第03章对偶问题与灵敏度分析
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大纲解读第三章对偶问题与灵敏度分析
问题有最优解则原（对偶）问题也有最优解，且它 们的目标函数值相等，（5）互补松弛性定理。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3） 无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理 及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价 格的特点。
一、考核知识点 （一）对偶模型 （二）对偶性质 （三）对偶解的经济解释 （四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因， （2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2） 弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原 （对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价 值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析， （2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标 函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系 数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性， （2）如何进行敏感性分析。
2、领会：（1）对称性，（2）弱对偶性，（3） 无界性，（4）强对偶定理，（5）互补松弛性定理 及其应用。
3、应用：运用互补松弛性定理求解线性规划问题。
（三）对偶解的经济解释
1、识记：（1）对偶解与影子价格，（2）影子价 格的特点。
一、考核知识点 （一）对偶模型 （二）对偶性质 （三）对偶解的经济解释 （四）灵敏度分析
பைடு நூலகம்
（一）对偶模型 1、识记：（1）原问题与对偶问题的关系，（2）
对偶问题的转换。 2、领会：（1）研究对偶问题的原因， （2）原问题与对偶问题的关系。
（二）对偶性质
1、识记：（1）对偶问题的对偶就是原问题，（2） 弱对偶性，（3）对偶（原）问题无可行解则原 （对偶）问题不可能有最优解，（4）对偶（原）
2、领会：影子价格的经济指导意义和管理决策价 值。
3、应用：怎样利用影子价格改善经营策略。
（四）敏感性分析
1、识记：（1）约束方程右边项变化的敏感分析， （2）增加新的决策变量的敏感性分析，（3）目标 函数系数变化的敏感性分析，（4）投入或技术系 数变化的敏感性分析。
2、领会：（1）敏感性分析的意义及其必要性， （2）如何进行敏感性分析。
运筹学 03 对偶理论及灵敏度分析
目标函数取值 变量 目标函数系数 常数 约束条件系数 变量 - 约束 约束 - 变量
例2：将下述线性规划作为原问题，请转换为 对偶问题 max z=5x1+3x2+2x3+4x4 5x1+x2+x3+8x4≤8 2x1+4x2+3x3+2x4=10 x1≥0,x2≥0,x3任意,x4任意
1 对偶理论
对偶问题的提出 原问题与对偶问题的数学模型 原问题与对偶问题的对应关系 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法
对偶问题的提出
例1：某厂利用现有资源(设备A、设备B、 调试工序)生产两种产品(产品Ⅰ、产品Ⅱ)，有 关数据如下表。问如何安排生产，使厂家利润 最大？ 产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源限量 0 5 15 6 2 24 1 1 5 2 1
CX*=bTY*
从弱对偶性可得到以下重要结论： (1)极大化问题(原问题)的任一可行解所对应的目 标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。 (2)极小化问题(对偶问题)的任一可行解所对应的 目标函数值是原问题最优目标函数值的上界。 (3)若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶 问题无可行解。 (4)若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原 问题无可行解。 (5)若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则 原问题目标函数值无界。 (6)对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对 偶问题的目标函数值无界。
原问题与对偶问题的数学模型
原问题 max z=2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+x2≤5 x1,x2≥0 互为对偶问题 厂 家 对偶问题 min w=15y1+24y2+5y3 6y2+y3≥2 5y1+2y2+y3≥1 y1,y2,y3≥0
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第3章 对偶理论与灵敏度分析
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
⎪⎩x1, x2 ,", xn ≥ 0
min z = b1y1 + b2y2 +" + bm ym
（3-5）
⎪⎧⎜⎛ s.t.⎪⎪⎪⎪⎨⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 #
a1n
a21 a22 #
a2n
" "
"
am1 ⎟⎞⎜⎛ y1 ⎟⎞ ⎜⎛ c1 ⎟⎞
am2 #
amn
⎟⎜ y ⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝#y
+ −
y3* =3 y3* = 4
把 X * 代入原问题 3 个约束中可知原问题式（3）是不等式，故 y 3 * =0，然后解方程组
得到
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3y2* =3 2 y2* = 4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y1* =6/5 y2* = 1/ 5
故对偶最优解为 Y * =(6/5,1/5,0), z * =w * =28.
⎪⎪⎪⎨22yy11++3yy22
− +
y3 y3
≥2 ≥3
⎪⎪3y1 + 2 y2 − y3 ≥ 4
⎪⎩y1, y2 , y3 ≥ 0
由于 x 3 * =x 4 * =4>0，故对偶问题约束方程式（3）、（4）是等式约束，即对 Y * 成立等式
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
2y1* 3y1*
+ +
3 y2* 2 y2*
推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
定理 3.2 最优性准则定理
若 X 和 Y 分别为互为对偶问题的线性规划（3-5）与（3-6）的可行解，且使 CX = bT Y T ，
运筹学第三章 对偶问题与灵敏度分析
x2 3x3 4x4 5
2x1 3x2 7x3 4x4 2
x1 0，x2 0, x3、x4无约束
答案： 1. max W 2 y1 3 y2 5 y3
2y1 3y2 y3 2
35yy11
y2 7y2
4y3 6y3
2 4
y1 0,y2 .y3 0
2. max W 3 y1 5 y2 2 y3
对偶理论与灵敏度分析
❖ 线性规划的对偶问题 ❖ 对偶问题的基本性质 ❖ 影子价格 ❖ 对偶单纯形法 ❖ 灵敏度分析
3.1 线性规划的对偶问题
一、问题的提出 回顾例题1
例1 某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品（假定产
品畅销）。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力、设备
台时及原材料的消耗，如表1.1所示
y3
2 3 5 1 无约束
课堂练习
1. min Z 2x1 2x2 4x3
2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 7 x3 3
x1 4x2 6x3 5
x1, x2 , x3 0
2. min Z 3x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 3x3 4x4 0
CB XB b
0 x4 60 0 x5 10 0 x6 20
检验数j
CB XB b
0 x4 2 x1 -1 x2
检验数j
课堂练习
2 -1 1
x1
x2
x3
311 2 -1 2 1 1 -1
2 -1 1
x1
x2
x3
000 x4 x5 x6 100 010 001
00 0 x4 x5 x6 1 -1 -2 0 1/2 1/2 0 -1/2 1/2
3对偶理论与灵敏度分析解析
X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶理论与灵敏度分析
1 0 1 / 2 1 0
N 2 (2，0) (0，0，3) 0 1 0 / 4 0 (2， 3 / 4)
0 0 1 / 4 0 1
换入换变入量变x1量 x2
1 B21 (bB，11P(1b)， P200)
10 0
1 0 0
01 / 10
200181686
10/ 4 11122
设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：
max z CB X B C N X N 0X S BX B NX N IX s b XB 0 XN 0 Xs 0
max z C B X B C N X N X B B 1 NX N B 1 X s B 1b XB 0 XN 0 Xs 0
ω^ =Y^AX^+Y^XS 当Y^Xs=0，Ys X^=0时z ^=ω^，则X，Y^是最优解。 当 X，Y^是最优解时 z ^= ω^，则Y^Xs=0，Ys X^=0 19
例：已知线性规划问题
min z
2 x1
3 x2
5 x3
2 x4
3
xX5
* 1
(1,0,0,0,1)T
y1 y2
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 x46 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3 x7
max z CX
Y # AX # b
X #0
对偶问题（原问题）
min Yb
X # YA# C Y #0
例：min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
y1 x1 x2 3 x3 x4 5
y2
2
x1
2x3 x4 4
y3
x2 x3 x4 6
x1 0，x2，x3 ，x4无 约 束
对偶问题与灵敏度分析
②告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。 ③提示设备出租或原材料转让的基价。 ④告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。 ⑤借助影子价格进行内部核算。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第一讲 对偶理论
解释例1的对偶问题的数学模型
Max Z= 3x1 +5 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12 3x1 +4 x2 ≤36
x1 , x2 ≥0
第一讲 对偶理论
一、对偶问题
• 对原企业而言，它用于出租或转让的资源收益不应 低于自行生产产品所获得的利润，才肯出租或转让。
• 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出 租设备。首先要弄清两个问题：
①如何合理安排生产，取得最大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=6，Z*=42。
(3) 按照θ=Min{j /alj | alj<0 }= k /alk确定xk进基变量。 (4) 以alk为主元素，按单纯形法的方法进行迭代，得到新的表重复
(2).
第一讲 对偶理论
例题：使用对偶单纯形法
• Min W= 8y1+12y2+36y3
y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 S.t. 0y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 5
此时，同时达到最优解
j 1
i 1
Z bi
*
yi*
bi为第i种资源的拥有量
• 说明yi是右端项bi每增加一个单位的第i种资源对目标函数Z的贡献。 • 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。
第三章 对偶理论及灵敏度分析
灵敏度分析 —图解法
2x1 + x2 = 400
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C B D
（斜率为0） x2 = 250
x1 + x2 = 300
（斜率为-1）
A
| E | | | 100 200 300 400
x1
对 偶 问 题
分析资源系数b的改变产生的影响
Max Z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 310 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x 1、 x 2 ≥ 0
上页 下页 返回
对 偶 问 题
► 问题：
上页 下页 返回
当这些系数中的一个或多个发生变化 时，原最优解会怎样变化？ 当这些系数在什么范围内变化时，原 最优解仍保持不变？ 若最优解发生变化，如何用最简单的 方法找到现行的最优解？
► 研究内容：
对 偶 问 题
研究线性规划中， aij , bi , c j 的 变化对最优解的影响。
上页 下页 返回
1
min w = 15 y + 24 y + 5 y
2
3
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润（ 利润（元） 0 6 1 2
Ⅱ 5 2 1 1
D 15时 时 24时 时 5时 时
对 偶 问 题
原 问 题
m z = 2x1 + x2 ax s.t. 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
设备A 设：设备A —— 设备B 设备B –––– 调试工序 ––––
y1元／时 y2元／时 y3元／时
付出的代价最小， 付出的代价最小， 且对方能接受。 且对方能接受。
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xj qi q1 q2 qm Cj
x1
X2
b
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
15
例3：建立下列LP 问题的对偶问题
(1) min Z=2X1十4X2十3X3
s.t. X1十2X2－3X3 ≥5
2X1 － 3X2 －2X3≤3
X1十X2十X3 =2 X1，X2，X3 ≥0
(2) max Z=X1十2X2十3X3十4X4 s.t.
为换入基变量,转4；
4.以akr’进行转轴运算,作矩阵行变换使其变为
1,该列其他元素变为0,转2
24
例7：用对偶单纯形法求解下列LP问题
min Z’=6X1十3X2十2X3
s.t.
X1十X2十X3 ≥20
1/2X1十1/2X2十1/4X3 ≥6
2X1十X2十X3
≥10
X1，X2，X3 ≥0
25
解法一:将LP问题化为
0
0
0
1
4
0
6
10
0
q2
q3
q4
0
1
1
1
0
0
0
1
0
6
20
0
0
-10
0
0
0
q5
q6
-1
0
4
-4
-1
2
4
16
-4
-16
9
关系：
➢两个LP问题的最优解的目标函数值相同
➢用单纯形法求解一个LP问题就知道另一 个问题的解
二、对偶问题的概念及实质
1.对每一个LP问题所伴随着的另一个LP问 题，就称为对偶问题；原来的LP问题就称 为原问题
5
(2)若有一个饲料厂制造含有这三种营养成分为1个单 位的营养丸，在1份混合饲料中三种营养丸的价格如 何制定才使其售价最大？
解：(2)设qi表示一份混合饲料中第I种营养丸的价格， i=D,E,F,则
max Z=20q1十6q2十10q3
s.t. q1十1/2q2十2q3 ≤6
q1十1/2q2十q3 ≤3
两端乘以-1
原问题为“min ≥”形式
3.原问题的每一个约束条件方程对应对偶问题的一 个决策变量qi
➢若第i个约束条件为不等式,则限定qi≥0
➢若约束条件方程是“=”形式:将“=”变为“≤”和
“≥”两个约束条件方程,在按照1、2条处理
14
例2：根据下表写出原问题(max)与对偶问题(min)的 表达式
min Z= 6X1十3X2十2X3
s.t. － X1 － X2 － X3十X4
= － 20
－ 1/2X1 － 1/2X2 － 1/4X3 十X5 = － 6
－ 2X1 － X2 － X3
十X6 = － 10
X1，X2，X3 , X4 , X5 , X6 ,≥0
28
cj→
6
3
2
0
0
0
cB XB b
max Z= － 6X1 － 3X2 － 2X3
s.t. － X1 － X2 － X3十X4
= － 20
－ 1/2X1 － 1/2X2 － 1/4X3 十X5 = － 6
－ 2X1 － X2 － X3
十X6 = － 10
X1，X2，X3 , X4 , X5 , X6 ,≥0
cj→
-6
-3
-2
0
0
0
cB XB b
q1+2q2≤2 (1)
题的两个约束条件应取等式， 故有
q1 -q2≤3 (2)
x1 +3x5 =4
2q1+3q2≤5 (3)
2x1 +x5 =3
q1 +q2≤2 (4)
求解得x1=1.x2=1
3q1 +q2≤3 (5)
故原问题的最优解为
将q1,q2的值代入约束条 件，得(2),(3),(4)为严格不
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 (-20) -1
-1
-1*
1
0
0
0 x5 -6 -1/2 -1/2
-1/4
0
1
0
0 x6 -10
-2
-1
-1
0
0
1
zj zj － cj
a12 …
a1n
≤
b1
q2
a21
a22
a2n
≤
b2
…
… …… …
…
…
qm
am1 am2
amn
对偶约束 ≥
≥… ≥
max z
C1
C2 … Cn
≤
bm
13
二、原问题不符合建立规则的处理
1.原问题为“max ≥”形式
约束条件方程
两端乘以-1
原问题为“max ≤”形式
2.原问题为“min 约束条件方程
≤”形式
2x1-x2+3x3 +x4 +x5 ≥3 x1,x2,x3 ,x4 ,x5≥0 已知其对偶问题的最优解为 q1=4/5;q2=3/5;z=5.试用对偶 理论找出原问题的最优解
20
解：先写出其对偶问题：
又因为q1,q2≥0，由互补松弛
max w=4q1+3q2
性qxs=0得xs1=0 ,xs2=0,j即原问
0
1
-2
4
0
-3 x2 4
1
1
0
1
-4
0
0 x6 10
-1
0
0
-1
0
1
zj cj －zj
-3
-3
-2
1
4
0
-3
0
0
-1
-4
270
∵表中所有检验数均不大于0，且b’i≥0∴已达到最优 最优解为X=(0,4,16,0,0,10)T , Zmax=6×4+20×1=44 Z’min= Zmax=44
解法二:将LP问题化为
－X1十X2－X3 －3X4 =5
6X1十7X2十3X3－5X4 ≥8
12X1－ 9X2 － 9X3十9X4≤20
X1，X2，X3 ，X4≥0
16
(3)
17
§3-3 对偶基本理论或性质
一、对称性
➢ 对偶问题的对偶是原问题
二、弱对偶性
➢若 x, q 分别为（LP) 和（DP）的可行 解，那么cx ≤ bTq
q1 ， q2 ， q3 ≥0
8
cj→
6
cB XB B
x1
2 x3 16
0
0 x6 10
-1
3 x2 4
1
zj
3
cj －zj
3
cj→
20
cB qB B
q1
0 q4 3
0
6 q2 4
0
20 q1 1
1
zj
20
－zj
0
3
2
0
0
0
x2
x3
x4
x5
x6
0
1
-2
4
0
0
0
-1
0
1
1
0
1
-4
0
3
2
-1
-4
7
LP1与LP2的关系：
min Z=6XA十3XB十2XC
max w=20q1十6q2十10q3
s.t. XA十XB十XC
≥20
s.t. q1十1/2q2十2q3 ≤20
1/2XA十1/2XB十1/4XC ≥6
q1十1/2q2十q3 ≤3
2XA十XB十XC
≥10
q1十1/4q2十q3 ≤2
XA，XB，XC ≥0
2.将问题变换为统一形式，其中b可以为负数
➢原问题“max ≤” ➢原问题“min ≥”
对偶问题“min ≥” 对偶问题“max ≤”
对偶问题建立的规则；［请同学们抄写下来］
1，原问题目标函数求最大[或者最小]，则所有的约束条件符号 统一成小于或者等于[大于或者等于] 2，原问题一个行约束对应对偶问题的一个变量，如果行约束为 不等式，这个变量就大于等于零
-1/2
-1/2
-1/4
0
1
0
0 x6 -10
-2
-1
-1
0
0
1
zj cj － zj
0
0
0
0
0
0
-6
-3
-2
0
0
0
-2 x3 20
1
1
1
-1
0
0
0 x5 (-1) -1/4 -1/4*
0
-1/4
1
0
0 x6 10
-1
0
0
-1
0
1
zj cj －zj
-2
-2
-2
2
0
0
-4
-1
0
-2
0
0
-2 x3 16
0
1/2XA十1/2XB十1/4XC ≥6 2XA十XB十XC ≥10 XA，XB，XC ≥0 求解结果为：
4
cj→
6
cB XB B
x1
2 x3 16
0
0 x6 10
-1
3 x2 4
1
zj
3
cj －zj
3
3
2
0
0
0
x2
x3
x4
x5