【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破：第3章 第7节 解3角形应用举例
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第三篇三角函数、解三角形第3讲Word版含解析
第3讲 三角函数的图象与性质基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x ，即函数为最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．(2014·南昌联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析 依题意得，2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9. 因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9. 答案 A3．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )． A ．0B ．π6C ．π4 D ．π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 B4．(2014·济南调研)已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )．A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4解析 由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C. 答案 C5．(2014·三明模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )．A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 知，函数图象关于x ＝π6对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值． 答案 B 二、填空题6．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z )7．函数y ＝sin x ＋1sin x (0＜x ＜π)的最小值为________．解析 令sin x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝1＋1t ，t ∈(0,1]．又y ＝1＋1t 在t ∈(0,1]上是减函数，所以当t ＝1时，y 取得最小值2. 答案 28．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是______．解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3三、解答题9．(2013·潮州二模)已知函数f (x )＝3(sin 2 x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求f (x )的单调递增区间．解 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2 x )－2sin x cos x ＝－3cos 2x －sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π，当y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减时，f (x )单调递增．∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3. 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.10．(1)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜x ＜π6的值域；(2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域． 解 (1)∵－π6＜x ＜π6，∴0＜2x ＋π3＜2π3， ∴0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为(0,2]．(2)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋222－1，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2013·安徽师大附中模拟)设ω＞0，m ＞0，若函数f (x )＝m sin ωx 2cos ωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是 ( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝m sin ωx 2cos ωx 2＝12m sin ωx ，若函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，即ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.答案 B2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )．A ．23 B ．32 C ．2D ．3解析 ∵f (x )＝2sin ωx (ω＞0)的最小值是－2，此时ωx ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴x ＝2k πω－π2ω，k ∈Z ，∴－π3≤2k πω－π2ω≤0，k ∈Z ，∴ω≥－6k ＋32且k ≤0，k ∈Z ，∴ωmin ＝32. 答案 B 二、填空题3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x . 给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0； ⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________．解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示．由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )＞0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤ 三、解答题4．(2013·荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
【创新设计】2015届高考数学一轮总复习 步骤规范练 解三角形 理 苏教版
步骤规X 练——解三角形(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2013·某某师大附中月考)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析 sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案 －12．(2014·某某二模)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为________．解析 由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1.答案 13．(2013·某某五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α等于______．解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)．∴sin 2α＝sin π6＝12.答案 124．(2014·某某模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝________.解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72. 答案725．(2013·某某一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A sinC ，则角B 的大小为________．解析 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B＝π6. 答案π66．(2014·某某、某某调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝________.解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14＋1－116＝1916.答案19167．(2013·某某卷改编)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________.解析 由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，∴a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 中，得c ＝73b .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.答案2π38．(2013·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________.解析 α，β都是锐角， 当cos α＝55时，sin α＝255. 因为cos α＝55＜12，所以α＞60°.又sin(α＋β)＝35＜32，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角． 又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案25259．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝________.解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5. 答案 510．(2013·某某卷改编)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos B ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，得sin ∠BAC ＝BC ·sin∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.答案3101011．(2013·某某五校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，则cos 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－18，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2. ∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－378.答案 －37812．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析 由△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，可得B ＝60°.又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3.答案313．(2013·某某期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析 因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案3414．(2014·某某模拟)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ .解析 f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 1 二、解答题15．(2014·某某十校模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (B )＝1.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值． 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝1，又2B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2B ＋π6＝π2，所以B ＝π6.(2)法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－3c ＋2＝0，所以c ＝1或c ＝2. 法二 由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin A ＝32，所以A ＝π3或A ＝2π3， 当A ＝π3时，C ＝π2，所以c ＝2；当A ＝2π3时，C ＝π6，所以c ＝1.所以c ＝1或c ＝2.16．(2013·某某调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，且满足c sin A －3a cos C ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若cos A ＝277，c ＝14，求sin B 和b 的值．解 (1)由c sin A －3a cos C ＝0， 得sin C sin A －3sin A cos C ＝0. ∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ≠0， ∴sin C －3cos C ＝0， 即tan C ＝3，所以C ＝π3.(2)由cos A ＝277，得sin A ＝217，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝217×12＋277×32＝32114. 在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ＝c sin Bsin C＝14×3211432＝3 2.17．(2013·某某一模)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋3b sinA ＝c .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝33，故A ＝π6. (2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，①又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，②由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.18．(2013·某某卷)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理得OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP × cos 45°，即MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°， 在△OMP 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin45°＋α，同理，ON ＝OP sin 45°sin 75°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 2 45°sin 45°＋αsin 75°＋α＝1sin45°＋αsin 45°＋α＋30°＝1sin 45°＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 45°＋α＋12cos 45°＋α＝132sin 245°＋α＋12sin 45°＋αcos 45°＋α＝134[]1－cos ()90°＋2α＋14sin 90°＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin 2α＋30°. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°， 所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值．即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4 3.。
2015高考数学一轮课件：热点专题突破系列(二)
(2)若y=f(x)的图象经过点(
,0),求函数f(x)在区间[0,
3
]上
的取值范围.
4
5
第二十页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
【解析】(1)f(x)=a·b+λ=(cosωx-sinωx)·(-cosωx-sinωx)+
sinωxcosω2x+3λ
=-cos2ωx+ sin2ωx+λ
3
=2sin(2ωx- )+λ,
第二页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
考点1 三角函数的求值与平面向量的综合
【典例1】(2014·中山模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互
相垂直,其中θ∈
(1)求cosθ,sinθ的值.
(0, ). 2
(2)若5cos(θ-φ)= cosφ,0<φ<
35
求, cosφ的值.
即 5cos 2 5sin 3 5cos ， 所以sinφ=cosφ.
因为φ∈ (0, ),
2
所以 cos
2.
2
第六页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤 (1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给 出,把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式. (2)利用三角恒等变换进行条件求值.
3
④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的
△ABC的面积.
第三十页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
【解析】(1)因为m⊥n,
所以-cosBcosC+sinBsinC 3 0,
热点专题突破系列（二）
【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数及其表示 理 北师大版
第一节 函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念2.函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数y ＝f (x )，x ∈A ，其中， (1)定义域：自变量x 的取值的集合A . (2)值域：函数值的集合{f (x )|x ∈A }． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数概念中的“集合A 、B ”与映射概念中的“集合A 、B ”有什么区别？提示：函数概念中的A 、B 是两个非空数集，而映射中的集合A 、B 是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？ 提示：不一定．3．已知函数f (x )与g (x )．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ 提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是( )解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1²x －1，g (x )＝x 2－1解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于B 、C 、D ，函数定义域都不相同．3．(2013²江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：选B 要使函数y ＝x ln(1－x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，即0≤x <1.4．(2014²青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值为________． 解析：由题易知，f (2)＝4，1f＝14，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15165．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝32时，x ＝30°.答案：1230°[例1] A. 12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ B. 12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C. 112x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D. 112x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且 (2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1.(2)因为函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x 2－1≤8，故函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]．[答案] (1)D (2)[－1,8] 【互动探究】本例(2)改为：f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域．解：因为f (x )的定义域为[0,3]，所以0≤x 2－1≤3，即1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2或－2≤x ≤－1，故函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．【方法规律】1．简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．抽象函数的定义域(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(2014²咸阳模拟)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选D ∵－2x ＋a >0，∴x <a 2，∴a2＝1，∴a ＝2.2．已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．解析：由f (x )的定义域为[0,4]，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3，即函数f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3][例2] (1)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )的解析式．[自主解答] (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以，f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12t －2＋2³12(t －1)＋1＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1.即f (x )＝x 2－x ＋1.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，所以a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(3)由2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．求下列两个函数的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)定义在(－1,1)内，且函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． 解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式，有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．1．分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知分段函数解析式，求函数值(或最值)； (2)已知分段函数解析式与方程，求参数的值； (3)已知分段函数解析式，求解不等式； (4)已知分段函数解析式，判断函数的奇偶性； (5)新定义运算，分段函数与方程的交汇问题．[例3] (1)(2012²江西高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0(2)(2014²上饶模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(3)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[自主解答] (1)f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. (2)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x >1，所以x >1.故x 的取值范围是[0，＋∞)．(3)①当1－a ＜1，即a ＞0时，1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )， 得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.[答案] (1)B (2)D (3)－34分段函数问题的常见类型及解题策略(1)求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值．分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．(4)求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性．利用奇函数(偶函数)的定义判断．1．(2014²南平模拟)定义a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ³b ，a ³b ≥0，ab，a ³b <0.设函数f (x )＝ln x x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2 D ．0解析：选D 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0.2．(2014²永州模拟)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x－1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )²g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数解析：选A 当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对∀x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x－11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数，∴h (－x )＝f (－x )²g (－x )＝f (x )²(－g (x ))＝－f (x )g (x )＝－h (x )， ∴函数h (x )＝f (x )²g (x )是奇函数．又因为h (1)＝f (1)²g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)²g (－1)＝1³e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e ，∴h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．综上可知，h (x )是奇函数但不是偶函数．3．(2014²日照模拟)已知函数f (x )＝2x－12x ，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－12x，x ≥0，2－x－12－x，x <0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故函数g (x )的最小值为g (0)＝20－120＝0.答案：0———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法规律]．个注意点——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．数学思想(一)分类讨论在分段函数中的应用由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2014²西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． [答案] {－2,2}[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 解析：选D 因为f (－1)＝－－＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.[全盘巩固] 1．函数y ＝xx －－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1} 解析：选B 要使函数y ＝xx －－lg 1x有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x >0，解得x ≥1.2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是 ( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1. 3．下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析：选C g (t )＝|t |＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥0，－t ，t <0.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：选C f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，所以4＋2a ＝4a ，即a ＝2.5．(2014²南昌模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．6．(2014²安康模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －－f x －，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析：选D f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．解析：∵π是无理数，∴g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x ≤0，x 2－1，x >0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x 轴下方时f (x )<0，此时x 的取值范围是{x |x <1且x ≠－1}．答案：{x |x <1且x ≠－1}10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.求f (x )的解析式． 解：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x .∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.11．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋x <c ，2－xc2＋c ≤x满足f (c 2)＝98，其中0＜c ＜1.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解：(1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ，由f (c 2)＝98，得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x <1.由f (x )>28＋1，知 当0<x <12时，有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12；当12≤x <1时，有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58. 所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 24<x <58. [冲击名校]1．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}C ．A ＝{x |0<x <1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析：选D 对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，应排除C.2．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4.对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，则f 1(x )＝________，f 2(x )＝________；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，则x 的取值范围为________． 解析：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34，∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 答案：(1)1 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用
热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图像与性质(答题模板)要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：66482187】[思路点拨] 1.先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．2．先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规X 解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分 于是T ＝2π1＝2π. 6分 (2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 8分 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分 ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]. 11分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 12分[答题模板] 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X ．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解．[对点训练1] (2016·某某模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2. (1)求f (x )的解析式； (2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π. 2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )． 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 5分 (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ). 7分 由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，9分 又k ∈Z ，知k ＝5，10分由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163. 12分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . 2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12. 5分 (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 7分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 9分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 12分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2] (2016·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． [解] (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B， 可得a sin B ＝b sin A ．2分又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. 5分 (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16. 12分 热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·东北三省四市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos C c . (1)求ab 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值X 围．[解] (1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 ∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )．∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴ab＝2. 5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0， ∴b > 3. ①7分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3， ②由①②得b 的X 围是(3，3). 12分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A 的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．【导学号：66482188】 [解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A2tan A ＋1＝25. 5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 7分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5. 9分 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 12分。
【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数与方程 理 北师大版
第八节函数与方程【考纲下载】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点与方程的实数解(1)函数的零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)利用函数性质判定函数零点：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0.3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D解析：选C 由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2,4)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(2.5,3)解析：选C ∵f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0， ∴零点x 0所在的区间为(2,3)．3．函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：选C 因为f (2)＝log 22＋2－4＝－1<0，f (3)＝log 23－1>0，所以f (2)·f (3)<0，故零点所在的一个区间为(2,3)．4．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x＋3x 零点的个数，即为函数y ＝e x与y ＝－3x 图象交点的个数．在同一坐标系下画出y ＝e x与y ＝－3x 的图象如图．故函数f (x )＝e x＋3x 只有一个零点．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值X 围是________．解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)考点一确定函数零点所在区间[例1] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)(2)(2013·某某高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[自主解答] (1)f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)．当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， ∵8＝22≈2.828>e，∴8>e 2，即ln 8>2，即f (3)<0，又f (4)＝12－ln 3<0，∴f (x )在(2,3)内存在一个零点．(2)易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a <b <c ，则f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a ，b )和(b ，c )内．[答案] (1)B (2)A【方法规律】判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．1．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选C 法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2,3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2,3)．2．在下列区间中，函数f (x )＝e －x－4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：选B 易知函数f (x )在R 上是单调减函数．对于A ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝e 34－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－3＝e 34>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3＝e 12－1>0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12上；对于B ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e 14－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－3＝e 14－2<414－2<0，因此在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14上函数f (x )＝e －x－4x －3一定存在零点；对于C ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<0，f (0)＝－2<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0上；对于D ，注意到f (0)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e －14－4×14－3＝e －14－4<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上．考点二判断函数零点的个数[例2] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝x 2－2x在x ∈R 上的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)注意到f (－1)×f (0)＝12×(－1)<0，因此函数f (x )在(－1,0)上必有零点．又f (2)＝f (4)＝0，因此函数f (x )的零点个数是3.(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1.又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1， 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)D (2)A 【互动探究】若将本例(1)中的函数改为“f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x”，该如何选择？解析：选B 因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域内有唯一零点，故应选B.【方法规律】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2013·某某高考)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 易知函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．2．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.高频考点考点三函数零点的应用1．高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，求函数零点问题，难度较易；利用零点的存在性求相关参数的值，难度较大．2．高考对函数零点的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数； (2)已知函数的零点或方程的根的个数，求参数； (3)利用函数的零点比较大小．[例3] (1)(2013·某某高考)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则 ( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0(2)(2011·某某高考)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.(3)(2011·高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值X 围是________．[自主解答] (1)∵f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝e 0－2<0，f (1)＝e －1>0， 又f (a )＝0，∴0<a <1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，且g (b )＝0，∴1<b <2，即a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧fb >f a ＝0，ga <gb ＝0.(2)∵2<a <3<b <4，∴f (x )＝log a x ＋x －b 在(0，＋∞)上为增函数． 当x ＝2时，f (2)＝log a 2＋2－b <0；当x ＝3时，f (3)＝log a 3＋3－b >0，∴f (x )的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. (3)在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2及y ＝k 的图象，如图．可知，当0<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝k 有两个不同的实根．[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值X 围．(2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小．要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0解析：选D 令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图象有两个交点．由g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即lnx >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知，当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .作出函数g (x )和h (x )的简图，据图可得－1e<a <0.3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)·f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④C ．②③ D ．②④解析：选C 由题设知f (x )＝0有3个不同零点．设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ，∴g (x )＝x (x 2－6x ＋9)＝x (x －3)2，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝3，g ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令g ′(x )>0，得x <1或x >3；令g ′(x )<0，得1<x <3，所以g (x )在(－∞，1)，(3，＋∞)上是单调递增的；在(1,3)上是单调递减的．g (1)＝4，作出g (x )的图象，如图所示．∴f (x )＝g (x )－abc ，f (x )有3个零点，需将g (x )的图象向下平移至如图所示位置．由图象观察可知，f (0)f (1)<0且f (0)f (3)>0.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．2个防X ——函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3种方法——判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点； (2)零点的存在性定理；(3)利用图象交点的个数(内容见例2的[方法规律])． 3个结论——有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．数学思想(四)利用数形结合解决方程根的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决．[典例] (2012·某某高考)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值X 围是________．[解题指导] 方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 恰有三个不同的交点，可借助图形确定x 1，x 2，x 3的X 围，进而求出x 1x 2x 3的X 围．[解析]由定义可知，f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12－2x －1x －1，x ≤0，x －12－2x －1x －1，x >0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x >0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，∴x 2＋x 3＝1，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0<x 2x 3<14；当x <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x <0，得x ＝1－34，∴1－34<x 1<0，即0<－x 1<3－14.∴0<－x 1x 2x 3<3－116，故1－316<x 1x 2x 3<0. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0[题后悟道] 1.解决本题的关键有以下三点：(1)根据新定义正确求出函数f (x )的解析式，并准确画出其图象； (2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x 2x 3的X 围； (3)正确确定x 1的取值X 围．2．函数y ＝f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10 解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为8.[全盘巩固]1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 由题意知，函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是(1,2)．2．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 3．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12解析：选C 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －1f 0<0，f 1f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.4．(2014·某某模拟)设函数f 1(x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f 2(x )＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选A 依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1.5．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.6．(2014·某某模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0,9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．解析：法一：令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＝2，解得x ＝－3或x ＝e 2，所以函数f (x )有两个零点．法二：画出函数f (x )的图象(图略)可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有两个零点．答案：28．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则方程e x－2x ＋a ＝0，即a ＝2x －e x有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值X 围就是函数g (x )的值域，所以a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案：(－∞，2ln 2－2]9．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：510．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，∴b 2－4a (b －1)>0恒成立， 即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值X 围是(0,1)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值X 围；(2)确定m 的取值X 围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e，g (x )＝m 就有实数根．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有实数根，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值X 围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．12．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的X 围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．[冲击名校]1．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：选D 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为函数f (x )＋1＝1fx ＋1，所以f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－xx ＋1，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点解析：选B 当k >0时，f (f (x ))＝－1，结合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.[高频滚动] 1．若函数f (x )＝a2x －4，g (x )＝log a |x |(a >0，a ≠1)，且f (2)·g (－2)<0，则函数f (x )、g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D解析：选B f (2)·g (－2)＝a 0log a 2<0，得0<a <1，所以f (x )＝a 2x －4在R 上为减函数，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．2．已知函数 y ＝f (x )的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C D解析：选A 设x 1<x 2，由g (x )为其定义域上的增函数，得f (x 1＋a )－f (x 1)<f (x 2＋a )－f (x 2)，即f (x 1＋a )－f (x 2＋a )<f (x 1)－f (x 2)，所以f x 1＋a －f x 2＋a x 1＋a －x 2＋a >f x 1－f x 2x 1－x 2，即曲线y ＝f (x )的割线的斜率单调递增．结合函数图象可知，选项A 正确．。
2015届高三数学第一轮复习：三角函数、解三角形
第一讲：任意角的三角函数考纲要求：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．一、了解任意角的概念.必修四第2页到第5页 1、角的概念的推广：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按 时针方向旋转所形成的角叫正角，按 时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个 角。
射线的起始位置称为 ，终止位置称为 。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是 角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
㊣课本第5页练习第3题 3. 终边相同的角的表示：（1）与α角终边相同的角的集合： ； （2）α终边在x 轴上的角的集合： ； （3）α终边在y 轴上的角的集合： ； （4）α终边在坐标轴上的角的集合： ； （5）α终边在第一象限的角的集合： ； （6）α终边在第二象限的角的集合： ； （7）α终边在第三象限的角的集合： ； （8）α终边在第四象限的角的集合： ； ㊣正确理解角判断：(1)小于90°的角是锐角．( ) (2)终边相同的角相等．( ) (3)已知角α是第二象限角，则角2α是第一象限角．( ) ㊣课本第5页练习第4题（1）、（2）；第5题（2） ㊣在下列各组角中，终边不相同的一组是（ ）A ︒60与︒-300B ︒230与︒950C ︒1050与︒-300D ︒-1000与︒80探究点 角的概念.(1)如果角α是第三象限角，那么α-，απ-，απ+角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合；(3)如图所示，已知角α的终边在阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为______________________________．变式迁移：若α是第二象限的角，试分别确定α2，2α的终边所在位置．㊣课本第10页习题1.1A 组第5题二、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.必修四第6页到第9页1．弧度制：若圆心角所对的弧长为l ，则圆心角的弧度数α= ,其中r 是圆的半径。
【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)抛物线 理 北师大版
第六节 抛 物 线【考纲下载】 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(X 围、对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p21．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p2.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18，而抛物线x2＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x .答案：y 2＝－45x5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，∴2p ×p 4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：324考点一抛物线的定义及应用[例1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． [自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF 交曲线于点P ，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【互动探究】若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离．∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5. 【方法规律】抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(2014·某某模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px .答案：y 2＝2px2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．显然，当AB 垂直于x 轴时，|AF |≠3，所以AB 的斜率k 存在，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.又|AF |＝3＝x 1＋p2＝x 1＋1，所以x 1＝2，代入k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，得k 2＝8，所以x 1＋x 2＝52，x 2＝12，故|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝32.答案：32考点二 抛物线的标准方程及性质[例2] (1)(2013·某某高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ． 1 D. 3 (2)(2013·某某高考)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[自主解答] (1)由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4，p ＝2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x .不妨取其中一条3x －y ＝0.由点到直线的距离公式有d ＝|3×1－0|3＋1＝32. (2)在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.答案：(1)B (2)6【方法规律】1．求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B 依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，则p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .高频考点 考点三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度： (1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程； (2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值； (4)求定值．[例3] (2012·某某高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程．先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可．(2)证明直线过定点．可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点．(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离．(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到．(2014·某某模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值X 围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，消去x ，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p2，y 1y 2＝4，由已知AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0，∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y－2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2，∴b >2.故b 的取值X 围为(2，＋∞)．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题． (3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点．前沿热点(十五)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (2013·某某高考)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．[解题指导] (1)直线l 1的方程与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由向量的坐标形式得出FM ·FN 的表达式，再证明不等式；(2)先求出点M 到直线l 的距离的表达式，再求最值，结合已知条件即可求p ，从而得出抛物线方程．[解] (1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p . 所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .[名师点评] 解答本题的关键有以下两点： (1)充分利用k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2时，k 1·k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222；(2)注意2k 21＋k 1＋1>0，即d ＝|2k 21＋k 1＋1|5＝2k 21＋k 1＋15.(2013·某某高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝c ＋22＝322，解得c ＝1，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 12x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在直线PA 上，∴y 0＝x 12x 0－y 1.①同理，y 0＝x 22x 0－y 2.② 综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y ，∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∵x 0－y 0－2＝0，∴|AF |·|BF |＝y 20－2y 0＋x 20＋1＝y 20－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值为92.[全盘巩固]1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52B.32 C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74B ．2 C.94D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.3．(2013·某某高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y ＝－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝15.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)，由FA ＋FB ＋FC ＝0知， (x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．4解析：选C 设P (x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF |＝x 0＋2，所以x 0＝32，代入抛物线方程求得y 2＝24，解得|y |＝26，所以△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝12×2×26＝2 3.7．(2013·高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－18．(2014·某某模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二：对y ＝－x 2，有y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是d ＝43.答案：4310．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若OA ·OB ＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54，①过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②解①②得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由题意知y 0＝y 1.由OA ·OB ＋p 2＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－8，③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4y 2x 0.④由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE ⊥AF ，动点P 满足EP∥OA ，FO ∥OP (其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM ·AN <0，求直线l 的斜率的取值X 围．解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，∵AE ·AF ＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，∴y E ·y F ＝－4，①又EP ＝(x ＋1，y －y E )，FO ＝(1，－y F )，且EP ∥OA ，FO ∥OP ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－y x， 代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，Δ＝42－32k >0，即k <12.令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM ·AN ＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0，∴－12<k <0，故实数k 的取值X 围为(－12,0)．12．(2014·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．[冲击名校]已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，－2)．∵OP ⊥OQ ，∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1，即y x ·－2x＝－1，化简得x 2＝2y ，∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)．(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在．设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0.∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.点(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3.当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．此时b ＝－1. ∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.[高频滚动]已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值X 围．解：(1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，即a ＝5.所以b 2＝52－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(0≤m 2≤25)．所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2＝1925m 2＋16<1.所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交．L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1925m 2＋16. 因为0≤m 2≤25，所以152≤L ≤465. 即直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤152，465.。
【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数的图象 理 北师大版
第七节 函数的图象【考纲下载】1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：y ＝f (x )――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b .(2)伸缩变换：y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )；y ＝f (x )――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝|f (x )|.1．函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称． 2．一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别？提示：函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)(a >0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a 个单位即可；解析式变为y ＝f (x ＋a )．1．函数y ＝x |x |的图象经描点确定后的形状大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，0，x ＝0，－x 2，x <0为奇函数，奇函数图象关于原点对称．2．(2013·某某高考)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错．3．(2013·高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：选D 与曲线y ＝e x关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x，函数y ＝e －x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.4．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________.解析：由图象可知，函数f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0. 答案：05．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值X 围是________． 解析：方程|x |＝a －x 只有一个解，即函数f (x )＝|x |与g (x )＝a －x 的图象有且只有一个公共点，在同一坐标系内画出两函数的图象可知a >0.答案：(0，＋∞)考点一作函数的图象[例1] 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1.[自主解答] (1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．【方法规律】 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x ＋2x ＋3； (4)y ＝|log 2x －1|. 解：(1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∴函数y ＝|lg x |的图象如图(1)．图(1) 图(2)(2)将函数y ＝2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y ＝2x ＋2的图象，如图(2)．(3)∵y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，可见原函数图象可由y ＝－1x图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图(3)．图(3)图(4)(4)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图(4).高频考点考点二识图与辨图1．高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．2．高考对识图问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)借助实际情景探究函数图象； (2)已知解析式确定函数图象；(3)已知函数解析式(或图象)确定相关函数的图象； (4)借助动点探究函数图象．[例2] (1)(2013·某某高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )(2)(2013·某某高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )A B C D(3)(2012·某某高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )A BC D(4)(2013·某某高考)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A B C D[自主解答] (1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.(2)先判断函数y ＝x cos x ＋sin x 是奇函数，所以排除B ；再判断其零点，令y ＝x cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－x ，画图知其在(0，π)上有且仅有一个零点，故排除A 、C.(3)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤x ≤1，11<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10≤x ≤1，2－x 1<x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10≤x ≤1，x －21<x ≤2.故其对应的图象应为B.法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.(4)如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的图象应为B.[答案] (1)C (2)D (3)B (4)B识图问题的常见类型及解题策略(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．(2)由解析式确定函数图象．此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(3)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．(4)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．2．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图象大致是( )解析：选B 由log a2<0，得0<a<1，故函数f(x)＝log a(x＋1)为减函数，故排除选项A、D.由图象平移可知f(x)＝log a(x＋1)的图象可由y＝log a x的图象向左平移1个单位得到，故选B.3．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )解析：选A 观察图象可知，y ＝f (x )有两个零点x 1＝－π2，x 2＝π2，且y ＝g (x )在x ＝0时，函数值不存在，所以函数y ＝f (x )·g (x )在x ＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝f (x )·g (x )的函数值为负，故排除选项B.4．已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (选项中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 观察函数图象可得函数y ＝f (t )在[0，a ]上是增函数，即说明随着直线l 的右移，扫过图形的面积不断增大，从这个角度讲，四个图象都适合．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是由上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C 项不适合．这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．考点三函数图象的应用[例3] 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)某某数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．[自主解答] (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4，x ≥4，－x x －4，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，故集合M ＝{m |0<m <4}．【互动探究】保持本例条件不变，求函数f (x )在[1,5]上的值域．解：f (1)＝3，f (5)＝5，借助函数图象可知，函数f (x )在[1,5]上的值域为[0,5]． 【方法规律】1．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1．(2013·某某高考)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B. 2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值X 围是________．解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，利用数形结合求解．根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．答案：(0,1)∪(1,4)————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个注意点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2个区别——函数图象的对称问题(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数图象的对称关系．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 (1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．易误警示(二)函数图象问题题干信息提取有误[典例] (2013·某某高考)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则n 的取值X 围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3} [解题指导] 利用f xx的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题，并利用数形结合求解．[解析] 由题意，函数y ＝f (x )图象上的任一点坐标为(x ，f (x ))，故f xx表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y ＝f (x )就有n 个交点．借助图形可知，n 的取值可为2,3,4.[答案] B[名师点评] 1.解决本题的易错点有两处：(1)不能将f xx转化为点(x ，f (x ))与坐标原点连线的斜率；(2)不能将f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n转化为过原点的直线与曲线y ＝f (x )有n 个交点．以上两处错误均由不能正确提取题干信息而致．2．利用图象信息分析解决函数性质和参数取值问题的常用方法有：(1)定性分析法：根据图象对称性，上升、下降的趋势等特征分析、解决问题． (2)定量计算法：通过图象所过特殊点等有关量的条件，进行相应计算来分析解决问题． (3)函数模型法：根据所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用函数模型来分析解决问题．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③f x 1＋f x 22<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．解析：由图象给出的信息得f (x )在[0,1]上单调递增，故由x 2>x 1得x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)>0，故①即为f x 2－f x 1x 2－x 1>1，表示图象上任意两点的连线斜率均大于1，观察图象显然不对，故①不正确；由函数图象在每一点处的切线的倾斜角都是递减的，知f x 2x 2<f x 1x 1，故②正确；作出f x 1＋f x 22与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22对应的点发现，③也正确(注：③实际是说f (x )是“凸函数”)．故正确结论的序号是②③.答案：②③[全盘巩固]1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为( )解析：选B 该函数图象可以看作偶函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移1个单位得到的．2．函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )A B C D解析：选C 由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.3．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )A B C D解析：选C 当幂指数a <0时，函数图象不过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递减，选项A ，B 中的图象符合幂指数a <0，但此时一次函数y ＝ax －1a是单调递减的，选项A 不符合要求；选项B 中，一次函数图象的斜率与其在y 轴上的截距的符号相同，不符合题意；当a >0时，幂函数的图象过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递增，选项C ，D 中的幂函数图象符合要求，但选项D 中的一次函数y ＝ax －1a中a <0，所以只有选项C 中的图象是可能的．4．(2014·抚州模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝x 2－2ln|x |B ．f (x )＝x 2－ln|x | C ．f (x )＝|x |－2ln|x |D ．f (x )＝|x |－ln|x |解析：选B 由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x >0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln|x |符合条件． 5．(2014·某某模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：选C 由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0,2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0.又函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．6．(2014·某某模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1.0＜x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.7．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是________(填入正确图象的序号)．解析：由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等，故容器中水面的高度h 随时间t 的变化呈越来越慢的递增趋势，故应填②.答案：②8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1339．已知m ，n 分别是方程10x＋x ＝10与lg x ＋x ＝10的根，则m ＋n ＝________.解析：在同一坐标系中作出y ＝lg x ，y ＝10x，y ＝10－x 的图象，设其交点为A ，B ，如图所示．设直线y ＝x 与直线y ＝10－x 的交点为M ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝10－x ，解得M (5,5)．∵函数y ＝lg x 和y ＝10x的图象关于直线y ＝x 对称． ∴m ＋n ＝x A ＋x B ＝2x M ＝10. 答案：1010．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，∴当x ＝0时，f (x )＝0. 又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)． 11．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．解：(1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x 上任意一点，∴v ＝u ＋1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u ＝4－x ，v ＝2－y ，代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ⇒y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0⇒b ＝0或b ＝4.∴当b ＝0时，交点为(3,0)；当b ＝4时，交点为(5,4)．12．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝mx 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3.作出图象如图所示．(1)单调递增区间为(1,2]，(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，(2,3]．(2)由图象可知当y ＝f (x )与y ＝mx 的图象有四个不同的交点时，直线y ＝mx 应介于x 轴与切线l 1之间．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，y ＝－x －22＋1⇒x 2＋(m －4)x ＋3＝0.由Δ＝0，得m ＝4±2 3.当m ＝4＋23时，x ＝－3∉(1,3)，舍去．所以m ＝4－23，故直线l 1的方程为y ＝(4－23)x .所以m ∈(0,4－23)．即集合M ＝{m |0<m <4－23}．[冲击名校]1．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选D 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.2．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值X 围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥12，a 1≥12，a ≠1，所以12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值X 围是12≤a <1或1<a ≤2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2] [高频滚动]1．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A 如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x，y ＝log 2x 和log 12x 的图象．由图象可知a <b <c .2．若不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，则a 的取值X 围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1。
2015高考数学一轮课件：热点专题突破系列(一)
所以m=1 时，t取得3最4 小值4 19 此时x=94,所以税率t的最小值1为92
,
19
.
192
第三十三页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
【规律方法】 1.确定与应用函数零点个数的常用方法 (1)解方程法——构建可解的方程求解. (2)数形结合法——转化为两个熟悉的函数图象的交点问题求解.
第三十四页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
第四页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
【互动探究】若本例题(2)中条件不变,而已知f(a)= , 1 4
则a的值如何?
【解析】当a>0时,f(a)=log3a=
,1得a= 4
1
34 ,
当a≤0时,f(a)=2a= =12-2,得a=-2,
4 综上可知a=-2或 . 1
34
第五页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
第二十页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
【规律方法】
1.知式选图的思路域判断图象的上、下位置.
(3)从奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从单调性,判断图象的变化趋势. (5)从周期性,判断图象的循环往复. 提醒:当选项无法排除时,代特殊值或从某些量上寻找突破口.
因为g(x)=
x2 a 1 x a ,
第十二页，编辑于星期五：十三点 三十二分。
所以定义域B={x|-x2+(a-1)x+a≥0},
由-x2+(a-1)x+a≥0得 x2-(a-1)x-a≤0,
即(x-a)(x+1)≤0,
因为A⊆B,所以B=[-1,a],且a≥1, 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}.
4
1 x
1
2a
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第七节 解三角形应用举例1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． [例1] (1)(2011·上海高考)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．(2)(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？[自主解答] (1)如图，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6 千米．(2)①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040 m.所以索道AB 的长为1 040 m.②假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500 m.乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m ，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．[答案] (1) 6测量距离问题的常见类型及解题策略(1)测量问题．首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)行程问题．首先根据题意画出图形，建立三角函数模型，然后运用正、余弦定理求解．1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°，∴AB ＝AC ，∴河宽为12AC ＝60 m.答案：60 m2.如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C 处观测到距离C 处31 km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20 km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21 km ，这时此车距离A 城多少千米？解：在△BCD 中，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，CD ＝21 km ，由余弦定理得cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，所以cos ∠ADC ＝17，sin ∠ADC ＝437，在△ACD 中，由条件知CD ＝21 km ，A ＝60°，所以sin ∠ACD ＝sin(60°＋∠ADC )＝32×17＋12×437＝5314.由正弦定理AD sin ∠ACD ＝CD sin A ，所以AD ＝2132×5314＝15 km ，[例2] 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．[自主解答] 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40 m ，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1) m.在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3) m.故塔高为103(3－3)米．【互动探究】在本例条件下，若该人行走的速度为6 km/h ，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？解：设该人走了x m 时到达测得仰角最大的地方，则x tan 30°＝(40－x )tan 15°，即x 40－x ＝tan 15°tan 30°＝3tan 15°＝3tan(45°－30°)＝23－3. 解得x ＝10(3－3)．又v ＝6 km/h ＝100 m/min ，故所用时间t ＝10(3－3)100＝3－310min.即该人到达测得仰角最大的地方时，走了3－310分钟．【方法规律】解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合．如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α＝60°，在塔底C 处测得A 处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC 部分的高为24 3 m ，则山高CD ＝________m.解：由已知条件可得tan ∠BAD ＝BD AD ，tan ∠CAD ＝CDAD，则tan ∠BAC ＝tan(60°－45°)＝BD AD －CD AD 1＋BD AD ×CD AD ＝BC ·AD AD 2＋BD ·CD ＝243·CD CD 2＋(243＋CD )·CD ＝123123＋CD ＝2－3，解得CD ＝(36＋123) m.答案：36＋12 3[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．[自主解答] (1)法一：设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝⎛⎭⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3 海里/小时，即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇，如图所示．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10，又AC ＝30 t ，OC ＝v t ，故t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3 海里/小时．即小艇以30 3 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示则 v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，即v 2＝900－600t ＋400t2.∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．【方法规律】解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. ——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤2种情形——解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2个注意点——解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．。