的图象过点(0,12)， ∴cosφ=12，而0<φ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=cos(3x+π3)，(2)由x∈[π6,m]，可知5π6≤3x+π3≤3m+π3，∵f(π6)=cos5π6=−√32，且cosπ=−1，cos7π6=−√32，由余弦定理的性质得：π≤3m+π3≤7π6，∴2π9≤m≤5π18，即m∈[2π9,5π18].解析：(1)依题意，易求A=1，ω=3，由函数的图象过点(0,12)，0<φ<π2，可求得φ=π3，从而可得函数f(x)的解析式．(2)x∈[π6,m]⇒5π6≤3x+π3≤3m+π3，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m+π3≤7π6，从而可求m的取值范围．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．。
2019-2020学年甘肃省兰州一中高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年甘肃省兰州一中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣2．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．3．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．﹣B．C．﹣D．4．三角形ABC中，D为边BC上一点，且满足，则等于（）A．B．C．D．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则cos2α＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，，A＝45°，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°7．已知向量||＝4，||＝8，与的夹角为60°，则|2+|＝（）A．B．C．5D．8．设点A，B，C不共线，则“，”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件9．函数y＝，x∈（﹣π，π）图象大致为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，a]上单调递增，则a的最大值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝a sin x﹣b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x＝对称，则函数y＝f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定二、填空题（共4小题）13．在△ABC中，若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C，则∠A的大小为．14．若tanα＝3，则cos2α+3sin2α＝．15．已知θ是第四象限角，且tan（θ﹣）＝﹣，则sin（θ+）＝16．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•＝0，求t的值．19．已知函数f（x）＝sin x﹣2sin2．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在[0，2π]内的所有零点．20．已知函数f（x）＝2•，x∈R，其中＝（2cos x，﹣sin2x），＝（cos x，1），（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）在△ABC中，f（A）＝﹣2，•＝3，求△ABC的面积．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（cos（A﹣B），sin（A﹣B）），＝（cos B，﹣sin B），•＝﹣．（1）求sin A的值；（2）若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．22．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若x∈[，m]，f（x）的值域是[﹣1，﹣]，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解：向量＝（4，2），＝（x，3），若∥，可得12＝2x，解得x＝6．故选：A．2．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】根据向量在方向上的投影＝，带入数值即可．解：∵向量，向量；∴•＝（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）×4＝3﹣8＝﹣5；∴向量在方向上的投影＝．故选：B．3．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°＝．故选：D．4．三角形ABC中，D为边BC上一点，且满足，则等于（）A．B．C．D．【分析】D为边BC上的一点，且，D是四等分点，，最后得到答案．解：＝＝+＝，故选：A．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果．解：角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，所以cos，所以cos2α＝2cos2α﹣1＝．故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，，A＝45°，则B的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由已知及正弦定理可求sin B的值，结合大边对大角及B的范围即可得解B的值．解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，∴，又a＞b，∴B＝30°．故选：A．7．已知向量||＝4，||＝8，与的夹角为60°，则|2+|＝（）A．B．C．5D．【分析】由条件可求出，进而根据即可求出的值．解：根据条件：＝＝＝．故选：A．8．设点A，B，C不共线，则“，”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”，根据充分必要条件的定义判断即可．解：由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”；故“，”是“”的充分必要条件．故选：C．9．函数y＝，x∈（﹣π，π）图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．解：函数y＝满足f（﹣x）＝＝﹣f（x），函数为奇函数，排除A，由于f（）＝＝﹣1，f（）＝＝0，f（）＝＝故排除B，C故选：D．10．若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，a]上单调递增，则a的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a的最大值．解：把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间[0，a]上单调递增，在区间[0，a]上，2x﹣∈[﹣，2a﹣]，则当a最大时，2a﹣＝，求得a＝，故选：C．11．已知函数f（x）＝a sin x﹣b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x＝对称，则函数y＝f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【分析】根据函数f（x）的对称性求出b＝﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）＝（a﹣b）＝，平方得a2+2ab+b2＝0，即（a+b）2＝0，则a+b＝0，b＝﹣a，则f（x）＝a sin x+a cos x＝sin（x+），又a≠0，则＝sin（﹣x+）＝sin（π﹣x）＝sin x为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定【分析】由，可得2＝﹣（+）.2＝（+）、2＝﹣（+），利用，即可比较．解：由，可得，平方可得2＝﹣（+）．同理可得2＝（+）、2＝﹣（+），∵，∴则、、中最小的值是．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13．在△ABC中，若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C，则∠A的大小为．【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到一个等式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的等式代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．解：已知等式利用正弦定理化简得：a2﹣b2﹣c2﹣bc＝0，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴由余弦定理得：cos A＝＝﹣，∵∠A为三角形内角，∴∠A＝．故答案为：．14．若tanα＝3，则cos2α+3sin2α＝．【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin2α+cos2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解．解：cos2α+3sin2α＝cos2α﹣sin2α+3sin2α＝，两边同除cosα，原式＝＝＝．故答案为：．15．已知θ是第四象限角，且tan（θ﹣）＝﹣，则sin（θ+）＝【分析】由题意利用两角和差三角公式，同角三角函数的基本关系，求得sinθ和cosθ的值，可得要求式子的值．解：已知θ是第四象限角，且tan（θ﹣）＝﹣＝，∴tanθ＝﹣＝．又sin2θ+cos2θ＝1，∴sinθ＝﹣，cosθ＝，∴sin（θ+）＝sinθcos+cosθsin＝，故答案为：．16．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是[﹣，]．【分析】问题转化为求直线l与圆x2+y2＝1有公共点时，a的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．解：∵直线l：x﹣y+a＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），直线l上存在点P满足•＝0，∴P的轨迹方程是x2+y2＝1．∴如图，直线l与圆x2+y2＝1有公共点，∴圆心O（0，0）到直线l：x﹣y+a＝0的距离：d＝≤1，解得﹣≤a．∴实数a的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的对称轴方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（1）直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．（2）利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．解：（1）函数．由2x＝kπ得x＝，即函数的对称轴方程为x＝，k∈Z，（2）当时，2x≤π，2x，所以当2x＝π，即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（x）＝cosπ＝﹣1，当2x，即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（x）＝cos．18．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足（）•＝0，求t的值．【分析】（1）（方法一）由题设知，则．从而得：．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由E是AC，BD的中点，易得D（1，4）从而得：BC＝、AD＝；（2）由题设知：＝（﹣2，﹣1），．由（）•＝0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）＝0，从而得：．或者由，，得：解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC＝、AD＝；（2）由题设知：＝（﹣2，﹣1），．由（）•＝0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2，﹣1）＝0，从而5t＝﹣11，所以．或者：，，19．已知函数f（x）＝sin x﹣2sin2．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数f（x）在[0，2π]内的所有零点．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式即可化简f（x），再利用单调性即可得出．（2）令2sin（x+）﹣1＝0，即sin（x+）＝．可得x+＝2kπ+，或x+＝2kπ+π﹣．即可得出函数f（x）在[0，2π]内的所有零点．解：（1）f（x）＝sin x﹣2sin2＝sin x﹣（1﹣cos x）＝2sin（x+）﹣1．∵T＝2π．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z．解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z．∴函数f（x）单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）令2sin（x+）﹣1＝0，即sin（x+）＝．∴x+＝2kπ+，或x+＝2kπ+π﹣．可得：函数f（x）在[0，2π]内的所有零点为：0，，2π．20．已知函数f（x）＝2•，x∈R，其中＝（2cos x，﹣sin2x），＝（cos x，1），（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）在△ABC中，f（A）＝﹣2，•＝3，求△ABC的面积．【分析】（1）平面向量的数量积、三角函数图象的性质可得：f（x）＝4cos（2x+）+2，由T＝＝π，则易得：f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；（2）由三角函数求值及三角形的面积公式可得：A＝，又＝3，所以|AB||AC|＝3，即S△ABC＝|AB||AC|sin＝，得解．解：（1）因为＝（2cos x，﹣sin2x），＝（cos x，1），所以f（x）＝2•＝4cos2x﹣2＝2cos2x﹣2sin2x+2＝4cos（2x+）+2，由T＝＝π，由2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得：k≤x≤k，k∈Z故f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；（2）因为在△ABC中，f（A）＝﹣2，所以cos（2A）＝﹣1，所以2A+＝π，即A＝，又＝3，所以|AB||AC|＝3，即|AB||AC|＝6，所以S△ABC＝|AB||AC|sin＝，故△ABC中的面积为．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（cos（A﹣B），sin（A﹣B）），＝（cos B，﹣sin B），•＝﹣．（1）求sin A的值；（2）若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．【分析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得＝cos A＝，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B＝，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解：（1）由题意可得＝cos（A﹣B）cos B﹣sin（A﹣B）sin B＝cos[（A﹣B）+B]＝cos A＝，∴sin A＝＝；（2）由正弦定理可得，∴sin B＝＝＝，∵a＞b，∴A＞B，∴B＝，由余弦定理可得＝，解得c＝1，或c＝﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B＝c cos B＝1×＝．22．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若x∈[，m]，f（x）的值域是[﹣1，﹣]，求m的取值范围．【分析】（1）依题意，易求A＝1，ω＝3，由函数的图象过点（0，），0＜φ＜，可求得φ＝，从而可得函数f（x）的解析式．（2）x∈[，m]⇒≤3x+≤3m+，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m+≤，从而可求m的取值范围．解：（1）由函数的最小值为﹣1，A＞0，得A＝1，∵最小正周期为，∴ω＝＝3，∴f（x）＝cos（3x+φ），又函数的图象过点（0，），∴cosφ＝，而0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝cos（3x+），（2）由x∈[，m]，可知≤3x+≤3m+，∵f（）＝cos＝﹣，且cosπ＝﹣1，cos＝﹣，由余弦定理的性质得：π≤3m+≤，∴≤m≤，即m∈[，]．。
甘肃省兰州市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
甘肃省兰州市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A．甲、乙两人打靶的平均环数相等B．甲的环数的中位数比乙的大C．甲的环数的众数比乙的大D．甲打靶的成绩比乙的更稳定【答案】C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；所以可知错误的是C。
故选C。
2．一个正四棱锥的底面边长为23，则该正四棱锥的全面积为A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】【分析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.【详解】223+1=2，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．某几何体的三视图如下图所示（单位：cm ）则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π【答案】C 【解析】 【分析】通过三视图的观察可得到该几何体是由一个圆锥加一个圆柱得到的，表面积由一个圆锥的表面积和一个圆柱的侧面积组成 【详解】圆柱的侧面积为22124S rl πππ==⨯⨯=侧，圆锥的表面积为'()S r r l π=+锥，其中()2'2132l =+=，()=1+2=3S ππ锥，=3+4=7S πππ总。
选C【点睛】几何体的表面积一定要看清楚哪些面存在，哪些面不存在 4．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D 【解析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.5．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 6．圆：被直线截得的线段长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由弦长，即可得出结果.【详解】 因为圆：的圆心为，半径；所以圆心到直线的距离为，因此，弦长.故选D 【点睛】本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型. 7．已知l 为直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若l α，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ⊥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥ D ．若l α⊥，βα⊥，则l β∥【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与平面平行、垂直的判断即可。
2019-2020学年兰州一中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年兰州一中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.下列命题说法正确的是( )A. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段B. 若a ⃗ ⋅b ⃗ <0，则<a ，b ⃗ >是钝角C. 若两个非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗D. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ 与b ⃗ ，b ⃗ 与c ⃗ ，c ⃗ 与a ⃗ 都是共面向量，则a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 必共面 2.已知平面向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,2)，若c ⃗ =a ⃗ −(a ⃗ ⋅b⃗ )b ⃗ ，则|c ⃗ |等于( ) A. 4√2B. 2√5C. 8D. 8√23.Sin72°cos42°−cos72°Sin42°=( )A.B.C. 1D. 24.在△ABC 中，点D 为AB 边上一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为( )A.B.C.D.6.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c.满足2acosC +ccosA =b.则sinA +sinB 的最大值是( )A. √22B. 1C. √2D. 1+√227.已知e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 、e 3⃗⃗⃗ 均为单位向量，其中任何两个向量的夹角均为120°，则|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ +e 3⃗⃗⃗ |=( )A. 3B. √3C. √2D. 08.“x 2−3x −4>0”是“x >4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.若−1≤x ≤1时，函数f(x)=ax +2a +1的值有正值也有负值，则a 的取值范围是( )A. a ≥−13B. a ≤−1C. −1<a <−13D. 以上都不对10.对于函数f(x)=sin2(x+π4)−cos2(x+π4)，下列选项中正确的是()A. f(x)在(π4,π2)上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的最小正周期为2πD. f(x)的最大值为211.某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：①函数y=f(x)的图象是中心对称图形；②对任意实数x，f(x)>0均成立；③函数的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；⑤当常数k满足|k|>1时，函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中所有正确结论的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.已知两个不相等的非零向量a⃗，b⃗ ，两组向量x1⃗⃗⃗ ，x2⃗⃗⃗⃗ ，x3⃗⃗⃗⃗ ，x4⃗⃗⃗⃗ ，x5⃗⃗⃗⃗ 和y1⃗⃗⃗⃗ ，y2⃗⃗⃗⃗ ，y3⃗⃗⃗⃗ ，y4⃗⃗⃗ ，y5⃗⃗⃗⃗ 均由2个a⃗和3个b⃗ 排列而成，记S=x1⃗⃗⃗ ⋅y1⃗⃗⃗⃗ +x2⃗⃗⃗⃗ ⋅y2⃗⃗⃗⃗ +x3⃗⃗⃗⃗ ⋅y3⃗⃗⃗⃗ +x4⃗⃗⃗⃗ ⋅y4⃗⃗⃗ +x5⃗⃗⃗⃗ ⋅y5⃗⃗⃗⃗ ，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中(1)S有5个不同的值；(2)若a⃗⊥b⃗ 则S min与|a⃗|无关；(3)若a⃗//b⃗ 则S min与|b⃗ |无关；(4)若|b⃗ |>4|a⃗|，则S min>0；(5)若|b⃗ |=2|a⃗|，S min=8|a⃗|2，则a⃗与b⃗ 的夹角为π4.正确的是()A. (1)(2)B. (2)(4)C. (3)(5)D. (1)(4)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且∠A=60°，则△ABC面积的最大值为______ ．14.已知不等式f(x)=3√2sin x4⋅cos x4+√6cos2x4−√62+m≤0，对于任意的−5π6≤x≤π6恒成立，则实数m的取值范围是______．15.已知非零实数α，β满足tanx=x，且|α|≠|β|，则(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)=______．16.给定两个向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,1)，若a⃗与b⃗ 的夹角为锐角，则实数x的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)．(Ⅰ)求f(5π4)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程； (Ⅲ)当x ∈[0,π2]时，求f(x)的值域．18. 已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)， (1)求∠BAC 的大小(2)求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AC 方向上的投影．19. 已知sin(3π+α)=√3cos(3π2+β)，2cos(π−α)=√2cos(π+β)，且0<α<π，3π2<β<2π，求sinα和cosβ的值．20. 设a ⃗ =(1+cos2α,sin2α)，b ⃗ =(1−cos2β,sin2β)c ⃗ =(1,0)，其中α∈(0,π2)，β∈(π2,π) (1)求向量a ⃗ 和b ⃗ 的模(2)若a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为θ1，b ⃗ 与c ⃗ 的夹角为θ2，且θ1−θ2=π6，求α−β的值．21. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x +1+a(a ∈R,a 为常数)． (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[−π6,π6]上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．22. (本题满分13分)已知函数f(x)=．(1)求f(x)的值域和最小正周期； (2)方程m[f(x)+]+2=0在内有解，求实数m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：对于A ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得四边形ABDC 为平行四边形，故A 错； 对于B ，若a ⃗ ⋅b ⃗ <0，则<a ，b ⃗ >是钝角或a ⃗ ，b ⃗ 反向共线，故B 错；对于C ，若两个非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 对； 对于D ，非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ 与b ⃗ ，b ⃗ 与c ⃗ ，c ⃗ 与a ⃗ 都是共面向量，若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 都过同一点， a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面，故D 错． 故选：C ．由四边形ABDC 为平行四边形，可判断A ；由向量反向，可判断B ； 运用相反向量的定义，可判断C ；运用向量共点，可判断D ．本题考查向量共线和共面的判断，注意运用反例法，考查向量数量积和夹角的关系，属于基础题．2.答案：D解析：本题考查向量的坐标运算和向量的模的求法．要求能熟练应用向量的坐标运算法则．属简单题． 先由向量a ⃗ ,b ⃗ 的坐标求出向量c ⃗ 的坐标，再根据求模公式即可得解． 解：∵向量a ⃗ =(2,4)，b ⃗ =(−1,2)∴a ⃗ ⋅b ⃗ =(2,4)⋅(−1,2)=−2+8=6∴c ⃗ =a ⃗ −(a ⃗ ⋅b⃗ ) b ⃗ =(2,4)−6(−1,2)=(2,4)−(−6,12)=(8,−8) ∴|c ⃗ | =√82+(−8)2=8√2故选D ．3.答案：B解析：解：∵sin72°cos42°−cos72°sin42°=sin(72°−42°)=sin30°=12， 故选B ．4.答案：A解析：解：作DE//BC ，DF//AC ，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．作DE//BC ，DF//AC ，根据，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出结论．考查共线向量，平面向量基本定理的应用，基础题．5.答案：C解析：试题分析：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为，则底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长，可得，圆锥的高，根据圆锥的体积公式，可得故选C ．考点：本题考查旋转体，即圆锥的体积，着重考查了旋转体的侧面展开和锥体的体积公式等知识．6.答案：C解析：解：∵2acosC +ccosA =b∴根据正弦定理SinAcosC +sinAcosC +sinCcosA =sinB∴SinAcosC +sin(A +C)=sinB∴SinAcosC =0∵A ，B ，C 为三角形内角， ∴sinA ≠0，∴cosC =0 ∴C =90° ∴sinB =cosA∴sinA +sinB =sinA +cosA =√2(√22sinA +√22cosA)=√2sin(A +π4)≤√2∴sinA +sinB 的最大值是)√2 故选：C ．先根据正弦定理把边化成角的正弦代入题设，化简可得SinAcosC =0.因A 为三角形内角排除sinA =0，进而可知cosC =0，即C =90°，即sinB =cosA ，代入sinA +sinB ，通过两角和公式化简成√2sin(A +π4)进而得出答案．本题主要考查正弦定理和三角函数中两角和公式的应用．解决本题的关键是通过正弦定理完成边角互化．7.答案：D解析：解：由题意可得|e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ +e3⃗⃗⃗ |2=e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+e3⃗⃗⃗ 2+2e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +2e1⃗⃗⃗ ⋅e3⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ⋅e3⃗⃗⃗ =1+1+1+3×2×1×1×(−12)=0，∴|e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ +e3⃗⃗⃗ |=0故选：D由向量的模长公式计算可得|e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ +e3⃗⃗⃗ |2，进而可得答案．本题考查向量的模长的求解，涉及向量的夹角，属基础题．8.答案：B解析：解：解x2−3x−4>0得，x<−1，或x>4；∵x<−1，或x>4得不出x>4，∴“x2−3x−4>0”不是“x>0”充分条件；但x>4能得出x<−1，或x>4，∴“x2−3x−4>0”是“x>4”必要条件．故“x2−3x−4>0”是“x>4”的必要不充分条件．故选：B．先解出不等式x2−3x−4>0，再判断命题的关系．能正确理解x<−1，或x>4与x>4的关系，并理解充分条件与必要条件的概念．9.答案：C解析：解：∵函数f(x)=ax+2a+1的值有正值也有负值，∴f(−1)和f(1)值的符号相反，即f(−1)f(1)<0，∴(3a+1)(a+1)<0，解得−1<a<−13，故选：C．利用一次函数和直线对应，建立不等式即可求解．本题主要考查根的存在性对应的应用，比较基础．10.答案：B解析：直接利用二倍角公式化简，然后利用函数的性质判断选项即可．本题考查二倍角公式的应用，正弦函数的基本性质的应用，考查基本知识的熟练程度．解：函数f(x)=sin2(x+π4)−cos2(x+π4)=−cos(2x+π2)=sin2x．函数y=sin2x是奇函数，f(x)的图象关于原点对称，B正确．故选：B．11.答案：C解析：本题考查余弦函数的图象性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．根据函数f(x)=xcosx是奇函数可得①正确；根据f(x)=xcosx的值可正可负，可得②不正确；根据当x=kπ+π2，k∈Z时，函数f(x)=xcosx=0，且f(0)=0，可得③不正确．根据当x=2kπ，k∈Z时，方程xcosx=x成立，可得④正确．根据方程xcosx=kx，|k|>1，有唯一解为x=0，可得⑤正确．解：对函数f(x)=xcosx进行研究后，根据此函数为奇函数，可得它的图象关于原点对称，故①正确．根据cosx∈[−1,1]，且y=cosx为周期函数，可得f(x)=xcosx的值可正可负，故②不正确．由于当x=0或x=kπ+π2，k∈Z时，函数f(x)=xcosx=0，且f(0)=0，故函数y=f(x)的图象与x轴有无穷多个公共点，但任意相邻两个公共点的距离不一定相等，如相邻的公共点(0,0)、(π2,0)、(3π2,0)，故③不正确．由于方程xcosx=x即cosx=1，故x=2kπ，k∈Z，函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两个点的距离相等，且等于2π，故④正确．由方程xcosx=kx，|k|>1，可得此方程有唯一解为x=0，故函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点，故⑤正确．故选：C．12.答案：B解析：解：∵x i，y i(i=1,2，3，4，5)均由2个a⃗和3个b⃗ 排列而成，∴S=x i y i可能情况有三种：①S=2a⃗2+3b⃗ 2；②S=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +2b⃗ 2；③S=4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2.故(1)错误；∵S1−S2=S2−S3=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =(a⃗−b⃗ )2=|a⃗−b⃗ |2≥0，∴S中最小为S3．若a⃗⊥b⃗ ，则Smin=S3=b⃗ 2，与|a⃗|无关，故(2)正确；若a⃗//b⃗ ，则Smin=S3=4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，与|b⃗ |有关，故(3)错误；若|b⃗ |>4|a⃗|，则S min=S3=4|a⃗|⋅|b⃗ |cosθ+|b⃗ |2>−4|a⃗|⋅|b⃗ |+|b⃗ |2>−|b⃗ |2+|b⃗ |2=0，故(4)正确；若|b⃗ |=2|a⃗|，S min=S3=8|a⃗|2cosθ+4|a⃗|2=8|a⃗|2，∴2cosθ=1，∴θ=π3，即a⃗与b⃗ 的夹角为π3，(5)错误．综上所述，命题正确的是(2)(4)，故选：B．依题意，可求得S有3种结果：①S=2a⃗2+3b⃗ 2；②S=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +2b⃗ 2；③S=4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2.可判断(1)错误；进一步分析有S1−S2=S2−S3=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =(a⃗−b⃗ )2=|a⃗−b⃗ |2≥0，即S 中最小为S3；再对(2)(3)(4)(5)逐一分析即可得答案．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．13.答案：√3解析：解：∵△ABC中a=2，A=60°，∴由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，代入数据可得：4=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，可得bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∴△ABC面积S=12bcsinA=√34bc≤√3，∴△ABC面积的最大值为√3．故答案为：√3．由题意和余弦定理以及基本不等式可得bc≤4，由三角形的面积公式和不等式的性质可得．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，涉及基本不等式求最值和整体思想，属于基础题．14.答案：(−∞,−√3]解析：【试题解析】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数的性质的简单应用．先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质求解函数的最大值，即可求解m的范围解：f(x)=3√2sin x4cos x4+√6cos2x4−√62+m=3√22sin12x+√62(2cos2x4−1)+m=3√22sin12x+√62cos12x+m=√6sin(12x+π6)+m，∵−5π6≤x≤π6，∴−π4≤12x+π6≤π4，∴−√22≤sin(12x+π6)≤√22，故由题意可得，f(x)的最大值为m+√3≤0，所以m≤−√3．故答案为：(−∞,−√3].15.答案：0解析：解：由题意，tanα=α，tanβ=β，∴(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)=(α+β)(sinαcosβ−cosαsinβ)−(α−β)(sinαcosβ+cosαsinβ)=2βsinαcosβ−2αcosαsinβ=2tanβsinαcosβ−2tanαcosαsinβ=2sinαsinβ−2sinαsinβ=0．故答案为：0．由题意可得tanα=α，tanβ=β，把(α+β)sin(α−β)−(α−β)sin(α+β)展开两角和与差的正弦，再把tanα=α，tanβ=β代入化简得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查数学转化思想方法，是基础题．16.答案：{x|x>−2,且x≠12}解析：解：a⃗⋅b⃗ =x+2；∵a⃗与b⃗ 的夹角为锐角；∴a⃗⋅b⃗ >0，且a⃗,b⃗ 不平行；∴{x+2>01−2x≠0；∴x >−2，且x ≠12；∴实数x 的取值范围是{x|x >−2,且x ≠12}． 故答案为：{x|x >−2,且x ≠12}．可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =x +2，根据a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角即可得出{x +2>01−2x ≠0，解出x 的范围即可． 考查向量数量积的坐标运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．17.答案：解：(Ⅰ)依题意f(x)=2cosx(sinx +cosx)=2sinxcosx +2cos 2x=sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1． 故f(5π4)=√2sin(5π2+π4)+1=√2cos π4+1=2． (Ⅱ)由函数的解析式可得周期为T =2π2=π．令2x +π4=kπ+π2，得x =kπ2+π8，k ∈Z ，故y =f(x)的对称轴为x =kπ2+π8，k ∈Z ．(Ⅲ)因为x ∈[0,π2]，所以2x +π4∈[π4,5π4]，∴sin(2x +π4)∈[−√22,1]． ∴f(x)的值域为[0,1+√2].解析：(Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=√2sin(2x +π4)+1，由此求得求f(5π4)的值．(Ⅱ)根据f(x)=√2sin(2x +π4)+1，求得函数f(x)的最小正周期；令2x +π4=kπ+π2，求得x 的值，可得函数的图象的对称轴方程．(Ⅲ)当x ∈[0,π2]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)的值域．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．18.答案：解：(1)∵向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3) ∴cos∠BAC =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1+32⋅2=12，∴∠BAC =π3．(2)向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AC 方向上的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗|⋅cos(π−∠BAC)=2(−cos∠BAC)=2⋅(−12)=−1． 解析：(1)先求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用两个向量的数量积的定义，求得∠BAC 的大小． (2)根据一个向量在另一个向量上的投影的定义，求得向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AC 方向上的投影．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．19.答案：解：∵sin(3π+α)=√3cos(3π2+β)，2cos(π−α)=√2cos(π+β)，且0<α<π，3π2<β<2π，∴由已知，得−sinα=√3sinβ，①cosα=√22cosβ，②由①2+②2，得3sin2β+12cos2β=1，即，所以sin2β=15．又3π2<α<2π，则sinβ=−√55．将sinβ=−√55代入①，得sinα=√155．又3π2<β<2π，故cosβ=2√65．解析：由诱导公式求出−sinα=√3sinβ，cosα=√22cosβ，由此推导出结果．本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数性质、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)|a⃗|=√(1+cos2α)2+sin22α=√2+2cos2α=2cosα(α∈(0,π2))；|b⃗ |=√(1−cos2β)2+sin22β=√2−2cos2β=2sinβ(β∈(π2,π))．(2)cosθ1=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=1+cos2α2cosα=cosα，∵α∈(0,π2)，∴θ1=α．cosθ2=b⃗⋅c⃗|b⃗||c⃗ |=1−cos2β2sinβ=sinβ=cos(π2−β)=cos(β−π2)，∵β∈(π2,π)，∴(β−π2)∈(0,π2)．∴θ2=β−π2，∵θ1−θ2=π6，∴α−(β−π2)=π6，∴α−β=π6−π2=−π3．解析：(1)|a⃗|=√(1+cos2α)2+sin22α=√2+2cos2α，再利用倍角公式即可得出；|b⃗ |=√(1−cos2β)2+sin22β=√2−2cos2β，再利用倍角公式即可得出；(2)利用向量夹角公式可得：cosθ1=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=cosα，可得θ1=α.同理可得θ2=β−π2，即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：∵函数f(x)=√3sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+π6)+1+a，∴(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；(Ⅱ)∵x∈[−π6,π6]，∴2x+π6∈[−π6,π2]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴f(x)max=2+a+1=a+3，f(x)min=−1+a+1=a，∴2a+3=3，解得a=0．解析：化简三角函数解析式为f(x)=2sin(2x+π6)+1+a，然后利用三角函数的性质求周期和最值．本题考查了三角函数的化简以及性质的运用；首先要利用三角函数的公式化简解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用其性质求周期及最值等．22.答案：(1)值域为[−2−，2−]，最小正周期为π.(2)解析：试题分析：(1)求三角函数值域，先将其化为基本三角函数，即利用二倍角公式及配角公式将其化为形如型：f(x)=2sin−.再利用基本三角函数图像研究性质：∵−1≤sin≤1.∴−2−≤2sin−≤2−，T==π(2)求方程有解问题，一般利用图像，进行数形结合求解：f(x)+=−，即2sin=−，由于2sin∈[，2]，所以，解得试题解析：解：(1)f(x)=2sin−．∵−1≤sin≤1．∴−2−≤2sin−≤2−，T==π，即f(x)的值域为[−2−，2−]，最小正周期为π.7分(2)当x∈时，2x+∈，故sin∈，此时f(x)+=2sin∈[，2]．由m[f(x)+]+2=0知，m≠0，∴f(x)+=−，即≤−≤2，即解得，即实数m的取值范围是13分考点：二倍角公式及配角公式。
2019-2020学年甘肃省兰州市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年甘肃省兰州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．【详解】由题意可得costanαα<⎧⎨<⎩,则sincosαα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限，故选B.【点睛】本题考查角所在象限以及点所在象限的判断，基本知识的考查．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在高一年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】设共抽取人数N，根据高二所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果. 【详解】设样本容量为N，则30680N⨯=,解得16N=，所以高一所抽人数为50 161080⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题.3．已知扇形AOB的圆心角为120，半径长为6，则扇形AOB的面积是（）A．B．4πC．12πD．24π【答案】C【解析】先将扇形AOB 的圆心角画为弧度制，再根据半径长为6，由21122S lr r α==求解. 【详解】因为扇形AOB 的圆心角为120，即为：23π， 又半径长为6，所以扇形AOB 的面积是2211126122223S lr r παπ===⨯⨯= 故选：C 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式以及弧度制与角度制的互化，属于基础题4．已知A (3，7)，B (5，2)，把向量AB 按向量α=(1，2)平移后，所得向量A B ''的坐标是（ ） A ．(2，－5) B ．(1，－7)C ．(0，4)D ．(3，－3)【答案】A【解析】由向量平移后与原向量相等可得． 【详解】由题意(5,2)(3,7)(2,5)AB =-=-，∴(2,5)A B ''=-． 故选：A ， 【点睛】本题考查求向量的坐标，考查向量平移．向量平移只改变表示向量的有向线段的位置，不改变向量的大小与方向，即平移后的向量与原向量是相等向量．5．若cos 22sin 4απα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A．B ．12-C ．12D．2【答案】C【解析】利用倍角公式、两角差的正弦进行化简，即可得到答案. 【详解】22cos 22sin 422απα===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴1sin cos 2αα+=. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.6．根据给出的程序框图（如图），计算(1)(2)f f -+=A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】试题分析：输入1-，满足0x ≤，所以(1)4(1)4f -=⨯-=-；输入2，不满足0x ≤，所以2(2)24f ==，即(1)(2)f f -+=0.故选A .【考点】算法与程序框图，函数的概念. 7．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y bx a =+必过点(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系. 其中错误的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①由方差的概念判断；②根据x 的系数判断； ③根据线性回归分析判断；④根据曲线上的点与该点的坐标之间是一一对应关系判断. 【详解】①方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故正确；②有一个回归方程35y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，故错误；③线性回归方程y bx a =+必过点(),x y ，故正确；④曲线上的点与该点的坐标之间是一一对应的确定关系，故错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查方差的概念，线性回归方程，相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【答案】C【解析】试题分析：函数22sin(2)cos[2()]2sin 2cos 2sin 42y x x x x x ππ=-+=-=-，为奇函数，周期.【考点】三角函数的诱导公式、奇偶性、周期性.9．向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆的概率是（ ） A ．12B ．2π C ．4πD ．4π 【答案】D【解析】根据正方形的边长为2，分别求得正方形的面积，正方形的内切圆的半径及其面积，代入几何概型的面积类型公式求解. 【详解】因为正方形的边长为2，所以正方形的面积为14S =，正方形的内切圆的半径为1，所以内切圆的面积为2S π=，所以豆子落在正方形的内切圆的概率是214S p S π== 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，属于基础题.10．函数()()sin ,0,02y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤<的部分图象如图，则（ ）A ．2πω=，4πϕ=B ．3πω=，6π=ϕ C ．4πω=，4πϕ=D ．4πω=，54πϕ=【答案】C【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得ω，最后根据1x =时取最大值1，求得ϕ，即可得解． 【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为()3148T =-⨯=， ∴24T ππω==， 当1x =时取最大值1，即sin 1,2,442k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，又02ϕπ≤<，所以4πϕ=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了由()sin y x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．11．在ABC 中，AB c =，AC b =.若点D 满足3BD DC =，则AD =（ ） A ．1344b c + B ．3255c b +C ．3144b c + D ．1233+b c 【答案】C【解析】由平面向量的线性运算计算． 【详解】∵3BD DC =，∴34BD BC =， ∴33()44AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-13134444AB AC c b =+=+．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握向量的加减法和数乘运算法则是解题基础． 12．已知7sin cos 13αα+=，()0,απ∈，则tan α的值为（ ） A ．125±B ．512±C ．512D ．125-【答案】D【解析】已知式平方后可确定sin ,cos αα的正负，从而求得sin ,cos αα的值，得tan α． 【详解】 ∵7sin cos 13αα+=，∴249(sin cos )12sin cos 169αααα+=+=，60sin cos 169αα=-， 又()0,απ∈，∴sin 0,cos 0αα><，∴由7sin cos 1360sin cos 169αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12sin 135cos 13αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，或5sin 1312cos 13αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），∴sin 12tan cos 5ααα==-． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，解题中要注意掌握sin cos αα±与sin cos αα之间的关系，注意角的范围，以确定函数值的正负．二、填空题13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，3)是角θ终边上一点，则sin θ=_____【答案】35【解析】根据P (4，3)是角θ终边上一点，先求得点p 到原点的距离，再由三角函数的定义求解. 【详解】因为P (4，3)是角θ终边上一点， 所以点p 到原点的距离为=5r3sin 5y r θ==， 故答案为：35【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题. 14．已知θ是第二象限角tan()πθ-=43，则tan θ=___ 【答案】43-【解析】直接由诱导公式变形计算． 【详解】4tan()tan 3πθθ-=-=，∴4tan 3θ=-． 故答案为：43-． 【点睛】本题考查诱导公式，诱导公式对所有角都适用，不需考虑这个角在哪个范围，哪个象限． 15．已知1a =，6b =，()•4a b a -=-，则向量a 与b 的夹角是____ 【答案】23π 【解析】由题得24,a b a -=-再利用数量积的公式化简即得解. 【详解】因为()•4a b a -=-，所以24,16cos ,14a b a a b -=-∴⨯⨯<>-=-， 所以1cos ,2a b <>=-， 因为0,a b π≤<>≤，所以2,3a b π<>=. 向量a 与b 的夹角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查数量积的计算和运算律，考查向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论 ①()f x 的图像关于直线3x π=对称②()f x 的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③()f x 的图像向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图像④()f x 的最小正周期为π，且在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数其中正确的序号为________.（填上所有正确结论的序号） 【答案】③【解析】利用正弦型函数的对称性判断①②的正误，利用平移变换判断③的正误，利用周期性与单调性判断④的正误. 【详解】解：对于①，因为f （3π）＝sin π＝0，所以3x π=不是对称轴，故①错； 对于②，因为f （4π）＝sin5162π=，所以点,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，故②错； 对于③，将把f （x ）的图象向左平移12π个单位，得到的函数为 y ＝sin[2（x 12π+）3π+]＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，所以得到一个偶函数的图象；对于④，因为若x ∈[0，6π]，则22333x πππ≤+≤，所以f （x ）在[0，6π]上不单调，故④错； 故正确的结论是③ 故答案为③．【点睛】此题考查了正弦函数的对称性、三角函数平移的规律、整体角处理的方法，正弦函数的图象与性质是解本题的关键．三、解答题17．已知函数()2cos 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最大值以及相应的x 的取值集合；(2)若直线x m =是函数()f x 的图像的对称轴，求实数m 的值. 【答案】（1）()f x 的最大值为2，x 的取值集合为|()162k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）()416k m k ππ=+∈Z 【解析】（1）根据余弦函数的性质可得()f x 的最大值和相应的x 的取值集合； （2）求解函数的对称轴，可得m 的值． 【详解】解(1)∵()2cos 44f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴()f x 的最大值为2，此时42,4x k k ππ-=∈Z ，∴所求x 的取值集合为|()162k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . (2)令4()4x k k ππ-=∈Z ，则()416k x k ππ=+∈Z . ∵直线x m =是函数()f x 的图像的对称轴， ∴()416k m k ππ=+∈Z . 【点睛】本题考查三角函数的图象及性质的应用以及计算能力．属于基础题． 18．已知平面向量a =(1，x )，b =(2x +3，-x )，x ∈R . （1）若a ⊥b ，求x 的值； （2）若a ∥b ，求|a -b |的值.【答案】（1）1x =-或3x =.（2）2或25【解析】（1）由a ⊥b 得其数量积等于0，从而列出关于x 的方程，解方程可得x 的值； （2）由a ∥b ，得1×(-x )-x (2x +3)=0，解出x 的值，可求出a b -的坐标，从而可求出其模. 【详解】（1）若a ⊥b ，则a ·b =(1，x )·(2x +3，-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0 整理得x 2-2x -3=0，解得x=-1或x=3. （2）若a ∥b ，则有1×(-x )-x (2x +3)=0， 即x (2x +4)=0，解得x=0或x=-2.当x=0时，a =(1，0)，b =(3，0)，a -b =(-2，0)，∴|a -b |=2220（－）＋=2；当x=-2时，a =(1，-2)，b =(-1，2)，a -b =(2，-4)，∴|a -b |=222(4)-（）＋=25综上，可知|a -b |=2或25. 【点睛】此题考查了平面向量垂直和平行的坐标运算，属于基础题.19．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为20.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）规定次数在110以上(含110次)为达标，该校高一共有725名学生，试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少？【答案】（1）250；（2）638.【解析】（1）由频率分布直方图能求出第二小组的频率，再由第二小组频数为20，能求出样本容量；（2）由频率分布直方图求出次数在110以上（含110次）的频率，由此能估计该学校全体高一学生达标的人数．【详解】（1）频率分布直方图从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3， 设比例的每一份为k ，241715931k k k k k k ∴+++++=，解得0.02k =，∴第二小组的频率为440.020.08k =⨯=．第二小组频数为20．∴样本容量202500.08n ==． （2）次数在110以上（含110次）为达标，由频率分布直方图得：次数在110以上（含110次）的频率为：1(24)0.020.88-+⨯=，该校高一共有725名学生，∴估计该学校全体高一学生达标的人数有：7250.88638⨯=人．【点睛】本题主要考查频率、样本容量、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【答案】（1）725-；（2）211- 【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==， 因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--， 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.21．已知向量m =sin ,12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，n =,2cos 2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设函数()f x =m ·n . （1）求函数()f x 的解析式.（2）求函数()f x ，[],x ππ∈-的单调递增区间. 【答案】（1）()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）利用平面向量的数量积运算得到因为()cos 2cos 22x x x f x =+，再利用二倍角的正弦公式结合辅助角公式求解.（2）令22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，利用正弦函数的性质结合定义域[],x ππ∈-求解. 【详解】（1）因为向量m =sin ,12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，n =,2cos 2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x =m ·n .cos 2cos 22x x x =+，2cos 4sin 6x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.（2）令22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 解得222,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因为[],x ππ∈-， 所以233x ππ-≤≤， 所以函数()f x ，[],x ππ∈-的单调递增区间是2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及二倍角公式和辅助角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0>ω，2πϕ<, （1）若3cos cos sin sin 0,44ππϕϕ-=求ϕ的值； （2）在（1）的条件下，若函数()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数.【答案】(1) 2πϕ<;(2) 12m π=.【解析】（1）由3coscos sin sin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044ππϕϕ-= 即cos()04πϕ+=又,24ππϕϕ<∴= 21世纪教育网（2）由（1）得，()sin()4f x x πω=+，依题意，23T π=，又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=.。
甘肃省兰州市2019-2020学年数学高一下学期理数期末考试试卷B卷
⽢肃省兰州市2019-2020学年数学⾼⼀下学期理数期末考试试卷B卷⽢肃省兰州市2019-2020学年数学⾼⼀下学期理数期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________⼀、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017⾼⼀上·佛⼭⽉考) 已知全集，则（）A . 5B .C .D .2. （2分） (2017⾼⼀上·廊坊期末) 函数y=1﹣2sin2（x+ ）是（）A . 以2π为周期的偶函数B . 以π为周期的偶函数C . 以2π为周期的奇函数D . 以π为周期的奇函数3. （2分）(2017·揭阳模拟) ⼰知0＜a＜b＜l＜c，则（）A . ab＞aaB . ca＞cbC . logac＞logbcD . logbc＞logb a4. （2分） (2016⾼⼀下·右⽟期中) 已知平⾯向量、的夹⾓为60°，则 =（，1），| |=1，则| +2 |═（）B .C . 2D . 25. （2分） (2018⾼⼀上·嘉兴期中) 函数的零点所在的⼀个区间是（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数，则（）A . 0B . 17. （2分） (2018⾼⼆下·西宁期末) 下表提供了某⼚节能降耗技术改造后在⽣产产品过程中记录的产量 (吨)与相应的⽣产能耗(吨)的⼏组对应数据：根据上表提供的数据，若求出关于的线性回归⽅程为，那么表中的值为（）B .C .D .8. （2分） (2016⾼三上·⾦⼭期中) 已知k∈Z，=（k，1），=（2，4），若| |≤ ，则∠B是直⾓的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·河南模拟) 执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的值为（）A . 14B . 13C . 1210. （2分）(2017·泸州模拟) 将函数的图像上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图像的⼀个对称中⼼为（）A .B .C .D .11. （2分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A . 5B . 412. （2分）⽅程的根所在区间为（）A . (-1,0)B . (0,1)C . (1,2)D . (2,3)⼆、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知倾斜⾓为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则cos（﹣2α）的值为114. （1分） (2018⾼⼀下·黄冈期末) 若x ， y满⾜则z＝x＋2y的最⼤值为________15. （1分） (2017⾼⼀下·静海期末) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最⼩值为________．16. （1分）(2016·上海理) 在平⾯直⾓坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y= 上⼀个动点，则? 的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016⾼⼀下·枣阳期中) 在△ABC中，已知内⾓，边．设内⾓B=x，△ABC 的⾯积为y．（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）当⾓B为何值时，△ABC的⾯积最⼤．18. （10分） (2016⾼⼆上·菏泽期中) 已知等⽐数列{an}是单调递增的数列，a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=anlog2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．19. （10分）(2018·济南模拟) 某中学⾼三⽂科班学⽣参加了数学与地理⽔平测试，学校从测试合格的学⽣中随机抽取100⼈的成绩进⾏统计分析.抽取的100⼈的数学与地理的⽔平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表⽰地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42⼈.（1）若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；（2）若样本中，求在地理成绩及格的学⽣中，数学成绩优秀的⼈数⽐及格的⼈数少的概率.20. （10分） (2018⾼⼆下·⿊龙江期中) 某兴趣⼩组欲研究昼夜温差⼤⼩与患感冒⼈数多少之间的关系，他们分别到⽓象局与某医院抄录了1⾄6⽉份每⽉10号的昼夜温差情况与因患感冒⽽就诊的⼈数，得到如下数据资料：该兴趣⼩组确定的研究⽅案是：先从这6组（每个有序数对叫作⼀组）数据中随机选取2组作为检验数据，⽤剩下的4组数据求线性回归⽅程.（1）若选取的是1⽉和6⽉的两组数据作为检验数据，请根据2⾄5⽉份的数据，求出关于的线性回归⽅程；（2）若由线性回归⽅程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2⼈，则认为得到的线性回归⽅程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归⽅程是否是理想的？参考公式： .21. （10分）(2018·佛⼭模拟) 选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系中,曲线的参数⽅程为为参数， ).以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上⼀点的极坐标为，曲线的极坐标⽅程为 .（1）求曲线的极坐标⽅程；（2）设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同⼀条直线上，且成等⽐数列,求的极坐标⽅程.22. （10分） (2019⾼⼀上·长春期中) 设，为奇函数.（1）求的值；（2）若对任意恒有成⽴，求实数的取值范围.参考答案⼀、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、⼆、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年兰州市新高考高一数学下学期期末检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形90ACB ∠=︒，2AC =，11BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是（ ）A ．22B 5C 3D 562+-2．函数2()sin 233f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3 D ．4[1,]33．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，△ABC 2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=90°.则球O 的体积为（ ） A ．86πB ．43πC 6πD 3π4．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyz xy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ） A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列 B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 5．在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0),(0,2),(1,1)A B C --，则ABC ∆的面积为（ ） A ．22B ．4C ．42D ．86．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A ．426B ．0C ．424D ．17．()200002021tan 39cos50cos127cos40cos37,sin56cos56,21tan 39a b c -=+=-=+，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>8．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 9．若直线310x y ++=与直线2(1)10x a y +++=互相平行，则a 的值为（ ） A ．4B ．43-C ．5D ．53-10．已知a,b 是正实数,且2a b +=,则2222a b a b+++的最小值为( ) A ．103B ．3222+ C ．22 D ．21+11．在直角ABC 中，AB AC ⊥，线段AC 上有一点M ，线段BM 上有一点P ，且::2:1CM AM PB MP ==，若2AB CM ==，则AP BC ⋅=（ ）A ．1B ．23-C ．143D ．2312．已知直线过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直，则该直线方程为（） A ．3210x y +-= B ．2310x y C ．3210x y ++= D ．2310x y二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n --=-（2n 且*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为n a =________.14．已知常数，若函数在上恒有，且，则函数在区间上零点的个数是________.15．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______16．当1x ≤-时，1()1f x x x =++的最大值为__________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020甘肃兰州市西北中学高一下学期期末考试
2019-2020甘肃兰州市西北中学 高一下学期数学期末考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、10sin 3π的值为（ ）A.12B.C.D.12-【答案】C【解析】10sin =sin 3sin 333ππππ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭【备注】考查知识点为诱导公式，属于基础题型2.兰州市某校为了了解学生数学学习情况，采用分层抽样的方法从高一1000人，高二1200，高三n 人，抽取72人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为24人，那么n =（ ） A.800B. 1000C. 1200D. 1400【答案】D 【解析】由条件得7224100012001200n =++，得1400n = 【备注】考查知识点为分层抽样，属于基础题型 3.已知平面向量,a b →→的夹角为23π，2a →=，1b →=，则a b →→⋅=（）A.2 B. C. 1 D.【答案】C【解析】由条件得1cos ,212a b a b a b →→→→→→⋅==⨯=【备注】考查知识点为向量的数量积，属于基础题型 4.某人在打靶中，连续射击2次，至少有1次中靶的对立事件是（ ）A.两次都中靶B.至多有一次中靶C.两次都不中靶D. 只有一次中靶 【答案】C【解析】 至少有1次中靶的对立事件是两次都不中靶 【备注】考查知识点为对立事件与互斥事件，属于基础题型 5. 已知向量()3,1a →=，()6,b k →=-，若a b →→P ，则k =（ ） A.2-B. 6-C. 18D. 18-【答案】A【解析】 ∵a b →→P ∴631k -= 可得2k =-【备注】考查知识点为向量平行的性质，属于基础题型6.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为18，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别是（）A.2,5B. 8,6C. 5,9D. 8,8【答案】A【解析】甲组数据可排列成：9,14,10,23,27x +，所以中位数是1018x +=，得8x =乙组数据的平均数为81610192516.85y +++++=，得6y =【备注】考查知识点为茎叶图和数字特征，属于基础题型7.如图所示的程序框图，如果输入三个实数,,,a b c要求输出这三个数中最大的数，那么在空白判断框的"?"中，应该填入下面四个选项中的（）A. c x>B. x c>C. c b>D. b c>【答案】A【解析】第一个选择框作用是比较是比较x与b的大小故第二个框应该是比较x与c的大小条件成立时，保存最大值的变量x c=【备注】考查知识点为程序框图，属于基础题型8.从{}1,3,5,7,9中随机选取一个数a，从{}1,3,5中随机选取一个数b，则b a>的概率是（）A. 45B. 35C. 25D. 15【答案】D【解析】从{}1,3,5,7,9中随机选取一个数a 从{}1,3,5中随机选取一个数b基本事件(,)a b的总数5315n=⨯=则b a >包含的事件(,)a b 有：(1,3)，(1,5)，(3,5)共3个 所以b a >的概率是31155p == 【备注】考查知识点为列举法计算基本事件及事件发生的概率9.欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地。
兰州市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形或直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形2．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()UA B ⋃为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}3．无论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点坐标为（ ）A ．()-21，B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-4．sin 210=（ ）A ．12-B ．12C ．D 5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ） A ．18B ．14C ．10D ．226．设函数()sin cos 422f x a x b x ππαβ⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,,,a b αβ均为非零常数，若(1977)2f =，则(2019)f 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．不确定7．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．分层抽样法8．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i <9．一条直线经过点(2,3)A -，并且它的倾斜角等于直线30x y -=倾斜角的2倍，则这条直线的方程是( )A ．233730x y --=B 3330x y --=C ．30x y --=D ．3330x --=10．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是（ ） A ．4B ．8C ．2D ．211．甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训，将挑选一人参加400米比赛，他们最近10次测试成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩？（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 59 57 59 57 方差 121210 10A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20160a > B ．若40a >，则20170a > C ．若30a >，则20170S > D ．若40a >，则20160S >二、填空题：本题共4小题13．读程序，完成下列题目：程序如图：（1）若执行程序时，没有执行语句1y x =+，则输入的x 的范围是_______； （2）若执行结果3y =，输入的x 的值可能是___．14．在等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =______________.15．如图，已知OA a =，OB b =，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则向量MN =_______（用a ，b 表示向量MN ）16．设等比数列{}n a 的公比12q=，前n 项和为n S ，则44S a = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
兰州高中试题
兰州高中试题兰州市第一中学2019-2020学年第二学期期末考试高一数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的导数\( f'(x) \)。
A. \( 4x - 3 \)B. \( 2x^2 - 3 \)C. \( 4x^2 - 3x \)D. \( 2x - 3x \)2. 若\( a \)、\( b \)、\( c \)为正数，且\( a + b + c = 1 \)，则下列不等式中正确的是：A. \( abc \leq \frac{1}{27} \)B. \( abc \leq \frac{1}{8} \)C. \( abc \leq \frac{1}{9} \)D. \( abc \leq \frac{1}{27} \)且\( a = b = c \)3. 已知直线\( l \)的方程为\( 3x - 4y + 5 = 0 \)，求直线\( l \)的斜率。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( -\frac{3}{4} \)C. \( \frac{4}{3} \)D. \( -\frac{4}{3} \)4. 集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}5. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 17B. 14C. 13D. 116. 函数\( y = \ln(x) \)的定义域为：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 1 \)D. \( x \leq 1 \)7. 已知向量\( \vec{a} = (3, 2) \)，\( \vec{b} = (-1, 4) \)，求\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)。
A. 10B. 8C. 6D. 48. 已知圆的方程为\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \)，求圆心坐标。
甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷
绝密★启用前2021年高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.下列角中终边与330︒相同的角是（ ） A ．30︒B ．30-︒C ．630︒D ．630-︒2.下列说法正确的个数是（ ） ①小于90︒的角是锐角； ②钝角一定大于第一象限角；③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为0︒. A ．0B ．1C ．2D ．33.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( ) A.2B.2sin1C.sin 2D.2sin14.已知4tan 3x =，且x 在第三象限，则cos x =（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-5.已知角α的终边经过点，若7π3α=，则m 的值为（ ） A ．27B ．127C ．9D ．196.下列能使cos sin tan θθθ<<成立的θ所在区间是（ ） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．π(,π)2D ．5π3π(,)427.已知1sin cos 8αα⋅=，且π04α<<，则sin cos αα-=（ ）AB ．34C ．D ．34-8.已知()1sin 752α+︒=，则()cos 15α-︒=（ ）A ．BC ．12D ．12-9.已知函数πsin()0,||2y A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，π6ϕ=B ．1ω=，π6ϕ=-C ．2ω=，π6ϕ=D ．2ω=，π6ϕ=-10.根据如下样本数据得到的经验回归方程为y bx a =+，则( )x 3 4 5 6 7 8 y 4.02.5-0.5 0.5-2.0 -3.0A.0,0a b >>B.0,0a b ><C.0,0a b <>D.0,0a b <<11.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线π12x =对称C ．关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线5π12x =对称12.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在ππ,183⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当1217π2π,,123x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ） A ．3-B ．1-C ．1D 2二、填空题13.315︒=___________弧度,7π12弧度=_____________. 14.当0x <<π时,使tan 1x <-成立的x 的取值范围为___________. 15.函数2sin 16y x x -___________.16.函数π()sin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则正实数ω的取值范围是__________.三、解答题17.ABC△中，14AD AB=，//DE BC，且与边AC相交于点E，ABC△的中线AM与DE相交于点N，设AB a=，AC b=，用a、b分别表示向量DE，AN.18.已知角α的终边经过点(),22P m，22sin3α=且α为第二象限角.（1）求实数m和tanα的值；（2）若tan2β=，求()()πsin cos sin()sin23πcosπcos cos()sin2αβαβαβαβ+++---的值.19.如图，已知AB是半圆O的直径，8AB=，,,M N P是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从,,,,A B M N P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S，求SAB△的面积大于82的概率．20.某港口的水深y(米)是时间t(024t≤≤,单位:小时)的函数,下面是每天不同时间与水深的关系表: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10sinA t bω+.(1)根据以上数据,求出()y f t=的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几个时间段可以安全的进出该港.21.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值；（2）求综合评分的中位数；（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率. 22.已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π4，且图象过点π,13M ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）将函数()f x 的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．参考答案1.答案：B 解析：2.答案：A 解析：3.答案：B解析：由弦长公式2sin 2d r θ=,可得222sin 2r =,其中r 是弦所在的圆的半径,θ是弦所对圆心角,d 是弦长,解得1sin1r =,所以这个圆心角所对的弧长为22sin1r =. 4.答案：B 解析： 5.答案：B 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：C 解析： 8.答案：C 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：B解析：画出散点图，知0,0a b ><.11.答案：D 解析： 12.答案：B解析：13.答案：7π4;105解析：2π7315315π3604︒=⨯=︒,77π1801051212=︒⨯=︒. 14.答案：3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭解析：由正切函数的图象可知,当0x <<π时,若tan 1x <-,则324x π<<π. 15.答案：[4,π][0,π]--⋃ 解析：16.答案：15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：17.答案：1()4DE b a =-，1()8AN a b =+解析：18.答案：（1）1m =-，tan 22α=-（2）2解析：19.答案：（1）从,,,,A B M N P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：,,,,,,,,,ABM ABN ABP AMN AMP ANP BMN BMP BNP MNP △△△△△△△△△△，其中是直角三角形的只有,,ABM ABN ABP △△△ 3个，所以组成直角三角形的概率为310． （2）连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD MP ⊥，易求得22OD =S 点在线段MP 上时， 1228822ABS S ∆=⨯=所以只有当S 点落在阴影部分时， SAB △面积才能大于82，而221π1444π8222OMP MOP S S S ∆=-=⨯⨯-⨯=-阴影扇形，所以由几何概型的概率公式得SAB ∆的面积大于82的概率为4π8π28π2π--=． 解析：20.答案：(1)由表中数据可以得到水深最大值为13,最小值为7, ∴13713710,322b A +-====,且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12, 因此212,6T ωωππ===,故()3sin 10(024)6f t t t π=+≤≤. (2)要想船舶安全,必须深度()11.5f t ≥, 即3sin 1011.56t π+≥,∴1sin 62t π≥,即522,Z 666k t k k ππππ+≤≤π+∈, 解得121125,Z k t k k +≤≤+∈, 又024t ≤≤,当0k =时,15t ≤≤; 当1k =时,1317t ≤≤;故船舶安全进港的时间段为(1:005:00),(13:0017:00)--. 解析：21.答案：（1）由频率和为1，得()0.0050.0100.0250.020101a ++++⨯=，0.040a =； （2）设综合评分的中位数为x ，则()()0.0050.0100.025100.040800.5x ++⨯+⨯-= 解得82.5x =，所以综合评分的中位数为82.5.（3）由频率分布直方图知，一等品的频率为()0.0400.020100.6+⨯=，即概率为0.6； 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3:2； 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a b c 、、，非一等品2个，记为D E 、；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共7种， 所以所求的概率为710P =. 解析：22.答案：（1）图象与x 轴的交点，相邻两个交点之间的距离为4π，即124T π=，即2T π=；∵π2π2T ω==，解得4ω=，那么()()sin 4f x x ϕ=+．∵02πϕ<<．图象过点,13M π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入可求得6πϕ=-，∴解析式()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）πππ42π,2π622x k k ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈是单调递增区间， 即πππ2π42π262k x k -≤+≤+，解得1π1πππ26212k x k -≤≤+，()k Z ∈ ∴函数()f x 的单调递增区间为(),62122k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （3）()πsin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 的图象向右平移8π个单位后，得到sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即()πsin 23x g x =-⎛⎫ ⎪⎝⎭∵02x π≤≤，∴ππ2π2333x -≤-≤ ()0g x k +=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个实数解，即图象()g x 与y k =-只有一个交点，由()πsin 23x g x =-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象可知：实数k 的取值范围为33k -<≤或1k =-.解析：。