工程电磁场第二章
工程磁场学第2章(2)
P( r' ) dV' R
1 4 0
' P( r ) 1 dV' V ' R 4 0
S'
P( r ) en dS' R
令
p P
1 40
极化电荷体密度
p P en
1
极化电荷面密度
(r )
p (r ' )
R
V'
dV '
40
E的通量仅与闭合面S
所包围的净电荷有关。
闭合曲面的电通量
S面上的E是由系统中 全部电荷产生的。
闭合面外的电荷对场的影响
根据 E 与 的微分关系，试问静电场中的某一点
0 E 0
E 0 0
？ ？
( (
) )
2.3.
导体和电介质
1. 静电场中导体的性质 导体内电场强度E为零，静电平衡； 导体是等位体，导体表面为等位面； 电场强度垂直于导体表面； 电荷分布在导体表面，且 E
2.4
电介质中的电场
E
a）高斯定律的微分形式 （真空中）
0
E
（电介质中）
E
p 0
代入 p P,得
1 ( P) 0
D 0 E P
( 0E P)
定义电位移矢量（ Displacement）
则有
( 2 coser sin e )
等位线方程（球坐标系）：
p cos C， r C' cos 2 40 r
电力线微分方程（球坐标系）：
dr rd Er E
工程电磁场(清华大学出版社)课后题解
l 2 + 4l 25 a 2 ⎭ ⎭ 2l α 0 ⎝ 0 0 2x0 r 0r 0l 0 第二章 静电场(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑） 2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为Q 的点电荷。
问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。
解 如图建立坐标系，可得q ⎛ 12 1 ⎫ Q 2 1 E x e x = 4πε + 2 ⨯ 2a 2 ⎪e x + 4πε ⨯ 2 ⨯ a 2 / 2 e x q ⎛ 1 2 1 ⎫ Q 2 1 E y e y =+ 4πε 0 ⎝ 2 ⨯ 2a 2 ⎪e y + 4πε ⨯ 2 ⨯ a 2 / 2 e y ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫据题设条件，令 q 1 + ⎪ + Q 4 ⎪ = 0 ，2 ⎝ 解得 Q = - q(1 + 2 2)4⎭ ⎝ ⎭2- 有一长为2l ，电荷线密度为τ 的直线电荷。
1） 求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2） 求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。
解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于 x 轴上l ~ 3l 之间，则 x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为d E = τd x (-e )， d ϕ = τd x4πε 0 x 4πε 0 x由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为 E (0) = 3l d E3lτd x(- e ) =τ(- e )⎰l⎰l4πε 0xx6πε lxϕ (0) = ⎰3ld ϕ = ⎰3lτd x =τln 3ll4πε 0 x 4πε 02）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于 y 轴上- l ~ l 之间，则 y 处的电荷微元在点(0,2l ) 处产生的电场强度和电位分别为d E = τd y (-e )， d ϕ = τd y4πε 2r 4πε 0 r 式中， d y = 2l d θ cos 2 θ ， r = ， sin α = l cos θ = 1 ，分别代入上两式，并考虑 对称性，可知电场强度仅为 x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为 E (2l ,0) = α = 2eα τd ycos θ = τe x cos θd θ = τe x sin α = τe x 2⎰0 d E x ⎰0 4πε 2 4πε ⎰0 4πε 0l 4 5πε 0l ϕ (2l ,0) = α ϕ = τ α d θ = τ ⎡ ⎛ 1 tan -1 1 + π ⎫⎤ = 0.24τ 2⎰0 d 4πε ⎰0co s θ 2πε ln ⎢tan 2 2 4 ⎪⎥ πε 0 0 ⎣ ⎝ 2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ 。
工程电磁场第八版课后答案第02章汇编
So
10 9 25 ⇥ ( E=
4⇡✏0
3ax + 4ay (41)1.5
4az )
+
60
⇥
(4ax 2ay (45)1.5
+
5az )
= 4.58ax 0.15ay + 5.51az
b) At what point on the y axis is Ex = 0? P3 is now pat (0, y, 0), so R13 = 4ax +p(y + 2)ay 7az and R23 = 3ax + (y 4)ay + 2az. Also, |R13| = 65 + (y + 2)2 and |R23| = 13 + (y 4)2.
[z
1 (d/2)]2
+
[z
+
1 (d/2)]2
az
V/m
(2)
b) find the electric field everywhere on the x axis: We proceed as in part a, except that now r = xax.
Eq. (1) becomes
q ET (x) = 4⇡✏0
2qd az
4⇡✏0 [x2 + (d/2)2]3/2
14
2.7. A 2 µC point charge is located at A(4, 3, 5) in free space. Find E⇢, E , and Ez at P (8, 12, 2). Have
ET (z)
=
q 4⇡✏0
[z
1 (d/2)]2
工程电磁场第二章
29
R远大于d
电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规律有明显不同。点电荷 的电位与R成反比，而电偶极子的电位与R2成反比。
30
31
3.电偶极子的电场强度 在球坐标系中，电偶极子的电场强度
32
33
2 .5导体和电介质 1. 静电场中的导体 在静电平衡条件下，导体内部电位的梯度为零，导体内部电位各处相等，即导 体是一个等电位体，导体表面是一个等位面。导体外表面电场强度只有法向分量， 其切向分量为零，即导体外表面上电场强度的方向与外表面垂直。
2.电位与电场强度的关系 由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分的运算
由电场强度计算电位，是相反的运算，也就是求积分的运算。考虑电场强度的线积分
Q点电位已知
Q点为参考电位， 且=0，则
这就是说，P点的电位等于电 场强度从P点到参考点的线积 分。电场强度是单位电荷受 到的电场力。所以，P点的电 位表示将单位电荷从P点移动 到参考点，电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏，V。
体密度
电荷元产生的电场强度与点 电荷相同，是一个无穷小的 量，积分可得整个源区所有 电荷产生的电场强度
5
线电荷、面电荷、体电 荷产生的电场强度
例2-1-1真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。求线段外任一点P的 电场强度。 解 根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。
坐标的源点位于线段的中心，z轴与线段重合。场点P 的坐标为（r, α, z），取电荷元τdz’，源点坐标为 （0, α’, z’）
可见，R与(x, y, z) 和(x`, y`, z`)都有关系。当源点不变，场点变化时， 的梯度表示为 。当场点不变，源点变化时， 的梯度表示为
工程电磁场高斯定律2
导体等势是导体体内电场强 静电平衡条件
度处处为零的必然结果
的另一种表述
二、电介质及其极化 polarization
1.极化介质所产生的电位
无外场时： +-
有电场时: +
-
p ql
电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度,排列愈 有序说明极化愈烈
单个电偶极子电位：
j
p=
qd cos q =
单位
c m2
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P e0E e —电介质的极化率
体积 V 内电偶极子产生的电位
矢量恒等式：
ò j = 1
4πe0
V
'
P(r')×eR R2
dV
'
(uF ) u F F u
3.极化强度 P与极化电荷的关系
极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为 p 的
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r02
ln 3
2pe1
r 1
习题：真空中无限大的带电平
面，面密度为s ，求距平面x
处的电场强度。P5，例1-2
解: 真空中的高斯定律
P
òÑE ?ds
Q e0
丁君版工程电磁场与电磁波答案 第二章 电磁学基本理论.
2π 0
dθ
1 0
ρS • r • 4πε0 r2 +1
1 dr r2 +1
∫ ∫ = 2π dθ 1 5r ×10-9 • r • 1 dr
0
0 4πε0 r2 +1 r2 +1
∫ = ρS 1
r2
dr
2ε0 0 (r2 +1) r2 +1
= ρS (ln(1+ 2ε 0
2
)
−
1 2
)az
=90π
a 2
⎞ ⎟⎠
r2( t ) =
d
2
+
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞2 ⎟⎠
+
2
cos(
ωt
)⋅
d
⋅
⎛ ⎜⎝
a 2
⎞ ⎟⎠
∴
ψ
=
b 2π
μ0 I
ln
r2 (t) r1 (t )
(2) 求 εin
ε in
= − ∂ψ ∂t
= − bμ0I 2π
1 ( r2
dr2 (t) − 1 dt r1
dr1 (t ) ) dt
10z ⋅ dz (4 − z)2
az
∫ + 10−9
4πε 0
0 −2
−10 (4 −
zdz z)2
az
=
10−8 4πε 0
(− ln 2 +1− ln
2 3
−
1 )
3
⋅
az
=
5 ×10−9 2πε 0
(ln
3 4
+
2 3
)
⋅
az
=
工程电磁场答案杨宪章第二章期末答案.docx
工程电磁场答案杨宪章第二章期末答案问：洋务派的中国梦是力主通过学习西方先进技术,建设国家,抵御外海。
()答：错误问：兵家追求的是“不战而屈人之兵”是出自《谋攻篇》。
（）答：正确问：坚定不移地坚定一个高的目标,即使明知无法实现也要坚持。
这就是对目标侵蚀的克服。
答：×问：全国常见的关帝庙是纪念关羽的,是老百姓为表对他的崇敬而自发建造的。
()答：√问：月球与地球质量比较接近,它们的质量比是( )。
答：1:81问：中国共产党的根本组织原则是：_______。
答：民主集中制问：人一辈子可能从事很多职业，其中某项一辈子永远都不会放弃的职业，称为（）答：职业锚问：以下学者中,谁偏向从“学”的角度阐发“知”,把“知”和“学”紧密联系起来。
答：D问：执行元件的运行速度取决于单位时间内进入执行元件的流量。
答：√问：如题26：问题的初始基本可行解为：答：(0，0，6，5)T问：《大武》乐章《周颂·赉》篇是以（）的口吻来唱的。
答：周武王问：（）年日本首个世界博览举办。
答：1970年问：《一只特立独行的猪》一文中，真话与假话掺在一起，这是一种文学叙事手法。
答：正确问：园林中，（）是“以墙为纸，以石为绘”的装饰艺术。
答：壁山问：以下哪一项，最符合库利关于人性的观点（ )答：人性并非与生俱来，是在与同伴的交往中获得，也会在孤立状态下丧失；问：在收纳纸本绘画的时候，温度应该控制在14-24℃之间，湿度控制在45%-60%之间。
答：对问：福建海上丝绸之路对世界文明的影响：答：影响了世界市场的格局影响了世界的文化面貌影响了世界的生活品质问：下列项目属于分项工程的有( )。
答：D问：“人民民主是社会主义的生命”。
因为社会主义民主（）。
答：能充分表达民意，实行科学决策，有利于党和政府决策的正确性和科学性有利于充分调动人民群众的积极性和创造性，推动社会主义建设有利于化解人民内部矛盾，促进社会稳定，保障安定团结的政治局面问：“人民民主是社会主义的生命”。
工程电磁场(冯慈璋)书后思考题
工程电磁场(冯慈璋)书后思考题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1—1 试回答下列各问题：(1)等位面上的电位处处一样，因此面上各处的电场强度的数值也句话对吗，试举例说明。
L』J米处吧议g＝u，囚此那里Bg电场C＝一vg＝一V 0＝0。
对吗?(3)甲处电位是10000v，乙处电位是10v故甲处的电场强度大于乙处的电场强度。
对吗?答此三问的内容基本一致，均是不正确的。
静电场中电场强度是电位函数的梯度，即电场强度E是电位函数甲沿最大减小率方向的空间变化率。
P的数值大小与辽的大小无关，因此甲处电位虽是10000v，大于乙处的电位，但并不等于甲处的电场强度大于乙处的电场强度。
在等位面上的电位均相等，只能说明沿等位面切线方向，电位的变化率等于零，因此等位面上任一点的电场强度沿该面切线方向的分量等于军，即fl＝0。
而电位函数沿等位面法线方向的变化宰并不一定等于零，即Zn不一定为零，且数值也不一定相等。
即使等位面上g；0，该面上任一点沿等位面法线方向电位函数的变化串也不一定等于零。
例如：静电场中导体表面为等位面，但导体表面上电场强度召垂直于导体表面，大小与导体表面各点的曲率半径有关，曲率半径越小的地方电荷面密度越大．电场强度的数值也越大o1—2 电力线是不是点电荷在电场中的运动轨迹(设此点电荷陈电场力外不受其它力的作用)?答电力线仅表示该线上任—点的切线方向与该点电场强度方向一致，即表示出点电荷在此处的受力方向，但并不能表示出点电荷在该点的运动方向，故电力线不是点电荷在电场中的运动轨迹。
1—3 证明：等位区的充要条件是该区域内场强处处为零。
证明若等位区内某点的电场强度不为零，由厦；一v9可知v9乒0．即此点的电位函数沿空间某方向的空间变化率不为零，则在此方向上电位必有变化．这与等位区的条件矛盾。
若等位区内处处电位相等，则等位区内任—数的空间变化率为零，即仟·点的电场强度为零。
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q p P dS
S
4、静电场中电介质的特点
1）电介质内的电场为极化电场，方向与外电场相反。 2）电介质被极化后，产生面、体分布的极化电荷。 3）电介质中的极化电荷与电极化强度之间具有如下关系：
q p P dS
S
6
2.6 介质中的高斯定律
电介质在静电场的作用下会发生极化现象，产生极化电荷。 极化电荷也会产生电场，称为附加电场（或极化电场），它总 是削弱介质中的原电场。介质中的静电场可以归结为自由电荷 与极化电荷在真空中共同产生的静电场。 在介质内部，穿过任一闭合面S的电场强度通量就可改为
d
2、静电场对电介质的影响 在无外电场情况下，这些电偶极子杂 乱无章地排列着，导致合成电矩为零， 对外呈电中性。 电介质的分子
4
-q -
电介质在外电场的作用下，原先杂乱无章排列的电偶极子发 生转动，方向最终趋于相同，使得合成电矩不再为零，对外 显现电性。 +++ 在电场作用下，介质中的束缚电荷发生 - - - + + 了位移，这种现象称为介质的极化。这 E外 + + 些电偶极子在周围会产生电场，这些电 场被称为极化电场。
10
且介质的构成方程 D E (在均匀且各向同性线性介
例1： 半径为a的导体球带电量为q, 球外包一层介质，其厚 度为b，介电常数为ε。 求导体球的电位。 分析：导体球是等位体球面为等位面。 由于结构对称，其电荷在球面上的 分布一定也是对称的。电场强度与 电位移矢量也一定是对称分布、径 向。 解：根据高斯定理可列出
静电场中的电介质分子
为了表征介质极化的程度，引入电极化强度矢量 P ，大多数 介质在电场作用下发生极化时，其 P 与介质中的合成电场 强度 E 成正比，即 介质的电极化率
P e 0 E
上式仅适用于均匀且各向同性的线性介质。见P25
5
这种因极化后产生的面、体分布的束缚电荷统称为极化电荷。
E (r )
q 4r
2
er
q 4r
9
2.7 静电场的基本方程
静电场的基本规律可归纳为如下两组方程：
l E dl 0 D dS q
S
积分形式的静电场 基本方程
和
E 0 D
微分形式的静电场 基本方程
质中) 静电场的基本方程表述了静电场的性质，即有源性和无旋性。
7
D dS q
S
q E dS
S
介质中穿过任一闭合面的电位移矢量的通量（或电通量） 等于该闭合面包围的自由电荷的代数和，而与极化电荷无关。
P e 0 E
D 0E P
——介质的构成方程
D 0 E P 0 E e 0 E 0 (1 e )E
由于
1 SE dS 0 (q qP ) q p P dS
S
S
( 0 E P) dS q
令 D 0 E P ，称为电位移矢量或电通密度，单位C/m2。
D dS q
S
——介质中的高斯定律
2
高压法拉弟笼
避雷针
3
二、静电场对电介质的影响
电介质的特点：很少的自由电子，大部分电子束缚于原子核， 携带束缚电荷。 1、电偶极子 所谓电偶极子是指一对相距很近的等量异号电荷所组成 的电荷系统。
用q和d 的乘积来表征电偶极子的特性，定义为电偶极矩，
p 用 表示，即
+q +
p qd
S V
V
( D )dV 0
体积V中的电量为 q
V
dV
D
介质中高斯定律的微分形式 静电场中任一点上的电通密度的散度等于该点的自由电荷 的体密度，也说明介质中的静电场是一有散场。 思考：介电常数为ε均匀介质中一个位于原点的点电荷q在r引 起的电场强度和电位分别是多少？
E D
q
a
2 D d S 4 r Dq
S
ε ε0
b
在a< r < a+b时
D q E 2 ε 4πr ε
11
在 r > a+b 时
q E 4πr 2ε 0
q
E D
导体球的电位为
ε0
Φ(a) E dl
aεຫໍສະໝຸດ ab
a b
a
q q dr dr 2 2 a b 4πr ε 4πr ε 0
令 (1 e ) 0 ，称为电介质的介电常数，它是介质极化特征 的表征，则
D E
只适用于均匀且各向同性 的线性介质
另外，令εr=1+ ，称为相对介电常数，则 e
r 0
8
D dS q
S
由高斯散度定理 D dS DdV
14
2.5 静电场中的导体和电介质
根据物体的静电表现，可以把它们分成两大类，即导体 （导电体）和电介质（绝缘体）。 一、静电场对导体的影响 导体的特点：拥有大量的自由电子，携带自由电荷。 + + + + + + + + + + + +
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
等位体
1
静电场中导体的特点： 1）导体内的电场为零，不然的话，将引起导体中电荷 运动，不满足静电平衡的状态。 2）静电场中导体必为一等位体，导体表面为等位面， 即在导体内部或导体表面上，电位都是常量。 3）导体表面上的任何一点的电场强度方向必定垂直于 导体表面。 4）导体如带有电荷，则电荷只能分布于其表面。 应用实例：如利用导体尖端放电效应的避雷针；操作者在高 电位状态下得以安全地进行高电压测试的法拉弟笼；高电压 工作室内利用导体静电屏蔽功能的接地金属网等。
b q 1 Φ(a) 4π (a b ) a 0
12
例2 有一同轴电缆，其长度远大于截面半径。已知内、外 导体半径分别是a和b，内、外导体表面单位长度上的电荷 分别为+τ和-τ，中间充填的介质的介电常数为ε。试求介质 中的电场强度和内、外导体间的电压。
13
例3 电荷体密度为ρ的球体（半径为a），球内外的介电常 数为ε。试求：
（1）球内、外的 D 和 E 。 （2）球内、外的电位 。
作业：P36
τ r h
P
r0
O
2.12
补充题：在介电常数为ε的介质中有一无限 长直线线电荷，电荷线密度为τ，与线电荷 相距r0处为电位参考点。求与线电荷相距r 处的电位是多少？