幻方一
《幻方》教学课件
反射对称法
将奇数阶幻方反射后得到 偶数阶幻方。
递推构造法
通过已知的低阶幻方推导 出高阶幻方，常用的递推 关系有菲波那契数列等。
运用编程语言实现幻方构造
Python实现
使用Python的列表操作 和循环语句实现幻方的构 造。
Java实现
使用Java的数组和循环语 句实现幻方的构造。
C实现
使用C的数组和循环语句 实现幻方的构造。
幻方学习的重要性
幻方是一种具有独特魅力的数学游戏，通过学习可以帮助学生 提高数学兴趣和思维能力。
学习内容回顾
在幻方的学习过程中，学生需要掌握基本的数学原理和方法，如 对称性、组合数学等。
学习收获
通过幻方学习，学生可以提高观察力、逻辑思维和空间想象力等 多方面的能力。
对于幻方研究的展望与建议
深入探究
伪代码描述
给出算法的伪代码描述，以清晰简洁地表达算法 的实现细节。
算法复杂度分析
对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，说 明算法的效率及可行性。
优化与改进
算法优化
针对现有算法的不足之处，提出相应的优化策略和改进方案，提 高算法的效率和性能。
优化实例
通过具体实例，演示优化后的算法相比原算法的优势和特点。
《幻方》教学课件
2023-11-02
目录
• 幻方简介 • 幻方的基本构造方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的计算机实现 • 幻方在实践中的应用 • 总结与展望
01 幻方简介
幻方的定义
幻方是一种将n×n个数字排列成一个正方形，使每行、每列 和对角线上的数字之和均相等，具有神秘色彩的组合图形。
幻方最初由古希腊数学家费尔南德斯发现，被认为是数学与 艺术的完美结合。
初一幻方的规律和方法
初一幻方的规律和方法
以下是一种适用于奇数阶幻方的规律和方法：
1. 把“1”放在中间一列最上边的方格中。
2. 从这个“1”开始，按对角线方向顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶则折向底，如果到达右侧则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
例如，如果构建一个5阶幻方，那么根据以上方法可以得到：
以上步骤只是一个简单的记忆口诀，并不代表全部的方法。
如果你有任何关于如何构造幻方的具体问题，请告诉我，我会尽力帮助你。
关于幻方的知识
关于幻方的知识
幻方，又称魔方，是一种益智游戏。
它由六面体的小块组成，每
一面上都有分别不同的色彩或符号，共有六种颜色：红、黄、橙、绿、蓝、紫。
人们把它组装成一个立方体，每一面上都有相同的颜色和模样。
幻方有多种组合，最多能够组成多达43百万种不同的模样，有些
对称漂亮又难以辨认，有些反而完全不对称。
它是一种研究科学规律
的有趣游戏，它提高了人们的智力，把许多知识融入到它中。
此外，
幻方也是一种社交活动，它把人们聚在一起，融入激发想象力、思考
能力和合作能力，让孩子们体验宝贵的乐趣。
小学奥数教程：幻方(一)全国通用(含答案)
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．知识点拨教学目标5-1-4-1.幻方（一）四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
幻方的三个规律
幻方的三个规律
幻方是一种有趣的数学形式，也是一种很好的思维训练工具。
幻
方的三个主要规律包括：数字排列规律、对称规律和定值规律。
数字排列规律是幻方的最基本规律，即每一行、每一列和对角线
上的数字之和都相等。
这个规律是幻方存在的前提，没有这个规律，
就不可能构造出幻方。
例如，一个3阶幻方就要求每一行、每一列和
对角线上的数字之和都等于15。
除此之外，还有一个非常重要的规律是对称规律。
在一个幻方中，有一些对称的位置是相等的，这些位置会影响到幻方的构造、判断和
解题。
在3阶幻方中，有四个对称位置，它们分别在中心、角落和中点，即与中心对称、旋转180度对称和互换位置对称。
最后一个常见规律是定值规律。
这种规律指的是幻方中的某几个
位置一定要填入某个数字，这些数字一般是中心数字或角落数字，可
以通过定值规律来进行判断和填写。
这个规律可以用于解题和构造幻方。
幻方的三种规律虽然不同，但却是相互关联和相互作用的。
了解
幻方的规律能够帮助我们更好地理解和应用幻方，同时也可以培养我
们的数学思维和逻辑能力。
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March算数学认识幻方1.幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。
宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
所谓纵横图，它是由1到2n,这2n个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
2.幻方的起源我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...3.幻方的历史发展幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
幻方问题公式
幻方问题公式
幻方是一个由数字组成的正方形阵列，其中每行、每列和每个对角线的数字之和都是相同的。
以下是幻方的计算公式：
对于任意n阶幻方，每行、每列和每个对角线的数字之和可以用以下公式表示：
S = n(n^2 + 1) / 2
其中，n是幻方的阶数。
当n为奇数时，称为奇阶幻方。
当n为偶数时，幻方分为双偶幻方和单偶幻方。
对于奇阶幻方，可以使用Merzirac法生成。
具体步骤如下：
1. 在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…。
2. 如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
3. 如果出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格。
4. 如果出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格。
5. 如果落步格已有数字，则向上移一格继续填写。
对于偶阶幻方，可以使用以下公式计算每行、每列和每个对角线的数字之和：S = n(n/2)^2 + (n/2)^2
其中，n是幻方的阶数。
幻方
幻方在一个由假设干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”、我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”、n阶幻方是由前n2个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等、例子：〔三阶幻方，幻和为15〕k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方、相传距今四千多年前，伏羲氏统治天下，有一匹龙马从黄河里跃出，背驮一幅图画献给他，这幅图画就叫做《河图》、在夏禹治洪功成时，有一只神龟从洛水中浮出，背负一张书画献给他，这张书画就叫做《洛书》、此《洛书》确实是世界上最早出现的三阶幻方，《河图》那么是另一形式的三阶幻方，据传《河图》是青色的，《洛书》是红色的、《河图》和《洛书》的出现，证明了我们的祖先有丰富的想象力和极高的智慧、至少在二千多年前，我们的先民就差不多掌握了数的奇偶性质、平衡原理和排列组合的方法，反映了我国古代数学家娴熟的遣数造型能力、三阶幻方的神奇性质1、十全十美，对称呼应在三阶幻方中，我们容易观看到：1与9，2与8，3与7，4与6基本上互补数组，其和等于10、我国古代数学家称三阶幻方为“合十学说”，缘故就在于此、10是一个特别特别的数，人不仅有10个手指，10个脚趾，而且计数制也采纳十进制、10是一个完美的象征，我们常用“十全十美”来表达事物的完美，为此美学家称10是一个最美的数字、三阶幻方中刚好包括了所有的一位自然数，5居中心，而其他8个数字以5为对称中心两两呼应，形成“米”字形独特的对称美、2、平方数中见均衡由于三阶幻方中的三行三列及两条对角线上的3数之和都相等，这种布局完整齐巧，故被称为均衡美的典范、三阶幻方的另一种性质更让人为它的均衡性而称奇，它的各线上各数的平方和也特别有规律，我们来看以下几个等式42＋92＋22=82＋12＋62＝10142＋32＋82=22＋72＋62＝89确实是说，三阶幻方的第一行与第三行诸数的平方和相等，第一列和第三列诸数的平方和也相等、另外，过中心线上各数的平方和也有规律：〔22＋52＋82〕＋〔42＋52＋62〕＋10＝〔72＋52＋32〕＋〔92＋52＋12〕－10＝180 这确实是说三阶幻方的两中线各数的平方和减去10，与对角线各数的平方和加10，二者竟相等、3、三阶幻方内藏一个“太阳系”三阶幻方居中一个数是5，其一次方，二次方……n次方的个位数均是5，好像一个太阳在不停地自转、四角的四个数从2起，按逆时针方向分别为2，4，8，6、注意到21＝2；22＝4；23＝8；24＝16，个位为6；25＝32，个位为2；26＝64，个位为4；27＝128，个位为8；28＝256，个位为6；故好像一个行星在绕太阳旋转、同样另四个数3，9，7，1也好像一个行星在绕太阳旋转、只是它的旋转方向是顺时针的、。
【转帖】幻方的来源及神奇传说
【转帖】幻⽅的来源及神奇传说说明：原帖来⾃：/幻⽅1—幻⽅的来源及神奇传说根据记载，传说夏禹治⽔时, 在洛⽔⾥出现了⼀只⼤乌龟, 龟背上刻有奇特的图案（如图），古代⼈们把这个图取名为“洛书”，也有的称作“河图”，我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三⾏三列，使每⾏、每列及两条对⾓线上三个数的和都等于15（如下图）。
这样的3×3的图我们称为三阶幻⽅。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后⼜有很⼤的扩展，成为纵横均为ｎ⾏的纵横图也就是n阶幻⽅。
幻⽅最早记载于我国公元前500年的春秋时期《⼤戴礼》中。
⽽在国外，公元130年，希腊⼈塞翁才第⼀次提起幻⽅。
我国不仅拥⽤幻⽅的发明权，⽽且是对幻⽅进⾏深⼊研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻⽅，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》⼀书中。
⽽欧洲，直到公元1514 年德国画家Albrecht Dure 才在他著名的铜板画Melencolia 上绘制出了完整的4阶幻⽅。
有趣的是，他连创作年代（１５１４）也镶于这个幻⽅中，⽽且上下左右四个⼩⽅阵的和皆为34（如下图）11514412679810115133216下⾯我们来说说关于“河图”和“洛书”的两个故事吧。
“河图”的说法和我们的祖先伏羲有关。
相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有⼀年从黄河⾥爬出了个⼤怪物。
这个怪物异常庞⼤，⼀张嘴就吞下个活⼈，⼀打滚地⾥的庄稼全都遭秧。
从此这⾥⽥地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，⽆以谋⽣。
怪物闹得⼤家没有活路，只好找来了伏羲。
羲皇听了⼤家的诉说后，忙带上宝剑，来到河边。
那怪物原来是黄河中的龙马，看到羲皇挥舞宝剑站在⾯前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇放它条⽣路，并承诺：“若放了我，定从黄河⾥拿件宝贝给您!”羲皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放你。
幻方解题公式
幻方解题公式幻方是一种数学谜题，由数字排列在一个正方形内以形成一个阶数相同的网格而形成。
每行、每列和对角线的数字之和相等。
在这篇文章中，我们将介绍一些幻方解题的公式，让您更好地理解和解决这个谜题。
1. 幻方基本公式在一个n阶幻方中，每个数字的位置可以表示为 (i,j)。
其中i 和j是数字的行和列。
幻方基本公式是S=n(n+1)/2。
这个公式是幻方中每行、每列和每个对角线数字之和的值。
例如，一个3阶幻方中的S值是15。
2. 幻方奇数阶公式在奇数阶的幻方中，我们可以使用以下公式来找出每个数字的位置。
如果我们要找出数字x的位置，那么行和列可以表示为：行 = (n+1)/2 + p列 = (n+1)/2 - q其中p和q是数字在幻方中的偏移量，可以使用以下公式计算： p = (x-1) mod nq = (x-1) div n例如，在一个5阶幻方中，数字17的位置可以计算为：行 = (5+1)/2 + (17-1) mod 5 = 3 + 1 = 4列 = (5+1)/2 - (17-1) div 5 = 3 - 3 = 0因此，数字17在第4行第1列。
3. 幻方偶数阶公式在偶数阶的幻方中，我们需要使用不同的公式来找出每个数字的位置。
我们可以将幻方分成四个相等的部分，并使用以下公式来计算每个数字的位置：如果数字x位于左上或右下的网格中：行 = (n/2) - p列 = (n/2) - q如果数字位于右上或左下的网格中：行 = (n/2) + p列 = (n/2) - q其中p和q的计算方法与奇数阶幻方相同。
例如，在一个4阶幻方中，数字14位于左下角的网格中。
因此，我们可以计算其位置为：行 = (4/2) + (14-1) div 4 = 2 + 3 = 5列 = (4/2) - (14-1) mod 4 = 2 - 1 = 1因此，数字14在第5行第1列。
以上是一些幻方解题的基本公式，希望能对您的幻方解题有所帮助。
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幻方（一）
【效能训练：】姓名：
27÷9×8= 6×8÷4= 35÷5×6= 54－9＋32=
36÷9×4= 42－18＋20= 81÷9×9= 53－18＋16=
3×8－3＋8= 15×3＋9×6= 81÷3－72÷4= 36＋48－19=
一、列式计算：
1、用150除12与500的积，所得的商加上200，是多少？
2、4000减去3600除以25的商，再乘30，积是多少？
3、从369里减去45的4倍，得到的差再除以3，结果是多少？
4、25除1570减去38与15的积的差，所得的商是多少？
二、填空。
1、在列式和计算时，如果要改变“先算乘除，后算加减”的运算顺序就要使用（）
2、已知：357÷21=17，6＋15=21，400－43=357，把这三个算式组成一个综合算式是（）
3、在计算38×50－24÷3时，应先算（）法和（）法，再算（）法。
4、两个数相乘的积是260，如果一个因数不变，另一个因数扩大5倍，那么积是（）
三、丁丁看一本280页的故事书，用了7天时间看完。
前三天看了120页，后4天平均每天看了多少页？
相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。
龟背上刻有神奇的图案。
• 四海三山八仙洞， • 九龙王子一枝莲。
• 二七六郎赏月半， · 周围十五月团圆。
这个龟背图很特别，请同学们观察一下，它有什么奇特之处？
总结：有黑白圈共45个，用直线连成9个数，白色是单数，黑色是双数。
这幅图被称为“洛书”。
洛书实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。
我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”。
这首诗就是当时赞美九宫图的。
九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，他对幻方已有较深的研究，总结洛书构造方法时写道：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
”这四句话的意思,见下图：一、九子斜排法: 1 9 9 4 2 4 2 4 2 7 5 3 7 5 3 3 5 7 8 6 8 6 8 6 9 1 1 九子斜排 上下对易
左右相更
二、用“罗伯法”解决此问题。
（简单易行的幻方编排方法。
） 罗伯法 ： 首字头行正中央，
依次排在右上方，上出位时向下拉， 右出位时向左拉，双出占位写下格。
【思维拓展】
知识要点：
1、幻方把一些数字不断重复地填在横竖小方格数都相等的正方形内，使每一竖列、每一横行和对角线上的各个数字之和都相等，我们把这种方阵图叫幻方，把相等的和叫做幻和。
2、幻方的种类奇数阶幻方：横竖方格数为奇数的叫奇数阶幻方。
如：三阶幻方，五阶幻方，七阶幻方······
偶数阶幻方：横竖方格数为偶数的叫偶数阶幻方。
如：四阶幻方，六阶幻方，八阶幻方······
【典型例题】
例1、将2~10九个数字填在图内的方格里使其成为一个三阶幻方。
阶幻方。
例2、用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数，采用罗伯法编制一个三阶幻方。
中心数是几？幻和是几？
练习：用5、6、7、8、9、10、11、12、13这九个数字编制一个三阶幻方。
求出中心数是几？幻和是几？
例3、将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字编排成一个三阶幻方。
解：除了利用罗伯法外，还可以利用“九子斜排法”。
“九子斜排，上下对易，左右相更，四维现用。
”
练习：用4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数填入图中的空格中，
使每一横行，每一竖列及每条对角线上的三个数的和都相等。
例4、使用“罗伯法”用1~25编制一个五阶幻方。
练习：采用“罗伯法”用下列各数编制一个五阶幻方。
2、4、6、8、10、12、··· 、48、50
例5、请编制出一个三阶幻方，使其幻和为24
练习：将九个连续的自然数填入3行3列的九个空格子中，使每一横行及每一竖列的三个数字之和都等于60。
例6、填方格，使每行、每列以及对角线上的各数之和都相等。
练习：左下图是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请在其他位置上填上适当的数，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和为30。
【家庭作业】
1、分别用下列各数编制一个三阶幻方。
（1）3、5、7、9、11、13、15、17、19（2）2、3、4、6、7、8、10、11、12
2、用12~20这九个数组成一个三阶幻方。
（用“九子斜排法”）
3、用33~41这九个数组成的三阶幻方中心数应是几？那些数应填在四个角的方格内？它的幻和是多少
4、采用“罗伯法”用下列各数编制一个五阶幻方。
（1） 4~28 （2） 10~34
5、图中的九个小方格内各有一个字母，而且每行、每列及每条对角线上的三数之和都相等，求X 和Y 。