2017版高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习课件第八章 立体几何与空间向量 8.8
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2017版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习课件第八章 立体几何 8.2 Word版含答案
b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R， 则 2R＝ a2＋b2＋c2.
c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )
例4
已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB )
＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(
3 17 A. 2 13 C. 2
B.2 10 D.3 10
解析答案
2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与 其内切球的表面积S2的比值为多少？
思维升华 解析答案
跟踪训练1
(2015· 福建 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 ( )
A．8＋2 2 C．14＋2 2
B．11＋2 2 D．15
解析答案
题型二
求空间几何体的体积间的基本关系
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2015· 课标全国Ⅱ) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余 部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )
(3)球的体积之比等于半径比的平方.( × )
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球.( × )
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱
的侧面积是2πS.( × )
答案
2
考点自测
1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆， 则底面圆的半径为( B ) A.1 cm C.3 cm B.2 cm D. 3 cm 2
2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体及其表面积与体积课件 理
(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边所在直线旋 转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在 旋 直线旋转得到. 转 (3)圆台可以由直角梯形绕
直角腰 所在直
体 线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋 转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面或圆面绕 线旋转得到
直径 所直
故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明 (如 图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确.
答案 ①②③
规律方法
解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正
把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析， 即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
【训练1】 (1)给出以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
2 2 答案 (1) 4 (2) 6
规律方法
(1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规
则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换 法多用来求三棱锥的体积 .(2)若所给定的几何体是不规则几 何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几
何体，再利用公式求解.
【训练3】 (1)(2015· 山东卷改编)已知等腰直角三角形的直角边的
解析
(1)如图，连接 A1B，A1C，则三棱锥 A1
1 1 3 －ABC 为正四面体， 则 VA1－ABC＝3×2×1× 2 6 2 × ＝ ，所以三棱柱的体积为该三棱锥体 3 12 2 积的 3 倍为 4 . (2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长 1，侧棱长为 1，斜高
3 2 为 2 ，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 2 ，所以体积 1 2 2 V＝3×1×1× 2 ＝ 6 .
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第八章立体几何8.6
∴M→N＝M→B＋B→A＋A→N＝13D→A＋13A→B＋B→A＋13A→D＋13D→E＝23B→A
( ) 所以C→G＝13 C→B＋C→D＋C→C1 ＝13C→A1.
故C→G∥C→A1，即 A1，G，C 三点共线．
第十八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
②证明：设C→B＝b，C→D＝ c，C→C1＝d，则|b|＝|c|＝|d|，且 b·c
＝b·d＝c·d＝0.
∵C→A1＝C→B＋C→D＋C→C1＝b＋c＋d， B→C1＝B→C＋C→C1＝d－b， ∴C→A1·B→C1＝(b＋c＋d)(d－b)＝a2－a2＝0. ∴C→A1⊥B→C1，即 CA1⊥BC1.
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
3．空间向量的数量积运算 (1)空间向量的数量积：已知两个非零向量 a，b， 则__________________叫做 a，b 的数量积，记作 a·b， 通常规定，0≤〈a，b〉≤π.对于两个非零向量 a，b， a⊥b⇔______________． (2)空间零向量与任何向量的数量积为______．
解：①正确；②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 p＝ xa＋yb 不成立，②错误；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立，④错误．故 填①③.
第十一页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
类型一 空间向量的运算
如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→B＝a，A→D＝ b，A→A1＝c，E 为 A1D1 的中点，F 为 BC1 与 B1C 的交点．
2．(1)①＞ ＜ ②|λ| (2)①λa＋λb ②(λμ)a
(3)互相平行或重合 (4)存在实数 λ，使 a＝λb (5)平行
( ) 所以C→G＝13 C→B＋C→D＋C→C1 ＝13C→A1.
故C→G∥C→A1，即 A1，G，C 三点共线．
第十八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
②证明：设C→B＝b，C→D＝ c，C→C1＝d，则|b|＝|c|＝|d|，且 b·c
＝b·d＝c·d＝0.
∵C→A1＝C→B＋C→D＋C→C1＝b＋c＋d， B→C1＝B→C＋C→C1＝d－b， ∴C→A1·B→C1＝(b＋c＋d)(d－b)＝a2－a2＝0. ∴C→A1⊥B→C1，即 CA1⊥BC1.
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
3．空间向量的数量积运算 (1)空间向量的数量积：已知两个非零向量 a，b， 则__________________叫做 a，b 的数量积，记作 a·b， 通常规定，0≤〈a，b〉≤π.对于两个非零向量 a，b， a⊥b⇔______________． (2)空间零向量与任何向量的数量积为______．
解：①正确；②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 p＝ xa＋yb 不成立，②错误；③正确；④中若 M，A，B 共线， 点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立，④错误．故 填①③.
第十一页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
类型一 空间向量的运算
如图，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→B＝a，A→D＝ b，A→A1＝c，E 为 A1D1 的中点，F 为 BC1 与 B1C 的交点．
2．(1)①＞ ＜ ②|λ| (2)①λa＋λb ②(λμ)a
(3)互相平行或重合 (4)存在实数 λ，使 a＝λb (5)平行
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第八章立体几何8.5
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
自查自纠
1．直角 2．(1)直线 l 与平面 α 互相垂直 l⊥α 平面 α 的垂线
直线 l 的垂面 垂足 距离 (2)两条相交直线 (3)平行 3．锐角 [0°，90°] 4．(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 [0°，180°] 5．(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线
解：B1D⊥平面 ACC1A1，所以 B1D⊥CF. 要 CF⊥平面 B1DF，只要 CF⊥DF 即可． 令 CF⊥DF，∠A1FD＝∠ACF，∠AFC＝∠A1DF， 设 AF＝x，则 A1F＝3a－x. 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D，得AA1CF＝AA1FD，即3a2－a x＝ax， 解得 x＝a 或 x＝2a.(亦可由勾股定理求得)故填 a 或 2a.
而 A1B1＝1，B1M＝ B1C12＋MC21＝ 2， 故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2.
第二十页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2)证明：由 A1B1⊥平面 BCC1B1，BM⊂平面 BCC1B1， 得 A1B1⊥BM.① 由(1)知，B1M＝ 2，又 BM＝ BC2＋CM2＝ 2，B1B＝2， B1M2＋BM2＝B1B2，从而 BM⊥B1M.② 又 A1B1∩B1M＝B1，由①②得 BM⊥平面 A1B1M. 而 BM⊂平面 ABM，∴平面 ABM⊥平面 A1B1M.
第十Hale Waihona Puke 页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2)∵棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，∴CC1 ⊥平面 ABC.∵AC⊂平面 ABC，∴AC⊥CC1.又 ∵AC⊥BC ， CC1 ⊂ 平 面 BCC1B1 ， BC ⊂ 平 面 BCC1B1，BC∩CC1＝C，∴AC⊥平面 BCC1B1.又 ∵BC1⊂平面 BCC1B1，∴BC1⊥AC.∵BC＝CC1， ∴ 矩 形 BCC1B1 是 正 方 形 ， ∴ BC1 ⊥ B1C. 又 AC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面 B1AC.又∵AB1⊂平面 B1AC，∴BC1⊥AB1.
自查自纠
1．直角 2．(1)直线 l 与平面 α 互相垂直 l⊥α 平面 α 的垂线
直线 l 的垂面 垂足 距离 (2)两条相交直线 (3)平行 3．锐角 [0°，90°] 4．(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 [0°，180°] 5．(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线
解：B1D⊥平面 ACC1A1，所以 B1D⊥CF. 要 CF⊥平面 B1DF，只要 CF⊥DF 即可． 令 CF⊥DF，∠A1FD＝∠ACF，∠AFC＝∠A1DF， 设 AF＝x，则 A1F＝3a－x. 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D，得AA1CF＝AA1FD，即3a2－a x＝ax， 解得 x＝a 或 x＝2a.(亦可由勾股定理求得)故填 a 或 2a.
而 A1B1＝1，B1M＝ B1C12＋MC21＝ 2， 故 tan∠MA1B1＝AB11BM1＝ 2.
第二十页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2)证明：由 A1B1⊥平面 BCC1B1，BM⊂平面 BCC1B1， 得 A1B1⊥BM.① 由(1)知，B1M＝ 2，又 BM＝ BC2＋CM2＝ 2，B1B＝2， B1M2＋BM2＝B1B2，从而 BM⊥B1M.② 又 A1B1∩B1M＝B1，由①②得 BM⊥平面 A1B1M. 而 BM⊂平面 ABM，∴平面 ABM⊥平面 A1B1M.
第十Hale Waihona Puke 页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
(2)∵棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，∴CC1 ⊥平面 ABC.∵AC⊂平面 ABC，∴AC⊥CC1.又 ∵AC⊥BC ， CC1 ⊂ 平 面 BCC1B1 ， BC ⊂ 平 面 BCC1B1，BC∩CC1＝C，∴AC⊥平面 BCC1B1.又 ∵BC1⊂平面 BCC1B1，∴BC1⊥AC.∵BC＝CC1， ∴ 矩 形 BCC1B1 是 正 方 形 ， ∴ BC1 ⊥ B1C. 又 AC∩B1C＝C，∴BC1⊥平面 B1AC.又∵AB1⊂平面 B1AC，∴BC1⊥AB1.
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第八章立体几何8.1
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
2．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． (2)会简单应用空间两点间的距离公式． 3．空间向量与立体几何 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量 的共线和垂直． (4)理解直线的方向向量及平面的法向量． (5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． (6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 (包括三垂线定理)． (7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
(2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜
高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面 边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜 高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_________．
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的 __________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间 的部分，叫做棱台．
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
2．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． (2)会简单应用空间两点间的距离公式． 3．空间向量与立体几何 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量 的共线和垂直． (4)理解直线的方向向量及平面的法向量． (5)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． (6)能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 (包括三垂线定理)． (7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
(2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜
高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面 边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜 高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个_________．
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的 __________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间 的部分，叫做棱台．
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第八章立体几何8.4
＝
26，AN＝
9＋
11＝
20，AM＝
9，∴
S△
EN
D＝
BN·AN BM·AM
S△FMC＝100.
第二十页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
1．证明线线平行的方法 (1)利用平面几何知识； (2)平行公理：a∥b，b∥c⇒a∥c； (3)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b； (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b； (5)线面垂直的性质定理：m⊥α，n⊥α⇒m∥n.
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
如图所示的四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥面 MNP 的图形的序 号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)
第八页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
ห้องสมุดไป่ตู้
解：在①中，由于平面 MNP 与 AB 所在的侧面平 行，所以 AB∥平面 MNP；在③中，由于 AB 与以 MP 为中位线的三角形的底边平行，∴AB∥MP，又∵MP ⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP.∴AB∥平面 MNP.②④ 中，只须平移 AB，即可发现 AB 与平面 MNP 相交．故 填①③.
解：由于 PR 是△A1BC1 的中位线，所以 PR∥BQ，故①不正确；由于 RQ∥A1C1，而 A1C1 不垂直于面 BCC1B1，所以②不正确；由于 PR∥BC1 ∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正确；由于△A1BC1 是边长为 2的正三角 形，所以④正确．故填③④.
第十页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
3．平面与平面之间的位置关系 (1)两个平面平行，则它们______________； (2)两个平面相交，则它们______________，两个平面垂直是相交的一种特殊情况． 4．平面与平面平行的判定和性质 (1)平面与平面平行的判定定理 ①一个平面内的两条_______与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：_________． ②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平 面平行． ③垂直于同一条直线的两个平面平行．即 l⊥α，l⊥β⇒α∥β. ④平行于同一个平面的两个平面平行．即 α∥γ，β∥γ⇒α∥β. (2)平面与平面平行的性质定理 ①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线____________．即面面平行⇒ 线线平行．用符号表示：___________________． ②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示： _____________． ③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表 示：______________．
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第八章立体几何8.3
第四页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
3．平行公理 公理 4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传 递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据． 4．等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ____________．
自查自纠
1．(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条
第二十二页，编辑于星期六：二十一点 四十八 分。
【点拨】探求常规的异面直线所成角的问题，首 先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通 过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进 而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择 端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底 边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是研究空 间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平 面图形问题．
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
类型二 点共线、线共点问题
如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线．
如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，
①GH 与 EF 平行； ②BD 与 MN 为异面直线； ③GH 与 MN 成 60°角； ④DE 与 MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是__________．
解：把正四面体的平面展开图还原，如图所 示，GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直 线，GH 与 MN 成 60°角，DE⊥MN.故填②③④.
3．平行公理 公理 4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传 递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据． 4．等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ____________．
自查自纠
1．(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条
第二十二页，编辑于星期六：二十一点 四十八 分。
【点拨】探求常规的异面直线所成角的问题，首 先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通 过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进 而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择 端点、中点、等分点，通过三角形的中位线平行于底 边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是研究空 间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平 面图形问题．
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十八分。
类型二 点共线、线共点问题
如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线．
如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，
①GH 与 EF 平行； ②BD 与 MN 为异面直线； ③GH 与 MN 成 60°角； ④DE 与 MN 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是__________．
解：把正四面体的平面展开图还原，如图所 示，GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直 线，GH 与 MN 成 60°角，DE⊥MN.故填②③④.
2017版高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习课件第八章 立体几何与空间向量 8.6
→ → → → → → (1－t)OA ＋tOB 为OP＝OA＋tAB或OP＝
.
答案
(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中 x，y∈R，a，b 为
→ → → 不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O，有 → → → → → → → → OM ＋ xMA ＋ yMB OP＝ 或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中 x＋y＋z＝ 1 .
(3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那 么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不 共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.
答案
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→ 1→ 1 → 1→ 1→ 1→ 解析 OE＝2OA＋2OD＝2OA＋4OB＋4OC
1 1 1 ＝2a＋4b＋4c.
1
2
3
4
5
解析答案
4.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋ 1或－3 y的值为________.
解析
4＋4y＋2x＝0， 依题意得 2 4＋16＋x ＝36
答案
1.如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的 → → → → 交点.若AB＝a， AD＝b， AA1＝c， 则下列向量中与BM相等的向量是( A ) 1 1 A.－2a＋2b＋c 1 1 C.－2a－2b＋c 1 1 B.2a＋2b＋c 1 1 D.2a－2b＋c
x＝4， x＝－4， 解得 或 y＝－3， y＝1.
.
答案
(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中 x，y∈R，a，b 为
→ → → 不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O，有 → → → → → → → → OM ＋ xMA ＋ yMB OP＝ 或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中 x＋y＋z＝ 1 .
(3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那 么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不 共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.
答案
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→ 1→ 1 → 1→ 1→ 1→ 解析 OE＝2OA＋2OD＝2OA＋4OB＋4OC
1 1 1 ＝2a＋4b＋4c.
1
2
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解析答案
4.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋ 1或－3 y的值为________.
解析
4＋4y＋2x＝0， 依题意得 2 4＋16＋x ＝36
答案
1.如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的 → → → → 交点.若AB＝a， AD＝b， AA1＝c， 则下列向量中与BM相等的向量是( A ) 1 1 A.－2a＋2b＋c 1 1 C.－2a－2b＋c 1 1 B.2a＋2b＋c 1 1 D.2a－2b＋c
x＝4， x＝－4， 解得 或 y＝－3， y＝1.
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π π (4)两异面直线夹角的范围是(0，2]，直线与平面所成角的范围是[0，2]，二 面角的范围是[0，π].( √ )
答案
(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为 120°，则l和α所成角为 30°.( √ ) (6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ， 则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )
答案
2
考点自测
1.如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1 中，M，N分别是棱CD，CC1的中 点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是( A.30° C.60° B.45° D.90° )
1
2
3
4
5
解析答案
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若 1 cos〈m，n〉＝－ ，则l与α所成的角为( A ) 2 A.30° B.60°
1
2
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5
解析答案
4.(教材改编)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二 面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8， CD＝2 17 ，则该二面角的大小为________.
1
2
3
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解析答案
5.P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、 PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________.
跟踪训练3
由 CE＝2，CD＝DE＝ 2得△CDE 为等腰直角三角形，
故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，
故DE⊥平面PCD.
解析答案
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
解析答案
题型四
(供选用)题型四 求空间距离
第八章 立体几何与空间向量
§8.8 立体几何中的向量方法(二) ——求空间角和距离
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
答题模板系列
思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ π 范围 (0，2 ] |a· b| 求法 cos θ＝ |a||b| a与b的夹角β
跟踪训练1
如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′， 已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′ 上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小.
解析答案
题型二
求直线与平面所成的角
例2 (2015· 课标全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，
1
2
3
4
5
解析答案
题型分类 深度剖析
题型一
求异面直线所成的角
例1 (2015· 四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形， 它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别 为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则 cos θ的最大值为________.
思维升华
解析答案
D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的
底面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； 解 交线围成的正方形EHGF如图：
解析答案
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°， AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D；
解析答案
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
解析答案
题型三
求二面角
例3 (2015· 安徽)如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D， E的平面交CD1于F. (1)证明：EF∥B1C.
解析答案
C.120°
解析
D.150°
1 设 l 与 α 所成角为 θ，∵cos〈m，n〉＝－2，
1 ∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝2，
∵0°≤θ≤90°， ∴θ＝30°.故选A.
1 2 3 4 5
解析答案
3.(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－ A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 2，则AC1与侧面ABB1A1 所成的角为________.
(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.
思维升华
解析答案
(2015· 重庆)如图，三棱锥 P-ABC 中，PC⊥平面 π ABC，PC＝3，∠ACB＝2.D，E 分别为线段 AB，BC 上的点， 且 CD＝DE＝ 2，CE＝2EB＝2. (1)证明：DE⊥平面 PCD；
证明 由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.
[0，π]
a· b cos β＝ |a||b|
答案
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角 |a· n| |a||n|. 为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝
3.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的 → → CD〉 直线，则二面角的大小 θ＝ 〈AB， .
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
(2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B → n| → |AB· 到平面 α 的距离为|BO|＝ . |n|
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )
答案
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向 量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉| ，二面角的平面角 大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
答案
4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 → 设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝
答案
(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为 120°，则l和α所成角为 30°.( √ ) (6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ， 则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )
答案
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考点自测
1.如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1 中，M，N分别是棱CD，CC1的中 点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是( A.30° C.60° B.45° D.90° )
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解析答案
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若 1 cos〈m，n〉＝－ ，则l与α所成的角为( A ) 2 A.30° B.60°
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解析答案
4.(教材改编)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二 面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8， CD＝2 17 ，则该二面角的大小为________.
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解析答案
5.P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、 PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为________.
跟踪训练3
由 CE＝2，CD＝DE＝ 2得△CDE 为等腰直角三角形，
故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，
故DE⊥平面PCD.
解析答案
(2)求二面角A-PD-C的余弦值.
解析答案
题型四
(供选用)题型四 求空间距离
第八章 立体几何与空间向量
§8.8 立体几何中的向量方法(二) ——求空间角和距离
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基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ π 范围 (0，2 ] |a· b| 求法 cos θ＝ |a||b| a与b的夹角β
跟踪训练1
如图所示正方体ABCD－A′B′C′D′， 已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′ 上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小.
解析答案
题型二
求直线与平面所成的角
例2 (2015· 课标全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，
1
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解析答案
题型分类 深度剖析
题型一
求异面直线所成的角
例1 (2015· 四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形， 它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别 为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则 cos θ的最大值为________.
思维升华
解析答案
D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的
底面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； 解 交线围成的正方形EHGF如图：
解析答案
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
思维升华
解析答案
跟踪训练2
如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°， AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D；
解析答案
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
解析答案
题型三
求二面角
例3 (2015· 安徽)如图所示，在多面体A1B1D1-DCBA中，四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D， E的平面交CD1于F. (1)证明：EF∥B1C.
解析答案
C.120°
解析
D.150°
1 设 l 与 α 所成角为 θ，∵cos〈m，n〉＝－2，
1 ∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝2，
∵0°≤θ≤90°， ∴θ＝30°.故选A.
1 2 3 4 5
解析答案
3.(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－ A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 2，则AC1与侧面ABB1A1 所成的角为________.
(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.
思维升华
解析答案
(2015· 重庆)如图，三棱锥 P-ABC 中，PC⊥平面 π ABC，PC＝3，∠ACB＝2.D，E 分别为线段 AB，BC 上的点， 且 CD＝DE＝ 2，CE＝2EB＝2. (1)证明：DE⊥平面 PCD；
证明 由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.
[0，π]
a· b cos β＝ |a||b|
答案
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角 |a· n| |a||n|. 为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝
3.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的 → → CD〉 直线，则二面角的大小 θ＝ 〈AB， .
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
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(2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B → n| → |AB· 到平面 α 的距离为|BO|＝ . |n|
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )
答案
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向 量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉| ，二面角的平面角 大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
答案
4.利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 → 设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝