高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 1.1集合
第01讲 集合(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( ) 【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个， 故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合. 故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( ) 【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个. 故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M xx x =+=∣，则1M -∈.( ) 【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣ 所以1M -∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( ) 【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误 二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥. 故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ） A ．{}1,2,2- B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ， 又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-， 当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意； 当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R，()RAB .【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥． 故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() UA B ⋂D ．(U A B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ， 故阴影部分为() UB A ⋂，故选：A.高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈， 则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-.故答案为：1- 3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6 个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】B 因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1． 故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ） A ．16 B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =< 故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-=，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错 故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__. 【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件． 故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；【答案】7 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞ D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤. 故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣；（2）52m ≤. （1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}RA B x x x ⋂=≤≥或∣（2）因为B C C =，所以C B ⊆. 当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤； 当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤；（2）{|2a a ≤或}4a >. （1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤.（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆， 若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题. 重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （2）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<， 故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|22}x x -<< D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞【答案】C解：由()214x -≥，即310x x ，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=； 故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ） A ．(]0,2 B ．()2,e C ．()0,2 D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B =， 故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ； 当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， 满足A B A =.选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， {}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)， 因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=. 故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则UA__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z{}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴= 故{1,6,7,8,9}UA =-故答案为：{1,6,7,8,9}- 集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂ B ．()UB AC ．()UA BD ．()U A B【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂. 故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB xx x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}xx <<∣ 【答案】C解：由题意得：{10}{1}A x y xx x x ⎧==->=<⎨⎩∣∣∣ {}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()MP S B ．()MP S C ．()UM P S ⋂⋂D ．()UM P S ⋂⋃【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中， 故阴影部分所表示的集合是()UM P S ⋂⋂.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则UA 表示除草合格的学生，则UB 表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，+=人.所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=， 又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U1,0,1,3A B -=-.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A ．[0,1](2,)+∞ B ．[0,1)(2,)⋃+∞ C ．[0,1] D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤， 解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，， 又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=， 则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞. 故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5； 若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5； 若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5. 综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈， 则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈； 反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”. 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确. 故选：ABD .1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A =，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B . 故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B = 所以{}1,3A B =， 故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<. 故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误； B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确. 故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B 中元素的个数为3. 故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立， ∴1m =-. 故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=， 故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ） A ．M B ．N C ．∅ D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n 表示奇数，故M N N =，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =- A B A ⋃=，则有：B A ⊆当0m =时，B =∅，满足题意； 当0m ≠时，则有：1x m=- 则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B 由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃， 故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤， 所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--， 所以A B ={}1,0,1-. 故选：B 二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦()R A B A =⋂，R A B ∴⊆ {}2280B x x x =--≤，{2R B x x ∴=<-∣或4}x > 当A =∅时，123,4a a a -+-，满足R A B ⊆当A ≠∅时，要使得R A B ⊆，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________. 【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >， 因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+，若()R A B ⋂=∅，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=-M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞ (1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ， (,3)(5,)=-∞-+∞R M ，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R R M N .(2)由题可知M N ， 所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ， 解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. 集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+. 若选择①A B A =，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩， 若选择③()R B A R ⋃=，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-. 因为{}{}24303,1A x x x =++==--， 所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意； 当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-. 综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a =满足题意，其中12k a a a <<<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， ∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，∴T k ≥， ∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++，{}0,1,2,,2020T m =-， 依题意有20202m m -<，即16733m >， 故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。
新教材高考数学一轮复习第一章1.1集合课件
(3)A
解析 (1)(数形结合)由数轴可知
所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.
(2)满足x,y∈ N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故
A∩B中元素的个数为4.
(3)∵A∪B={-1,0,1,2},
∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.
A.{1,4} B.{1,4,5}
)
C.{4,5} D.{6,7}
答案 C
解析 由题意得∁UB={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A∩(∁UB)={4,5},故选C.
5.(202X江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则
A∪B=
.
答案 (-∞,2)
D.[-4,4]
(2)(202X年1月8省适应测试)已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则
M∪(∁RN)=(
A.⌀
B.M
)
C.N
D.R
(3)(202X山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},则A∪B=(
A.{1,2,3,4}
B.{0,1,2,3,4}
C.{2}
D.{x|x≤4}
= 2
=
=
1
,
4
或
1
2
= 0,
1
故 a=0 或4.
= 1,
解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的
集合.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验
2025年高考数学一轮复习-1.1.1-集合的概念与表示【课件】
• 【学法解读】 • 在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以 义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表 达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及 集合的表示方法．
第1课时 集合的概念
必备知识•探新知
基础知识
知•识点1
元素与集合的概念
• 1．集合：一A，般B地，，C，我…们把指定的某些对象的全体称为集 合，通常用大写英文字母__________________表示．
• (2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N ＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天 上，十字(＋)在地下”．
基础自测
• 1．下列各组对象中不能组成集合的是
(C )
• A．清华大学2020年入校的全体学生
• B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
• C．中国著名的数学家
题型二
元素与集合的关系
例 2 若所有形如 3a＋ 2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合 A，请判断 6－2 2是不是集合 A 中的元素．
• [分析] 根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－ 2．[解析] 因为在 3a＋ 2b(a∈Z，b∈Z)中，
令 a＝2，b＝－2，即可得到 6－2 2， 所以 6－2 2是集合 A 中的元素．
•知识点2 元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
如果a是集合A中的元素， 属于
就说a属于集合A
a__∈____A
a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素， ___a_∉__A____ a___不__属__于___集合A 就说a不属于集合A
高三数学一轮复习知识点讲解1-1集合
高三数学一轮复习知识点讲解专题1.1 集合【考纲解读与核心素养】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1.元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B 或B ⊇A.(2)真子集：若A ⊆B ，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则A B 或BA.(3)相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集符号表示A ∪BA∩B若全集为U ，则集合A的补集为C U A图形表示集合表示{x|x ∈A ，或x ∈B}{x|x ∈A ，且x∈B}{x|x ∈U ，且x ∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A ＝A ，A∩∅＝∅，A∩B ＝B∩A. (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A. (3)A∩(C U A)＝∅，A ∪(C U A)＝U ，C U (C U A)＝A.特别提醒:1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个.2.子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C.3.A ⊆B ⇔A∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔C U A ⊇C U B.4. C U (A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U (A ∪B)＝(C U A)∩(C U B).【典例剖析】高频考点一 集合的基本概念 例1.(2018课标II 理2)已知集合(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z ，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件. (2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.【变式探究】(2018豫南九校联考一)已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ． 【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性 高频考点二：集合间的基本关系例2.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 【变式探究】1.设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且}m R ∈，则下列关系中成立的是( )A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝D ．PQ ∅＝【答案】A【解析】10{|}P m m <<＝－，20,:16160,m Q m m <⎧⎨∆=+<⎩或0m ＝． ∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠．2.（2020·银川高级中学高三月考（理））已知集合{}21P x x =≤，{}M a =，若P M M =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[]1,1-C ．[)1,∞D ．(][),11,-∞-⋃∞ 【答案】B 【解析】集合{}{}[]2|10|111,1P x x x x =-≤=-≤≤=-，{},M a =P M M ⋂=，[],1,1M P a ∴⊆∴∈-，故选B.高频考点三：集合的基本运算例3.（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A ．（–1，1） B ．（1，2） C ．（–1，+∞） D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ， ∴(1,)AB =-+∞ ，故选C.例4．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．例5.（2020·山西省高三其他（理））已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则( )A ．{2}AB = B ．A B R =C ．(){1,2}R BC A =-D ．(){|12}R BC A x x =-<<【答案】A 【解析】因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-， 所以{2}A B =，AB R ≠，(){1,0,1}RC A B =-，()[2,1]{2}R C A B =-故选：A 【规律方法】 如何解集合运算问题(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键. (2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决. (3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决. 【变式探究】1．（2020·福建省高三其他（文））设全集{|8},U x N x =∈≤集合{1,3,7}A =，则UA =（ ）A ．{2,4,5,6}B ．{0,2,4,5,6}C ．{2,4,5,6,8}D ．{0,2,4,5,6,8}【答案】D 【解析】{|8}{0,1,2,3,4,5,6,7,8}U x N x =∈≤=∴{0,2,4,5,6,8}UA =故选：D.2.（2020·河南省高三月考（文））已知集合A ＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜5}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤2} B ．{x |0＜x ＜5}C ．{0，1，2}D ．{1，2}【答案】D 【解析】∵集合A ＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜5}＝{0，1，2，3，4}， B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：D ．3．（2020·浙江省高三二模）已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I N M =（ ）A ．{0}B ．{3}C ．{0，2，3}D ．∅【答案】B 【解析】因为集合}{0,1,2,3I =，集合{0,1},{0,3}M N ==， 所以{}2,3I M =，{}()3I N M =故选：B高频考点四：利用集合的运算求参数例6.（2017·江苏省高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为________【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 例7.已知集合27{|}A x x =-≤≤， 121{|}B x m x m =+<<- ，且B ≠∅，若AB A =，则实数m 的取值范围是( )A ．34m -≤≤B ．34m -<<C ．24m <<D ．24m <≤ 【答案】D【解析】由于A B A =，所以B A ⊆，又因为B≠∅，所以有12,217,121,m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩解得24m <≤，故选D ．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解． 【方法规律】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 【变式探究】（2020·上海高三三模）已知集合{1,0,}A a =-，{|122}x B x =<<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】(0,1) 【解析】集合{1,0,}A a =-，{|122}{|01}x B x x x =<<=<<， 若A B ⋂≠∅，则A 、B 有公共元素， 所以()0,1a ∈ 故答案为：(0,1)高频考点五：集合的新定义问题例8.（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】 因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【方法技巧】解决集合新定义问题的方法(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的. 【变式探究】1．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________. 【答案】{|35x x <<或2}x【解析】 如图所示：{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，因为{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且， 所以{}352A B x x x ⨯=<<≤-或. 故答案为：{}352x x x <<≤-或.2.（辽宁阜新实验中学2019-2020年模拟）已知集合M ＝{(x ，y)|y ＝f(x)}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪y ＝1x ； ②M ＝{(x ，y)|y ＝log 2x}； ③M ＝{(x ，y)|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y)|y ＝sinx ＋1}． 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④【答案】C【解析】记A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB.对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB.对于②，当A 为点(1，0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sinx ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C. 3.若集合A 具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x≠0时，1x ∈A. 则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A. A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x≠0时，1x ∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y)∈A ，即x ＋y ∈A. 【方法技巧】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．。
高考数学统考一轮复习第一章1.1集合课件文新人教版ppt
x∈U且x∉A
{x|______________}
图形
表示
意义
二、必明5个易误点
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是
正确求解的两个先决条件．
2．要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含
关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本
＝7，故选C.
解法二 分别作出圆x2 ＋y2 ＝4与抛物线y＝－x2 ＋2，如图．由图可知集合
A∩B中有3个元素，则其真子集的个数为23－1＝7，故选C.
悟·技法
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二
是确定元素的限制条件；三是根据元素的特性(满足的条件)构造关系
式解决相应问题．
[提醒] 含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合
1,0,1,3}，于是阴影部分表示的集合为{0,1,3}，故选A.
8．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知集合A＝
{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁RB)＝(
)
A．[2,3)
B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，
)
A．{0,1,2} B．{0,1}
C．{3}
D．{1}
解析：B＝{x|0<x<2}，A＝{0,1,2,3}，则A∩B＝{1}，故选D.
[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·武汉部分学校质量检测]已知集合A＝{x|x2 －x－2<0}，
新高考总复习高中数学核心知识点1.1 集合
A.1
B.2
C.3
D.4
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,即A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},故满足条件
的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
高考总复习数学核心知识点
(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为
就称这个集合为全集,通常记作U.
2.讨论补集的前提是集合A是全集U的子集,没有这一前提无法求补集.补
集是相对于全集而存在的,研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应
的全集.一个确定的集合A,对于不同的全集U,它的补集不同.
高考总复习数学核心知识点
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ B⊆A .
元素的个数为( D )
A.3
B.6
C.8
D.10
根据题意,知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},
共有10个元素.
(2)已知a,b∈R,若{a,,1}={a2,a+b,0} ,则a3 021+b3 021为( C )
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概
念的作用.
高考总复习数学核心知识点
备考指导
集合知识高考必考,一般为选择题第1题或第2题难度较小.常与不等式、函
数、方程结合,主要考查集合的交、并、补集运算.复习时要理解集合的表
高考数学1轮复习 热点难点精讲精析 1.1集合
一、集合的根本概念 1、相关链接(1 )由元素与集合的关系 ,可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性 .(2 )在解决集合的概念的问题时 ,要注意养成自学使用符号的意识和能力 ,运用集合的观点分析、处理实际问题 .(3 )集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn 图 ,在解题时要根据题目选择适宜的方法 . 注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征 .如：A ={y|y =x 2+2},B ={(x,y)|y =x 2+2}.其中A 表示数集 ,B 表示二次函数y =x 2+2的图象上所有点组成的集合 ,二者不能混淆 .②注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. ③常见集合的意义集合{x|f(x) =0} {x|f(x)>0} {x|y =f(x)} {y|y =f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的 意义 方程f(x) =0的解集 不等式f(x)>0的解集 函数y =f(x)的定义域 函数y =f(x)的值域函数y =f(x)的图象上的点集2、例题解析例1． (1)设P 、Q 为两个非空实数集合 ,定义集合P +Q ={a +b|a ∈P,b ∈Q},假设P ={0,2,5},Q ={1,2,6},那么P +Q 中元素的个数是( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6(2) -3∈A ={a -2 ,2a 2 +5a ,12} ,那么a =______.【解题指导】(1)从P +Q 的定义入手 ,可列表求出a +b 的值.(2) -3是A 中的元素 ,说明A 中的三个元素有一个等于 -3 ,可分类讨论. 解析：(1)选B.根据新定义将a +b 的值列表如下：由集合中元素的互异性知P +Q 中有8个元素 ,应选B.(2)∵ -3∈A,∴a -2 = -3或2a 2+5a = -3 , ∴a = -1或.=-3a 2当a = -1时 ,a -2 =2a 2+5a = -3,不合题意;当.=-3a 2时 ,A ={-72, -3 ,12},符合题意, 故.=-3a 2答案：.=-3a 2例2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,假设{}0,1,2,4,16A B =,那么a 的值为( )A.0B.1 C 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,应选D.例3．以下集合中表示同一集合的是 ( C )A ．M = {(3 ,2)} ,N = {(2 ,3)}B ．M = {(x ,y )|x + y = 1} ,N = {y |x +y= 1}C ．M = {4 ,5} ,N = {5 ,4}D ．M = {1 ,2} ,N = {(1 ,2)}答案：C解析：由集合中元素的特征 (确定性、无序性、唯一性 )即得 .二、集合间的根本关系和运算 1、相关链接(1 )子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集 ,而集合A 的子集不一定是其真子集；假设集合A 有n 个元素 ,刚其子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.(2 )全集是一个相对概念 ,一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集 ,是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.(3 )集合A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集. (4 )集合的根本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn 图及补集思想的应用 . (5 )集合的简单性质：①;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂②;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ ,A A φ⋃= ,A A B ⊆⋃ ,B A B ⊆③);()(B A B A ⋃⊆⋂④B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；⑤S C (A ∩B ) = (S C A )∪ (S C B ) ,S C (A ∪B ) = (S C A )∩ (S C B ) . ⑥,,A B B C ⊆⊆⊆若则A C ；假设A B ,B C ,那么A C(6 )方法指导：①解决集合相等问题的一般思路假设两个集合相等,首|先分析元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.②判断两集合关系的常用方法：<1>化简集合 ,从表达式中寻找两集合间的关系； <2>用列举法表示各集合 ,从元素中寻找关系. ③集合运算的常用方法<1>集合元素离散时借助Venn 图运算；<2>集合元素连续时借助数轴运算 ,借助数轴运算时应注意端点值的取舍.2、例题解析例1：(1)(2021·山东（高|考）)设集合M ={x|x 2+x -6<0}, N ={x|1≤x ≤3},那么M ∩N =( ) (A)［1 ,2) (B)［1 ,2］ (C)(2 ,3］ (D)［2 ,3］ (2)(2021·湖南（高|考）)设全集U =M ∪N ={1 ,2 ,3 ,4 ,5} ,M ∩UN ={2 ,4} ,那么N =( )(A){1 ,2 ,3} (B){1 ,3 ,5} (C){1 ,4 ,5} (D){2 ,3 ,4}(3)(2021·辽宁（高|考）)M ,N 为集合I 的非空真子集 ,且M ,N 不相等 ,假设N ∩I M =Ø ,那么M ∪N =( )(A)M (B)N (C)I (D)Ø 【解题指导】(1)化简集合M ,借助数轴求解. (2)借助于Venn 图知⊆UN M ，从而 .=UUMN N(3)借助于Venn 图寻找集合M ,N 的关系.解析:(1)选A.∵M ={x| -3<x<2},∴M ∩N ={x|1≤x<2}.(2)选B.∵U =M ∪N, {},,,∴⊆∴==UUUN M MN N 24又 {}.=∴=UNN U N 135，，，(3)选A.如图 ,∵N ∩I M =Ø,∴N ⊆M ,∴M ∪N =M.例2： 集合A ={y|y 2 -(a 2 +a +1)y +a(a 2 +1)>0},B ={y|y 2-6y +8≤0} ,假设A ∩B ≠φ ,那么实数a 的取值范围为 ( )．分析：解决数学问题的思维过程 ,一般总是从正面入手 ,即从条件出发 ,经过一系列的推理和运算 ,最|后得到所要求的结论 ,但有时会遇到从正面不易入手的情况 ,这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．此题假设直接求解 ,情形较复杂 ,也不容易得到正确结果 ,假设我们先考虑其反面 ,再求其补集 ,就比拟容易得到正确的解答．解：由题知可解得A ={y|y>a 2+1或y<a}, B ={y|2如图由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ,得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或 ∴3-≤a 或23≤≤a .即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而所求范围为{}332|<<->a a a 或.注： (1 )一般地 ,我们在解时 ,假设正面情形较为复杂 ,我们就可以先考虑其反面 ,再利用其补集 ,求得其解 ,这就是 "补集思想〞．(2 )解决含参数问题的集合运算 ,首|先要理清题目要求 ,看清集合间存在的相互关系 ,注意分类讨论思想的应用 .空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系 ,在解题中漏掉它极易导致错解 . 三、集合与其他知识的综合应用 例1： (本小题总分值13分)集合},,,,{321n a a a a A = ,其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ,)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中24a 2+1a所有不同值的个数．(Ⅰ )设集合}8,6,4,2{=P ,}16,8,4,2{=Q ,分别求)(P l 和)(Q l ； (Ⅱ )假设集合}2,,8,4,2{n A = ,求证：2)1()(-=n n A l ； (Ⅲ ))(A l 是否存在最|小值 ?假设存在 ,求出这个最|小值；假设不存在 ,请说明理由 ? 解： (Ⅰ )由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+ 得6)(=Q l . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分(Ⅱ )证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最|多有2)1(2-=n n C n 个值 ,所以.2)1()(-≤n n A l 又集合}2,,8,4,2{nA = ,任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++ 当l j ≠时,不妨设l j < ,那么l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122 ,即l k j i a a a a +≠+.[当k i l j ≠=,时 ,l k j i a a a a +≠+.因此 ,当且仅当l j k i ==,时 , l k j i a a a a +=+. 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同 , 所以.2)1()(-=n n A l - - - - - - - - - - - - - - -9分 (Ⅲ ) )(A l 存在最|小值 ,且最|小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至|少有32-n 个不同的数 ,即.32)(-≥n A l 事实上 ,设n a a a a ,,,,321 成等差数列 ,考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+ ,根据等差数列的性质 ,当n j i ≤+时 ,11-++=+j i j i a a a a ； 当n j i >+时 ,n n j i j i a a a a +=+-+；[因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个 ,或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最|小值为32-n . - - - - - - - - - - - - - - -13分例2： (本小题总分值12分 )集合{}2120A x x x =--< ,集合{}0822>-+=x x x B ,集合{}22430,0C x x ax a a =-+<≠ ,(Ⅰ )求()R AC B ； (Ⅱ )假设)(B A C ⊇ ,试确定实数a 的取值范围.解答： (Ⅰ )依题意得：{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x > ,()(3,2]R A C B =- ………4分 (Ⅱ )∴{}24A B x x =<<①假设0a = ,那么{}20C x x =<=∅不满足()C A B ⊇ ∴0a ≠ …6分 ②假设0a > ,那么{}3C x a x a =<< ,由()C A B ⊇得242343a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≥⎩ ……………………8分 ③假设0a < ,那么{}3C x a x a =<< ,由()C A B ⊇得324a a a ≤⎧⇒∈∅⎨≥⎩ …………………10分 综上 ,实数a 的取值范围为423a ≤≤ ………………12分。
高考数学第一轮复习讲义1.1集合知识点习题及答案
§1.1高考数学第一轮复习讲义集合1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：____________、______________、____________.(2)元素与集合的关系是________或__________关系，用符号______或______表示．(3)集合的表示法：____________、__________、__________、__________.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为__________、__________、________.2．集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则________(或________)．∅____A；A____A；A⊆B，B⊆C⇒A____C.若A含有n个元素，则A的子集有______个，A的非空子集有______个，A的非空真子集有______个．(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算及其性质(1)集合的交、并、补运算交集：A∩B＝________________；并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；补集：∁U A＝________________.U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.1．(课本改编题)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝________.2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.3．(课本改编题)已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为________．4．已知A 、B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A 等于( ) A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9}D ．{3,9}5．已知R 是实数集，M ＝{x |2x <1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )等于( )A ．(1,2)B ．[0,2]C ．∅D ．[1,2]题型一 集合的基本概念例1 (1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，求实数2 013a 的值；(2)x ，x 2－x ，x 3－3x 能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合．探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．(2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.题型二 集合间的基本关系例2 已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤2.(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．探究提高在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.题型三集合的基本运算例3设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值是________．探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁U A)∩B＝∅⇔B⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．题型四集合中的新定义问题例4在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：那么d(a c)等于()A．a B．b C．c D．d探究提高本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运算结果可以通过题目中的表格得出．借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材．已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是____________．1.忽略空集致误试题：(1)(5分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．(2)(5分)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可取值组成的集合为_____________________________________________________________．学生答案展示审题视角 (1)从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅.(2)从集合元素看，第(1)小题S ≠∅时，S 中元素为－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.第(2)小题B ≠∅，必有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1m ＋1≥－22m －1≤5.正确答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12 (2){m |m ≤3}解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．批阅笔记 本题考查的重点是集合间的关系及集合元素的特征．在解答本题时，存在两个突 出错误．一是忽略对∅的讨论．例如在(1)(2)需讨论S ＝∅和B ＝∅的情况；二是忽视对元素 的讨论，如(1)中，－1a ＝－3或－1a＝2两种情况.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( )A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}3．如果全集U ＝R ，A ＝{x |2<x ≤4}，B ＝{3,4}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．(2,3)∪(3,4)B ．(2,4)C ．(2,3)∪(3,4]D ．(2,4]二、填空题4．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.5．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.6．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________． 三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．8．对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，求M *N .B 组 专项能力提升题组一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z |1<x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩(∁U B )等于 ( )A ．{1,4,6,7}B ．{2,3,7}C ．{1,7}D ．{1} 2．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( ) A ．57B ．56C ．49D ．8 3．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P 等于( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 4．已知集合A ＝{x |log 2x ＋1>0}，B ＝{y |y ＝3－2x －x 2}，则(∁R A )∩B 等于( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－3,2] D.⎣⎡⎦⎤－3，12 二、填空题5．已知集合A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． 6．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 7．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________． 三、解答题8．已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 答案 要点梳理1．(1)确定性 互异性 无序性 2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集2．(1)A B B A ⊆ ⊆ ⊆ 2n 2n －1 2n －2 3．(1){x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ∉A } 基础自测1．{2,4} 2.{x |0<x <1}3.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12 4.D 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a ＋2＝1，即a ＝－1时， (a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同， ∴不符合题意．当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时， ①a ＝0符合要求．②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意． 当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意． ②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a ＝0. ∴2 013a ＝1.(2)因为当x ＝0时，x ＝x 2－x ＝x 3－3x ＝0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合． 要使它表示一个有三个元素的集合，则应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠x 2－x ，x 2－x ≠x 3－3x ，x ≠x 3－3x .∴x ≠0且x ≠2且x ≠－1且x ≠－2时，{x ，x 2－x ，x 3－3x }能表示一个有三个元素的集合．变式训练1 0或98例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；②若a <0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |4a ≤x <－1a ；③若a >0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a <x ≤4a .(1)当a ＝0时，若A ⊆B ，此种情况不存在． 当a <0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧4a >－12－1a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0或a <－8a >0或a ≤－12，又a <0，∴a <－8.当a >0时，若A ⊆B ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≥－124a ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a <0a ≥2或a <0.又∵a >0，∴a ≥2.综上知，当A ⊆B 时，a <－8或a ≥2. (2)当a ＝0时，显然B ⊆A ； 当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12－1a >2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤a <0－12<a <0.又∵a <0，∴－12<a <0.当a >0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧－1a ≤－124a ≥2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤20<a ≤2.又∵a >0，∴0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A ＝B . 由(1)、(2)知，a ＝2. 变式训练2 4 例3 1或2变式训练3 解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ， 即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.例4 A变式训练4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A 组1．C 2.C 3.A4．－1或2 5.{(0,1)，(－1,2)} 6．187．解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.8．解 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}， ∴M －N ＝{y |y >3}， N －M ＝{y |－3≤y <0}， ∴M *N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0} ＝{y |y >3或－3≤y <0}． B 组1．C 2．B 3．A 4．A 5．a ≤0 6．－37．(－∞，－3)8．解 由x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}． (2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}， A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意， 故实数m 的值为8.。
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高考数学一轮复习热点难点精讲精析 1.1集合一、集合的基本概念1、相关链接（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。
（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。
（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。
注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。
如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。
②注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.③常见集合的意义集合{x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)的图象上的点集2、例题解析例1．(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=______.【解题指导】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论.解析：(1)选B.根据新定义将a+b的值列表如下：由集合中元素的互异性知P+Q 中有8个元素，故选B.(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a 2+5a=-3，∴a=-1或.=-3a 2当a=-1时，a-2=2a 2+5a=-3,不合题意; 当.=-3a 2时，A={-72，-3，12},符合题意, 故.=-3a 2答案：.=-3a 2例2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值 为 ( )A.0B.1C.2D.4答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ）A ．M = {(3，2)}，N = {(2，3)}B ．M = {(x ，y )|x + y = 1}，N = {y |x +y = 1}C ．M = {4，5}，N = {5，4}D ．M = {1，2}，N = {(1，2)}答案：C解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。
二、集合间的基本关系和运算1、相关链接（1）子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，刚其子集个数为2n ，真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2.（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.（3）集合A 与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集.（4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn 图及补集思想的应用。
（5）集合的简单性质：①;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂②;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃，A A φ⋃=，A A B ⊆⋃，B AB ⊆③);()(B A B A ⋃⊆⋂④B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;； ⑤S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。
⑥,,A B B C ⊆⊆⊆若则A C ；若AB ，BC ，则A C （6）方法指导：①解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.②判断两集合关系的常用方法：<1>化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；<2>用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.③集合运算的常用方法<1>集合元素离散时借助Venn 图运算；<2>集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.2、例题解析例1：(1)(2011·山东高考)设集合M={x|x 2+x-6<0}, N={x|1≤x ≤3},则M ∩N=( )(A)［1，2)(B)［1，2］ (C)(2，3］ (D)［2，3］(2)(2011·湖南高考)设全集U=M ∪N={1，2，3，4，5}，M ∩U N ={2，4}，则N=( ) (A){1，2，3}(B){1，3，5}(C){1，4，5}(D){2，3，4}(3)(2011·辽宁高考)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩I M =Ø，则M ∪N=( )(A)M(B)N(C)I(D)Ø【解题指导】(1)化简集合M ，借助数轴求解.(2)借助于Venn 图知⊆U N M ，从而 .=U U M N N (3)借助于Venn 图寻找集合M ，N 的关系.解析:(1)选A.∵M={x|-3<x<2},∴M ∩N={x|1≤x<2}.(2)选B.∵U=M ∪N,{},,,∴⊆∴==U U U N M M N N 24又{}.=∴=U N N U N 135，，，(3)选A.如图，∵N ∩I M =Ø,∴N ⊆M ，∴M ∪N=M.例2： 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，则实数a 的取值范围为（ ）．分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．解：由题知可解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的范围．如图 由⎩⎨⎧≥+≤4122a a ，得⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或∴3-≤a 或23≤≤a .即A ∩B ＝φ时a 的范围为3-≤a 或23≤≤a .而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而所求范围为{}332|<<->a a a 或. 注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。
空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。
三、集合与其他知识的综合应用例1： (本小题满分13分)已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．24a 2+1a（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{n A =，求证：2)1()(-=n n A l ；（Ⅲ）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+得5)(=P l .由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得6)(=Q l .--------------------5分（Ⅱ）证明：因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值，所以.2)1()(-≤n n A l又集合}2,,8,4,2{n A =，任取),1,1(,n l k n j i a a a a l k j i ≤<≤≤<≤++当l j ≠时,不妨设l j <，则l k l j j j i a a a a a a +<≤=<++122，即l k j i a a a a +≠+.[当k i l j ≠=,时，l k j i a a a a +≠+.因此，当且仅当l j k i ==,时， l k j i a a a a +=+.即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同，所以.2)1()(-=n n A l ---------------9分（Ⅲ）)(A l 存在最小值，且最小值为32-n ．不妨设,321n a a a a <<<< 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+-所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即.32)(-≥n A l事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑)1(n j i a a j i ≤<≤+，根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+；[因此每个和)1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个，或者等于)12(-≤≤+n l a a n l 中的一个.所以对这样的32)(,-=n A l A ,所以)(A l 的最小值为32-n . ---------------13分例2：（本小题满分12分）已知集合{}2120A x x x =--<，集合{}0822>-+=x x x B ，集合{}22430,0C x x ax a a =-+<≠，（Ⅰ）求()R A C B ； （Ⅱ）若)(B A C ⊇，试确定实数a 的取值范围.解答：（Ⅰ）依题意得：{}{34,4A x x B x x =-<<=<-或}2x >，()(3,2]R A C B =-………4分 （Ⅱ）∴{}24A B x x =<<①若0a =，则{}20C x x =<=∅不满足()C A B ⊇∴0a ≠…6分 ②若0a >，则{}3C x a x a =<<，由()C A B ⊇得242343a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≥⎩……………………8分 ③若0a <，则{}3C x a x a =<<，由()C A B ⊇得324a a a ≤⎧⇒∈∅⎨≥⎩…………………10分综上，实数a 的取值范围为423a ≤≤………………12分。