初中数学 4.5 相似三角形同步练习(1)及答案
相似三角形同步辅导试题答案
相似三角形同步辅导1 学海导航相似图形基础知识主要包括：2.相似多边形概念对应角相等，且对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．三角对应相等，且三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．3、三角形相似的条件两个三角形只要满足：两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等；有一直角边与斜边对应成比例.这四项中的一项，这两个三角形就相似。
4.相似三角形性质相似三角的对应角相等，对应边成比例．对应角平分线，高，中线，周长的比都等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方。
图形的相似错例分析图形的相似是初中几何的重点内容之一。
许多同学由于对图形的相似理解不透彻,在解决问题时出错较多。
为帮助同学们在解题时减少失误,本文就易错情况做简要例析。
1.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ） A、1个B 、2个 C 、3个 D 、4个错解：选D正解：左图中的两个矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形和直角三角形相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；两个正五边形相似，因为它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，符合相似的条1. 比例的基本性质件． 故选C ．点拨：边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． A 、10 B 、8 C 、-8 D. D、±8 错解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab=64， 解得c=±8，正解：∵线段c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab=64， 解得c=±8，又∵线段是正数， ∴c=8． 故选B ． 在某幅地图上，AB 两地距离8.5cm ，实际距离为170km ，则比例尺为（ A 、1：20B 、1：20000C 、1：200000D 、1：2000000 解：∵170KM=17000000CM ，∴比例尺=8.5：17000000=1：2000000． 故选D ． 5.如图，在梯形ABCD 中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3， 如果直线AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、A 、2B 、-1C 、2或-1D 、不存在2.错解：正解：点拨：应错解：正点拨：4：B、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有几 个？错解：这样的点P 有 4个。
初三数学相似三角形典例及练习(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。
理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1。
比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。
平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形 同步练习(含答案)
4．5相似三角形一、目标导航1．相似三角形的定义:三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形； 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 二、基础过关1．如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________．2．若△ABC ∽△A /B /C /相似，一组对应边的长为AB =3 cm ，A /B /= 4 cm ，那么△A /B /C /与△ABC 的相似比是________．3．若△ABC 的三条边长的比为3∶5∶6，与其相似的另一个△A 'B 'C '的最小边长为12 cm ，那么△A 'B 'C '的最大边长是________．4．两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是006040、，那么另一个三角形的最大角为 度，最小角为 度．三、能力提升5．已知△ABC 的三条边长分别为3 cm ，4 cm ， 5 cm ，△ABC ∽△A /B /C /，那么△A /B /C /的形状是______，又知△A /B /C /的最大边长为20 cm ，那么△A /B /C /的面积为________． 6．如图，△ABC ∽△ADE ，AE =3，EC =5，DE =1．2，则BC 的长度为 ． 7．下列说法正确的是（ ）A ．相似三角形一定全等B ．不相似的三角形不一定全等C ．全等三角形不一定是相似三角形D ．全等三角形一定是相似三角形 8．下列命题错误的是（ ）A ．两个全等的三角形一定相似B ．两个直角三角形一定相似C ．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比D ．相似的两个三角形不一定全等 9．若△ABC ∽△DEF ，它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的 是（ ）A ．3AB =4DE B ．4AC =3DEC ．3∠A =4∠D D ．4（AB +BC +AC ）=3（DE +EF +DF ） 10．若△ABC ∽△A /B /C /，∠A =55°，∠B =100°，那么∠C /的度数是（ ） A ．55°B ．100°C ．25°D ．不能确定6题EDCBA11．把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍得到△A ′B ′C ′，下列结论不成立的是（ ） A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′ B ．△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等 C ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为41D ．△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为3112．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别是1和3，如果△ABC 与△A 'B 'C '相似，那么△A 'B 'C '的第三边长应该是 ( ) A ．2 B ．22 C ．26 D ．33 13．一个钢筋三角架三 长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有 ( )A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种14．△ABC 中，AB =12 cm ，BC =18 cm ，AC =24 cm ，若△A /B /C /∽△ABC ，且△A /B /C /的周长为81 cm ．求△A /B /C /各边的长．四、聚沙成塔如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF ．若△ABC 的边长为a ． ⑴△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ ⑵分别求出这两个三角形的面积．⑶这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？FEDCBA参考答案1．全等；2．4:3；3．24cm ；4．80，40；5．直角三角形，96cm 2；6．3.2；7．D ；8．B ；9．D ；10．C ；11．C ；12．A ；13．B ；14．A /B /=18cm ，B /C /=27cm ，A /C /=36cm ；15．⑴相似，1:2．⑵分别为43a 2和163a 2． ⑶面积之比等于边长之比的平方．。
浙教版九年级数学上册同步练习(PDF)版)：4.5 相似三角形的性质及其应用
．
12. 同一时刻阳光下，哥哥的身高是 1.68m，在地面上的影子长是 2.1m，同一时刻测得弟弟的影子 m． 为， ������������ ， ������ʹ������ʹ 分别是它们的对应角平分线， ������������ = 6cm ，则
14. 如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，旗杆顶端的 影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 8m ，与旗杆相距 22m ，旗杆的高度 为 m．
A. ������1
B. ������2
C. ������3
D. ������4
9. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为 1m 的竹竿的影长是 0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影 子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为 1.2m，又测得地面的影长为 2.6m，请你 帮她算一下，树高是
A. 3
4
B.
24 5
C. 3 或
4
24 5
D. 3 或 )
2
12 5
4. 小明在测量楼高时，先测出 楼房落在地面上的影长 ������������ 为 15 米（如图所示），然后在 ������ 处竖立 一根高 2 米的标杆，测得标杆的影长 ������������ 为 3 米，则楼高为 (
A. 10 米
A. 2 影长度 ( )
1
B. 3
1
C. 8
1
D. 9
1
7. 如图，路灯距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从点 ������ 处沿 ������������ 所在的直线行走 14m 到点 ������ 时，人
北师大版九年级数学上册--第四章4.5《相似三角形判定定理的证明》同步练习题(含答案)
4.5《相似三角形判定定理的证明》同步练习一、选择题1.下列语句正确的是( )A.在△ABC 和△A ´B ´C ´中,∠B=∠B ´=90°,∠A=30°,∠C ´=60°,则⊿ABC 和⊿A ´B ´C ´不相似;B.在⊿ABC 和⊿A ´B ´C ´中,AB=´5,BC=7,AC=8,A ´C ´=16,B ´C ´=14,A ´B ´=10,则⊿ABC ∽⊿A ´B ´C ´;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.如图，在正三角形ABC 中，D 、AC AD E 分别在AC 、AB 上，且＝31，AE ＝BE ，则有（ ） A.△AED ∽△BED B.△AED ∽△CBD C.△AED ∽△ABD D.△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm5．如图33－7，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( )A ．∠BAD ＝∠CAEB ．∠B ＝∠D C.BC DE ＝AC AE D.AB AD ＝AC AE图33－7 图33－86．如图33－8，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形 （填相似或不相似）8. 如图，平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________。
九年级数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题教师版例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．相似三角形 一，比例线段 1， 成比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如b a =dc（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
4.4相似三角形的定义及判定（第1课时）同步练习（含答案）
4探索三角形相似的条件第1课时利用两角的关系判定三角形相似关键问答①相似三角形的性质有哪些？1．①如图4－4－1，已知△ABC∽△DEF，则x等于()图4－4－1A．40°B．60°C．80°D．80°或60°2．如图4－4－2，D，E，F，G四点在△ABC的边上，其中DG与EF相交于点H.若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列哪一组三角形相似()图4－4－2A．△BGD，△CEF B．△ABC，△CEFC．△ABC，△BGD D．△FGH，△ABC3.如图4－4－3，已知△ABC与△ADE相似，且∠B＝∠ADE，则下列比例式正确的是()图4－4－3A．AD∶AC＝DE∶BC B．AE∶BE＝AD∶DCC．AE∶AB＝AD∶AC D．AE∶AC＝AD∶AB命题点1利用两角分别相等判定两三角形相似[热度：93%]4．②如图4－4－4，P为线段AB上一点，AD分别交BC，PC于点E，G，BC交PD于点F，∠CPD＝∠A＝∠B，则图中相似三角形有()图4－4－4A．1对B．2对C．3对D．4对方法点拨②根据相似三角形的定义可知：若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″，即三角形相似具有传递性．5．③·株洲如图4－4－5所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.图4－4－5解题突破③由正方形和等腰直角三角形我们可以得到哪些线段相等，哪些角相等？命题点2根据两三角形相似进行计算[热度：90%]6.④[·毕节]如图4－4－6，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC ＝2 2，AB＝3，则BD＝________．图4－4－6方法点拨④在写相似表达式时要像写全等表达式那样，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样也有利于正确写出边的比例式，保证结果正确．7．⑤将三角形纸片ABC按如图4－4－7所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D 处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则CF的长是________．图4－4－7易错警示⑤注意根据对应顶点分类讨论.8.⑥·六盘水如图4－4－8，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.图4－4－8解题突破⑥作平行线构造“A”字形图的相似三角形.命题点3有关相似三角形的存在性问题[热度：80%]9．⑦如图4－4－9，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F.(1)求证：△PF A∽△ABE.图4－4－9(2)当点P在射线AD上运动时，设P A＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．易错警示⑦注意x的值可能不止一个．10．⑧如图4－4－10①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝2时，如图②，求OFOE 的值；(3)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OFOE的值．图4－4－10方法点拨⑧求线段的比时常借助相似三角形的性质，当比例式中的线段不能构成相似形时，可考虑利用等量代换的方法求解．详解详析【关键问答】①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．1．C[解析] ∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E.∵∠B＝80°，∴∠E＝x＝80°.故选C.2．B[解析] ∵∠ABC＝∠EFC＝70°，∴EF∥AB，∴△ABC∽△EFC，故B正确；在△BDG中，∠B＝70°，∠DGB＝40°，则∠GDB＝70°；在△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝60°，则∠A＝50°，∴△ABC，△CEF与△BGD不相似，故A，C错误；∵EF∥AB，∴△FGH∽△BGD；∵△BGD与△ABC不相似，∴△FGH与△ABC不相似，故D错误．故选B.3．D[解析] 由∠B＝∠ADE可知△ABC∽△ADE，∴AE∶AC＝AD∶AB.故选D.4．C[解析] 在△PCF和△BCP中，∵∠CPF＝∠B，∠C为公共角，∴△PCF∽△BCP；在△APD和△PGD中，∵∠GPD＝∠A，∠D为公共角，∴△APD∽△PGD；∵△APD∽△PGD，∴∠APD＝∠PGD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠A＝∠B，∴△AGP∽△BPF.共有3对相似三角形．故选C.5．证明：(1)由正方形ABCD及等腰直角三角形DEF，可知∠ADC＝∠EDF＝90°，AD ＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF.在△DAE和△DCF中，DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∴△DAE≌△DCF.(2)延长BA交ED于点M，如图所示．∵△DAE≌△DCF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.又∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.6.83[解析] ∵∠BCD＝∠A，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝ABBC，即2 2BD＝32 2，∴3BD＝8，∴BD＝83.7.127或2[解析] 因为△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，所以FD＝CF.设CF＝x，则BF＝4－x，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则FDBF＝ACBC，即x4－x＝34，解得x＝127；①若∠BFD＝∠A，则FDBF＝ACAB，即x4－x＝1，解得x＝2.综上所述，CF的长为127或2.8.169[解析] 如图，过点O作OM∥AD交AB于点M.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴MO是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝12AB＝52，MO＝12BC＝4.∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴AEME＝AFMO，即22＋52＝AF4，∴AF＝169.9．[解析] (1)在△PF A与△ABE中，易得∠P AF＝∠AEB及∠PF A＝∠ABE＝90°，故可得△PF A∽△ABE；(2)分两种情况列出关系式．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，∴∠P AF ＝∠AEB . 又∵∠PF A ＝∠ABE ＝90°， ∴△PF A ∽△ABE .(2)若△EFP ∽△ABE ，，如图① 则∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ， ∴四边形ABEP 为矩形， ∴P A ＝BE ＝2，即x ＝2；若△PFE ∽△ABE ，如图②， 则∠PEF ＝∠AEB .∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ， ∴PE ＝P A .∵PF ⊥AE ，∴F 为AE 的中点． ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝2 5， ∴EF ＝12AE ＝ 5.∵PE AE ＝EF EB ，即PE 2 5＝52， ∴PE ＝P A ＝5，即x ＝5. ∴满足条件的x 的值为2或5.10．[解析] (1)要求证△ABF ∽△COE ，只要证明∠BAF ＝∠C ，∠ABF ＝∠COE 即可． (2)作OH ⊥AC ，交BC 于点H ，易证△OF A 和△OEH 相似，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．(3)同(2)可得，OFOE＝n .解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C .∵OE ⊥OB ，∴∠BOA ＋∠COE ＝90°. 又∵∠BOA ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠COE . ∴△ABF ∽△COE .(2)如图，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH ∥AB .由(1)得∠ABF ＝∠COE ，∠BAF ＝∠C ， ∴∠AFB ＝∠OEC ， ∴∠AFO ＝∠HEO .又∵∠BAF ＝∠C ，∠BAF ＋∠F AO ＝∠C ＋∠EHO ＝90°， ∴∠F AO ＝∠EHO ，∴△OF A ∽△OEH ，∴OF OE ＝OAOH .又∵O 为AC 的中点，OH ∥AB ， ∴OH 为△ABC 的中位线， ∴OH ＝12AB ，OA ＝OC ＝12AC .而AC AB ＝2，∴OA OH ＝2，∴OF OE＝2. (3)OF OE＝n .。
初中数学经典相似三角形练习题附参考答案
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30小题）1．如图，在△中，∥，∥，求证：△∽△．2．如图，梯形中，∥，点F在上，连与的延长线交于点G．（1）求证：△∽△；（2）当点F是的中点时，过F作∥交于点E，若6，4，求的长．3．如图，点D，E在上，且∥，∥．求证：△∽△．4．如图，已知E是矩形的边上一点，⊥于F，试说明：△∽△．5．已知：如图①所示，在△和△中，，，∠∠，且点B，A，D在一条直线上，连接，，M，N分别为，的中点．（1）求证：①；②△是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点P．求证：△∽△．6．如图，E是▱的边延长线上一点，连接，交于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△和△的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠°，；（2）判断△与△是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形的边长3，6．某一时刻，动点M从A点出发沿方向以1的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿方向以2的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△的面积等于矩形面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形中，若∥，，对角线、把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△中，D为上一点，2，∠45°，∠60°，⊥于E，连接．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△与△的面积之比．11．如图，在△中，，M为底边上的任意一点，过点M分别作、的平行线交于P，交于Q．（1）求四边形的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于的什么位置时，四边形为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形的边上的点，且3，M是的中点，试说明：△∽△．13．如图，已知梯形中，∥，2，8，10．（1）求梯形的面积S；（2）动点P从点B出发，以1的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作⊥于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线将梯形的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形，长12，宽8，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A 出发，以1的速度沿方向运动，同时，Q自点B出发以2的速度沿方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△相似？15．如图，在△中，10，20，点P从点A开始沿边向B点以2的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△与△相似．16．如图，∠∠90°，，2．问当的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形中，M是的中点，能否在边上找一点N（不含A、B），使得△与△相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△中，∠90°，8，6，点Q从B出发，沿方向以2的速度移动，点P从C出发，沿方向以1的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△相似？19．如图所示，梯形中，∥，∠90°，7，2，3，试在腰上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△和△是两个等腰直角三角形，∠∠90°，△的顶点E位于边的中点上．（1）如图1，设与交于点M，与交于点N，求证：△∽△；（2）如图2，将△绕点E旋转，使得与的延长线交于点M，与交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形中，15，10，点P沿边从点A开始向B以2的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以1的速度移动．如果P、Q同时出发，用t （秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A点，沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80的竹竿的影长为60．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200，影长为156．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离8.7m，窗口高1.8m，求窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高，灯柱的高′P′，两灯柱之间的距离′．（1）若李华距灯柱的水平距离，求他影子的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S123．（1）如图②，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△∽△，15，9，5．求．29．已知：如图△∽△，若3，4．（1）求、的长；（2）过B作⊥于E，求的长．30．（1）已知，且34z﹣240，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△中，∥，∥，求证：△∽△．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
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4.5 相似三角形 同步练习
课内练习
理解相似三角形的意义，会找相似三角形的对应边及对应角；能进行简单的有关相似三角形对应边及对应角的计算. 一、选择题
1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )
A.55°
B.100°
C.25°
D.30°
2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )
A.
BC DE AB AE AC AD == B.BC DE
AC AE AB AD == C.
BC DE AB AC AE AD == D.BC
DE
EC AE AB AD ==
图1 图2
3.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3
B.3∶2
C.2∶3
D.3∶5
4.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )
A.1.5
B.3
C.2
D.1
5.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( ) A.
2
2
B.2
C.2
D.22
二、填空题
6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.
7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则
AB
AD
=________=________.
图3
8. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________. 9. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，
A ′
B ′=8 cm ，A
C =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________，A ′C ′=________，BC =________.
10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________. 三、解答题
11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.
(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.
(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.
12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.
13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.
*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明
EC
AD
EF AE 吗？
图4
参考答案
一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C
二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC 7.
AC AE BC
DE
8.全等 9.
5
8
6.4 cm 3.75 cm 10.45 三、11.(1)相似 (2)相似
12.A ′B ′=20 cm ，B ′C ′=263
2
cm 13.30 cm 14.略
课外练习
一、请你填一填
（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.
（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.
（3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________.
（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.
二、认真选一选
（1）下列命题错误的是（）
A.两个全等的三角形一定相似
B.两个直角三角形一定相似
C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D.相似的两个三角形不一定全等
（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）
A.3AB=4DE
B.4AC=3DE
C.3∠A=4∠D
D.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）
（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）
A.55°
B.100°
C.25°
D.不能确定
（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）
A.△ABC∽△A′B′C′
B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等
1
C.△ABC与△A′B′C′的相似比为
4
1
D.△ABC与△A′B′C′的相似比为
3
三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，△A′B′
C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.
四、好好想一想
如图4—5—1：分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a .
（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积.
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
图4—5—1
参考答案 一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm 2 二、（1）B （2）D （3）C （4）C 三、解法1：设△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为x ，根据题意得：BC
C B AC C A AB B A '
'=''='' =x 将AB =12，BC =18，AC =24代入上式可得： A ′B ′=12x ,B ′C ′=18x ,A ′C ′=24x ∵△A ′B ′C ′的周长为81 cm ∴12x +18x +24x =81,解得：x =2
3
∴A ′B ′=12x =18（cm ）,B ′C ′=18x =27（cm ） A ′C ′=24x =36（cm ）
解法2：由已知得△ABC 的周长为12+18+24=54（cm ） 所以△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比等于81∶54即3∶2 则
2
3
=''=''=''AC C A BC C B AB B A ，
∴
2
3
241812=''=''=''C A C B B A ∴A ′B ′=18（cm ）,B ′C ′=27（cm ）,A ′C ′=36（cm ） 四、（1）根据三角形中位线定理得DE =21a ,EF =DF =2
1a 所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为2
1
（2）△ABC 的面积为2
1AB ·A E =2
1
a ·2224
3)21(a a a =
- △DEF 的面积为2
1·2
1
a ·16
3)41()21(22=
-a a a 2 （3）S △DEF ∶S △ABC =
163a 2∶43a 2=4
1∶1=1∶4 这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.。