因式分解在实际生活中的应用
初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。
小学数学专题--因式分解及应用
1.4 因式分解及应用【必备知识】1． 把一个多项式化成几个 ，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有 的关系．2． 一个多项式中每一项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式． 把该公因式提取出来进行因式分解的方法，叫做 ． 3． 公式法分解因式； .考点一、因式分解的概念【典例1】下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A ．a （x ﹣y ）＝ax ﹣ay B ．m 2﹣n 2＝（m ﹣n ）（m +n ）C ．D ．x 2﹣4x +3＝x （x ﹣4）+3【变式训练1】1. 下列变形：①（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1；② 9a 2﹣12a +4＝（3a ﹣2）2；③ 3abc 3＝3c •abc 2；④ 3a 2﹣6a ＝3a （a ﹣2）中，是因式分解的有 （填序号） 2.如果（x +4）（x ﹣3）是x 2﹣mx ﹣12的因式，那么m 是（ ） A ．7 B ．﹣7C ．1D ．﹣1=-22b a =+±222b ab a考点二、提公因式法因式分解【典例2】1.下列各组多项式中，没有公因式的是（）A．ax﹣bx和by﹣ay B．3x﹣9xy和6y2﹣2yC．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b22.把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（）A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3【变式训练2】1. 多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是．2.在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（）A．m B．m（a﹣x）C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）3.分解因式a2﹣9a的结果是（）A. a（a﹣9）B. （a﹣3）（a+3）C. （a﹣3a）（a+3a） D. （a﹣3）24.分解因式：（1）15a3+10a2（2）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）（3）x2（a﹣1）+x（1﹣a）考点三、公式法因式分解【典例3】分解因式：a3﹣8a2+16a＝．【变式训练】1.把（a2+1）2﹣4a2分解因式得（）A．（a2+1﹣4a）2B．（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）C．（a+1）2（a﹣1）2D．（a2﹣1）22.下列因式分解中，正确的是（）A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）3.因式分解25﹣16x2x3y﹣10x2y+25xy4.在以下三个整式中，任取其中的两个进行和或差的运算，使得计算后所得的多项式分别满足相应的要求并解答：x4﹣2x2y2﹣y4、x4+y4、2x2y2．（1）该多项式因式分解时，只运用了平方差公式；（2）该多项式因式分解时，只运用了完全平方公式；（3）该多项式因式分解时，既运用了平方差公式，又运用了完全平分公式．一、单选题1．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）A ．21234x y x xy -= B ．11(1)x x x-=-C ．2221(1)x x x -+=- D ．22()()a b a b a b +-=-2．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x ﹣2）的是（ ） A ．x 2﹣4 B ．x 3﹣4x 2﹣12xC ．x 2﹣2xD ．（x ﹣3）2+2（x ﹣3）+13．已知：3a b +=则2225a a b b ab -+-+-的值为（ ） A ．1B ．1-C ．11D ．11-4．多项式2()()()x y a b xy b a y a b ---+-提公因式后，另一个因式为（ ）A ．21x x --B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-5．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ） A ．1B ．4C ．11D ．126．已知（2x ﹣3）7＝a 0x 7+a 1x 6+a 2x 5+……+a 6x +a 7，则a 0+a 1+a 2+……+a 7＝（ ） A ．1 B ．﹣1C ．2D ．0二、填空题1．已知2P m m =-，1Q m =-（m 为任意实数），则P ________Q ．（用不等号连接）2．若m+n=6，mn=4，则m 3n+2m 2n 2+mn 3=__________.3．长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为_____． 4．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个数为“神秘数”，如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．请你写出一个类似的等式：________________．三、解答题 1．分解因式（1）29x - （2）()()244m m n n n m -+-（3）()28116a a +- （4）()222416x x +-．2．甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时，甲看错了b ，分解结果为(2)(4)x x ++；乙看错了a ，分解结果为(1)(9)x x ++．请你分析一下a 、b 的值，并写出正确的因式分解过程．3．如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，求a3b2+a2b3的值.4．由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试分解因式：x2＋6x＋8；(2)应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.。
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
因式分解与最大公因数
因式分解与最大公因数在初中数学学习中，因式分解和最大公因数是非常重要的概念和技巧。
它们不仅可以帮助我们简化复杂的数学运算，还可以帮助我们解决实际问题。
本文将通过几个例子来介绍因式分解和最大公因数的概念、性质以及应用。
一、因式分解因式分解是将一个数或代数式写成几个因数的乘积的形式。
它可以帮助我们简化计算和研究数的性质。
因式分解的基本方法是提取公因数或使用特定的公式和定理。
下面我们通过一个例子来说明：例1：将代数式2x^2 + 4x分解成因数的乘积。
解：首先，我们可以将2x提取出来，得到2x(x + 2)。
因此，2x^2 + 4x可以分解为2x(x + 2)。
这样，通过因式分解，我们可以将原来的代数式简化成更简单的形式，方便我们进行计算和研究。
二、最大公因数最大公因数是指若干个数或代数式中共有的最大的因数。
最大公因数的计算可以通过辗转相除法或因式分解法来进行。
最大公因数的概念在数学问题的解决中经常出现，下面我们通过一个例子来说明：例2：求出36和48的最大公因数。
解：首先，我们可以用辗转相除法来计算最大公因数。
将36除以48，余数为36。
然后，将48除以36，余数为12。
继续用36除以12，余数为0。
最后，我们发现余数为0，所以36和48的最大公因数就是上一步的除数，即12。
通过最大公因数的计算，我们可以简化问题，从而更容易解决实际问题。
三、因式分解与最大公因数的应用因式分解和最大公因数在数学问题的解决中起着重要的作用。
它们不仅可以帮助我们简化计算，还可以帮助我们分析和研究数的性质。
下面我们通过两个例子来说明：例3：求解方程2x^2 + 4x = 0。
解：首先，我们可以将方程进行因式分解：2x(x + 2) = 0，得到2个解：x = 0和x = -2。
这样，通过因式分解，我们可以更方便地求解方程。
例4：某个班级有48个学生，其中有18个喜欢音乐，24个喜欢运动，请问这个班级既喜欢音乐又喜欢运动的学生有多少个？解：首先，我们可以求出48、18和24的最大公因数。
阶段核心应用 因式分解的八种常见应用
解：规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2. 理由如下：
n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2 ＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1 ＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1 ＝[n(n＋1)＋1]2.
BS版 八年级上
阶段强化专题训练
专训1 探究光的反射定律
阶段强化专题训练
入射角 50° 40° 20°
反射角 50° 40° 20°
阶段强化专题训练
(2)海若按如图甲所示方式开始实验，纸板上显示出了两 条光线，她想把这两条光线的传播路径保留在纸板上 以便探究，请你为她设计一个简便的方法：_沿__光__路__用__ _铅__笔__相__隔__一__定__距__离__在__纸__板__上__各___ _点__两__点__，__再__过__两__点__用__直__尺__、__铅___ _笔__将__光__的__路__径__画__在__纸__板__上___。
8．若a，b，c为三角形的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－ 4a2b2的值一定为负． 证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2 ＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab) ＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2] ＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．
4．先阅读下列材料，然后解题： 因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x －2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除．所以x－2 是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0. (1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋ 5x ＋ 6 能 被x_＋__2_或__x_＋__3_ 整 除 ． 所 以 _x_＋__2_或__x_＋__3是 x2 ＋5x＋6的一个因式，且当x＝_－__2_或__－__3_时，x2＋ 5x＋6＝0.
因式分解方法详解
因式分解方法详解因式分解是一种重要的数学方法，它将一个多项式分解为若干个因式的乘积，以便更好地理解、计算和解决数学问题。
下面将详细讲解因式分解的方法和步骤。
一、因式分解的方法1.提公因式法提公因式法是因式分解中最基本的方法之一。
它是指通过提取多项式中的公因式，将多项式转化为几个因式的乘积。
例如，将多项式x³+2x²-5x-6进行提公因式，得到(x+1)(x²-6)。
2.公式法公式法是因式分解中常用的方法之一。
它是指通过运用一些特定的公式，将多项式转化为几个因式的乘积。
常用的公式包括平方差公式、完全平方公式、立方和公式等等。
例如，将多项式a²-b²进行公式法分解，得到(a+b)(a-b)。
3.十字相乘法十字相乘法是一种特殊的因式分解方法，适用于某些二次多项式。
它是指将多项式分解为两个二次因式的乘积，系数交叉相乘并相加。
例如，将多项式2x²+5x+3进行十字相乘法分解，得到(2x+1)(x+3)。
4.待定系数法待定系数法是一种通过假设多项式中各项的系数，并设某个多项式等于0，解出未知数的值，进而得到因式分解的方法。
例如，将多项式x³+2x²-5x-6进行待定系数法分解，设(x+1)(ax²+bx+c)=0，通过解方程得到a、b、c的值，进而得到原多项式的因式分解结果。
二、因式分解的步骤1.确定多项式的项数和各项的系数和字母；2.找出多项式中的公因式，将多项式转化为几个整式的乘积；3.运用公式法、十字相乘法等方法将整式乘积转化为更简单的整式乘积；4.检验因式分解的正确性，确保所有因式的积等于原多项式。
三、因式分解的应用因式分解在数学中有着广泛的应用。
例如，在解方程中，通过因式分解可以更快地找到方程的根；在求函数的极值时，通过因式分解可以更好地理解函数的性质；在数列求和时，通过因式分解可以更方便地找到通项公式。
此外，因式分解还可以应用于解决实际生活中的问题，例如在电路设计中可以通过因式分解来计算电流和电压的变化情况。
数学中的因数分解与最大公约数
数学中的因数分解与最大公约数数学是一门普遍存在于我们生活中的学科，而其中的因数分解与最大公约数是数学中常见且重要的概念。
因数分解是将一个数分解成几个较小的数的乘积，而最大公约数则是指能够同时整除两个或多个数的最大正整数。
本文将以数学中的因数分解与最大公约数为主题，探讨它们的定义、性质以及在解决实际问题中的应用。
1. 因数分解的定义与性质因数分解是将一个数分解成几个较小的数的乘积。
对于任意一个正整数n，如果存在正整数a、b满足n = a × b，那么我们称a是n的因数，b是n的因数。
因数分解可以帮助我们理解一个数的本质组成，而且在解决一些数学问题中也有着重要的应用。
对于一个数n，它的因数分解可以有多种形式。
例如，将12进行因数分解可以得到：12 = 2 × 2 × 3。
需要注意的是，这里的2和3都是12的因数，且它们的乘积等于12。
因数分解的结果并不是唯一的，但我们通常会选择其中最小的数作为因数分解的结果。
除了将数分解成质因数的乘积外，我们还可以进行因式分解。
因式分解是指将一个表达式分解为两个或多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 1进行因式分解可以得到：x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)。
通过因式分解，我们可以简化复杂的表达式，方便我们进行进一步的计算和研究。
2. 最大公约数的定义与性质最大公约数是指能够同时整除两个或多个数的最大正整数。
对于两个正整数a和b，它们的最大公约数记为gcd(a, b)。
最大公约数有一些重要的性质，例如：- 若a能整除b，则gcd(a, b) = a。
- 若a不能整除b，则gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，其中mod表示取模运算。
- 若a和b互质（即gcd(a, b) = 1），则它们没有除1以外的公因数。
最大公约数在数学中有广泛的应用，例如在分数化简、求解同余方程、解线性方程等问题中都会涉及到最大公约数的概念和计算。
综合除法与因式分解过程
综合除法与因式分解过程是数学中常见且重要的概念。
综合除法是将多项式除以另一个多项式，得到商式与余式的过程。
而因式分解是将一个多项式分解为两个或多个乘积的形式。
在本文中，我将深入探讨综合除法与因式分解的原理、步骤以及其在解决实际问题中的应用。
一、综合除法的原理与步骤综合除法是一种用来除以一个多项式的方法，它的基本原理是通过逐步长除的方式，得到商式与余式。
综合除法通常在求多项式的因式、判断一个多项式是否为另一个多项式的因式以及求多项式的根等问题中起到重要作用。
综合除法的步骤如下：1.将被除式与除式按照次数从高到低的顺序排列，确保次数最高的项在前。
2.将被除式的次数最高项与除式的次数最高项进行除法运算，得到该项的商。
3.将商乘以除式，得到一个新的多项式。
4.将新的多项式与被除式相减，得到新的被除式。
5.重复以上步骤，直到无法再进行除法运算为止，此时所得到的新被除式即为余式。
6.将所得到的商式与余式写成一个式子，即为综合除法的结果。
例子：对多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 进行综合除法，除以多项式 D(x) = x - 1。
按照上述步骤进行综合除法运算，可以得到：2x^2 - 3_______________x - 1 | 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 - (2x^3 - 2x^2) ____________ -3x^2 + 3x -(-3x^2 + 3x) ___________ 0综合除法的结果为商式为 2x^2 - 3，余式为 0。
二、因式分解的原理与步骤因式分解是将一个多项式分解为两个或多个乘积的形式。
它是分解式子、求根、简化计算等问题中经常使用的技巧。
因式分解可以帮助我们更好地理解多项式的性质，进而解决各种数学问题。
因式分解的步骤如下：1.将多项式进行因式提取，即将多项式中可以提取出来的公因式提取出来。
这一步可以简化多项式，并将其分解为一个公因式与剩下部分的乘积。
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因式分解在实际生活中的应用
因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．
一、提取公因式法的应用
例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？
分析：总共有3300m的道路，第一个月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，
两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．
解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310
所以这两个月共完成2310m拓宽任务．
例2在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时，求U的值
分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式
解：当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时
U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100 评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．
二、平方差公式的应用
例3学校在一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m2的草坪，够不够铺绿地？
分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单
解：依题意得
13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82=(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128 因为130>128
所以购买130m 2的草坪，够铺绿地．
例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“
”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为、，则该种保鲜膜的厚度约为_____（取3.14，结果保留两位有效数字）．
分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的．
设厚度为xcm ，展开时体积为x×20×6000(cm 3)
未展开的体积为
20×3.14×2)24.4(− 20×3.14×2)2
6.3( 解：设设厚度为xcm ，依题意得
x×20×6000=20×3.14×2)24.4(−20×3.14×2)2
6.3( x×20×6000=20×3.14×(2.22−1.82)
6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2−1.8)
6000x=5.024
解之得 x=8.4×10−4
评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．
三、完全平方公式的应用
例5 达活泉公园有一块长为 51.2m 的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m ，问剩余绿地的面积是多少？
分析：用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积
解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22)
=51.22−2×1.2×51.2+1.22
=(51.2−1.2)2
=502
=2500
所以剩余绿地的面积为2500m2
评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．
四、因式分解的综合应用
例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式
4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．
分析：按照原理，需把4x3y−xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码解：4x3y−xy3= x(4x2−y2) = x(2x+y)(2x−y)
当x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30，(2x−y) = 10
又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．
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