北师大版初中数学知识点分类数与式

数与式一、有理数及其运算（七年级上册第二章）1. 数怎么不够用了①借助生活中的实例，理解有理数的意义，体会负数引入的必要性。

②会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量。

⑴正数与负数的意义：像5，，1/2，…这样的数叫做正数，它们都比0大；在正数的前面加上“－”号的数叫做负数，如，－10，－3，…0既不是正数，也不是负数。

正数与负数的引入，是为了表示生活中相反意义的量。

引入负数后，“0”的意义不仅仅表示“没有”了，它还是“正数”“负数”的分界线，是“基准”。

⑵有理数的意义：正整数、零、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数，整数与与分数统称为有理数。

2. 数轴①通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数。

②借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系。

③能用数轴比较有理数的大小。

⑴数轴：原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

数轴是一个非常有用的数学工具，它使数与数轴上的点建立起对应关系，可以用它提示数与形之间的内在联系，是数形结合的基础。

⑵相反数：如果两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

特别地，零的相反数是零。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

⑶有理数大小的比较：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3. 绝对值①助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，比较两个负数的大小。

②应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。

⑴绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

例如，+2的绝对值等于2，记作|+2|=2，－3的绝对值等于3，记作|－3|=3。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0绝对值是0。

⑵负数大小的比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

负数大小的比较，除了用绝对值的方法比较以外，还可以运用数轴进行比较。

4. 有理数的加法①经历探索有理数加法法则和运算过程，理解有理数的加法法则和运算律；②能熟练进行整数加法运算，并能运用运算律简化运算。

⑴有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

⑵在有理数运算中，加法的交换律、结合律仍然成立。

a 、b 、c 为任意有理数。

加法的交换律：a b b a +=+；加法的结合律：）（）（c b a c b a ++=++。

5. 有理数的减法①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则；②能熟练进行整数减法的运算。

有理数减法的法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

6. 有理数的加减混合运算①能进行包括小数或分数的加减混合运算；②能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。

在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算。

7. 水位的变化能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。

8. 有理数的乘法①经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察归纳、猜测、验证等能力；②会进行有理数的乘法运算，能运用乘法律简化计算。

⑴有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；②任何数与0相乘，积仍为0。

几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由负因数的个数确定：当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负数有偶数个时，积的符号为正。

只要有一个因数为0，积就为0。

⑵倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。

在有理数运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律仍然成立。

a 、b 、c 为任意有理数。

乘法的交换律：a b b a ⨯=⨯乘法的结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯乘法对加法的分配律：c b a c b a ⨯⨯=+⨯)(9. 有理数的除法①理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算；②会求有理数的倒数。

有理数除法的法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何非0的数都得0。

注意：0不能作除数。

除以一个数等于乘于这个数的倒数。

10. 有理数的乘方①在现实背景中，理解有理数乘方的意义；②能进行有理数乘方运算；③通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。

乘方的概念一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n na a a a a =⨯⋯⨯⨯。

这种求n 个相同因数a 的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，an 读作a 的n 次幂（或a 的n 次方）。

11. 有理数的混合运算①掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的运算；②在运算中合理地运用运算律简化运算。

有理数混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。

如果有括号，先算括号里面的。

有理数的混合运算中，可以合理地运用加法律、乘法律简化运算。

12. 计算器的使用①会使用计算器进行有理数加、减、乘、除、乘方运算；②经历运用计算器探求规律的活动，发展合情合理的推理能力；③能运用计算器进行实际问题的复杂计算。

二、字母表示数（七年级上册第三章）1. 字母能表示什么①经历探索规律并用代数式表示规律的过程；②能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式；③体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。

字母可以表示任何数。

如，我们可以用字母表示数的运算律；在面积公式中，我们可以用字母表示圆的半径，长方形的长宽高等。

用字母表示数，渗透了从具体数向字母过渡的抽象概括的思维方法，形式简单，使用方便。

①在具体情境中，进一步理解字母表示数的意义；②能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感；③在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义。

代数式：像4+3（x－1），a+b，ab，2(m+n)，a3，s/t等式子都是代数式。

单独一个数或一个字母也是代数式。

根据问题的要求，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。

注意代数式的书写要求：字母与字母相乘，数字与字母相乘（数字应写在前面），乘号通常写作“·”或者省略不写，如x·y，2a，ab等。

但为避免误会，数与数相乘时仍用“×”号，不宜用“·”号，更不能省略。

3ab。

带分在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来书写，如3ab÷5写成5数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数。

实际问题中需用单位时，若代数式的最后结合含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位。

如（x+y）天。

3. 代数式求值①会求代数式的值；②会利用代数式求值推断代数式所反映的规律；③能解释代数式值的实际意义。

4. 合并同类项①在现在情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；②在具体情境中了解合并同类项的法则，能进行合并同类项运算。

在代数式中，字母前面的数叫做它的系数。

代数式ab－mn－3πn2，是ab，－mn，－3πn2三项的和，系数分别是1，－1，－3π。

代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

把同类项合并成一项就叫做合并同类项。

在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

①在具体情境中体会去括号的必要性，能运用运算律去括号；②总结去括号的法则，并能利用法则解决简单的问题。

括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号不改变； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

6. 探索规律经历探索数量关系、运算符号表示规律、通过运算验证规律中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。

三、整式的运算（七年级下册第一章）1. 整式在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感；了解整式产生的背景了整式的概念，能求出整式的次数。

像h x ，，，b 225316等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式。

几个单项式的和叫做多项式。

单项式与多项式统称为整式。

一个单项式中，所有字母的指数．．和．叫做这个单项式的次数，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

2. 整式的加减①经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；②会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

进行整式加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

3. 同底数幂的乘法①经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理地表达能力；②了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即。

n m a a a n m n m ）,(都是正整数+=⋅4. 幂的乘方与积的乘方①经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力；②了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即）,()(都是正整数n m a a mn n m =积的乘方等于每个因式的乘方的积。

)()(是正整数n b a ab n n n =5. 同底数幂的除法①经历探索同底数幂的除法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；②了解同底数幂的除法，并能解决一些实际问题。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

)＞,,0(n m ，n m a a a a n m n m 且都是正整数≠=÷-我们规定：),0(1);0(10是正整数p a aa a a p p ≠=≠=- 6. 整式的乘法①经历探索整式乘法运算法则的过程，会进行简单的整式乘法运算；②理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配率的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语方表达能力。

⑴单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

⑵单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑶多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

7. 平方差公式①经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；②会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；③了解平方差公式的几何背景。

平方差公式：22))((b a b a b a -=-+。

两数和与这两数差的积，等于它父的平方差。

8. 完全平方公式①经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；②会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；③了解公式的几何背景。