高中数学指数函数的图像及性质
高中数学新教材第一册第四章 4.2.2指数函数的图像和性质
分析 因为该城市人口呈指数
增长，而同一指数函数的倍增期 是相同的。所以可以从图像中选 取适当的点计算倍增期。
（1）该城市人口每翻一番所需 的时间约为20年。
（2）该城市人口大约会增长到 160万人。
课堂练习
P118 练习 1 2 3
课堂小结
(1)底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称; (2)指数函数的图像和性质. (3)利用指数函数的单调性比较两个数的大小. (4)同一指数函数的倍增期是相同的。
作业
P119 6
指数函数的图像和性质
0<a<1
a>1
图 像
定
义
R
域
值 域
(0,)
性 (1)过定点(0,1),即x 0时，y 1
质
(2)减函数
(2)增函数
例3 比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5，1.73； ② 0.8 2 ,0.8 3 ; ③ 1.70.3，0.93.1.
例4 如下图，某城市人口呈指数增长.
请画出函数 y = (1)x 的图像,并与函数y 2x的图像进行 2
比较，它们有什么关系？能否利用函数y 2x的图像，画出函 数y = (1)x 的图像？你能得到什么结论？
2
底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称。
探究
选取底数a(a 0,且a 1)的若干个不同的值，在同一 直角坐标系内画出相应的指数函数的图像。观察这些函 数的图像的位置，公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 由此你能概括出指数函数y ax (a 0,且a 1)的值域和性 质吗？
新课程人高中数学必修件指数函数的图象和性质
经济学中的指数函数
理解经济学中的指数函数如GDP增长 、消费者价格指数等，会用指数函数 进行经济分析和预测。
05
指数函数在数学模型中应用
生物学中种群增长模型构建
指数增长模型
在理想条件下，种群数量会按照指数函数的形式增长，即种群数量随时间的变化率与种群数量成正比 。
逻辑斯谛增长模型
考虑到环境容纳量对种群增长的影响，种群数量增长会呈现先快后慢的趋势，最终趋于环境容纳量， 这种增长模式可以用逻辑斯谛方程来描述。
放射性衰变
放射性元素会自发地放出射线并转变为 另一种元素，这种现象称为放射性衰变 。
VS
衰变规律
放射性元素的衰变速度与其现有的数量成 正比，即衰变速度随时间的变化率与现有 的放射性元素数量成正比。这种规律可以 用指数函数来描述，即N=N0e^(-λt)， 其中N0是初始时刻的放射性元素数量，λ 是衰变常数，t是时间。
06
高考考点梳理与备考建议
历年高考真题回顾及解析
回顾历年高考中指数函数图象和性质的考查方式及题型，如选择题、填空题、解答 题等。
分析高考真题中指数函数图象和性质的考点分布，如函数的定义域、值域、单调性 、奇偶性等。
解析高考真题中指数函数图象和性质的解题思路和方法，如利用函数图象判断函数 性质、利用函数性质求解函数问题等。
积的乘方与幂的积
区分积的乘方与幂的积的不同 点，避免运算错误。
复合指数函数简化策略分享
01
02
03
04
分解复合函数
将复合指数函数分解为基本初 等函数，便于分析和求解。
换元法
通过换元将复杂的复合指数函 数转化为简单的函数形式，降
低解题难度。
利用已知函数性质
指数函数的图像与性质
指数函数的图像与性质指数函数是高中数学中常见的一种函数，它具有独特的图像与性质。
本文将从图像、定义、性质等方面进行讨论，以帮助读者更好地理解指数函数。
一、指数函数的定义与图像指数函数可以表示为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
在定义域为实数集上，指数函数的图像呈现出特殊的增长趋势。
1. 当a>1时，指数函数呈现上升的趋势。
随着x的增大，f(x)的取值也呈现出逐渐增大的特点。
这是因为指数函数随着底数a的增大，幂次的增长速度加快。
2. 当0<a<1时，指数函数呈现下降的趋势。
随着x的增大，f(x)的取值逐渐减小。
这是因为指数函数随着底数a的减小，幂次的增长速度减慢。
以上两种情况都可以通过绘制函数图像来进行直观的展示。
在图像中，我们可以发现指数函数在x轴的正半轴方向具有渐近线，并且在x=0处经过点(0, 1)。
二、指数函数的性质除了图像外，指数函数还具有以下几个重要的性质。
1. 单调性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
这是由指数函数的定义所决定的。
2. 定义域与值域：由于指数函数的定义域为实数集，且底数a不等于1，因此指数函数的值域也是正实数集(0, +∞)。
3. 奇偶性：当指数函数的底数a为负时，指数函数为奇函数，即f(x) = -a^x；当底数a为正时，则指数函数为偶函数，即f(x) = a^x。
4. 渐近线：指数函数在x轴的正半轴方向具有一条水平渐近线y=0，并且在x=0处有一个横坐标为1的纵坐标，即点(0, 1)。
5. 过点(1, a)：指数函数在x=1处经过点(1, a)。
这是由指数函数的定义得出的。
通过对指数函数的图像与性质的讨论，我们可以更加全面地了解这一函数类型。
指数函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、人口增长的模型等。
因此，熟练掌握指数函数的图像与性质对于解决实际问题具有重要的意义。
高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质
对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于 原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的 位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的 图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等 于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算 复利问题。通过给定本金、年利 率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数 函数可用于描述连续增长的模型 。通过分析历史数据，可以估算 出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述 化学反应的动力学过程。通过分 析反应速率与反应物浓度的关系 ，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01
指数函数及其性质,高中数学
指数函数专题指数函数及其性质知 识 梳 理要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：① 如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.② 如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了．（1）当底数大小不确定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．辨 析 感 悟 对指数函数的理解(1)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是R 上的减函数．(×)(3)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+， ∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.【变式1】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．（2014年河南郑州月考）已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．【思路点拨】由题意可得2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，由此解得a 的范围．【答案】[2，3）【解析】由于函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，可得 2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，解得2≤a ＜3，故答案为[2，3）．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
【高中数学】指数函数
高中数学学科
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：选 A 由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c；
因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.
1 4．(2019·南宁调研)函数 f(x)＝ 2 xx2 的单调递增区间是( )
高中数学学科
指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念 函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数． 形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函 数． 2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
高中数学学科
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值．
1 [解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ 3 －x2－4x＋3 ，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
1 而 y＝ 3 t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
研究.
二、常用结论
指数函数图象的特点 －1，1
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)， a ，依据这三点的坐标可得到指数函数 的大致图象．
1 (2)函数 y＝ax 与 y＝ a x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称． (3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图 象“上升”；当 0<a<1 时，指数函数的图象“下降”．
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)
5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且
a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
当堂检测
反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
高中数学必修1指数函数的基本性质
高中数学必修1指数函数的基本性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。
本文将介绍指数函数的基本性质，以帮助理解和应用该函数。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为 $a$ 的指数形式表示的函数，通常写作 $y = a^x$。
其中，底数 $a$ 是一个常数，称为底数；$x$ 是自变量，表示指数；$y$ 是因变量，表示函数值。
2. 指数函数的图像指数函数的图像特点如下：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数是递增函数。
图像在 $x$ 轴的右侧；当 $a < 1$ 时，指数函数是递减函数。
图像在 $x$ 轴的左侧。
- 当 $a > 1$ 时，图像的增长速度逐渐加快；当 $0 < a < 1$ 时，图像的增长速度逐渐减慢。
- 当 $a > 1$ 时，图像在 $y$ 轴上方向无界；当 $0 < a < 1$ 时，图像在 $y$ 轴下方向无界。
3. 指数函数的基本性质指数函数具有以下基本性质：- 任何实数 $x$ 的 $0$ 次方等于 $1$，即 $a^0 = 1$。
- 指数函数的定义域是所有实数，即 $(-\infty, \infty)$。
- 当底数 $a > 0$ 且不等于 $1$ 时，指数函数的值域是 $(0,+\infty)$；当底数 $a < 0$ 时，指数函数的值域是 $(-\infty, 0)$。
- 指数函数的零点不存在。
- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线$y = 0$；当 $0 < a < 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线 $y = 0$。
4. 指数函数的特殊性质指数函数还具有以下特殊性质：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x = 0$ 处有一个特殊点 $(0, 1)$。
- 当底数 $a < 0$ 时，指数函数的图像不完整，因为指数函数只有在底数为正数的情况下定义。
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2.1.2
第 1 课时
指数函数及其性质
指数函数的图象及性质
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定 义域、值域的求法． 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图 象说明指数函数的性质．
1．指数函数的定义
ax (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 一般地，函数 y＝____ 自变量 ． x 是________
2．下列各函数中，是指数函数的是( D ) A．y＝(－3)
x
B．y＝－3
x
C．y＝3
x－1
D．y＝ x
1 3
3x 3．y＝4 的图象可能是(
C )
4．若函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象过点(3，8)，则
2x ． f(x)＝________ ，＋∞) ． 5．函数 f(x)＝2x＋3 的值域为(3 ________
2．指数函数的图象和性质
a 的范围 图象 定义域 性 质 值域 过定点 a>1 0<a<1
R ___ (0，＋∞) _____________ (0，1) 过定点________
减函数 单调性 在 R 上是增函数 _______ 在 R 上是________
奇偶性 非奇非偶函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数 y＝ax 中，a 可以为负数．( × ) (2)指数函数的图象一定在 x 轴的上方．( √ ) (3)函数 y＝2－x 的定义域为{x|x≠0}．( × )
1 2
所以
1 2
－1
≥
1 2
x
1 ≥2，即
2≥
1 2
x
≥2，
1
3 1x 所以 ≤2 ＋1≤3， 2
3 所以所求函数的值域为2，3.
1．透析指数函数的图象与性质 (1)当底数 a 大小不确定时，必须分 a＞1 或 0＜a＜1 两种 情况讨论函数的图象和性质． (2)当 a＞1 时，x 的值越小，函数的图象越接近 x 轴；当 0＜a＜1 时，x 的值越大，函数的图象越接近 x 轴． (3)指数函数的图象都经过点(0， 1)， 且图象都只经过第一、 第二象限．
1 x 1 1． 若函数 f(x)＝2a－3· a 是指数函数， 则 f2的值为(
D )
A．2 C．－2 2
B．－2 D．2 2
1 解析：因为函数 f(x)是指数函数，所以 a－3＝1，所以 a 2 ＝8，所以
1 1 f(x)＝8x，f2＝82＝2
探究点一
指数函数的概念
下列函数中，哪些是指数函数？ ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax； ④y＝(2a－1)
x
1 x a> ，且a≠1；⑤y＝2× 3 . 2
[解 ]
①中底数－8<0，
所以不是指数函数． ②中指数不是自变量 x，而是 x 的函数， 所以不是指数函数．
1 2
B．第二象限 D．第四象限 |x| 的图象．
[解 ]
(1)函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，
所以点(0，1＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象 限． 1x，x≥0， 2 1 |x| (2)因为 y＝2 ＝1 －x ，x＜0， 2 所以其图象由 y ＝ x (x≥0) 和 y ＝ 2x(x ＜ 0) 的图象合并而
求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下 平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.
2.(1)已知指数函数
1 f(x)的图象过点4，16，
8 则 f(－3)＝________ ． (3，4) ． (2)函数 y＝ax－3＋3(a>0， 且 a≠1)的图象恒过定点________ 1 x 4 解析：(1)设 f(x)＝a (a＞0，且 a≠1)，则 a ＝ ，所以 a 16
x－1
1 (x≥0)的图象经过点 2，2，其中
a
(2)求函数 y＝f(x)(x≥0)的值域．
1 解：(1)因为函数图象经过点 2，2，
所以 a2 1＝2，则 a＝2.
－
1
1
(2)由(1)知函数为 f(x)＝ 1.于是 0＜
1 2
1 2
2．在指数函数 y＝ax 中规定 a＞0 且 a≠1 的原因 如果 a＝0，当 x＞0 时，ax 恒等于 0；当 x≤0 时，ax 无意 义． 1 1 如果 a＜0，如 y＝(－4) ，当 x 取 ，2等数时，在实数范 4
x
围内函数值不存在． 如果 a＝1，那么对于任何 x∈R，y＝1x＝1 是一个常数， 对它就没有研究的必要．
2.
2．已知函数 f(x)是指数函数，且
x 5 ________．
3 5 f －2 ＝ ，则 25
f(x)＝
解析：设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)， 由
3 5 f －2 ＝ 得， 25
所以 a＝5， 所以 f(x)＝5x.
3．已知函数 f(x)＝a ＞0，且 a≠1. (1)求 a 的值；
(2)定义域为 R. 令－|x|＝t，则
2t y＝3 (t≤0)，
因为这个函数的值域为{y|y≥1}， 所以
2－|x| y＝3 的值域为{y|y≥1}．
对于 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)这类函数： (1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出 u＝f(x)的值域； ②利用指数函数 y＝au 的单调性求得此函数的值域．
＝1 .所以 2
1 x f(x)＝ .所以 f(－3)＝2－3＝8. 1 2
(2)因为函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)过定点(0，1)，函数 y＝ax
－3
＋3 中， 令 x＝3， 得 y＝1＋3＝4， 所以函数的图象过定点(3，
4)．
探究点三
求函数的定义域、值域
3.(1)函数 f(x)＝ 2x－1的定义域是( A ) A．{x|x≥0} C．{x|x＞0}
1 2
B．{x|x≤0} D．{x|x＜0}
(2)求函数 f(x)＝ x＋1(x∈[－1，1])的值域．
解：(1)由题意得，2x－1≥0，解得 x≥0，故选 A. (2)因为 x∈[－1，1]， 且 y＝ x在区间[－1，1]上是减函数，
求出下列函数的定义域与值域． (1)
[解 ]
2－|x| (2)y＝3 .
(1)由 x－4≠0，得 x≠4.
所以定义域为{x|x∈R，x≠4}． 1 令 ＝t，则 y＝2t(t≠0)． x－4 因为这个函数的值域为{y|y＞0 且 y≠1}， 所以 的值域为{y|y＞0 且 y≠1}．
1 2
成，如图．
[变条件]若本例(1)中条件改为 a＞1，b＜ －1，其余不变，结果又如何呢？
解：函数 y＝ax(a＞1)在 R 上单调递增，图象过定点(0， 1)，所以函数 y＝ax＋b 的图象在 R 上单调递增，且过点(0，1 ＋b)．因为 b＜－1，所以点(0，1＋b)在 y 轴负半轴上，故图 象不经过第二象限．
1.已知 y＝(a2－3a＋3)· ax 是指数函数， 则a
2 ＝________ ．
解析：因为 y＝(a2－3a＋3)· ax 是指数函数， 所以 a2－3a＋3＝1， 解得 a＝1 或 a＝2. 又 a>0 且 a≠1， 所以 a＝2.
探究点二
指数函数的图象
(1)已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图 象必定不经过( A ) A．第一象限 C．第三象限 (2)画出函数 y＝
x－1
(x≥0)，由 x≥0，得 x－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－
x－ 1
≤
1 2
－1
＝2，所以函数的值域为(0，2]．
③中底数 a，只有规定 a>0 且 a≠1 时，才是指数函数； ④因为 a＞1 且 a≠1， 2 所以 2a－1＞0 且 2a－1≠1， 所以 y＝(2a－1)
x
1 a＞ ，且a≠1为指数函数． 2
⑤中 3x 前的系数是 2，而不是 1， 所以不是指数函数．
判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax 前的系数是否为 1； (3)指数是否符合要求.