山西省运城市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

山西省运城市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：先求出集合A，从而找出正确选项．解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}∴A∩B={x|x≥2}=B．故选C．点评：注意描述法所表示集合的元素．2．若“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3＜0”为假，则实数m的取值范围是( )A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6）D．（﹣6，﹣2）考点：特称；的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：先写出原的否定，再根据原为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．解答：解：“∃x0∈R，使得”的否定为：“∀x0∈R，都有”，由于“∃x0∈R，使得”为假，则其否定为：“∀x0∈R，都有”，为真，∴△=m2﹣4（2m﹣3）≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2，6]．故选A．点评：本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．3．若复数z满足（z﹣1）i=2+z，则z在复平面所对应点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数定义的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣1）i=2+z，∴z===，则z在复平面所对应点在第三象限．故选：C．点评：本题考查了复数定义的运算法则、几何意义，属于基础题．4．已知函数，则方程f（x）=1的解是( )A．或2 B．或3 C．或4 D．或4考点：函数的零点．专题：计算题．分析：由方程f（x）=1可得①，或②，分别求出①②的解集，取并集即得所求．解答：解：由方程f（x）=1可得①，或②，解①可得x=，解②可得x=4，故方程f（x）=1的解是x=或x=4，故选C．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，运行的结果为S=3，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是( )A．k＞6？B．k＜6？C．k＞5？D．k＜5？考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当S=3，k=6时，由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出运行的结果为S=3，故判断框中应填入的关于k的判断条件是：k＞5．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=360不满足条件，S=360，k=2不满足条件，S=180，k=3不满足条件，S=60，k=4不满足条件，S=15，k=5不满足条件，S=3，k=6由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出运行的结果为S=3，故判断框中应填入的关于k的判断条件是：k＞5．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A．2B．4 C．6 D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4+a25=5，则一定有( )A．a6是常数B．S7是常数C．a13是常数D．S13是常数考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．8．一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为( )A．6+πB．C．6+4πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加．解答：解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R==1，几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为2，3，圆的半径为1，侧视图的面积S=2×3+π×12=6+π．故选：A．点评：本题考查了由正视图与俯视图求侧视图的面积，判断数据所对应的几何量及求得相关几何量的数据是解题的关键．9．已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A．πB．2πC．3πD．4π考点：球内接多面体．专题：作图题；综合题；压轴题．分析：求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可．解答：解：如图，⇒AB=2r，∠ACB=90°，BC=，∴V三棱锥=，V球=，∴V球：V三棱锥=．点评：本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题．10．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=( )A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可．则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|=，|OA|=1，设∠APB=α，则，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=．故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．11．已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=2，则点（a，b）所在的直线为( )A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数进行化简，求出函数的对称轴即可得到结论．解答：解：f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx），令sinα=，则cosα=，即tanα=，则f（x）=cos（x﹣α），由x﹣α=kπ，得x=α+kπ，k∈Z，即函数的对称轴为x=α+kπ，k∈Z，∵x=x0是函数f（x）的一条对称轴，∴x0=α+kπ，则tanx0=tanα==2，即a=2b，即a﹣2b=0，则点（a，b）所在的直线为x﹣2y=0，故选：A点评：本题主要考查三角函数的化简，以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．12．设函数f（x）=e x+sinx，g（x）=x﹣2，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，则P，Q两点间最短距离为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．分析：求出导函数f′（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=e x+sinx﹣x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．解答：解：x≥0时，f'（x）=e x+cosx≥1+cosx≥0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（x1）=g（x2），所以+sinx1=x2﹣2，∴P，Q两点间的距离等于|x2﹣x1|=||，设h（x）=e x+sinx﹣x+2（x≥0），则h'（x）=e x+cosx﹣1（x≥0），记l（x）=h'（x）=e x+cosx﹣1（x≥0），则l'（x）=e x﹣sinx≥1﹣sinx≥0，∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3，∴|x2﹣x1|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．故选：B．点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知||=1，||=2，|+|=，则与的夹角为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得向量a，b的数量积，再由向量夹角公式，即可计算得到．解答：解：由||=1，||=2，|+|=，即有（+）2=3，++2=3，1+4+2=3，即有=﹣1，由cos＜，＞===﹣，且0≤＜＞≤π，则与的夹角为．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，以及向量夹角公式的运用，属于基础题．14．如图所示，在矩形OABC内任取一点P，则点P恰落在图中阴影部分中的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题是几何概型的考查，只要求出矩形OABC的面积以及阴影部分的面积，利用几何概型的公式解答即可．解答：解：由题意矩形OABC的面积为2×1=2，阴影部分的面积为2﹣=2﹣（）|=2﹣=，由几何概型的公式可得点P恰落在图中阴影部分中的概率为；故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积的方法．15．若正数a，b满足a+b=1，则+的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于正数a，b满足a+b=1，可化为+==2﹣，再利用即可得出．解答：解：∵正数a，b满足a+b=1，∴+=====2﹣==．当且仅当a=b=时取等号．∴+的最大值是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．16．已知双曲线（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当最小时，双曲线离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=•=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．解答：解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=•=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：k1k2=＞0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln（k1k2）最小时，k1k2==2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，解题时要注意构造法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=bcosC+．（1）求B；（2）若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）依据正弦定理化简已知可得sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，可得tanB=，又0＜B＜π，即可求B的值．（2）由2=+两边平方可得：4BD2=BA2+BC2+2BA•BCcosB=1+9+2×=13，可解得BD的值．解答：解：（1）依据正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，…∵sinA=sin（B+C），∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，化简可得：tanB=…又0＜B＜π∴B=…（2）∵2=+，…两边平方可得：4BD2=BA2+BC2+2BA•BCcosB=1+9+2×=13，…可解得：BD=…点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理，平面向量在解三角形中的应用，属于常考题，中档题．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（1）由已知条件推导出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能证明AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．解答：（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，∴△ABC是等边三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA，∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵E，F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），∴，，设平面AEF的一个法向量为，则取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴为平面AFC的一法向量．又，∴cos＜＞==．∵二面角E﹣AF﹣C为锐角，∴所求二面角的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．2014年11月10日APEC会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求出成绩在第3，4，5组的人数；（2）现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）利用频率分布直方图能求出成绩在第3，4，5组的人数．（2）①按分层抽样的方法在第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人，利用对立事件概率计算公式能求出甲或乙进入面试的概率．②X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．解答：解：（1）第3组的人数为：0.06×5×40=12，第4组人数为：0.04×5×40=8，第5组人数为：0.02×5×40=4．（2）按分层抽样的方法在第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人，①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，P（A）=1﹣=，∴甲或乙进入面试的概率为．②X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX==．点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列组合知识的合理运用．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1=S n+3n（n∈N*）．（1）求证：{S n﹣3n}是等比数列；（2）若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．考点：等比数列的性质；等比关系的确定；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=S n+3n（n∈N*），可得数列{S n﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；（2）n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，利用{a n}为递增数列，即可求a1的取值范围．解答：证明：（1）∵a n+1=S n+3n（n∈N*），∴S n+1=2S n+3n，∴S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）∵a1≠3，∴数列{S n﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列；（2）由（1）得S n﹣3n=（a1﹣3）×2n﹣1，∴S n=（a1﹣3）×2n﹣1+3n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，∵{a n}为递增数列，∴n≥2时，（a1﹣3）×2n﹣1+2×3n＞（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，∴n≥2时，，∴a1＞﹣9，∵a2=a1+3＞a1，∴a1的取值范围是a1＞﹣9．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点M（2，1），焦距为2．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l平行于OM，且与椭圆E交于A、B两个不同的点（与M不重合），连接MA、MB，MA、MB所在直线分别与x轴交于P、Q两点，设P、Q两点的横坐标分别为s，t，探求s+t是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点M（2，1）代入椭圆方程，利用椭圆E的焦距为2，计算即得结论；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），通过将直线l方程代入椭圆E的方程，利用韦达定理可得s、t的表达式，计算即得结论．解答：解：（1）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）过点M（2，1），∴，又∵椭圆E的焦距为2，∴2c=2，∴a=2，b=，∴椭圆E的方程为：；（2）结论：s+t为定值4．理由如下：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为：y=x+m（m≠0），将直线l方程代入椭圆E的方程，消去y整理可得：x2+2mx+2m2﹣4=0，由韦达定理可得：x1+x2=﹣2m，x1•x2=2m2﹣4，由题可知MA、MB的斜率一定存在且不为0，设为k1、k2，则直线MA的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），∴s=2﹣，同理可得t=2﹣，∴s+t=4﹣，又∵k1+k2=+===0，∴s+t=4为定值．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（Ⅱ）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导得到，由，f（1）=1+b=0，得到a与b的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到x0∈（3，4），进而得到n的值；（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x∈（1，e）上g（b）max=g（﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x0∈（1，e）使得x2﹣x﹣alnx＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a≥0，1﹣a＜0，看是否存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，进而得到结论．解答：解：（Ⅰ），∵x=2是函数f（x）的极值点，∴．∵1是函数f（x）的零点，得f（1）=1+b=0，由，解得a=6，b=﹣1．…∴f（x）=x2﹣x﹣6lnx，令=，x∈（0，+∞），得x＞2；令f′（x）＜0得0＜x＜2，所以f（x）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．…故函数f（x）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x0∈（2，+∞），因为f（2）＜f（1）=0，f（3）=6（1﹣ln3）＜0，f（4）=6（2﹣ln4）=0，所以x0∈（3，4），故n=3．…（Ⅱ）令g（b）=xb+x2﹣alnx，b∈[﹣2，﹣1]，则g（b）为关于b的一次函数且为增函数，根据题意，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则在x∈（1，e）上，有解，令h（x）=x2﹣x﹣alnx，只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于，令φ（x）=2x2﹣x﹣a，x∈（1，e），φ'（x）=4x﹣1＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）＞φ（1）=1﹣a，…①当1﹣a≥0，即a≤1时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上单调递增，∴h （x）＞h（1）=0，不符合题意．②当1﹣a＜0，即a＞1时，φ（1）=1﹣a＜0，φ（e）=2e2﹣e﹣a若a≥2e2﹣e＞1，则φ（e）＜0，所以在（1，e）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．若2e2﹣e＞a＞1，则φ（e）＞0，∴在（1，e）上一定存在实数m，使得φ（m）=0，∴在（1，m）上φ（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意．综上所述，当a＞1时，对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e 为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．…点评：本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。