匀速圆周运动之绳杆模型精讲
圆周运动中有趣的绳杆模型
时细杆 Ｏ Ａ受到 （
Ａ．６ ． ０ Ｎ 的拉 力
）
Ｂ ．６ ． ０ Ｎ 的压 力
受竖直向下的重力 和
竖直 向上 的支 一 持 力 ，
，
。 一
２
见图 ５ ， 则
ｍｇ 一 ， ｍ
ｎ
解析
设 杆 对 小 球 的 作 用
力为 ， 方 向竖直 向下如 图 ９所 示 ，
图６
由 向 心 力 公 式 得
愕 ＝ｍ
１ Ｆ
（ ２ ）若杆 的作用 力 为拉力 ；
受力 分析 ： 小球 受 竖直 向下 的 重 力 和 竖 直 向下 的拉力 ， 见图 ６ ， 则
２
譬 测
２ ． ０ ｚ
图 ９ Ｉ
＝ ｍ
一 ｍｇ
ｍｇ ＋ Ｆ ＝ ｍ
＝
（ ３ ）若 杆 的作 用 力 为 零 时 ，
静 例１ 有 一 长 度 为 ， ／ ， ， 、、
▲ Ｆ
、
ｌ
／ 我 们对 小 球 受 力 分 析 ／ Ｊ
， ． ｌ ’ ＼ ＼
ｒ Ｊ
Ｉ
Ｉ
Ｌ ： ０ ． ５ ０ ｍ的 轻质细 杆Ｏ Ａ ，／ ／ ｌ ＼ ＼ ４ 端 有一 质量为ｍ ： ３ ． ０ ｋ ｇ １ ０ ｊ
圆 周
冯春 芳
物体 在竖 直平 面 内做 的 圆周运 动是 一种
Ｆ ＋ ｍｇ ＝ｍ
越大， 所需 的向心力越大 ， 重力不 变 ， 因此 拉力 （ 弹力） 就越大 ； 反 过来 ， 越 小 ， 所 需 的 向心 力 越 小 ， 重力 不 变， 因此拉 力 （ 弹
也就 越小 ． 如果 不 断 减 小 ， 那 么绳 的拉 （ １ ）“ 绳” （ 或 圆 轨 道 内侧 ） 不 能 提 供 支 力 ） 力（ 弹力 ） 就 不 断减 小 ， 在 某 时 刻 绳 的拉 力 Ｆ
圆周运动绳杆模型
圆周运动绳杆模型1圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。
小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力).类此模型:竖直平面内的内轨道(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。
（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。
） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0〈v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr时,杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时,杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道。
1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑,到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1）最高点水不流出的最小速率。
（2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆,一端拴一质量m=0。
4 kg 的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：（1)小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v 1=3。
0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?【训练3】如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力,则（ )2vR A 。
圆周运动绳杆模型讲解学习
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
绳杆模型知识点总结
绳杆模型知识点总结1. 绳杆模型的基本原理绳杆模型假设绳子或杆子足够细长和柔软，可以被简化为一条线或一根棍子。
在这种假设下，我们可以忽略其质量和其自身的刚度，只考虑它们所受到的拉力和压力。
这样一来，我们可以将绳子或杆子看作一种延伸的点质量，从而简化了问题的分析和计算。
2. 绳杆模型的应用绳杆模型可以应用于各种物理问题中。
其中一个经典的例子就是钟摆问题。
在这个问题中，我们可以用绳杆模型来描述钟摆线上的细绳和钟摆的钢杆。
另外，绳杆模型还可以应用于弦乐器和建筑物等系统的分析中。
3. 绳杆模型的基本方程绳杆模型的基本方程可以由牛顿第二定律推导得出。
对于细绳来说，可以将其视为一种只能受到拉力的物体。
而对于杆来说，可以将其视为一种只能受到压力作用的物体。
因此，我们可以将绳和杆的力学性质用拉力和压力来描述，而不需要考虑其质量和刚度。
4. 绳杆模型的应力和应变在应用绳杆模型解决物理问题时，我们需要考虑绳和杆所受到的应力和应变。
在受力分析中，我们需要根据受力方向和大小来计算绳和杆所受到的拉力和压力。
而在应变分析中，我们需要考虑绳和杆的形变以及其材料的性质，从而确定其应变情况。
5. 绳杆模型的动力学在动力学分析中，我们可以用绳杆模型来描述系统的运动情况。
例如，在钟摆问题中，我们可以用绳杆模型来描述钟摆的摆动运动，从而确定其摆动周期和频率。
此外，绳杆模型还可以应用于建筑物和桥梁等结构的动力学分析中，用来确定它们的振动模态和固有频率。
6. 绳杆模型的应用案例绳杆模型的应用案例非常广泛。
其中一个经典的案例就是悬索桥的设计。
在悬索桥的设计中，工程师需要考虑到细绳和杆的受力情况，从而确定桥梁的结构和稳定性。
另外，绳杆模型还可以应用于舞台上吊横幅和灯光设备等系统的设计中，用来确定吊索和支杆的受力情况。
7. 绳杆模型的优点和局限绳杆模型的优点在于其简化了问题的分析和计算。
由于绳和杆可以被视为线和点，因此可以忽略其复杂的形状和材料性质，从而简化了问题的分析。
圆周运动绳杆模型
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析
匀速圆周运动之绳杆模型精讲
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
匀速圆周运动 (考纲要求) 1．匀速圆周运动
角速度、线速度、向心加速度
Ⅰ
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 相等 ，就是匀 的时间内通过的圆弧长_____ 速圆周运动． 不变 ，方向始终 (2)特点：加速度大小_____ 圆心 ，是变加速运动． 指向_____ 不变 、方向始终 (3)条件：合外力大小_____ 速度 方向垂直且指向圆心． 与_____
向心 加速度
①描述速度方向 _____变化快慢 _____的物 v2 Rω2 ① a＝ R ＝____ 理量(a) ②单位：m/s2 ②方向指向圆心
考基自主落实 核心考点透析 物理建模指导 高考快乐体验 活页限时训练
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ(考纲要
1．作用效果 方向 ，不改变速度的_____. 大小 产生向心加速度，只改变速度的_____ 2．大小
答案
AD
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
【变式3】
在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图4－3 －8所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右 侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周 运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面 的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横 向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车 速应等于 ( )．
①描述物体绕圆心转动快慢 __________的 Δθ ③ω＝ ＝____ T Δt 物理量(ω) ④单位：rad/s ②中学不研究其方向
19.圆周运动绳杆模型—【新教材】人教版(2019)高中物理必修第二册讲义(机构)
教师辅导讲义 学员编号：1年 级：高一年级 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目：物理 学科教师：授课类型T 同步(圆周运动绳杆模型)授课日期及时段 教学内容一.描述圆周运动的各物理量间的关系1．线速度v 、角速度ω以及周期T 之间的关系：v ＝ωr ＝2πr T. 2．角速度ω与转速n 的关系：ω＝2πn (注：n 的单位为r/s)．二.匀速圆周运动1．特征：(1)线速度的大小不变，方向时刻改变．(2)向心力大小不变，方向始终指向圆心．(3)向心加速度大小不变，方向始终指向圆心．2．向心力：F ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r . 3．向心加速度：a ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2T2r . 三.描述圆周运动的各物理量间的关系描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、转速等，它们之间的关系为：ω＝2πT ＝2πn ，v ＝ωr ＝2πTr 同步知识梳理T 同步——绳杆模型＝2πrn ，这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系式中各量是瞬时对应的．四.向心力的来源分析向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的合外力或某个力的分力，但只有在匀速圆周运动中，向心力才等于物体所受的合外力，在变速圆周运动中，向心力不等于物体所受到的合外力，而是等于物体沿圆心方向的合外力．五.竖直面内的“绳杆模型”的临界问题1.轻绳模型(如图所示)(1)绳内(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．(2)在最高点的动力学方程T ＋mg ＝m v 2r. (3)在最高点的临界条件T ＝0，此时mg ＝m v 2r，则v ＝gr . ①v ＝gr 时，拉力或压力为零．②v >gr 时，小球受向下的拉力或压力．③v <gr 时，小球不能达到最高点．即轻绳的临界速度为v 临＝gr .2.轻杆模型(如图所示)(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力．(2)在最高点的动力学方程当v ＞gr 时，N ＋mg ＝m v 2r，杆对球有向下的拉力，且随v 增大而增大． 当v ＝gr 时，mg ＝m v 2r，杆对球无作用力． 当v ＜gr 时，mg －N ＝m v 2r，杆对球有向上的支持力． 当v ＝0时，mg ＝N ，球恰好到达最高点．(3)杆类的临界速度为v 临＝0.（2020·定远县育才学校高二开学考试）在质量为M 的电动机飞轮上固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过（ ）A ．M m g mr +B ．M m g mr +C ．M m g mr -D ．Mg mr【解析】解：重物转到飞轮的最高点时，电动机刚要跳起时，重物对飞轮的作用力F 恰好等于电动机的重力Mg ，即F=Mg．以重物为研究对象，由牛顿第二定律得Mg+mg=mω2r ，解得ω=m M g mr +（2020·江苏镇江市·高一期中）如图所示，长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方2L 处有一钉子C ，把悬线另一同步题型分析端的小球m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子时，那么小球的（ ） A ．线速度突然增大B ．角速度突然增大C ．向心加速度突然增大D ．悬线拉力突然增大【解析】A ．碰到钉子瞬间，线速度不突变，所以线速度不变，A 错误；B ．碰到钉子瞬间，圆周运动半径减小，根据v r ω=可知角速度突然增大，B 正确；C ．碰到钉子瞬间，圆周运动半径减小，根据2v a r =可知向心加速度增大，C 正确；D ．根据牛顿第二定律可知 T mg ma -=小球重力不变，向心加速度增大，悬线拉力增大，D 正确。
圆周运动中的绳杆模型
• 对应力的计算
结
• 对应能量的计算
- mg
=
mv 2 r
G
24
竖
物理情景
直
平
细绳拉着小球在竖直 平面内运动
面
内
圆
小球在竖直放置的光
周
滑圆环内侧运动
运
动
小球固定在轻杆上在
的
竖直面内运动
临
界
问
小球在竖直放置的光 滑管中运动
题
图示
在最高点的临界特点
T=0
mg
v2 m
r
v gr
N=0
mg
v2 m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
【解答】解：A、B、在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T＝m
得：T＝
- mg…①
由图象知，T＝0时，v2＝b．图象的斜率k＝ ，则得： ＝
得绳长 L＝ 当v2＝0时，T＝﹣a，由①得：﹣a＝﹣mg，得 g＝ ；故A正确，B正确；
C、只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：
A．①④ C．③④
B．②④ D．②③
.
【解答】解：对于第（1）种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高 点处需要满足的条件是mg≤m ，又根据机械能守恒定律有
mv2+2mgr＝
，可求得v0≥2 m/s；
对于第（2）种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球 上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr≥
则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
.
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如图4－3－4是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常 5． 是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此 速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列 论述正确的是 ( )．
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图4－3－1
高考快乐体验 活页限时训练
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1．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是 (
v2 A．由 a＝ 知， a 与 r 成反比 r B．由 a＝ ω2r 知， a 与 r 成正比 v C．由 ω＝ 知， ω 与 r 成反比 r D．由 ω＝ 2πn 知， ω 与转速 n 成正比
图4－3－2
解析 A、B和C均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的 角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对、C错．三点的运动 半径关系rA＝rB>rC，据v＝ωr可知，三点的线速度关系vA＝ vB>vC，A、D错． 答案 B
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3． 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周 期为2 s，则 ( )． A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s 4 C．轨迹半径透析
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v2 解析 由 a＝ 知，只有在 v 一定时，a 才与 r 成反比， r 如果 v 不一定，则 a 与 r 不成反比，同理，只有当 ω 一 定时，a 才与 r 成正比；v 一定时，ω 与 r 成反比；因 2π 是定值，故 ω 与 n 成正比．
2 v2 4π r 2r mω F＝m ＝______＝m 2 ＝mωv＝4π2mf2r. r T 圆心 ，时刻在改 始终沿半径方向指向_____ 变，即向心力是一个变力． 来源 4． 向心力可以由一个力提供，也可以由几 合力 提供，还可以由一个力的 个力的_____ 分力 提供. _____
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D．加速度大小为 4π m/s2
解析
2π ω 角速度为 ω＝ ＝ π rad/s， A 错误；转速为 n＝ ＝ T 2π
v 4 0． 5 r/s，B 正确；半径 r＝ ＝ m， C 正确；向心加速度大 ω π v2 小为 an＝ ＝ 4π m/s2， D 正确． r 答案 BCD
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①描述物体绕圆心转动快慢 __________的 Δθ ③ω＝ ＝____ T Δt 物理量(ω) ④单位：rad/s ②中学不研究其方向
2π
角速度
周期 和转速
一周 ①周期是物体沿圆周运动_____ 的时间(T) ②转速是物体单位时间转过的 圈数 _____(n)，也叫频率(f)
2πr ①T＝ v 单位：s ②n 的 单 位 ： r/s 、 r/min，f 的单位： Hz
答案
D
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图4－3－2所示是一个玩具陀螺．A、B和 2． C是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地 面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表 述正确的是 ( )． A．A、B和C三点的线速度大小相等 B．A、B和C三点的角速度相等 C．A、B的角速度比C的大 D．C的线速度比A、B的大
离心运动
Ⅰ(考纲要求)
圆周运动 的物体，在所受合外力突然消失或 1．定义：做_________ 所需向心力 的情况下，就做逐渐 不足以提供圆周运动___________ 远离圆心的运动． 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿 圆周切线方向飞出去的倾向． 着____________ 3．受力特点 mrω2 时，物体做匀速圆周运动； 当F＝ _____ 切线方向 飞出； 当F＝0时，物体沿________ mrω2 时，物体逐渐远离圆心， 当F＜ _____ F为实际提供的向心力，如图4－3－1所 示．
向心 加速度
①描述速度方向 _____变化快慢 _____的物 v2 Rω2 ① a＝ R ＝____ 理量(a) ②单位：m/s2 ②方向指向圆心
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匀速圆周运动的向心力
Ⅱ(考纲要
1．作用效果 方向 ，不改变速度的_____. 大小 产生向心加速度，只改变速度的_____ 2．大小
4. 如图4－3－3所示，水平转台上放着一枚硬 币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于 这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的 是 ( )． 图4－3－3 A．受重力和台面的支持力 B．受重力、台面的支持力和向心力 C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力 D．受重力、台面的支持力和静摩擦力 解析 重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指 向转轴． 答案 D
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2．描述圆周运动的物理量 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周 期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如 下表：
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定义、意义
公式、单位
线速度
2πr ①描述圆周运动的物体运动 Δs 快慢 的物理量(v) T ______ ①v＝ ＝_____ Δt ②是矢量，方向和半径垂直，和 ②单位：m/s 圆周相切
第3讲 匀速圆周运动及其应用
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匀速圆周运动 (考纲要求) 1．匀速圆周运动
角速度、线速度、向心加速度
Ⅰ
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(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 相等 ，就是匀 的时间内通过的圆弧长_____ 速圆周运动． 不变 ，方向始终 (2)特点：加速度大小_____ 圆心 ，是变加速运动． 指向_____ 不变 、方向始终 (3)条件：合外力大小_____ 速度 方向垂直且指向圆心． 与_____