平行线的判定及性质79777解析
平行线的判定与性质的条件和结论
平行线的判定与性质的条件和结论
在对平行线的判定与性质的条件和结论进行分析时，应考虑以下几个方面：
首先，有关两条直线的判定与性质，我们应该得出以下结论：如果两条直线l、l'之间存在唯一公共直线，即他们分别以入射角与出射角来标定时，这两条直线必定平行；反之，如果两条直线l、l'之间不存在唯一公共直线，即入射角与出射角不相等，这两条直线必定不平行。
其次，另外，有关平行线的性质，可以得出以下结论：当两条直线的斜率一致时，那么这两条直线必定是平行的；或者当两条直线分别平行于纵轴和横轴时，也就是，它们在竖直方向和水平方向上是平行的，此外，两条有公共点的直线也一定是平行的，即是它们的入射角与出射角相等。
最后，还有一种有关平行线的性质，就是“垂直”性质。
根据这一性质，可以得出结论：如果一点在平行线l、l'上，则以该点为顶点的任意一条垂线都能把同一平面内的平行线分割为两部分，因此，通过这种方式可以得出结论：在一个平面内，如果存在三条直线同时与两条其他线平行，那么这三条直线必定是互相垂直的。
总结起来，在对平行线的判定与性质的分析中，主要考虑到以下几点：1. 以入射角与出射角来判断直线是否平行；2. 如果两条直线斜率一致，则必定平行；3.如果两条直线分别平行于纵轴和横轴，或者存在公共点，则必定平行；4.如果一点在两条直线上，则任一垂线都可以把两条平行线分割开来；5.如果存在一组三条平行线，则必定相互垂直。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线是几何学中的一个重要概念，我们都知道平行线永不相交。
在本文中，我们将介绍平行线的性质以及如何判定两条线是否平行。
同时，我们还会探讨平行线与其他图形之间的关系。
一、平行线的性质平行线的性质是几何学中的基础知识，下面我们将讨论几个与平行线相关的重要性质。
1. 对应角相等性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角相等。
这个性质在解决几何问题中具有重要意义，可以通过对应角的等量关系简化问题的解决过程。
2. 内错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的内错角相等。
这个性质常用于解决与平行线相关的证明问题。
3. 外错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的外错角相等。
这个性质也常用于证明和解决几何问题。
4. 交替内角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的交替内角相等。
这个性质在证明平行线的存在性和解决几何问题中经常使用。
以上是平行线的一些重要性质，它们在几何学中被广泛应用，并且有助于解决各种类型的几何问题。
二、平行线的判定在几何学中，判定两条线是否平行是一种常见问题。
下面我们将介绍一些常用的判定方法。
1. 垂直判定：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互为垂直线，即相互垂直。
2. 角度判定：当一条直线与另一条直线所形成的内错角或外错角相等时，这两条直线是平行线。
3. 距离判定：如果两条直线上的任意两个点之间的距离在任意位置都相等，那么这两条直线是平行线。
这些判定方法都是基于几何学中的一些基本原理，通过应用这些原理，我们可以快速准确地判断两条线是否平行。
三、平行线与其他图形的关系平行线与其他图形之间存在着一些特殊的关系，下面我们将介绍一些常见的关系。
1. 平行线与平面角：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的平面角相等。
2. 平行线与四边形：在一个平行四边形中，两对相对的边是平行线，且两对相对的角相等。
3. 平行线与三角形：当一条直线平行于三角形的一边时，它将与另外两条边各自形成相似三角形。
平行线的判定和性质讲义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1． 由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1） 同位角 相等，两直线平行。
.（2） 内错角相等，两直线平行。
（3） 同旁内角互补，两直线平行。
（4） 垂直于同一直线的两直线平行（5） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2） 两直线平行，内错角相等。
（3） 两直线平行， 同旁内角互补。
【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断． 注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】 如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】 如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
平行线的判定是几何学中的一个重要概念，也是许多定理的基础。
本文将探讨平行线的判定方法以及它们的性质。
一、平行线的判定方法在几何学中，常用的平行线判定方法有以下几种：1.对应角相等当两条直线被一条横截线所剖分时，如果对应角相等，那么这两条直线就是平行线。
2.同位角相等当两条直线被多条平行线所剖分时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
3.内错角相等当两条直线被一条横截线所剖分时，如果内错角相等，那么这两条直线就是平行线。
4.斜率相等当两条直线的斜率相等时，这两条直线就是平行线。
斜率是描述直线倾斜程度的数值。
以上是常用的平行线判定方法，通过这些方法我们可以方便地判断两条直线是否平行。
二、平行线的性质平行线具有一些独特的性质，下面我们将介绍其中几个常见的性质。
1.平行线的任意两个内错角、外错角和同位角之和都等于180度。
2.当一条直线与两条平行线相交时，位于两平行线之间的对应角相等。
3.平行线与一条横截线相交时，内错角相等，外错角相等。
4.平行线的斜率相等。
这些性质使得平行线在几何学中具有重要的地位。
我们可以通过运用这些性质来解决与平行线相关的问题，比如证明两条直线平行或者计算平行线的角度。
总结通过对平行线的判定方法与性质的介绍，我们可以看到平行线在几何学中的重要性。
判定平行线的方法不仅有助于我们解决各种几何问题，而且能够帮助我们更好地理解几何学中的各种规律与定理。
同时，深入了解平行线的性质也有助于我们在实际生活中运用几何学知识分析和解决问题。
希望通过本文的介绍，读者能够对平行线的判定与性质有更清晰的理解。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
平行线的性质和判定方法
平行线的性质和判定方法在几何学中，平行线是指在同一平面中不相交且永不相交的两条直线。
平行线的研究是几何学的基础之一，它具有一系列独特的性质和判定方法。
本文将重点介绍平行线的性质和判定方法，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。
一、平行线的性质1. 等倾性：如果一条直线与一对平行线相交，那么它把这对平行线分成两个等倾的交错三角形。
2. 备注角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的任一对应角，它们的对应角相等，即对应角相等是平行线的必要且充分条件。
3. 内错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的内错角，它们的内错角之和为180°。
4. 外错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的外错角，它们的外错角之和也为180°。
5. 直角性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么它与这两条平行线所形成的内错角相等，也与这两条平行线所形成的外错角相等。
以上是平行线的一些典型性质，它们对于解决几何学中的相关问题具有重要的作用，需要熟练掌握。
二、平行线的判定方法1. 通过角度判定：如果两条直线的夹角等于180°，则它们是平行线。
这是最简单且直观的判断方法，适用于已知夹角度数的情况。
2. 通过斜率判定：两条直线平行的概念也可以通过斜率来判定。
如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行线。
3. 通过向量判定：设直线L1的一个向量为a，直线L2的一个向量为b，如果向量a与向量b共线，则直线L1与直线L2是平行线。
4. 通过等距判定：如果两条直线上的任意两点之间的距离相等，则这两条直线是平行线。
这种判定方法适用于已知直线上的坐标点的情况。
需要注意的是，以上的判定方法有时并不是充分条件，例如斜率相等只能说明两条直线可能平行，还需要结合其它条件来综合判断是否为平行线。
综上所述，平行线具有一系列独特的性质和判定方法，适用于解决不同类型的几何问题。
平行线的判定和性质
a bc 12武汉龙文教育学科辅导教案学生教师学科时间星期时间段【知识点复习讲解】一、平行线的判定公理:同位角相等,两直线平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b.判定定理1:内错角相等,两直线平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b.判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=180 , ∴a∥b.二、平行线的性质公理:两直线平行,同位角相等.∵a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理1:两直线平行,内错角相等.∵a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b, ∴∠1+∠2=1800a bc21 abc12一、平行线的判定例1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．练习：1.若a⊥c，b⊥c，则a b ．2．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ．3.如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）．5．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ．A CB 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A BC ED 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b例2．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）练习：1．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ．2．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 3．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）；例3.如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．练习：1.如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．2．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线是几何学中常见的重要概念之一。
在我们的日常生活中，平行线也有着广泛的应用。
本文将介绍平行线的判定方法以及它们的性质。
一、平行线判定方法在几何学中，有三种常见的方法可以判定两条线是否平行：1. 共线性判定法如果两条直线上的某个点与另两个不同的点的连线分别平行，那么这两条直线就是平行线。
2. 夹角判定法如果两条直线上的两个夹角相等（不等于 180 度），那么这两条直线是平行线。
3. 斜率判定法如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
二、平行线的性质平行线具有许多有趣的性质，下面我们逐一介绍。
1. 对应角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的对应角是相等的。
2. 内错角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的内错角互补，即它们的和等于 180 度。
3. 外错角性质如果两条平行线被一条截线所交，那么交线两边所成的外错角是相等的。
4. 平行线之间的距离性质如果一条直线与一组平行线相交，那么从这条直线到任意平行线的距离都相等。
5. 平行线与平行线之间的距离性质如果有两组平行线相交，那么它们之间的距离是恒定的。
三、平行线的应用案例平行线在我们的日常生活中有许多应用。
以下是几个实际案例：1. 铁路与公路铁路中的两条平行线代表了两条不同方向的铁轨，保持平行关系确保了火车行驶的稳定性。
与之类似，公路中的车道也是平行的，使车辆能够有序行驶。
2. 建筑设计在建筑设计中，平行线常用于规划建筑物的布局。
比如，设计师可能会使用平行线来确定房间的大小和形状，从而达到美观和实用的目的。
3. 数学问题平行线也经常出现在数学问题中。
例如，计算几何中的一些证明和问题解决，会涉及到平行线的性质和判定方法。
四、总结平行线是几何学中的重要概念，具有多种判定方法和性质。
了解平行线的判定方法和性质有助于我们更好地理解几何学和应用它们于实际问题中。
无论是在日常生活还是学习中，平行线都有其重要的作用。
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平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90º ∴αβ与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180º ∴αβ与互为补角 二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.2、内错角相等, 两直线平行.3、同旁内角互补, 两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；2. 两直线平行, 内错角相等；3. 两直线平行, 同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余角有_________________________________； 互补角有_________________________________；变式训练：1. 一个角的余角比它的的13还少20º，则这个角为_____________。
2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD 是∠AOB的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=12∠EOC, ∠DOE=72º, 求∠EOC的度数。
二、“三线八角”例2 （1） 如图，哪些是同位角？内错角？同旁内角？EDCB AOAB C DEF1 2 3 4 567 8 2 3（2） 如图，下列说法错误的是（ ）A. ∠1和∠3是同位角B. ∠1∠5是同角C. ∠1和∠2是内角D. ∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有同位角 对，内错角 对，同旁内角 。
三、平行线的判定例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2∴ _____∥_____， （ ） ② ∵ ∠2＝_____∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180º∴ ____∥_____， （ ） ∴ AC ∥FG ， （ ）变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B∴ ∥_____， （ ） ∵ ∠1/∠2∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180º，∴ AB ∥EF ( )例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,ABCDG1 32 CA BED1 ABCD EF123 1 2 34 576变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180º, 则a ∥c 平行吗？五、平行线的性质例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC 的度数。
变式训练：1．如图所示，L 1L 2，则∠1=_____．（浙江省中考题）2．（兰州·中考题） 如图所示，AB ∥CD,MN 交CD 于点E,F,GE ⊥MN 于点E ， 若∠DEG=60°，求 ∠AFE 的度数。
【名书·名校·竞赛·中考在线】1. (2009青岛市)如图，已知AB ∥CD,∠1=100º，∠2=120º，则∠α= 。
ab cd e123 4ADBCP2 α2. （2011山东日照，）如图，已知直线AB CD ∥，125C ∠=°，45A ∠=°，那么E ∠的大小为（ ）（A ）70°（B ）80°（C ）90°（D ）100°3. 如图，∠BED=∠B+∠D 则AB 与CD 有怎样的位置关系？请说明理由。
（2010·培优）4. （2010武汉）如图，点P 是四边形ABCD 的边CD 上任意一动点，且∠C=∠1+∠2. 请问AD 与BC 有怎样的位置关系？请说明你判断的理由。
5. （第18届北京市“迎春杯”竞赛题）已知∠A 的两条边和∠B 的两条边分别行，且∠A 比∠B 的3少20°，求 ∠B 的度数。
6 . （2008·培优）如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 三点在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE 是∠DAC 的线，求证：AE ∥BC 。
BC D EAA B C DP 1 221E DC A平行线的判定与性质（二）（拓展训练）【知识要点】一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：1. 由角定角确定其它角的关系2. 由线定线确定其它两直线平行二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析：1. 由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。
2. 执果溯因（分析法）：即——要得到结论需要具备什么条件。
所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与未知的转化与沟通。
三、简单的面积问题：1. 计算图形面积的常用方法：①和差法②运动法③等积变形法2. 求图形面积的常用技巧：寻找共用的三角形。
【典型例题】例1 (拐弯行走问题) 如图，某人从A点出发，每前进10米，就向右转18°，再前进10米，又向右转18°，这样下去，他回到出发地点时，一共走了________米．变式训练：1.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C= ．2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）．（A）第一次向左拐70°，第二次向右拐30°（B）第一次向右拐60°，第二次向左拐130°A A A218º18º（C ）第一次向右拐60°，第二次向右拐130° （D ）第一次向左拐70°，第二次向左拐130°例2（翻折问题） 将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，求 ∠A 的度数．变式训练：1. 如图，将长方形ABCD 纸片沿BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ，若∠DBC =22.5°，则在不添加任何辅助线的 情况下，图中4°的角有（ ）． （虚线也视为角的边）（A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个2. 如图 ①，已知长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图案②，再沿BF 折叠成图案③，则③中的∠CFE 的度数是__________。
例3．（平行线的性质和判定的应用）1.如图, 已知：∠1=∠2. ∠3=∠4，∠5=∠6.求证: AD ∥BC.A DBC CD E 46① A BCD E FB C D E A C '2．如图，已知CD ∥AB 于D ，EF ∥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数．变式练习：1. 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．∠EAD =∠BAC 吗？说说你的理由．12 AB CDF G E2. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E=∠F ，为什么？例5.（综合应用） 如图，已知M 是AB 的中点，N 是BC 上的一点,CN=2BN, 连接AN 交MC 于O 点，若四边形OMBN 的面积为14cm 2.求：（1）CO:OM 的值。
（2）⊿ABC 的面积(2008年两岸四地少年数学精英邀请赛试题)O NMCB A1 2 AB CDE F变式训练：如图,已知⊿ABC 的面积是60，BE:CE=3:1，AD:CD=3:1，求四边形ECDF 的面积。
（“华赛杯”试题）【名书·名校·竞赛·中考在线】1．(2007 福州、)如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．）（1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ．ABCDE F（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠P AC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明．思考题：1. 已知O为平面上一点，过O在这个平面上引2005条不同的直线l1、l2、l3、…l2005，则可形成对以O为顶点的对顶角。
（山东省竞赛题）2.若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有对同旁内角。
（第17届江苏省竞赛题）3. 在同一平面内有2002条直线a1、a2、…、a2002，如果a1⊥a2, a2∥a3、a3⊥a4、a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是。
5。