冀州中学 走向985 高三数学高考密卷
河北省冀州市中学2012年高三密卷一(数学理).pdf
冀州市中学2012年高三密卷（一） 一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． ，则=( ) （B） （C） （D）? 2.已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是( ) （A） （B） （C) (D） 3.要得到函数的图象，可以将函数的图象( ) 沿轴向左平移个单位 （B）沿向右平移个单位 （C）轴向左平移个单位 （D）沿向右平移个单位 4.右图所示的是根据输入的值计算的值的程序框图，若依次 取数列中的项，则所得值的最小值为( ) （A）4 （B）8 (C)16 （D)32 5.如图，由曲线，直线与轴围成的阴影部分 的面积是( ) （A）1 （B）2 （C） （D）3 6. 已知的顶点在原点, 始边与轴非负半轴重合, 终边过, 则 ( ) A. B. C. D. 7.已知－9，等于( ) A. B. C. D. 8．已知，则是( ) （A）最小正周期为的奇函数 （B）最小正周期为的奇函数 (C)最小正周期为的偶函数 （D）最小正周期为的偶函数 9.在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名。
并且日语和俄语都要求必须有男生参加。
学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( ) 20种 （B）22种 （C）24种 （D）36种 10.已知正三棱柱的正（主）视图和侧 （左）视图如图所示。
设 的中心分别是 ，现将此三棱柱绕直线旋转，在旋转过程中对 应的俯视图的面积为S，则S的最大值为 ( ) （A）4 （B）8 (C)12 （D）16 11.已知在中，的平分线AD交边BC于点D，且，则AD的长为( ) （A） （B） （C）1 （D）3 12．双曲线，焦点,它的一个顶点到一条渐近线的距离为，则其离心率为（ ） （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2023-2024学年河北省衡水市冀州中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省衡水市冀州中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列表示图中的阴影部分的是（ ）A ．（A ∪C ）∩（B ∪C ） B ．（A ∪B ）∩（A ∪C ） C ．（A ∪B ）∪（B ∪C ）D ．（A ∪B ）∩C2．若复数z ＝1+i 2023（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝2|b →|，且（a →−b →）⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．函数f(x)=x 2log 42+x2−x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数y ＝cos （2x +4π5）的图象上各点向右平行移动π2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A ．y =4cos(4x −π5)B ．y =4sin(4x +π5)C ．y =4cos(4x −4π5) D ．y =4sin(4x +4π5)6．已知数列{a n }的首项为1，D 是△ABC 边BC 所在直线上一点，且AC →=3(a n +1)AD →−(a n+1−2)AB →，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．3n ﹣2 B ．3n +1﹣2 C ．5×(−3)n−1−14D ．5×(−3)n −147．已知正方形ABCD 的边长为2，将△ACD 沿AC 翻折到△ACD ′的位置，得到四面体D ′﹣ABC ，在翻折过程中，点D ′始终位于△ABC 所在平面的同一侧，且BD ′的最小值为√2，则点D 的运动轨迹的长度为（ ） A ．πB ．2πC ．2√2π3D ．4√2π38．已知三角形ABC 中，BC ＝3，角A 的平分线交BC 于点D ，若BDDC =12，则三角形ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列命题中正确的是（ ）A ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则a 2+b 2≥12B ．命题：“∀x ≥0，x 2≥0”的否定是“∃x ＜0，x 2＜0”C ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]D ．若函数f(√x −1)=x −3√x ，则f （x ）＝x 2﹣x ﹣2（x ≥﹣1）10．已知A ，B 是函数f(x)=tan(3x +π6)的图象与直线y ＝3的两个交点，则下列结论正确的是（ ）A ．|AB|min =π3B ．f （x ）的定义域为{x ∈R|x ≠3kπ+3π2，k ∈Z} C ．f （x ）在区间(0，π6)单调递增D ．f （x ）的图象的对称中心为点(kπ6−π18，0)，k ∈Z 11．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，S 1＝4，S 2＝8，4S n ＝S n +1+4S n ﹣1（n ≥2），则下列说法正确的是（ ） A ．S 4＝32B ．{a n +1﹣2a n }是等比数列C ．a n ={4，n =12n+1−4，n ≥2D ．a n ={4，n =12n，n ≥212．设函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）＝f （2﹣x ），f （x ）＝﹣f （x +2），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝e x ﹣2x ﹣1，则（ ） A ．f （x ）是奇函数 B ．f （2023）＝e ﹣3C ．f （x ）的值域是[1﹣2ln 2，2ln 2﹣1]D ．方程f （x ）＝3﹣e 在区间[0，2024]内恰有1518个实数解 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知等差数列{a n }满足a 1=4，a 3+a 5=a 42+1，则a 7＝ ．14．已知函数f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），y ＝f （x ）+e x 为偶函数，y ＝f （x ）﹣2e x 为奇函数，则f （x ）的最小值为 ．15．在三棱锥A ﹣BCD 中，∠ABD ＝∠ABC ＝60°，BC ＝BD ＝2，AB ＝4，则三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，C ＝60°，BD →=DC →2+DA →，则DA →⋅DB→的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }为等比数列，在数列{b n }中，b 1＝2，b 2＝4，且a n +1＝a n （b n +1﹣b n ）． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）若a 1＝1，c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．（12分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=√62，且cos α＜sin α．（1）求角α的大小；（2）已知函数f （x ）＝sin2x +2sin 2（x +α），若f （x ）在区间（0，m ）上有极大值，无极小值，求m 的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=−2a 2lnx +12x 2+ax(a ∈R)．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）的单调性．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=√2，a n ＞0，a n +1•（S n +1+S n ）＝2． （1）求S n ；（2）求1S 1+S 2+1S 2+S 3+⋯+1S n +S n+1．21．（12分）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC ＝CD ，设∠COB ＝θ． （1）当θ=π6时，求四边形ABCD 的面积；（2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值．22．（12分）已知函数f （x ）＝sin 3x cos x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数． （1）求f （x ）在（0，2π）上的极值；（2）设n ∈N *，求证：sin 2x •sin 22x •sin 24x …sin 22nx ≤3n4n ．2023-2024学年河北省衡水市冀州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列表示图中的阴影部分的是（ ）A ．（A ∪C ）∩（B ∪C ） B ．（A ∪B ）∩（A ∪C ） C ．（A ∪B ）∪（B ∪C ）D ．（A ∪B ）∩C解：图中阴影部分表示元素满足：是C 中的元素，或者是A 与B 的公共元素， 故可以表示为C ∪（A ∩B ）， 也可以表示为：（A ∪C ）∩（B ∪C ）， 结合选项可知应为：（A ∪C ）∩（B ∪C ）． 故选：A ．2．若复数z ＝1+i 2023（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为z ＝1+i 2023＝1﹣i ，所以z =1+i 在复平面上对应的点为（1，1），该点在第一象限． 故选：A ．3．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝2|b →|，且（a →−b →）⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵（a →−b →）⊥b →，∴(a →−b →)⋅b →=a →⋅b →−b →2=|a|→|b|→cos ＜a →，b →＞−b →2=0， ∴cos ＜a →，b →＞=|b|→2|a|→|b|→=|b|→22|b|→2=12，∵＜a →，b →＞∈[0，π]，∴＜a →，b →＞=π3．故选：B ． 4．函数f(x)=x 2log 42+x2−x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：方法一：因为2+x2−x ＞0，即（x +2）•（x ﹣2）＜0，所以﹣2＜x ＜2，所以函数f(x)=x 2log 42+x2−x的定义域为（﹣2，2），关于原点对称， 又f(−x)=(−x)2log 42−x2+x=−f(x)，所以函数f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除B ，C ； 当x ∈（0，2）时，2+x 2−x＞1，即log 42+x2−x ＞0，因此f （x ）＞0，故排除A ．故选：D ．方法二：由方法一，知函数f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，C ； 又f(1)=12log 23＞0，所以排除A ．故选：D ． 5．将函数y ＝cos （2x +4π5）的图象上各点向右平行移动π2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A ．y =4cos(4x −π5)B ．y =4sin(4x +π5)C ．y =4cos(4x −4π5) D ．y =4sin(4x +4π5) 解：由题意函数y =cos(2x +4π5)的图象上各点向右平移π2个单位长度，得到y =cos(2x −π+4π5)=cos(2x −π5)，再把横坐标缩短为原来的一半，得到y =cos(4x −π5)，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到y ＝4cos(4x −π5)，考察四个选项知，A 是正确的 故选：A ．6．已知数列{a n }的首项为1，D 是△ABC 边BC 所在直线上一点，且AC →=3(a n +1)AD →−(a n+1−2)AB →，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．3n ﹣2 B ．3n +1﹣2 C ．5×(−3)n−1−14D ．5×(−3)n −14解：依题意，由B ，C ，D 三点共线，可得3（a n +1）﹣（a n +1﹣2）＝1，化简整理，可得a n +1＝3a n +4， 两边同时加2，可得a n +1+2＝3a n +4+2＝3（a n +2）， ∵a 1+2＝3，∴数列{a n +2}是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴a n +2=3×3n−1=3n ， ∴a n =3n −2，n ∈N *． 故选：A ．7．已知正方形ABCD 的边长为2，将△ACD 沿AC 翻折到△ACD ′的位置，得到四面体D ′﹣ABC ，在翻折过程中，点D ′始终位于△ABC 所在平面的同一侧，且BD ′的最小值为√2，则点D 的运动轨迹的长度为（ ） A ．πB ．2πC ．2√2π3D ．4√2π3解：设方形ABCD 对角线AC 与BD 交于O ，由题意，翻折后BD ′=√2时，△OD ′B 为边长为√2的等边三角形，此时∠D ′OB =π3，若继续翻折BD ′＜√2，如下图示BD ′=√2，所以点D 的运动轨迹是以O 为圆心，√2为半径的圆心角为2π3的圆弧，所以点D的运动轨迹的长度为2π3×√2=2√2π3．故选：C．8．已知三角形ABC中，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，若BDDC=12，则三角形ABC面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．4解：因为角A的平分线交BC于点D，若BDDC=12，由角平分线的性质可得ABAC=BDDC=12，设AB＝x，则AC＝2x，BC＝3，由余弦定理可得cos A=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=5x2−94x2，所以sin A=√(4x2)2−(5x2−9)24x2=√−9x4+90x2−814x2=3√−x4+10x2−94x2，所以S△ABC=12AB•AC•sin A=12•2x2•3√−x4+10x2−94x2=34•√−x4+10x2−9=34•√−(x2−5)2+16≤34•√16=3，当x2＝5时，即x=√5时取等号．所以三角形ABC面积的最大值为3．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题中正确的是（）A．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则a2+b2≥12B．命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是“∃x＜0，x2＜0”C．已知函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（x）的定义域为[﹣1，3]D．若函数f(√x−1)=x−3√x，则f（x）＝x2﹣x﹣2（x≥﹣1）解：对于A，由a＞0，b＞0，a+b＝1，得b＝1﹣a，且0＜a＜1，则a2+b2=a2+(1−a)2=2a2−2a+1=2(a−12)2+12，0＜a＜1，所以当a=12时，a2+b2取到最小值12，所以a2+b2≥12，故A正确；对于B，“∀x≥0，x2≥0”的否定是“∃x≥0，x2＜0”，故B错误；对于C，f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]，设t＝2x+1，当x∈[﹣1，1]时，t∈[﹣1，3]，故f（x）的定义域为[﹣1，3]，C正确；对于D ，令t =√x −1，则√x =t +1，t ≥﹣1，由f(√x −1)=x −3√x ，得f （t ）＝（t +1）2﹣3（t +1）＝t 2﹣t ﹣2，t ≥﹣1， 所以函数f （x ）的表达式为f （x ）＝x 2﹣x ﹣2，x ≥﹣1，D 正确． 故选：ACD ．10．已知A ，B 是函数f(x)=tan(3x +π6)的图象与直线y ＝3的两个交点，则下列结论正确的是（ ）A ．|AB|min =π3B ．f （x ）的定义域为{x ∈R|x ≠3kπ+3π2，k ∈Z} C ．f （x ）在区间(0，π6)单调递增D ．f （x ）的图象的对称中心为点(kπ6−π18，0)，k ∈Z 解：因为A ，B 是函数f(x)=tan(3x +π6)的图象与直线y ＝3的交点，所以|AB |的最小值为函数f （x ）的最小正周期，T =π3，所以|AB|min =π3，故A 正确；令3x +π6≠π2+kπ，k ∈Z ，解得x ≠π9+kπ3，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x ∈R|x ≠π9+kπ3，k ∈Z}，故B 错；因为x ∈(0，π6)，所以3x +π6∈(π6，2π3)，因为函数y ＝tan x 在(π6，2π3)上不单调，所以函数f （x ）在(0，π6)上不单调，故C 错；令3x +π6=kπ2，k ∈Z ，解得x =−π18+kπ6，k ∈Z ，所以f （x ）的对称中心为点(−π18+kπ6，0)，k ∈Z ，故D 正确． 故选：AD ．11．已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，S 1＝4，S 2＝8，4S n ＝S n +1+4S n ﹣1（n ≥2），则下列说法正确的是（ ） A ．S 4＝32B ．{a n +1﹣2a n }是等比数列C ．a n ={4，n =12n+1−4，n ≥2D ．a n ={4，n =12n ，n ≥2解：由题意可知S 3＝4S 2﹣4S 1＝16，所以S 4＝4S 3﹣4S 2＝32，故A 正确； 因为a 3﹣2a 2＝S 3﹣S 2﹣2（S 2﹣S 1）＝S 3﹣3S 2+2S 1＝0， 所以{a n +1﹣2a n }不能是等比数列，故B 错误；因为4S n ＝S n +1+4S n ﹣1（n ≥2），即S n +1＝4S n ﹣4S n ﹣1（n ≥2），所以S n+1−2S n =21(S n −2S n−1)=22(S n−1−2S n−2)=⋯=2n （S 2﹣2S 1）＝0， 所以S n +1﹣2S n ＝0，即S n+1S n=2，又因为S 2S 1=84=2，所以{S n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以S n =4×2n−1=2n+1，所以a 1=S 1=4，a n =S n −S n−1=2n+1−2n =2n (n ≥2)， 即a n ={4，n =12n ，n ≥2，故选项C 错误；D 正确．故选：AD ．12．设函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）＝f （2﹣x ），f （x ）＝﹣f （x +2），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝e x ﹣2x ﹣1，则（ ） A ．f （x ）是奇函数 B ．f （2023）＝e ﹣3C ．f （x ）的值域是[1﹣2ln 2，2ln 2﹣1]D ．方程f （x ）＝3﹣e 在区间[0，2024]内恰有1518个实数解解：函数f （x ）的定义域为R ，关于原点对称，因为f （x ）＝f （2﹣x ），所以f （﹣x ）＝f （x +2）， 又因为f （x +2）＝﹣f （x ），所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）是奇函数，A 正确； 由f （x ）＝﹣f （x +2），得f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），所以f （x ）以4为周期，因为f （2023）＝f （4×506﹣1）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝3﹣e ，所以f （2023）＝3﹣e ，故B 错误； 因为当x ∈（0，1]时，f （x ）＝e x ﹣2x ﹣1，所以f ′（x ）＝e x ﹣2， 当0＜x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，当ln 2＜x ≤1时，f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，1）上单调递增，所以f （x ）min ＝f （ln 2）＝1﹣2ln 2，又f （1）＝e ﹣3＜0，所以f （x ）∈[1﹣2ln 2，0）． 因为f （x ）为奇函数，所以当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）∈[0，2ln 2﹣1]，因为f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，所以当x ∈[﹣1，3]时，f （x ）∈[1﹣2ln 2，2ln 2﹣1]， 因为f （x ）的周期为4，所以当x ∈R 时，f （x ）∈[1﹣2ln 2，2ln 2﹣1]，故C 正确； 方程f （x ）＝3﹣e 的解的个数，即y ＝f （x ）的图象与y ＝3﹣e 的图象交点个数． 因为y ＝f （x ）的周期为4，且当x ∈[0，4]时，y ＝f （x ）与y ＝3﹣e 有3个交点， 所以当x ∈[0，2024]时，y ＝f （x ）与y ＝3﹣e 有20244×3=1518个交点，故D 正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知等差数列{a n}满足a1=4，a3+a5=a42+1，则a7＝﹣2．解：在等差数列{a n}中，∵等差数列{a n}满足a1=4，a3+a5=a42+1，又a3+a5＝2a4，∴a42−2a4+1＝0，解得a4＝1，又a1＝4，而a1+a7＝2a4，解得a7＝﹣2．故答案为：﹣2．14．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），y＝f（x）+e x为偶函数，y＝f（x）﹣2e x为奇函数，则f（x）的最小值为√3．解：y＝f（x）+e x是偶函数，所以f（﹣x）+e﹣x＝f（x）+e x，y＝f（x）﹣2e x是奇函数，所以f（﹣x）﹣2e﹣x＝﹣f（x）+2e x，两式联立解得f(x)=12e x+32e−x，由基本不等式得f(x)=12e x+32e−x≥12×2√e x⋅3e−x=√3，当且仅当e x＝3e﹣x，即x=ln√3时，等号成立，因此f（x）的最小值是√3．故答案为：√3．15．在三棱锥A﹣BCD中，∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝2，AB＝4，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为16 π．解：由∠ABD＝∠ABC＝60°，BC＝BD＝2，AB＝4，根据余弦定理可得 AC =AD =2√3， 则 AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，取AB 中点O ，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ， 则三棱锥A ﹣BCD 外接球的直径为AB ＝4， 故三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为4π⋅(AB 2)2=16π． 故答案为：16π．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，C ＝60°，BD →=DC→2+DA →，则DA →⋅DB→的最大值为 −8825． 解：由题意，BD →=DC →2+DA →=32DC →+CA →=−32CD →+CA →，BD →=BC →+CD →，消去BD →得：CD →=25(CA →+CB →)，因为DA →⋅DB →=(DC →+CA →)⋅(DC →+CB →)=(35CA →−25CB →)⋅(35CB →−25CA →)=−625(a 2+b 2)+1325abcos60°，由cos60°=a 2+b 2−162ab，得a 2+b 2＝ab +16≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以0＜ab ≤16， 所以原式=−625(16+ab)+1350ab =150ab −9625≤−8825． 故答案为：−8825．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n }为等比数列，在数列{b n }中，b 1＝2，b 2＝4，且a n +1＝a n （b n +1﹣b n ）． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）若a 1＝1，c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ． 解：（1）设数列{a n }的公比为q ， 由a n +1＝a n （b n +1﹣b n ），知b n +1﹣b n =a n+1a n=q ，为常数，所以数列{b n }是等差数列，设其公差为d ， 由b 1＝2，b 2＝4，知d ＝2，所以b n ＝2+（n ﹣1）×2＝2n ，且q ＝2， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ． （2）由（1）知a n+1a n=2，若a 1＝1，则a n ＝2•2n ﹣1＝2n ， 所以c n ＝a n +b n ＝2n +2n ，所以S n ＝（21+2）+（22+4）+（23+6）+…+（2n+2n ）＝（21+22+23+ (2)）+（2+4+6+…+2n ）=2−2n⋅21−2+n(2+2n)2=2n +1﹣2+n 2+n ． 18．（12分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=√62，且cos α＜sin α．（1）求角α的大小；（2）已知函数f （x ）＝sin2x +2sin 2（x +α），若f （x ）在区间（0，m ）上有极大值，无极小值，求m 的取值范围．解：（1）因为sinα+cosα=√62，所以(sinα+cosα)2=1+sin2α=32，则sin2α=12，因为α∈（0，π）， 所以2α∈（0，2π）， 则2α=π6或2α=5π6，解得α=π12或α=5π12， 因为cos α＜sin α， 所以α=5π12； （2）由（1）知f(x)=sin2x +2sin 2(x +5π12)=sin2x +1−cos(2x +5π6) =32sin2x +√32cos2x +1=√3sin(2x +π6)+1， 当x ∈（0，m ）时，2x +π6∈(π6，2m +π6)，因为f（x）在区间（0，m）上有极大（最大）值，无极小（最小）值，所以π2＜2m+π6≤3π2，解得π6＜m≤2π3，则m的取值范围为(π6，2π3]．19．（12分）已知函数f(x)=−2a2lnx+12x2+ax(a∈R)．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性．解：（1）当a＝1时，f(x)=−2lnx+12x2+x，f′(x)=−2x+x+1，f′(1)=−2+1+1=0，f(1)=32，所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=3 2．（2）f′(x)=x2+ax−2a2x=(x+2a)(x−a)x，①当a＝0时，f′（x）＝x＞0，所以函数在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，令f′（x）＝0，则x1＝﹣2a（舍）或x2＝a，f′（x）＜0，0＜x＜a，当x∈（0，a）时，函数f（x）单调递减；f′（x）＞0，x＞a，当x∈（a，+∞）时，函数f（x）单调递增．③当a＜0时，令f′（x）＝0，则x1＝﹣2a或x2＝a（舍），f′（x）＜0，0＜x＜﹣2a，当x∈（0，﹣2a）时，函数f（x）单调递减；f′（x）＞0，x＞﹣2a，当x∈（﹣2a，+∞）时，函数f（x）单调递增．综上所述：当a＝0时，函数在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上单调递减，函数f（x）在（a，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数f（x）在（0，﹣2a）上单调递减，函数f（x）在（﹣2a，+∞）上单调递增．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=√2，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2．（1）求S n；（2）求1S1+S2+1S2+S3+⋯+1S n+S n+1．解：（1）a1=√2，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2，可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，即数列{S n2}为首项为2，公差为2的等差数列，可得S n2＝2+2（n﹣1）＝2n，由a n＞0，可得S n=√2n；（2）1S n+S n+1=√2n+√2(n+1)=√22（√n+√n+1）=√22（√n+1−√n），即有1S1+S2+1S2+S3+⋯+1S n+S n+1=√22（√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n）=√22（√n+1−1）．21．（12分）如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC＝CD，设∠COB＝θ．（1）当θ=π6时，求四边形ABCD的面积；（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．解：（1）连结OD，则∠COD=π6，∠AOD=2π3，所以四边形ABCD的面积为S四边形ABCD＝S四边形OBCD+S△AOB=2×12×1×1×sinπ6+12×1×1×sin2π3=2+√34（km2）；（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，由正弦定理得BCsinθ=OBsinπ−θ2=1cosθ2，所以BC＝CD=sinθcosθ2=2sinθ2，同理在△AOD中，∠OAD＝θ，∠DOA＝π﹣2θ，由正弦定理得DAsin(π−2θ)=ODsinθ，所以DA=sin2θsinθ=2cosθ，所以l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2)，0＜θ＜π2；令t =sin θ2(0＜t ＜√22)，所以l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5，当t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5．22．（12分）已知函数f （x ）＝sin 3x cos x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数． （1）求f （x ）在（0，2π）上的极值；（2）设n ∈N *，求证：sin 2x •sin 22x •sin 24x …sin 22nx ≤3n4n ．解：（1）已知函数f （x ）＝sin 3x cos x ，因为f （x +π）＝sin 3（x +π）cos （x +π）＝sin 3x cos x ＝f （x ） 所以π是函数f （x ）的周期，可得f ′（x ）＝3sin 2x cos 2x ﹣sin 4x ＝sin 2x （4cos 2x ﹣1）， 当0＜x ＜π3时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当π3＜x ＜2π3时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当2π3＜x ＜π时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）在（0，π）上的极小值为−3√316，极大值为3√316， 由周期性可知函数f （x ）在（π，2π）上的极小值为−3√316，极大值为3√316， 且函数f （x ）在(2π3，π)上单调递增，(π，4π3)上单调递增， 因为f （x ）是基本初等函数，一定连续， 所以x ＝π不是f （x ）的极值点， 故f （x ）在（0，2π）上的极小值为−3√316，极大值为3√316； （2）证明：易知f （0）＝0，由（1）知f(x)=sin 3xcosx =12sin 2xsin2x ∈[−3√316，3√316]，所以0≤|sin 2xsin2x|≤3√38，则|sin2x⋅sin22x⋅sin24x⋯sin22n x|=|(sin3x⋅sin32x⋅sin34x⋯sin32n x)2 3|=[|sinx||sin2xsin2x|⋯|sin22n x|]23≤(|sinx|×3√38×⋯×|sin22n x|)23≤[(3√38)n]23=(34)n=3n4n，故sin2x⋅sin22x⋅sin24x⋯⋯sin22n x≤3n4n成立．。
精品解析：河北省衡水中学高三高考押题理数试题(原卷版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学〔Ⅰ〕第一卷一、选择题：此题共12个小题,每题5分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么=〔〕A. B. C. D.2. 为虚数单位，假设复数在复平面内对应的点在第四象限，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.3. 以下函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为〔〕A. B. C. D.4. 双曲线：与双曲线：，给出以下说法，其中错误的选项是〔〕A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程一样D. 它们的离心率相等5. 在等比数列中，“，是方程的两根〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 执行如的程序框，那么输出的值为〔〕A. 1009B. -1009C. -1007D. 10087. 一几何体的三视如下，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.8. 函数的局部象如下，那么函数象的一个对称中心可能为〔〕A. B. C. D.9. ?几何本来?卷2的几何代数法〔以几何方法研究代数问题〕成了后世西方数学家处理问题的重要根据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都可以通过形实现证明，也称之为无字证明.现有如下形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，那么该形可以完成的无字证明为〔〕A. B.C. D. 学。
科。
网...10. 为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好〞的诗歌朗读比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗读顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗读顺序的种数为〔〕A. 720B. 768C. 810D. 81611. 焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，那么当获得最大值时，直线的方程为〔〕A. 或B.C. 或D.12. 定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. ，，假设向量与共线，那么在方向上的投影为_________．14. 实数，满足不等式组且的最大值为，那么=__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，那么的值为__________．16. 球是正三棱锥〔底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心〕的外接球，，，点段上，且，过点作圆的截面，那么所得截面圆面积的取值范围是__________.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 的展开式中的系数恰好是数列的前项和.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设，求二面角的余弦值.19. 2021年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元〔含600元〕，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全一样的小球〔其中红球3个，黑球7个〕的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规那么为：假设摸到3个红球，享受免单优惠；假设摸出2个红球那么打6折，假设摸出1个红球，那么打7折；假设没摸出红球，那么不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全一样的小球〔其中红球3个，黑球7个〕的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.〔1〕假设两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；〔2〕假设某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比拟该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20. 椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.〔1〕求椭圆的方程.学。
冀州中学高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(2)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 102. 下列命题中正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ xC. 对于任意实数x，都有x^2 = xD. 对于任意实数x，都有x^3 = x3. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x^2 - 1)B. y = x/(x - 1)C. y = √xD. y = x^25. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^n - 2D. an = 2^n + 26. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)的零点个数为3，则f(x)的图像在x轴上的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知数列{an}满足an = 3an-1 - 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的前n项和为（）A. Sn = 2^n - 1B. Sn = 2^n + 1C. Sn = 2^n - 2D. Sn = 2^n + 28. 下列命题中正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意实数x，都有x^3 ≥ xC. 对于任意实数x，都有x^2 = xD. 对于任意实数x，都有x^3 = x9. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x^2 - 1)B. y = x/(x - 1)C. y = √xD. y = x^2二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。
河北省冀州中学高三高考仿真题 数学文试题 Word版含答
冀州中学第一次仿真考试数学试题（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合Ａ＝｛a ２，a ＋１，－３｝，Ｂ＝｛a －３，a ２＋１，２a －１｝，且ＡＢ＝｛－３｝.则a=（ ）A ．1-B ．0C ．0 或1-D ．22．设x R ∈,则“1x =”是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B ．“至少有一个黑球”与“都是红球” C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球 4．命题“若022=+b a ，R b a ∈,，则0==b a ”的逆否命题是( ) A ．若0≠≠b a ，R b a ∈,，则022=+b a B ．若0≠=b a ，R b a ∈,，则022≠+b a C ．若0≠a 且0≠b ，R b a ∈,，则022≠+b a D ．若0≠a 或0≠b ，R b a ∈,，则022≠+b a5. 某学校从高三全体500,现将500名学生从1到500进行编号,即每10人抽取一个人,在1至10中随机抽取一个数,如果抽到的是6,则从125至140的数中应抽取的数是（ ）A ．126B ．136C ．146D ．126和1366. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则2w a b =-的取值范围是( )A ．21[,]32-B ．2(,0)3-C ．21(,)32-D ．1(0,)2 7.已知*,7980N n n n a n ∈--=，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A 、1a ，50aB 、9a ，50aC 、9a ，8aD 、8a ，9a 8．如图所示程序框图中，输出S = ( )A ． 45B ． 55-C ． 66-D ． 669. 偶函数)(x f 满足()()()x f x f x f +-=+111,且在]1,0[∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方程xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=101)(在]3,2[-上的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610.已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足PM PN =，则PM PN的最小值是（ ）（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-11.已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．C ．D12.在△ABC 中，BC ，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置。
2020年河北省衡水市冀州冀州镇中学高三数学文模拟试题含解析
2020年河北省衡水市冀州冀州镇中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知如图所示的程序框图(未完成),设当箭头指向①时,输出的结果为,当箭头指向②时,输出的结果为,则等于( )A. B. C. D.参考答案：B2. 下列给出函数与的各组中，是同一个关于x的函数的是（）A． B．C． D．参考答案：C略3. 已知函数f（x）=e x，g（x）=ln的图象分别与直线y =m交于A，B两点，则|AB|的最小值为A．2 B．2+1n 2 C．e2+D．2e－ln参考答案：B4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向上平移一个单位 B．向下平移一个单位C．向左平移一个单位 D．向右平移一个单位参考答案：D5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．参考答案：B略6. P= log23，Q= log32，R= log2(log32)，则( )A. R<Q<PB. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q参考答案：A7. 已知函数为R上的单调递增函数，则实数的取值范围是__________.A. B. C. D.参考答案：A略8. 设全集，集合，则（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：,故选A.考点：集合的运算.9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线C的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（）A．5000 B．6667 C．7500 D．7854参考答案：B由题意，阴影部分的面积为，正方形的面积为1.∵正方形中随机投掷10000个点，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为故选B.10. 复数 (i是虚数单位)的实部是( )．A. B．－ C．－i D．－参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为（用数字作答）参考答案：968略12. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数m=．参考答案：213. 若实数，满足则的取值范围是．参考答案：作出可行域如图所示：表示圆心为(0,0)，半径为的圆作图可知当圆与直线相切时z值最小，且为当经过点(－1,2)或者点(1,2)时，z最大，且为5∴14. 若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是 .参考答案：15. 已知函数为的导函数，则的值为__________.参考答案：3试题分析：16. 垂直于直线x+2y-3=0且经过点(2，1)的直线的方程 .参考答案：【答案解析】解析：因为所求直线与直线x+2y-3=0垂直，所以所求直线的斜率为2，又所求直线过点（2,1），所以所求直线方程为：y-1=2(x-2),即.【思路点拨】根据互相垂直的直线斜率乘积为-1，得所求直线的斜率，再由直线方程的点斜式写出直线方程.17. 右图的程序运行后，输出的结果是参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2022年河北省衡水市冀州一中高考数学一模试卷及答案解析
2022年河北省衡水市冀州一中高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知集合M ＝{x |﹣2＜x ＜6}，N ＝{x |﹣3＜x ＜log 235}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜log 235} B ．{x |﹣3＜x ＜log 235} C ．{x |﹣3＜x ＜6}D ．{x |log 235＜x ＜6}2．若复数z 满足2z −z =1+3i ，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i3．已知菱形ABCD 边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝2DF ，则AE →⋅AF →=（ ） A ．﹣2B ．2C ．1D ．一14．某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分（不可以不选），再从高三（2）班的4位女生中选出一部分（不可以不选）组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（ ） A ．30种B ．96种C ．120种D ．125种5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则(mnx 2−1x)6的展开式中的常数项是（ ）A ．15B ．﹣15C ．1354D ．−13546．将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ(0＜φ≤π2)个单位，得到函数g （x ）的图象．在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的类似物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐烂）．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为h ＝m •a t ．若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（ ）（已知lg 2＝0.3，结果取整数） A ．33分钟B ．43分钟C ．50分钟D ．56分钟8．已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，x ∈[1，e ]，若存在x 1，x 2，⋯，x n ∈[1，e ]，使得f （x 1）+f （x 2）+⋯+f （x n ﹣1）≤f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） （多选）9．下列说法正确的有（ ）A ．不等式3x 2+7x +2＜0的解集是(−2，−13) B ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分条件C ．命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件10．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．（多选）11．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N +）等于一个非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．下列命题正确的是（ ） A ．等差数列可能为“和等比数列” B ．等比数列可能为“和等比数列”C ．既不是等差也不是等比的数列不可能为“和等比数列”D ．若正项数列{a n }是公比为q 的等比数列，且数列{lna n }是“和等比数列”，则q ＝a 12（多选）12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：（x +3）2+（y ﹣4）2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |﹣|PF |的最小值为2√5−6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2 B ．椭圆C 的短轴长为√3C ．|PQ |+|PF |的最小值为2√5D ．过点F 的圆E 的切线斜率为−4±√73三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在区间[0，a ]上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是 ．14．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊．且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得 ． 15．设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，则cos ∠PF 1F 2＝ ． 16．函数f （x ）={(x +1)2，x ＜0e −x ，x ≥0，若存在a ，b ，c （a ＜b ＜c ），使得f （a ）＝f （b ）＝f（c ），则(b+1)c a+b的最小值是 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．等差数列{a n }(n ∈N ∗)中，a 1，a 2，a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行1669（1）请选择一个可能的{a 1，a 2，a 3}组合，并求数列{a n }的通项公式；（2）记（1）中您选择的{a n }的前n 项和为S n ，判断是否存在正整数k ，使得a 1，a k ，S k +2成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由．18．在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，E 是AD 上的点且满足△BED 与△ABD 相似，∠AEB =3π4，∠DBE =π6，DE ＝6． （1）求BD 的长度；（2）求三角形BCD面积的最大值．19．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲，乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表：1日2日3日4日5日外卖甲日接单x（百单）529811外卖乙日接单y（百单）2310515（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；（2）据统计表明，y与x之间具有线性相关关系．①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断；（若|r|＞0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系，r值精确到0.001）②经计算求得y与x之间的回归直线方程为y=1.382x﹣2.674，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围．（x值精确到0.01）参考数据：∑5i=1（x i−x）（y i−y）＝66，√∑5i=1(x i−x)2∑5i=1(y i−y)2≈77．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分）别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A﹣CD﹣B，连接AF．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面CBD；（Ⅱ）当AC⊥BD时，求二面角A﹣CD﹣B大小的余弦值．21．已知直线x﹣2y+12＝0与抛物线x2＝4y交于A、B两点，O是坐标原点．（1）求与直线x﹣2y+12＝0平行，且与抛物线x2＝4y相切的切线方程；̂上移动，是否存在点M使得△ABM的面积最大？如果存在，（2）点M在抛物线的弧AOB求出点M的坐标及△ABM面积的最大值；如果不存在，请说明理由．22．已知函数f(x)=12x2−2x+alnx，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：﹣3＜f（x1）+f（x2）＜﹣2．2022年河北省衡水市冀州一中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知集合M ＝{x |﹣2＜x ＜6}，N ＝{x |﹣3＜x ＜log 235}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜log 235} B ．{x |﹣3＜x ＜log 235} C ．{x |﹣3＜x ＜6}D ．{x |log 235＜x ＜6}解：∵M ＝{x |﹣2＜x ＜6}，N ＝{x |﹣3＜x ＜log 235}，∴M ∩N ＝{x |﹣2＜x ＜6}∩{x |﹣3＜x ＜log 235}＝{x |﹣2＜x ＜log 235}． 故选：A ．2．若复数z 满足2z −z =1+3i ，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 所以2（a +bi ）﹣（a ﹣bi ）＝1+3i ， 整理得a ＝b ＝1， 故z ＝1+i ． 故选：A ．3．已知菱形ABCD 边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝2DF ，则AE →⋅AF →=（ ） A ．﹣2B ．2C ．1D ．一1解：如图，AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →，AF →=AD →+DF →=AD →+12DC →=BC →+12AB →，所以AE →⋅AF →=（AB →+13BC →）•（BC →+12AB →）=AB →•BC →+12AB →2+13BC →2+16BC →•AB →=2×2cos120°+12×4+13×4+16×2×2cos120°＝1， 故选：C ．4．某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分（不可以不选），再从高三（2）班的4位女生中选出一部分（不可以不选）组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（ ） A ．30种B ．96种C ．120种D ．125种解：依题意可以选择1名男生，一名女生，选择方法共有C 51⋅C 41=20 种： 可以选择2名男生，2名女生，选择方法共有C 52⋅C 42=60 种； 可以选择3名男生，3名女生，选择方法共有C 53⋅C 43=40 种； 可以选择4名男生，4名女生，选择方法共有C 54⋅C 44=5 种：由分类加法计数原理可得，选择方法共有 20+60+40+5＝125种， 故选：D ．5．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则(mnx 2−1x)6的展开式中的常数项是（ ）A ．15B ．﹣15C ．1354D ．−1354解：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， 则圆柱的体积V 1＝2πR 3，球的体积V 2=43πR 3，可得m =V 1V 2=32，圆柱的表面积S 1＝2πR •2R +2πR 2＝6πR 2，球的表面积为S 2＝4πR 2，则n =S 1S 2=32，可得mn =1．∴(m n x 2−1x )6=（x 2−1x ）6，其通项公式为：C 6r •（x 2）6﹣r •（−1x ）r ＝（﹣1）r •C 6r •x12﹣3r，令12﹣3r ＝0可得，r ＝4，∴(m n x 2−1x )6的展开式中的常数项是：（﹣1）4•C 64=15．故选：A ．6．将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ(0＜φ≤π2)个单位，得到函数g （x ）的图象．在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：由图可知，g （17π24）＝f （π8）＝sin （2×π8）=√22，因为f （x ）的图象向右平移φ个单位，得到函数g （x ）的图象，所以g （x ）＝sin2（x ﹣φ）， 所以g （17π24）＝sin2（17π24−φ）＝sin （17π12−2φ）=√22，所以17π12−2φ=π4+2kπ或3π4+2kπ，k ∈Z ，解得φ=7π12−kπ或π3−kπ，k ∈Z ， 因为0＜φ≤π2，所以φ=π3． 故选：C ．7．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的类似物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐烂）．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为h ＝m •a t ．若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（ ）（已知lg 2＝0.3，结果取整数） A ．33分钟B ．43分钟C ．50分钟D ．56分钟解：依题设有{ℎ(10)=ma 10=0.1ℎ(20)=ma 20=0.2，解得a =2110，m ＝0.05， 故h （t ）＝0.05×（2110）t ， 令h （t ）＝0.05×（2110）t ＝1，得（2110）t ＝20，故t =lg20lg2110=1+lg2110lg2=10(1+0.3)0.3≈43（分钟）， 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ，x ∈[1，e ]，若存在x 1，x 2，⋯，x n ∈[1，e ]，使得f （x 1）+f （x 2）+⋯+f （x n ﹣1）≤f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4解：f （x ）＝x 2﹣lnx ，则f ′（x ）＝2x −1x ，定义域为[1，e ]， 当1≤x ≤e ，f ′（x ）＞0，所以函数在区间[1，e ]上单调递增， 故函数f （x ）min ＝f （1）＝1，f （x ）max ＝f （e ）＝e 2﹣1，由于存在x 1，x 2，⋯，x n ∈[1，e ]，使得f （x 1）+f （x 2）+⋯+f （x n ﹣1）≤f （x n ）成立， 则n ﹣1≤e 2﹣1，得n ≤e 2，又7＜e 2＜8，则n 的最大值为7． 故选：A ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．） （多选）9．下列说法正确的有（ ）A ．不等式3x 2+7x +2＜0的解集是(−2，−13) B ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分条件 C ．命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件解：A ，不等式3x 2+7x +2＜0可变形为（3x +1）（x +2）＜0， 解得−2＜x ＜−13，故正确；B ，由a ＞1，b ＞1可推出ab ＞1，反之不成立， 故“a ＞1，b ＞1”是ab ＞1成立的充分条件，故正确；C ，命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0， 则¬p ：∃x ∈R ，x 2≤0，故错误；D ，由“a ＜5”不能推出“a ＜3”， 由“a ＜3”可推出“a ＜5”，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，故正确． 故选：ABD ．10．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：对于选项A ，由于AB ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知AB 与平面MNQ 平行； 对于选项B ，如图，O 为底面对角线的交点，可得AB ∥OQ ， 又OQ ∩平面MNQ ＝Q ，所以直线AB 与平面MNQ 不平行．对于选项C ，由题意，可得AB ∥MN ，结合线面平行判定定理可知AB 与平面MNQ 平行； 对于选项D ，由于AB ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知AB 与平面MNQ 平行； 故选：B ．（多选）11．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N +）等于一个非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．下列命题正确的是（ ） A ．等差数列可能为“和等比数列” B ．等比数列可能为“和等比数列”C ．既不是等差也不是等比的数列不可能为“和等比数列”D ．若正项数列{a n }是公比为q 的等比数列，且数列{lna n }是“和等比数列”，则q ＝a 12 解：当d ＝0时，S 2n ＝2na 1，S n ＝na 1，则S 2n S n=2，满足题意，A 正确；当q ＝1时，S 2n ＝2a 1，S n ＝na 1，则S 2n S n=2，满足题意，B 正确；若a n ={2，n =10，n ≥2，则S 2n ＝S n ＝2，此时S 2n S n =1，满足题意，C 错误；由数列{a n }是公比为q 的等比数列，则a n =a 1q n−1， 所以lna n ＝lna 1+（n ﹣1）lnq ， 即数列{lna n }是等差数列， 又数列{lna n }是“和等比数列”， 则S 2n S n=2n[lna 1+lna 1+(2n−1)lnq]×12n[lna 1+lna 1+(n−1)q]×12=2[2lna 1+(2n−1)lnq]2lna 1+(n−1)lnq=2+2nlnq2lna 1−lnq+nlnq =2+2lnq2lna 1−lnq n+lnq为常数，所以2lna 1﹣lnq ＝0，即q =a 12，D 正确． 故选：ABD ．（多选）12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：（x +3）2+（y ﹣4）2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |﹣|PF |的最小值为2√5−6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2 B ．椭圆C 的短轴长为√3C ．|PQ |+|PF |的最小值为2√5D ．过点F 的圆E 的切线斜率为−4±√73解：根据题意，作出如下所示的图形，∵椭圆C 的长轴长与圆E 的直径长相等，∴2a ＝4，a ＝2，设椭圆的左焦点为F '（﹣c ，0），由椭圆的定义可知，|PF '|+|PF |＝2a ＝4，∴|PQ |﹣|PF |＝|PQ |﹣（4﹣|PF '|）≥|QF '|﹣4≥|EF '|﹣2﹣4=2√5−6， ∴|EF '|=2√5=√(−3+c)2+(4−0)2，解得c ＝1或5（∵c ＜a ，∴舍5）， ∴椭圆C 的焦距为2，即A 正确；由b =√a 2−c 2=√4−1=√3，得椭圆C 的短轴长为2√3，即B 错误； |PQ |+|PF |≥|QF |≥|EF |﹣|EQ |=√(1+3)2+(0−4)2−2=4√2−2，即C 错误； 设过点F 的圆E 的切线方程为y ＝k （x ﹣1），则√k 2+1=2，解得k =−4±√73，即D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在区间[0，a ]上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是 {a |2π≤a ＜3π} ．解：令f （x ）＝2sin x ﹣sin2x ＝0，得2sin x ﹣2sin x cos x ＝0，即sin x （1﹣cos x ）＝0， 故当x ∈[0，+∞）时，零点分别为0，π，2π，3π，…，所以2π≤a ＜3π． 故答案为：{a |2π≤a ＜3π}．14．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊．且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得 136．解：设此等差数列为{a n }，公差为d ， 由题意可得：a 1+a 1+d ＝a 1+2d +a 1+3d +a 1+4d ， 5a 1+5×42×d =5， 联立解得：a 1=43，d =−16．∴乙与丙两人共分得＝2a 1+3d =83−36=136． 故答案为：136．15．设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，则cos ∠PF 1F 2＝ 45．解：设双曲线的半焦距为c ，由双曲线的渐近线方程，可得b a=43，则c =√a 2+b 2=√a 2+169a 2=53a ，在△PF 1F 2中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2c +2a ，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2=(2c)2+(2c+2a)2−(2c)22×2c(2c+2a)=a+c 2c =a+53a 103a=45． 故答案为：45．16．函数f （x ）={(x +1)2，x ＜0e −x ，x ≥0，若存在a ，b ，c （a ＜b ＜c ），使得f （a ）＝f （b ）＝f（c ），则(b+1)c a+b的最小值是 −1e．解：函数f （x ）的图象如图所示：设f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝t ，则由图可得﹣2＜a ＜﹣1，﹣1＜b ＜0，c ＞0，且a +b ＝﹣2，由f （b ）＝（b +1）2＝t ，得b +1=√t ， 由f （c ）＝e ﹣c ＝t ，得c ＝﹣lnt ，所以(b+1)c a+b=12√tlnt ，设m =√t ，则0＜m ＜1，12√tlnt =mlnm ，设g （m ）＝mlnm ，则g ′（m ）＝1+lnm ，令g ′（m ）＞0，解得1e＜m ＜1，令g ′（m ）＜0，解得0＜m ＜1e， 所以g （m ）在（0，1e）单调递减，在（1e，1）单调递增，所以g （m ）≥g （1e）=−1e ，故(b+1)c a+b的最小值为−1e ，故答案为：−1e ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．等差数列{a n}(n∈N∗)中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）请选择一个可能的{a1，a2，a3}组合，并求数列{a n}的通项公式；（2）记（1）中您选择的{a n}的前n项和为S n，判断是否存在正整数k，使得a1，a k，S k+2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由．解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：①a1＝8，a2＝12，a3＝16，此时等差数列{a n}，a1＝8，d＝4，所以其通项公式为a n＝8+（n﹣1）4＝4n+4．②a1＝2，a2＝4，a3＝6，此时等差数列{a n}，a1＝2，d＝2，所以其通项公式为a n＝2n．（2）若选择①，S n=n(8+4n+4)2=2n2+6n．则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20．若a1，a k，S k+2成等比数列，则a k2=a1⋅S k+2，即（4k+4）2＝8（2k2+14k+20），整理，得5k＝﹣9，此方程无正整数解，故不存在正整数k，使a1，a k，S k+2成等比数列．若选择②，S n=n(2+2n)2=n2+n，则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6，若a 1，a k ，S k +2成等比数列，则a k 2=a 1⋅S k+2，即（2k ）2＝2（k 2+5k +6），整理得k 2﹣5k ﹣6＝0，因为k 为正整数，所以，k ＝6． 故存在正整数k ＝6，使a 1，a k ，S k +2成等比数列．18．在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，E 是AD 上的点且满足△BED 与△ABD 相似，∠AEB =3π4，∠DBE =π6，DE ＝6． （1）求BD 的长度；（2）求三角形BCD 面积的最大值．解：（1）在△DBE 中，∠AEB =3π4，∠DBE =π6，DE ＝6，由正弦定理得DEsin∠DBE=BD sin∠DEB，即6sinπ6=DB snπ4，解得DB ＝6√2；（2）∵△BED ∽△ABD ，∴∠A ＝∠DBE =π6，又∠A ＝∠C ， ∴∠C =π6，在△DBC 中，设BC ＝m ，DC ＝n ， 则DB 2＝72＝m 2+n 2﹣2mn cos π6≥2mn （1−√32），即mn ≤72（2+√3），当且仅当m ＝n ＝6（√3+1）时取等号，∴S △BCD =12mn sin π6=14mn ≤14×72（2+√3）＝36+18√3，即三角形BCD 面积的最大值为36+18√3．19．互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲，乙两家网络外卖企业（以下称外卖甲、外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表：1日 2日 3日 4日 5日 外卖甲日接单x （百单） 5 2 9 8 11 外卖乙日接单y （百单）2310515（1）试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；（2）据统计表明，y 与x 之间具有线性相关关系．①请用相关系数r 对y 与x 之间的相关性强弱进行判断；（若|r |＞0.75，则可认为y 与x 有较强的线性相关关系，r 值精确到0.001）②经计算求得y 与x 之间的回归直线方程为y =1.382x ﹣2.674，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围．（x 值精确到0.01）参考数据：∑ 5i=1（x i −x ）（y i −y ）＝66，√∑ 5i=1(x i −x)2∑ 5i=1(y i −y)2≈77．解：（1）由题可知，x =5+2+9+8+115=7． y =2+3+10+5+155=7． 外卖甲的日接单量的方差S 甲2=(5−7)2+(2−7)2+(9−7)2+(8−7)2+(11−7)25=10， 外卖乙的日接单量的方差S 乙2=(2−7)2+(3−7)2+(10−7)2+(5−7)2+(15−7)25=23.6，因为x =y ，s 甲2＜s 乙2，即外卖甲的平均日接单量与外卖乙的平均日接单量相同，但外卖甲的日接单量更集中一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好． （2）①样本相关系数r =∑5i=1i −x)(y i −y)√∑ i=1(x i −x)2√∑ i=1(y i −y)2≈6677≈0.857＞0.75，所以可认为y 与x 有较强的线性相关关系． ②y ≥25，可得1.382x ﹣2.674≥25，解得x ＞20.02， 又20.02×100×3＝6006，所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6006元． 20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，D ，E 分）别为AB ，CD 的中点，AE 的延长线交CB 于F ．现将△ACD 沿CD 折起，折成二面角A ﹣CD ﹣B ，连接AF ． （Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面CBD ；（Ⅱ）当AC ⊥BD 时，求二面角A ﹣CD ﹣B 大小的余弦值．解：（I ）证明：在Rt △ABC 中，D 为AB 的中点，得AD ＝CD ＝DB ，又∠B ＝30°，得△ACD 是正三角形，又E 是CD 的中点，得AF ⊥CD ．（3分）折起后，AE ⊥CD ，EF ⊥CD ，又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AED ，EF ⊂平面AEF ，故CD ⊥平面AEF ，（6分）又CD ⊂平面CDB ，故平面AEF ⊥平面CBD ．（7分）（II ）过点A 作AH ⊥EF ，垂足H 落在FE 的延长线，因为CD ⊥平面AEF ，所以CD ⊥AH ，所以AH ⊥平面CBD ．（9分）连接CH 并延长交BD 的延长线于G ，由已知AC ⊥BD ，得CH ⊥BD ，可得BD 垂直于面AHC ，从而得到BD 垂直于线CG 可得∠CGB ＝90°，因此△CEH ∽△CGD ，则EH DG =CE CG ，设AC ＝a ，易得∠GDC ＝60°，DG =a 2，CE =a 2，CG =√3a 2，代入上式得EH =√3a 6，又EA =√3a 2故cos ∠HEA =EH EA =13．（12分）又∵AE ⊥CD ，EF ⊥CD ，∴∠AEF 即为所求二面角的平面角，（13分）故二面角A ﹣CD ﹣B 大小的余弦值为−13．（14分）21．已知直线x ﹣2y +12＝0与抛物线x 2＝4y 交于A 、B 两点，O 是坐标原点．（1）求与直线x ﹣2y +12＝0平行，且与抛物线x 2＝4y 相切的切线方程；（2）点M 在抛物线的弧AOB ̂上移动，是否存在点M 使得△ABM 的面积最大？如果存在，求出点M 的坐标及△ABM 面积的最大值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）设与直线x ﹣2y +12＝0平行的直线为：x ﹣2y +c ＝0，又因为与抛物线x 2＝4y 相切，将直线与抛物线联立得到：x 2﹣2x ﹣2c ＝0，∴Δ＝4+8c ＝0，解得c =−12，故直线方程为：x ﹣2y −12=0，即2x ﹣4y ﹣1＝0；（2）联立x ﹣2y +12＝0与抛物线x 2＝4y 可得：x 2﹣2x ﹣24＝0，∴x 1＝﹣4，x 2＝6，因此：A （﹣4，4），B （6，9），点M 在抛物线的弧AOB 上移动，因此：﹣4＜x M ＜6，不妨设M （x ，x 24）， S △ABM =12⋅|AB|⋅d M−AB =5√52d M−AB ，要使S △ABM 最大，即d M ﹣AB 最大，d M ﹣AB |x−12x 2+12|√5=|−12(x−1)2+252|√5， 当且仅当x ＝1时，S △ABM 取最大值1254，此时M （1，14）．22．已知函数f(x)=12x2−2x+alnx，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：﹣3＜f（x1）+f（x2）＜﹣2．解：（1）由题得f′(x)=x−2+ax=x2−2x+ax，其中x＞0，考察g（x）＝x2﹣2x+a，x＞0，其中对称轴为x＝1，Δ＝4﹣4a．①若a≥1，则△≤0，此时g（x）≥0，则f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；②若0＜a＜1，则Δ＞0，此时x2﹣2x+a＝0在R上有两个根x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，且0＜x1＜1＜x2，所以当x∈（0，x1）时，g（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，则f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，则f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在(0，1−√1−a)上单调递增，在(1−√1−a，1+√1−a)上单调递减，在(1+√1−a，+∞)上单调递增．（2）证明：由（1）知，当0＜a＜1时，f（x）有两个极值点x1，x2，且x1+x2＝2，x1x2＝a，所以f(x1)+f(x2)=12x12−2x1+alnx1+12x22−2x2+alnx2=12(x12+x22)−2(x1+x2)+a(lnx1+lnx2)=12[(x1+x2)2−2x1x2]−2(x1+x2)+aln(x1x2)=12(22−2a)−4+alna=alna−a−2．令h（x）＝xlnx﹣x﹣2，0＜x＜1，则只需证明﹣3＜h（x）＜﹣2，由于h'（x）＝lnx＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）＝﹣3．又当0＜x＜1时，lnx﹣1＜﹣1，x（lnx﹣1）＜0，故h（x）＝xlnx﹣x﹣2＝x（lnx﹣1）﹣2＜﹣2，所以对任意的0＜x＜1，﹣3＜h（x）＜﹣2．综上，可得﹣3＜f（x1）+f（x2）＜﹣2，故命题得证．。
河北省冀州中学2025届高考冲刺数学模拟试题含解析
河北省冀州中学2025届高考冲刺数学模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．32．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．5323．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.5．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m6．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 8．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．7310．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.3511．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省冀州中学2022届高三数学下学期模拟考试 文
冀州中学2022-2022届高三拉练（四）数学试题文第Ⅰ卷选择题共60分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A {}1B (,0)-∞C (1,)+∞D (0,1) 2 曲线33y x x =-在点(0,0)处的切线方程为（ ）A ．y x =-B ．3y x =-C ．y x =D ．3y x =3 设⎩⎨⎧<+≥=+)0)(1()0(2)(1x x f x x f x ，则=（ ） A B C D 4 已知直线、m,平面，且，给出下列四个命题 ①若②若③若④若其中正确的命题个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 45 2022年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。
公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策。
如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”。
则这组号码中“金兔卡”的张数（ ） A ．484 B ．972 C ．966 D ．486 6 点是函数的图象的一个对称中心，且点⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ()z y ax a R =-∈∞+∞-21F PF ∆2a 3()f x x x=+x R∈02πθ≤≤0)1()sin (>-+m f m f θ(0,1))0,(-∞)21,(-∞)1,(-∞89S a 98S a 9889S a S a <9889S a S a >9889S a S a =89S a 98S a 1a ()y f x =()1y f x =+01x ≤<()0f x '>()2010a f =()54b f =()12c f=-a b c<<c b a<<a c b<<b c a<<2()nx x+x x x f -=331)(()210,a a -∀∃)2,10()(),2(233)(2<<<=>+-=x a a x g x x x x f x 0(2,)x ∃∈+∞0()f x m =的取值范围为 ； ②若1(2,)x ∀∈+∞，)()()2,(212x g x f x =-∞∈∃使得，则实数a 的取值范围为 。
河北省衡水中学高考数学押题卷三理(含解析)
全国统一考试模拟试题 理科数学（皿）第I 卷一、选择题：本题共 12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的•1. 已知复数z :.1,则丘—|z|=（ ）A.' ?i B. ' i C. 二―斗 D.2 2 1 2^2' 2 T 2 ' 2 2 1【答案】C【解析】由题意可得：丁 — ?i. 7| -丨，则E — Iz| = ' i.本题选择C 选项.2.集合A - {X x '-3x - C}，巳=3 V =切2 ，则也 I E=（ ）A = {x D - x - 2}.B = {x x - 2}，则2 i E ；= {x|0 - x 2}. 本题选择A 选项.3.已知函数仆创: '：u •门？的最小正周期为！■，则函数fl I 的图象（）A. 可由函数JU —:心“F 的图象向左平移"个单位而得B. 可由函数J 灯二—C 【的图象向右平移"个单位而得C. 可由函数 屮小 4"的图象向左平移:个单位而得D. 可由函数口 =二cc2n 的图象向右平移:个单位而得【答案】D【解析】由已知得，工”二则fi 艾］ 3G2X 一」的图象可由函数- C.C-.-J'X 的图象向A. {x|0 - x 2} C. {x|2 - :< - 2}【答案】AB. U 工 2} D.{x|0 - x - 2}【解析】由题意可得:右平移［个单位而得，故选 D.y > 3x-3,4. 已知实数y：, y满足约束条件•.. 则丁-：戈y的最大值为（）3x + 4y + 12 > 6A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点Bi） J 处取得最大值z = 2x y = 2 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形AECD中的两边2E, AC分别交于匕、卜，且交其对角线A匚于*，若] ] 勺q ，-q 5An.-心，―.工.卜，2阴_〉£口||/\匸入|」「. R：'，则一丄 A =（）A. 一B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得••心'.AC，则：, 1 —* 1即• A閘CAB ，：匚,则j - A=-；.本题选择A选项.点睛：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.6•在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线匚为正态分布fv 1.1；的密度曲线)的点的个数的估计值为(附：若x Nip.c ；,则尺|」口 •• X- |一、- 6O.6S27 ,P::|.1 2a ■. X -」I 2a.:- = 3 9545.()则落入阴影部分(曲线 匚为正态分布Ni U 的密度曲线)的点的个数的估计值为N 10000| '二"勺.本题选择B 选项•点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ① 熟记 P( [1 — (T <XW 口 + b ) , P ( — 2 a<XW 卩 + 2 a ) , P([i — 3(T <XW+ 3 a)的值.② 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为 2的半圆，则该几何体的表面积是()A. SO - SnB. SO - 4nC. SO £nD. SD — n【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积0.9545-0.6827=0.1359D. 3413【答案】BI LMIU【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4,•••该几何体的表面积 5 2'4 4 .1： 2 ■: - 3 4 4 I H 2 4 汎！ I 4n ,本题选择B选项•8. 已知数列心J中，3 丄,..白.'ll.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是( )A. ri - 2016?B. ri - 2017?C. n ■. 2015'?D. 门“ 2017?【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当门=2 013时推出循环，则判断框内的条件是/0 1^?.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为E 则弐=( )A. 3B.C. —D. 4【答案】B阴1【解析】由题意知，£的可能取值为2,3,4,其概率分别为F 2'：..,口(“3)=蹙护遐卞+)=注严謠，所以仝 2 :: , - 4 ' ■:，故选 B.10. 已知抛物线匚：匸一2|»沖的焦点为F,点M：：x ,,2-. 2：.：：/ ,门是抛物线匚上一点,圆“与线段閘F相交于点2,且被直线x —-截得的弦长为•MA|，若=2,则AF =( ) A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M(x o, 2V2)在抛物线上，则8=2px o，则px o=4,①由抛物线的性质可知，邛X 「，J 2 ,则2住卜「1卜:i.X,•••被直线X ［截得的弦长为V 3|MA|，则DE| -,|MA| 」；£.•「，2 2 2由MA = =「，在Rt △ MDE中，丨DE丨+丨DM丨=丨ME丨，即1 p2 p 2 4 p1 I (X ■.'X '.：'，代入整理得：4】- I丁 2 0②，由①②，解得：x o=2, p=2,；卜r ■■-丄，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点准线的距离是关键•11. 若定义在E上的可导函数fi I满足fi I I - I，且?f < I - 1 ,则当:一］时,I'1 "(' H：'儿ii厂的解集为( ).TI 4n, J IT 4T I L Tl. t TI TI,A. .B. :;C.D.:-.....:【答案】D【解析】不妨令和1 =工，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：£整理可得：「，结合函数的定义域可得不等式的解集为-.A到其不等式2x ：」lli .,本题选择D选项.12. 已知工是方程］*亡• — ||讥-；_：的实根，则关于实数x的判断正确的是（）A. x■-B. X ■.. 'C. »一 2 卩D. 2e - Inx ,-紅【答案】C【解析】令fl X I _ .2 \工Q；，则f ■ Y. X 「：-，函数fiz在定义域内单调递增，方程即：——I门—啓上’-e_ ' ' '：-lnx ::，即f2「f：—I"：,结合函数的单调性有:】X -1门一1门「 C .本题选择C选项.点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.（2）若可导函数在指定的区间D上单调递增（减）,求参数范围问题，可转化为f（x）三0（或f（x）so）ta成立问题，从而构建不等式‘要注意"三是否可以取到•第n卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若（日『的展开式中◎项的系数为20,则$ + 的最小值为__________ .【答案】2【解析】试题分析：七J :展开后第；项为 . . .. ，其X"工"中x项为；一，即第「项，系数为-_ ；；,即二了二［，「4片”,二1当且仅当力二1 时日+匕取得最小值2 .考点：二项式公式，重要不等式•14. 已知AAE匸中，内角A, E,匚的对边分别为L匕，J若A - b -匸-be，氐=It,则AABC的面积为___________.【答案】4 ■ 3【解析】由题意有：匕一二一汀一匕匸.…匚口* 一' ' - ..si'i.A -.丄A _, 则弘巳匚的面积为\ .*川也4胃.15.已知双曲线号-弓=l（a > O r b > 0）的左、右顶点分别为戈，B两点，点CfOA^b）,若线段AC的3 b垂直平分线过点B ‘贝H双曲线的离心率为__________ -【答案】—【解析】由题意可得，摯为正三角形，则.21」-.北，所以双曲线的离心率16. 已知下列命题：①命题“:. R, £ _巳.孙”的否定是“ I戈:.R, £ _巳•孙”；②已知p，|为两个命题，若“匸丫：|”为假命题，则“ —J为真命题”；③“日：• 2 015”是“日：• 2017 ”的充分不必要条件；④“若心-::，则x =匚且丫 =［：”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是____________ .【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“空工::R, * +包“弘”的否定是“ b • R.,工+ 3- Ex”；②已知|：，|为两个命题，若“八：1”为假命题，则“Lp.—.-匚|］= 一⑴詁⑴为真命题”；③“ ；i - / C ”是“ ；i - / 0 : 7 ”的必要不充分条件；④“若心-：：，则乂 = C且亍-〔：”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设&为数列/的前「I项和，且白丄，I坷_ | ： J 一丄X 一［门-丄］，「「N .（1）证明：数列L；为等比数列；（2）求丁匚一 5 —…-.【答案】（1）见解析；（2）【「• 2 2 '.【解析】试题分析：⑴利用题意结合等比数列的定义可得数列 打 叮为首先为2,公比为2的等比数列；（2）利用（1）的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得.试题解析： （1）因为白.,.- ，所以 I I '.S, | - S ,1 2 | "I 2- -i ：.i'i 1:，即I 佗..I 丄上,iv. 'i I.'，则.n + Ln所以:「12（；'. -1），又 • 1「故数列打 1；为等比数列.（2） 由（1）知「| 1I 「-2’；，所以 S , n ■ 2 '门，故T. ：：1 - 2 ■ 2 - 2' I ■■■ ■ n ■ 2' ：： il - 2 ................................ 「］•设 M - 1 ■ 2 + 2 - 2 —…+ 2 ，则2M - 1 ■ 2'' - 2 - 2 -——r ■ 2 1 +所以 M - "n - ： i ■ ?' ■-厂 所以［..ir. 1） ■ 21' ■ 1 ■ 2" '.' '•点睛：证明数列｛a n ｝是等比数列常用的方法：一是定义法，证明一一=q （n 》2, q 为常数）； 即-i二是等比中项法，证明 n = a n -1 • a n +1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可， 也可以用反证法.18.如图所示，四棱锥 A BCDE ，已知平面巳匚口 E 平面£三二，匕匕 二匚，巳匸=AR - 4 -. “心匚 丸.1 求证：A 匸 EE ；2 若二面角B AC E 为，求直线2 E 与平面代匸E 所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2） | .所以-M _ 2 ■ 2- | ...2r n + 1 r_n + 12 - 2 - n ■ 2【解析】试题分析:(1)利用题意首先证得人匚平面BCDE，结合线面垂直的定义有A匸EE.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线试题解析:所以AC - E匚「一蓟巳，所以AC 三匚.因为平面巳匚口 E 平面心、］，平面E.匚DE I平面2三匚EC：,E匚AC，所以2匚平面BCDE，又因为EL ■平面吕匚DE,所以也匚EE.(2)由(1) 平面巳〔HF,二F •平面巳匚匕F,所以空匚CE.又因为巳匸£匚，平面ACE I平面A5C = AC，所以/' RC.F是平面ER匸与平面巳2匚所成的二面角的平面角，即/ ECE = 45:.因为巳F 二匚，-二F：F,所以巳E 平面九匸F.所以&.E是AE与平面匚匕所成的角.因为在RtiACE中，巳E — E•匸引门」5 - 3- 2，所以在RtAR.'XF 中，。