2019届江西中考数学填空多解题针对训练附答案

江西中考数学填空多解题类型一条件开放考向1 形状不确定1. 已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5，圆心O到BC的距离为3，则AB 的长为__________．2. 在△ABC中，AD为BC边上的高，AC＝5，BC＝6，△ABC的面积为9，AB边的长为________．3. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B的大小为__________．4. 在▱ABCD中，AB＝2，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交直线CD于点F，EF ＝2，且DF＝1，则▱ABCD的周长等于____________．5. 以线段AC为对角线的四边形ABCD(它的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列)，已知AB＝BC＝CD，∠ABC＝100°，∠CAD＝40°，则∠BCD的大小为__________．6. 已知△ABC是等边三角形，且AB＝4，△ACD是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD，则对角线BD的长为__________．7. 已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，OE∶ED＝1∶3，AE＝23，则AB∶AD＝__________．考向2位置不确定1. (2017吉安模拟)直线AB与⊙O相切于点B，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点(D与B、C不重合)，若∠A＝30°，则∠BDC的度数为________．2. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．3. 在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．4. 在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2BC，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，且得点B，A，C′在同一条直线上，则∠CC′B的大小为________．5.已知O是AB的中点，将点A绕点O顺时针旋转一定角度得到OP，△AOP沿OP 翻折得到△COP，连接BC，若∠ABC＝50°，则∠A的度数为________．6. (2018原创)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△A′B′C，当A′落在△ABC的一边上时，连接BB′，取BB′的中点D，连接C、D，则CD的长度为________．第7题图7. 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，P是菱形上的一动点，若点P从点F出发，沿F→D→C→B的路线运动，则当∠FPE＝30°时，FP 的长为______________．8. 已知正方形ABCD，在这个正方形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是__________．9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且tan ∠ADB ＝32，以AD 为边作正方形ADEF ，连接BE ，若AB ＝32，则线段BE 的长为________．10. （2017江西样卷一）菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，点E 在BC 上，CE ＝2 3.若点P 是菱形上异于点E 的另一点，CE ＝CP ，则EP 的长为________．11. （2017江西样卷二）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，AO ＝6，点D 为弧AB 的中点，C 为半径OA 上一动点(点A 除外)，沿CD 对折后点A 恰好落在扇形AOB 的边线OB 或OA 上，AC 的长可以是________________．类型二 结论开放考向1 等腰三角形腰和底不确定1. 如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是________．第1题图2. 如图是全等的两个三角形△ABC 和△DEF (点A 、B 分别与点D 、E 对应)，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 在BC 边上从B 向C 移动(点E 不与B 、C 重合)，在运动过程中，DE 始终经过点A ，EF 与AC 相交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE 的长为__________．第2题图3. (2017吉安模拟) 如图，一次函数y ＝x ＋b 的图象过点A (1，2)，且与x 轴相交于点B ；若点P 是x 轴上的一点，且满足△APB 是等腰三角形，则点P 的坐标可以是________．第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，AE ＝4，点F 是边BC 上一点，将△ABF 沿AF 折叠，使点B 落在BE 上的点B ′处，射线DC 与射线AF 相交于点M ，若点N 是射线AF 上一动点，则当△DMN 是等腰三角形时，AN 的长为____________．第4题图5. 矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝3，E 为AB 边的中点，P 为CD 边上的点，且△AEP 是腰长为5的等腰三角形，则DP ＝________．6. 已知⊙O的直径为4，A是圆上一固定点，弦BC的长为22(A，B，C三点均不重合)，当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为________．考向2直角三角形直角不确定针对演练1. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝8，点P为线段AB上一动点，过点P 作PE⊥AB交直线AD于E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为直角三角形时，AP＝__________．第1题图2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是BC边上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为__________．第2题图3. 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与AB相交于点P，等腰直角△DEF的顶点D在射线CP上，且EF∥AB，连接PE，PF.现在将△DEF沿CP方向进行平移，当△PEF为直角三角形时，∠DPF的度数为____________．第3题图4. 如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB＝5，AD＝32，当△CEF是直角三角形时，BD的长为________．第4题图5. 如图，点M是直线y＝2x＋3上的动点，过点M作MN⊥x轴于点N，当点M位于第二象限时，在y轴上有一点P，使△MNP为等腰直角三角形，则BP的长度为________．第5题图6. 如图，▱ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，∠B ＝60°，点P 是四边形上的一个动点，则当△PBC 为直角三角形时，BP 的长为__________．第6题图考向3 比例线段点位置不确定1. 如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短．．到长．．之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是________cm .第1题图2. 点A 、C 为半径是3的圆周上两点，点B 为的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为________．3. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝32，点P 为线段AC 上一个动点，过点P 作PD ⊥AC 交AB 于点D ，将△APD 沿直线PD 折叠，点A 的对应点为E ，连接DE ，BE .当△DEB 的两直角边之比为12时，AP 的长为________．第3题图三、相似三角形对应顶点不确定1. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CB ⊥AB ，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 是AB 边上一点，连接DP 、CP ，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则AP 的长为__________.第1题图2. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝10，点P 是AD 上的一个动点，若以A ，P ，B 为顶点的三角形与△PDC 相似，则AP 的长为________．第2题图3. 如图，平面直角坐标系中，已知点A (4，0)和点B (0，3)，点C 是AB 的中点，点P 在折线AOB 上，直线CP 截△AOB 所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是__________．第3题图4. 如图，已知平面直角坐标系中四点A(－2，4)，B(－2，0)，C(2，－3)，D(2，0)，设点P是x轴正半轴上的一点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则点P的坐标为________．第4题图参考答案 考向1 形状不确定 1. 45或25 【解析】如解图①，当三角形的外心在三角形的内部时，连接AO 并延长交BC 于点D ，∵AB ＝AC ，O 为外心，∴AD ⊥BC ，在Rt △BOD 中，BD ＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝42＋82＝45；如解图②，当三角形的外心在三角形的外部时，在Rt △BOD 中，BD ＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝42＋（5－3）2＝2 5.综上所述，AB 的长为45或2 5.第1题解图2. 13或109 【解析】分两种情况考虑：∵AC ＝5，BC ＝6，△ABC 的面积为9，∴AD ＝3，如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：DC ＝52－32＝4；在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：AB ＝AD 2＋DB 2＝32＋22＝13，②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：DC ＝52－32＝4；在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：AB ＝AD 2＋BD 2＝32＋（6＋4）2＝109，故答案为：13或109.第2题解图3. 70°或20° 【解析】根据△ABC 中∠A 为锐角或钝角，分为两种情况：①当∠A 为锐角时，如解图①，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50°，∴∠A＝40°，∴∠B ＝180°－∠A 2＝180°－40°2＝70°；②当∠A 为钝角时，如解图②，∵AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC ＝140°，∴∠B ＝∠C ＝180°－140°2＝20°.综上所述，∠B 的大小为70°或20°.第3题解图4. 8 cm 或4＋4 2 cm 【解析】①如解图①，当点F 落在CD 上时，由DF ＝1，AB ＝2可知F 点是CD 的中点，又∵EF 垂直平分AB ，∴可判断出平行四边形的四个角均为90°，即四边形ABCD 是矩形，∵AD ＝EF ＝2，AB ＝2，▱ABCD 的周长为8；②如解图②，当点F落在CD 的延长线上时，连接BD ，∵AB ＝2，EF 垂直平分AB ，∴BE ＝1，∵DF ＝1，∴BE ＝DF ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴四边形BEFD 是矩形，∴BD ＝EF ＝2，∴在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋DC 2＝EF 2＋AB 22＝2，∴▱ABCD 周长为2AB ＋2BC ＝4＋4 2.第4题解图5. 80°或100° 【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝100°，∴∠1＝∠2＝∠CAD ＝40°，∴AD ∥BC .如解图①，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，∵∠1＝∠CAD ，∴CE＝CF ，在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC CE ＝CF .∴Rt △ACE ≌Rt △ACF ，∴∠ACE ＝∠ACF ，在Rt △BCE 与Rt △DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CD CE ＝CF ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF ，∴∠BCE ＝∠DCF ，∴∠2＝∠ACD ＝40°，∴∠BCD ＝80°；如解图②，∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠BCD ＝∠ABC ＝100°.综上所述，∠BCD ＝80°或100°.第5题解图6. 27或47或4213【解析】①当AC 为斜边时，如解图①，此时BD 1＝BD 2，由∠ACD 1＝30°可得∠BCD 1＝90°，再由AC ＝BC ＝AB ＝4，可得AD 1＝2，CD 1＝23，在Rt △BCD 1中，BD 1＝BC 2＋CD 21＝27；②当AC 为短直角边时，如解图②，过点D 1作D 1E 垂直AB ，则∠EAD 1＝30°，由∠AD 1C ＝30°，AC ＝4，可得AD 1＝43，∴D 1E ＝23，AE ＝6，在Rt △BED 1中，BD 1＝BE 2＋D 1E 2＝47； ③当AC 为长直角边时，如解图③，由∠ACD 1＝30°，可得∠BCD 1＝90°，且CD 1＝AC cos ∠ACD ′＝833，在Rt △BCD 1中，BD 1＝BC 2＋CD 21＝4213.第6题解图 7. 33或153 【解析】①如解图①，点E 在BO 上时，∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OD ，∵OE ∶ED ＝1∶3，∴BE ＝OB －OE ＝OD －OE ＝(ED －OE )－OE ＝3OE －OE －OE ＝OE ，∴BE ＝OE ，∴AE ⊥OB 且平分OB ，∴AO ＝AB ，∴△ABO 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，∠ADB ＝30°，∴AB ∶AD ＝tan ∠ADB ＝tan 30°＝33；②如解图②，点E 在OD 上时，设OE 为x ，∵OE ∶ED ＝1∶3，∴ED ＝3x ，BE ＝OE ＋OB ＝x ＋(x ＋3x )＝5x ，由直角三角形的性质得△ADE ∽△BAE ，∴ED AE ＝AE BE ，即3x 23＝235x，解得x 2＝45，在Rt △ADE 中，AD ＝ED 2＋AE 2＝9×45＋12＝4530，在Rt △ABE 中，AB ＝EB 2＋AE 2＝25×45＋12＝42，∴AB ∶AD ＝42∶4530＝153.综上所述，AB ∶AD ＝33或153.第7题解图考向2 位置不确定1. 30°或150° 【解析】如解图所示，∵直线AB 与⊙O 相切于点B ，C 是⊙O 与OA 的交点，点D 是⊙O 上的动点(D 与B 、C 不重合)，∴∠OBA ＝90°，∵∠A ＝30°，∴∠BOA ＝60°，当点D 在劣弧BC 上时，∠BDC ＝180°－(60°÷2)＝150°；当点D 在优弧BC 上时，∠BDC ＝12∠BOA ＝30°，故答案为：30°或150°.第1题解图2. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝30°，∠ABC ＝∠ADC ＝150°，∴∠DBA ＝∠DBC ＝75°，∵ED ＝EB ，∠DEB ＝120°，∴∠EBD ＝∠EDB ＝30°，∴∠EBC ＝∠EBD ＋∠DBC ＝105°，当点E ′在BD 右侧时，∵∠DBE ′＝30°，∴∠E ′BC ＝∠DBC －∠DBE ′＝45°，∴∠EBC ＝105°或45°.第2题解图3. 5.5或0.5 【解析】分两种情况：①如解图1所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，∵四边形BCFE 为菱形，∴CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，∴DF ＝CF 2－CD 2＝52－42＝3，∴AF ＝AD ＋DF ＝8，∵M 是EF 的中点，∴MF ＝12EF ＝2.5，∴AM ＝AF －DF ＝8－2.5＝5.5；②如解图2所示：同①得：AE ＝3，∵M 是EF 的中点，∴ME ＝2.5，∴AM ＝AE －ME ＝0.5；综上所述：线段AM 的长为5.5或0.5.第3题解图4. 15°或105° 【解析】由∠C ＝90°，AB ＝2BC ，可得∠BAC ＝30°，分情况讨论：如解图①，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C ′落在BA 的延长线上时，可得AC ＝AC ′，∴∠CC ′B ＝∠C ′CA ＝12∠BAC ＝15°；如解图②，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，当点C ′落在线段AB 上时，可得AC ＝AC ′，∴∠CC ′A ＝∠C ′CA ＝180－30°2＝75°，∠CC ′B ＝180°－75°＝105°.综上所述，∠CC ′B ＝15°或105°.第4题解图5. 65°或25° 【解析】如解图①，当P 、C 在AB 同侧时，由题意得：OA ＝OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠B ＝50°，∴∠AOC ＝100°，由翻折可得∠AOP ＝∠COP ，即∠AOP ＝50°，由旋转可知AO ＝OP ，∴∠A ＝180°－50°2＝65°；如解图②，当P 、C 在AB 异侧时，由题意得：OA ＝OB ＝OC ，∠OCB ＝∠B ＝50°，∴∠AOC ＝100°，由翻折可得∠AOP ＝∠COP ，即∠AOP ＝130°，由旋转可知AO ＝OP ，∴∠A ＝180°－130°2＝25°.综上可得，∠A ＝65°或25°.第5题解图6. 3或6 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴∠A ＝90°－∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，①如解图①，当A ′落在AB 上时，可得CA ＝CA ′，∴△ACA ′是等边三角形，∴∠BCB ′＝∠ACA ′＝60°，∵CB ＝CB ′，∴△BCB ′是等边三角形，∵D 为BB ′的中点，∴∠BDC ＝90°，∠BCD ＝30°，∴CD ＝cos 30°×BC ＝32×23＝3；②如解图②，当A ′落在BC 上时，可得BC ＝B ′C ，∠BCB ′＝90°，∴BB ′＝26，∵D 为BB ′的中点，∴CD ＝12BB ′＝ 6.综上所述，OD 的长度为3或 6.第6题解图7. 2或23或4 【解析】①如解图①，当点P 与点D 重合时，∠FPE ＝∠DEF ＝30°，此时FP ＝FD ＝FE ＝2；②如解图②，当点P 为DC 的中点时，FP 为△ADC 的中位线，FP ⊥FE ，PE ＝4，EF ＝2，∠FPE ＝30°，由勾股定理得FP ＝23；③如解图③，当点P 为BC 的中点时，EP 为△ABC 的中位线，EF ⊥EP ，PF ＝4，EF ＝2，∠FPE ＝30°，FP ＝DC ＝4；④如解图④，当点P 与点B 重合时，∠EFP ＝∠FBE ＝30°，此时FE ＝EB ＝2，在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝PF ＝2 3.综上所述，FP 的长为2或2 3 或4.第7题解图8. 1或3或5或7【解析】如解图，作l 1∥AB ，l 2∥AB ，且l 1和l 2到AB 的距离为1，作l 3∥BC ，l 4∥BC ，且l 3和l 4到BC 的距离为2，4条直线相交于P 1，P 2，P 3，P 4，l 1、l 2、l 3、l 4交正方形ABCD 及各边延长线于E 、F 、M 、H 、Q 、K ，若l 2到CD 的距离为4，则P 1F ＝4，∵P 1H ＝1，P 1Q＝2，∴HF ＝4＋1＝5，∵四边形ABCD 为正方形，∴MQ ＝AB ＝BC ＝HF ＝5，∴P 1M ＝MQ －P 1Q ＝5－2＝3；同理可得P 3M ＝7，若l 1到CD 的距离为4，则P 2F ＝4，∵P 2H ＝1，P 2N ＝2，∴HF ＝4－1＝3，∵四边形ABCD 为正方形，∴EN ＝AB ＝BC ＝HF ＝3，∴P 2E ＝EN －P 2N ＝3－2＝1；同理可得P 4E ＝5.综上所述，点P 到DA 的距离为1或3或5或7.第8题解图9. 217或22 【解析】在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝32，由勾股定理可得BC ＝6.过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝BH ＝3，再由tan ∠ADB ＝AH HD ＝32可得HD ＝AH tan ∠ADB＝2，如解图，当点E 1在BC 上方时，过点E 1作E 1M ⊥BC 交BC 的延长线于点M ，由四边形ADE 1F 1是正方形可证△AHD ≌△DME 1，∴DM ＝AH ＝3，ME 1＝HD ＝2，∴BM ＝BD ＋DM ＝BH ＋HD ＋DM ＝8，在Rt △BE 1M 中，BE 1＝BM 2＋ME 21＝217；当点E 2在BC 下方时，同理可证△AHD ≌△DNE 2，则NE 2＝HD ＝2，DN ＝AH ＝3，∴BN ＝BD －ND ＝BH ＋HD －ND ＝2，在Rt △BNE 2中，BE 2＝BN 2＋NE 22＝2 2.综上可得，BE 的长为217或2 2.第9题解图10. 6或26或32－6 【解析】如解图①，连接EP 交AC 与点H .第10题解图①∵菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴∠BCD ＝120°，∠ECH ＝∠PCH ＝60°，在△ECH 和△PCH 中⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝PC ∠ECH ＝∠PCH CH ＝CH，∴△ECH ≌△PCH ，∴∠EHC ＝∠PHC ＝90°，EH ＝PH ，∴EP ＝2EH ＝2sin 60°·EC ＝2×32×23＝6.如解图②，△ECP 为等腰直角三角形，则EP ＝2EC ＝26，第10题解图②过点P ′作P ′F ⊥BC .∵P ′C ＝23，BC ＝4，∠B ＝60°，∴P ′C ⊥AB ，∴∠BCP ′＝30°，∴FC ＝3 2×23＝3，P ′F ＝3，EF ＝23－3，∴EP ′＝（23－3）2＋（3）2＝32－6.综上所述，EP 的长为6或26或32－ 6.11. 6－33或6 或9－33 【解析】①当点A 落在半径OA 上时，连接OD ，如解图①所示，∵∠ACD ＝90°，∠AOB ＝60°，点D 为弧AB 的中点，点A (6，0)，∴∠COD ＝30°，OA ＝OD ＝6，∴OC ＝OD ·cos 30°＝6×32＝33，∴AC ＝OA －OC ＝6－33； ②如解图②，沿CD 对折后点A 恰好落在边线OB 上，且A ′和B 重合时，则C 和O 重合，此时，AC ＝OA ＝6；③沿CD 对折后点A 恰好落在边线OB 上，且A ′和B 不重合时，如解图③，连接OD 、BD 、AD ，作DF ⊥OA 于F ，∵∠AFD ＝90°，∠AOB ＝60°，点D 为弧AB 的中点，∴∠AOD＝∠BOD ＝30°，∠OAD ＝∠OBD ，∵OA ＝OD ＝6，∴DF ＝OD ·sin 30°＝6×12＝3，∠OAD ＝75°，∴OF ＝OD ·cos 30°＝6×32＝33，∴AF ＝OA －OF ＝6－33，∵DA ′＝DA ＝DB ，∠OAD ＝∠OBD ＝75°，∴BA ′＝2AF ＝12－63，∠DA ′B ＝∠OBD ＝75°，∴OA ′＝OB －BA ′＝6－(12－63)＝63－6，∵∠CA ′D ＝∠CAD ＝75°，∴∠BA ′C ＝150°，∴∠OA ′C ＝30°，∴∠A ′CO ＝90°，∴CA ′＝OA ′·sin 60°＝(63－6)×32＝9－33，∴AC ＝CA ′＝9－3 3.故答案为：6－33或6或9－3 3.第11题解图考向1 等腰三角形腰和底不确定针对演练1. 25°或40°或10° 【解析】据题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD ，可能有AB ＝AD 或AB ＝BD 或AD ＝BD ；由于∠A ＝80°，因此相应的∠BDC 可能为130°或100°或160°，无疑△DBC 只能是BD ＝CD ，故∠C 度数可以为25°或40°或10°.2. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE AC ＝AC CB ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 3. (3，0)或(22－1，0)或(－22，0)或(1，0) 【解析】∵一次函数y ＝x ＋b 的图象过点A (1，2)，∴2＝1＋b ，解得b ＝1，∴B (－1，0)．当AB ＝AP 时，∵B (－1，0)，∴P 1(3，0)；当AB ＝BP 时，∵AB ＝（1＋1）2＋（2－0）2＝22，∴P 2(22－1，0)，P 3(－22－1，0)当AP ＝BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，线段AB 的中点坐标为(0，1)．设点P 所在的直线解析式为y ＝－x ＋c ，则c ＝1，∴直线解析式为y ＝－x ＋1，∴当y ＝0时，x ＝1，∴P 4(1，0)综上所述，P 点坐标为：(3，0)，(22－1，0)，(－22－1，0)，(1，0)．故答案为：(3，0)或(22－1，0)或(－22－1，0)或(1，0)．第3题解图4. 2或5或18 【解析】由题意可知，∵AF ⊥BE ，∴∠BAF ＋∠ABE ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠D ＝90°，∴∠BAF ＋∠DAM ＝90°，∴∠DAM ＝∠ABE ，∴△ABE ∽△DAM ，∴AB DA ＝AE DM ，∴36＝4DM，∴DM ＝8，AM ＝AD 2＋DM 2＝62＋82＝10，①当MN ＝MD 时，AN ＝AM －DM ＝10－8＝2或AN ＝AM ＋DM ＝10＋8＝18；②当ND ＝NM时，易知点N 是AM 的中点，∴AN ＝12AM ＝5，综上所述，当AN 为2或5或18时，△DMN 是等腰三角形．5. 1或4或9 【解析】①如解图①，当AE ＝EP ＝5时，过P 作PM ⊥AB ，∴∠PMB ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCPM 是矩形，∴PM ＝BC ＝3，∵PE ＝5，∴EM ＝PE 2－PM 2＝25－9＝4，∵E 是AB 中点，∴BE ＝5，∴BM ＝PC ＝5－4＝1，∴DP ＝10－1＝9；②如解图②，当AE ＝AP ＝5时，DP ＝AP 2－AD 2＝25－9＝4；第5题解图③如解图③，当AE ＝EP ＝5时，过P 作PF ⊥AB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠DAB ＝90°，∴四边形BCPF 是矩形，∴PF ＝BC ＝3，∵PE ＝5，∴EF ＝25－9＝4，∵E 是AB 中点，∴AE ＝5，∴DP ＝AF ＝5－4＝1.故答案为：1或4或9.6. 2＋2或2或2－2 【解析】当BC 为底边时，如解图①，连接AO 延长与BC 交于F ，连接BO ，CO ，在△ABO 与△ACO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC BO ＝CO AO ＝AO第6题解图∴△ABO ≌△ACO (SSS )，∴∠BAO ＝∠CAO ，在△AFB 与△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ∠BAO ＝∠CAO AB ＝AC，∴△AFB ≌△AFC (SAS )，∴BF ＝CF ＝2，∴AF ⊥BC ，∴AF 为△ABC 的高，在直角△BOF 中，OF ＝BO 2－BF 2＝2，∴AF ＝2＋2；当BC 为腰时，如解图②，连接BO 并延长与AC 交于F ，连接OA ，OC ，同理可证得：△ABO ≌△CBO ，∵∠ABO ＝∠CBO ，可得△AFB ≌△CFB ，∴AF ＝CF ，∴BF ⊥AC ，BF 为△ABC 的高，第6题解图②在△BOC 中∵OB 2＋OC 2＝8，BC 2＝8，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠CBO ＝45°，∴CF ＝BF ，设CF ＝BF ＝x ，则2x 2＝8，解得：x ＝2，∴BF ＝2，当BC 为底时，如解图③，∵AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝2，设AF ＝x ，则OF ＝2－x ，在Rt △OBF 中，(2－x )2＋(2)2＝22，解得：x ＝2＋2(舍)或x ＝2－ 2.故答案为：2＋2或2或2－ 2.考向2 直角三角形直角不确定针对演练1. 22或4＋22 【解析】如解图①，当DF ⊥AB 时，△CDF 是直角三角形，第1题解图①∵在菱形ABCD 中，AB ＝8，∴CD ＝AD ＝AB ＝8，在Rt △ADF 中，∵AD ＝8，∠DAF＝45°，AF ＝DF ＝AD ·sin 45°＝42，∴AP ＝12AF ＝22；如解图②，当CF ⊥AB 时，△DCF 是直角三角形，第1题解图②在Rt △CBF 中，∵∠CFB ＝90°，∠CBF ＝∠A ＝45°，BC ＝8，∴BF ＝CF ＝42，∴AF ＝8＋42，∴AP ＝12AF ＝4＋2 2.故答案为：22或4＋2 2. 2. 3或6 【解析】在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AC 2＋BC 2＝10，∵△ADE 是△ABD 以AD 为折痕翻折得到的，∴AE ＝AB ＝6，DE ＝BD ，∠AED ＝∠B ＝90°.当△DEC 为直角三角形，①如解图①，当∠DEC ＝90°时，∵∠AED ＋∠DEC ＝180°，∴点E 在线段AC 上，设BD ＝DE ＝x ，则CD ＝8－x ，∴CE ＝AC －AE ＝4，∴DE 2＋CE 2＝CD 2，即x 2＋42＝(8－x )2，解得：x ＝3，即BD ＝3.图①图②第2题解图②如解图②，当∠EDC ＝90，∴∠BDE ＝90°，∵∠BDA ＝∠ADE ，∴∠BDA ＝∠ADE ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AB ＝BD ＝6.综上所述：当△DEC 为直角三角形时，BD 的长为3或6.3. 0°或45°或15° 【解析】①如解图①，当点D 与点P 重合时，△PEF 为直角三角形，此时∠DPF ＝0°；②如解图②，点D 位于AB 下方时，且∠EPF ＝90°，△PEF 为直角三角形，此时由EF ∥AB ，可求得∠PMF ＝∠APM ＝75°.又∠EFD ＝45°，可得∠PDF ＝30°.∵∠EPF ＝∠EDF ＝90°，∴D ，E ，P ，F 四点共圆，∴∠DPF ＝∠DEF ＝45°；③如解图③，当点D 位于AB 下方时，且∠EFP ＝90°，△PEF 为直角三角形，此时由EF ∥AB ，可证∠PMF ＝∠APM ＝75°.又∠MFP ＝90°，可得∠DPF ＝15°.第3题解图4. 13或1 【解析】∵△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝90°－∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE －∠CAD ＝90°－∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD＝CE .第4题解图①如解图①，∠CFE ＝90°时，AF ⊥DE ，∴AF ＝EF ＝22AE ＝22×32＝3，CF ＝AC －AF ＝5－3＝2，在Rt △CEF 中，CE ＝EF 2＋CF 2＝32＋22＝13，∴BD ＝CE ＝13；②如解图②，∠CEF ＝90°时，∠AEC ＝135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝135°，∵∠ADB ＋∠ADE ＝135°＋45°＝180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE ，则AG ＝DG ＝22AD ＝22×32＝3，在Rt △ABG 中，BG ＝AB 2－AG 2＝52－32＝4，∴BD ＝BG －DG ＝4－3＝1.综上所述，BD 的长为13 或1.5. 2或3或94【解析】令直线y ＝2x ＋3中x ＝0，则有y ＝3，即B 点的坐标为(0，3)，OB 的长为3.①如解图①，当等腰直角三角形的两条直角边是MN ，MP 时，设点P 的坐标为(0，a )，则点M 的坐标为(－a ，a )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴a ＝2×(－a )＋3，解得a ＝1，∴点P 的坐标为(0，1)，∴BP ＝3－1＝2；②如解图②，当等腰直角三角形的两条直角边是MN ，NP 时，点P 的坐标为(0，0)，则点M 的坐标为(－b ，b )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴b ＝2×(－b )＋3，解得b ＝1，即点M 的坐标为(－1，1)，点N 的坐标为(－1，0)，点P 的坐标为(0，0)，∴BP ＝3；③如解图③，当等腰直角三角形的两条直角边是MP ，NP 时，作PQ ⊥MN 交MN 于点Q ，设点P 的坐标为(0，c )，∵MP ＝NP ，∠MPN ＝90°，∴点M 的坐标为(－c ，2c )，∵点M 是直线y ＝2x ＋3上的动点，∴2c ＝2×(－c )＋3，解得c ＝34，∴点P 的坐标为(0，34)，∴BP ＝3－34＝94，综上可得，BP 的长度为2或3或94.第5题解图6. 2或23或19 【解析】分两种情况：(1)①当∠BPC ＝90°时，如解图①，作AM ⊥BC于点M ，∵∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∴BM ＝12AB ＝1，∴AM ＝3BM ＝3，CM ＝BC －BM ＝4－1＝3，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝23，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴当点P 与A 重合时，∠BPC ＝∠BAC ＝90°，∴BP ＝BA ＝2；②当∠BPC ＝90°，如解图②，点P 在边AD 上，CP ＝CD ＝AB ＝2时，BP ＝BC 2－CP 2＝42－22＝23；(2)当∠BCP ＝90°时，如解图③，则CP ＝AM ＝3，∴BP ＝BC 2＋CP 2＝19；综上所述，当△PBC 为直角三角形时，BP 的长为2或23或19.第6题解图考向3 比例线段点位置不确定针对演练1. 2或2.5 【解析】设折痕对应的刻度为x cm ，依题意有易知，纸带被剪成了1 cm 、2 cm 、4 cm 三段，又未被盖住的那部分最长，为4 cm ，所以折痕只能是在1 cm 的纸带上或2 cm 的纸带上．依题意有两种情况，①当折痕在2 cm 的那段上时，2(x －1)＝2，解得x ＝2 cm ；②当折痕在1 cm 的那段上时，2(x －2)＝1，解得x ＝2.5 cm .故答案为2或2.5.2. 6或23 【解析】如解图，连接OC ，当菱形在圆心左边时，在Rt △CEO 中，OE ＝1，CO ＝3，根据勾股定理得CE ＝22，在Rt △CED 中，根据勾股定理得，CD ＝23；同理：当菱形在圆心右边时，解得CD ＝6，∴菱形的边长为23或 6.第2题解图3. 2或22 【解析】∵AC ＝32，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴AB＝6，根据题意分两种情况考虑：①当DE DB ＝12时，如解图①，AD ＝DE ，DE DB ＝12，即AD DB ＝12，∴AD ＝2，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝2；②当DB DE ＝12时，如解图②，AD ＝DE ，DB DE＝12，即DB AD ＝12，∴AD ＝4，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝DP ＝2 2.故AP 的长为2或2 2.第3题解图1. 2或6或247【解析】∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＝180°－∠B ＝90°，∴∠P AD ＝∠PBC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 长为8－x ，若AB 边上存在P 点，使△P AD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4，解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x )，解得x ＝2或x ＝6.∴AP 的长为2或6或247. 2. 1或5或9 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ＝3，AD ＝BC ＝10，∠A ＝∠D ＝90°，设AP ＝x ，则PD ＝AD －AP ＝10－x ，若∠APB ＝∠DPC ，则Rt △APB ∽Rt △DPC .∴AP PD ＝AB CD ，即x 10－x ＝33，解得x ＝5；若∠APB ＝∠PCD ，则Rt △APB ∽Rt △DCP ，∴AB DP ＝AP CD ，310－x ＝x 3，解得x ＝1或9，∴当AP ＝1或5或9时，以A ，P ，B 为顶点的三角形与△PDC 相似．3. (0，32)或(2，0)或(78，0) 【解析】①当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA ，由点C 是AB 的中点，∴点P 为OB 的中点，此时P 点坐标为(0，32)；②当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO ，由点C 是AB 的中点，∴点P 为OA 的中点，此时P 点坐标为(2，0)；③当PC ⊥AB 时，如解图，第3题解图∵∠CAP ＝∠OAB ，∴Rt △APC ∽Rt △ABO ，∴AC OA ＝AP AB，∵点A (4，0)和点B (0，3)，∴AB ＝32＋42＝5，∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝52，∴524＝AP 5，∴AP ＝258，∴OP ＝OA －AP ＝4－258＝78，此时P 点坐标为(78，0)．综上所述，满足条件的P 点坐标为(0，32)或(2，0)或(78，0)．第4题解图①4. (27，0)或(14，0)或(4，0) 【解析】设OP ＝x (x ＞0)，分两种情况：(1)若点P 在线段BD 上，如解图①，有两种可能：①若△ABP ∽△CDP ，则AB ∶CD ＝BP ∶PD ，∴4∶3＝(x＋2)∶(2－x )解得x ＝27.∴点P 的坐标为(27，0)；②若△ABP ∽△PDC ，则AB ∶PD ＝BP ∶CD ，∴4∶(2－x )＝(x ＋2)∶3，方程无解；第4题解图②(2)若点P 在CD 的右边，如解图②，有两种可能：①若△ABP ∽△CDP ，则AB ∶CD ＝BP ∶PD ，∴4∶3＝(2＋x )∶(x －2)，∴x ＝14，∴点P 的坐标为(14，0)，②若△ABP ∽△PDC ，则AB ∶PD ＝BP ∶CD ，∴4∶(x －2)＝(x ＋2)∶3，∴x ＝±4，∴点P 的坐标为(4，0)或(－4，0)(舍去)．∴点P 的坐标为(27，0)或(14，0)或(4，0)．。