高中数学选修1-1优质课件1：3.3.2 函数的极值与导数
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高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
高中数学选修1-1优质课件4：3.3.2 函数的极值与导数
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f (x) 6x2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
第三章 导数及其应用
3.3.2 函数的极值与导数
知识回顾
利用导数讨论函数单调的步骤: 已知：y = f(x) 的定义域 D (1)求导数 f ( x) (2)解不等式 f'(x) 0且x D 得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f'(x) 0且x D 得f(x)的单调递减区间. (3)下结论 注、单调区间不能以“并集”出现。
3
令 f (x) 0, 解得 x 2, 或 x 2.
当 f (x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ;
当 f (x) 0 , 即 2 x 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x (–∞, –2) –2 (–2, 2)
2 ( 2, +∞)
f (x) +
0
–
0
+
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(1) f (x) 12x 1, 令 f (x) 0, 解得 x 1 . 列表:
12
x
(, 1 )
12
1 12
( 1 ,) 12
f (x) –
0
+
f (x) 单调递减
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f (x) 6x2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
第三章 导数及其应用
3.3.2 函数的极值与导数
知识回顾
利用导数讨论函数单调的步骤: 已知：y = f(x) 的定义域 D (1)求导数 f ( x) (2)解不等式 f'(x) 0且x D 得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f'(x) 0且x D 得f(x)的单调递减区间. (3)下结论 注、单调区间不能以“并集”出现。
3
令 f (x) 0, 解得 x 2, 或 x 2.
当 f (x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ;
当 f (x) 0 , 即 2 x 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x (–∞, –2) –2 (–2, 2)
2 ( 2, +∞)
f (x) +
0
–
0
+
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(1) f (x) 12x 1, 令 f (x) 0, 解得 x 1 . 列表:
12
x
(, 1 )
12
1 12
( 1 ,) 12
f (x) –
0
+
f (x) 单调递减
2016-2017学年高中数学选修1-1课件：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数
f′(x) ＋
0
－
f(x)
↗ 极大值1e
↘
第十九页，编辑于星期五：十七点 五分。
故当 x＝e 时，函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝1e， 无极小值．
第二十页，编辑于星期五：十七点 五分。
归纳升华 1．求极值的步骤： (1)求方程 f′(x)＝0 在函数定义域内的所有根； (2)用 f′(x)＝0 的根将定义域分成若干小区间，列表； (3)由 f′(x)在各个小区间内的符号，判断 f′(x)＝0 的根 处的极值情况．
＞0 时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
答案：A
第十二页，编辑于星期五：十七点 五分。
4. 函数 y＝lnxx在区间(1，＋∞)上( ) A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值
ln x－1
解析：由题意知
y′＝ （ln
x）2，所以该函数在(1，e)
上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以有极小值．
第二十一页，编辑于星期五：十七点 五分。
2．利用表格给出当 x 变化时 y′，y 的变化情况，可 容易地看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是 极小值，最后得出函数的极大值、极小值．
第二十二页，编辑于星期五：十七点 五分。
[变式训练] 已知函数 f(x)＝ex－ax(a 为常数)的图象 与 y 轴交于点 A，曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线斜率为－1， 求 a 的值及函数 f(x)的极值．
第一步：利用导数判断函数 y＝f(x)的单调性及极值 情况，综合各种信息画出函数 y＝f(x)的大致图象；
第二步：研究函数 y＝f(x)与 y＝a 的图象的交点个数； 第三步：根据交点个数写出方程根的情况．
2016-2017学年人教版高中数学选修1-1课件：第三章 3.3 3.3.2 函数的极值与导数
第二十五页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)” (单击进入电子文档)
第二十六页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
第二十七页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
第五页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋1 必有 2 个极值．
(√ )
(2)在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行或重合． ( √ )
(3)函数 f(x)＝1x有极值．
(× )
第六页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
∴f(x)在 x＝a 处取得极小值，与题意不符；
若－1<a<0，则 f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单
调递减，从而在 x＝a 处取得极大值．
若 a>0，则 f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递
增，与题意矛盾，∴选 D.
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
(0,2)
f′(x) －
0
＋
2
(2，＋∞)
0
－
f(x)
极小值0
极大值4e－2
因此当 x＝0 时，f(x)有极小值， 并且极小值为 f(0)＝0； 当 x＝2 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(2)＝4e－2＝e42.
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
[一题多变] 1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4”
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第二十七页，编辑于星期五：十五点 三十九分。
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋1 必有 2 个极值．
(√ )
(2)在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行或重合． ( √ )
(3)函数 f(x)＝1x有极值．
(× )
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∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
∴f(x)在 x＝a 处取得极小值，与题意不符；
若－1<a<0，则 f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单
调递减，从而在 x＝a 处取得极大值．
若 a>0，则 f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递
增，与题意矛盾，∴选 D.
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当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
(0,2)
f′(x) －
0
＋
2
(2，＋∞)
0
－
f(x)
极小值0
极大值4e－2
因此当 x＝0 时，f(x)有极小值， 并且极小值为 f(0)＝0； 当 x＝2 时，f(x)有极大值，并且极大值为 f(2)＝4e－2＝e42.
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[一题多变] 1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4”
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2．理解极值概念的注意点 （1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右
两侧附近的点而言的． （2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的
端点绝不是函数的极值点． （3）若函数f（x）在[a,b]内有极值，那么函数f（x）在[a,b]
内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值． （4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
知识梳理 数学知识： (1)函数极值的概念以及极值的判定方法． (2)求解函数y=f（x）极值的步骤: ①)确定函数的定义域，求导数f′(x)（养成研究函数的性 质从定义域出发的习惯）； ②求方程f′(x) =0的根； ③检查f′(x)在方程 f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定 极值点.(最好通过列表法) ④求出极值．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 知识梳理
注意点： ⑴ f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件. ⑵要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f′(x0)=0 左右侧导数的符号.
数学思想：数形结合、分类讨论和函数与方程等思想．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
重难点突破
（1）求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问 题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如 果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数 值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点． （2）求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后依据极值的定义求 解，另外，还要在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，这 两类点就是函数在定义域内可能取到极值的全部点． （3）由于导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此在已知函数极 值的问题中，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验， 检验每一组解对应的函数在该点处是否能取到极值，从而进行取舍．
两侧附近的点而言的． （2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的
端点绝不是函数的极值点． （3）若函数f（x）在[a,b]内有极值，那么函数f（x）在[a,b]
内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值． （4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定
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知识梳理 数学知识： (1)函数极值的概念以及极值的判定方法． (2)求解函数y=f（x）极值的步骤: ①)确定函数的定义域，求导数f′(x)（养成研究函数的性 质从定义域出发的习惯）； ②求方程f′(x) =0的根； ③检查f′(x)在方程 f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定 极值点.(最好通过列表法) ④求出极值．
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注意点： ⑴ f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件. ⑵要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f′(x0)=0 左右侧导数的符号.
数学思想：数形结合、分类讨论和函数与方程等思想．
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重难点突破
（1）求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问 题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如 果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数 值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点． （2）求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后依据极值的定义求 解，另外，还要在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，这 两类点就是函数在定义域内可能取到极值的全部点． （3）由于导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此在已知函数极 值的问题中，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验， 检验每一组解对应的函数在该点处是否能取到极值，从而进行取舍．
高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1
2．已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 验证根的合理性．
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7
题型三 函数极值的应用
例 3 当 a 为何值时，方程 x3－3x2－a＝0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实 根？有没有可能无实根？
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5
题型二 已知函数的极值求参数的
值
例 2 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
解析：(1)易得 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1 是函数的极值点，
3．3.2 函数的极值与导数
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1
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2
题型一 求函数的极值
例 1 求函数 f(x)＝x3－12x 的极值．
解析：易知函数的定义域为 R，且 f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
－23ba＝0，
由根与系数的关系知：
3ca＝－1，
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
联立上述三式，解得，a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得，f′(x)＝32x2－32＝32(x＋1)(x－1)，
当 x＜－1 或 x＞1 时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1 时，f′(x)＜0.
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7
题型三 函数极值的应用
例 3 当 a 为何值时，方程 x3－3x2－a＝0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实 根？有没有可能无实根？
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5
题型二 已知函数的极值求参数的
值
例 2 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
解析：(1)易得 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1 是函数的极值点，
3．3.2 函数的极值与导数
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1
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2
题型一 求函数的极值
例 1 求函数 f(x)＝x3－12x 的极值．
解析：易知函数的定义域为 R，且 f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
－23ba＝0，
由根与系数的关系知：
3ca＝－1，
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
联立上述三式，解得，a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得，f′(x)＝32x2－32＝32(x＋1)(x－1)，
当 x＜－1 或 x＞1 时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1 时，f′(x)＜0.
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
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第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
高中数学选修1-1优质课件：3.3.2 函数的极值与导数
命题角度1 知图判断函数的极值 例1 已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)
A.在(－∞，0)上为减函数
√C.在(4，＋∞)上为减函数
B.在x＝0处取极小值 D.在x＝2处取极大值
反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函 数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点.
第三章 §3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数 的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解析 ∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
反思感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意 以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性.
(2)f(x)＝x2－2ln x.
反思感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x). (2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根. (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况 求极值. 特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号， 还可用特殊值法判断.
跟踪训练3 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取
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[分析] 根据已知条件寻找等量关系，列出方程，求 a， b，c，确定 f(x)后再求极小值．
[解] 依题意有f′(－1)＝0，f′(3)＝0. 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴32－ 7＋2a6＋ a＋b＝ b＝0， 0， 解得ab＝ ＝－ －39， . ∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c. 又x＝－1时，f(x)取得极大值7， ∴f(－1)＝－1－3＋9＋c＝7. ∴c＝2.
题目类型三 含字母的极值问题 【例 3】 已知函数 f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中 a， b∈R. (1)当 a＝－130时，讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x ＝x(4x2＋3ax＋4)． 当a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4) ＝2x(2x－1)(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝12，x3＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
1.理解极值概念时需注意的几点． (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左 右两侧附近的点所对应的函数值而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝 不是函数的极值点．
(3)若f(x)在[a，b]内有极值，则f(x)在[a，b]内绝不是单调 函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．
内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有
() A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 A
3．函数y＝x2－2x在x＝________时取得极________值． 答案 1 小 4．函数y＝x3－3x的极小值是________． 解析 y′＝3x2－3，令y′>0，得x<－1或x>1，令 y′<0得－1<x<1，∴当x＝1时，有极小值－2. 答案 －2
因此，当x＝－13时，y有极大值，并且y极大值＝191； 而当x＝13时，y有极小值，并且y极小值＝79.
【变式训练1】 求函数f(x)＝－x(x－2)2的极值． 解 函数f(x)的定义域为R. f(x)＝－x(x2－4x＋4)＝－x3＋4x2－4x， ∴f′(x)＝－3x2＋8x－4＝－(x－2)(3x－2)， 令f′(x)＝0得x＝23或x＝2. 列表：
从表中可以看出， 当x＝23时，函数有极小值， 且f(23)＝－23(23－2)2＝－3227. 当x＝2时，函数有极大值， 且f(2)＝－2(2－2)2＝0.
题目类型二 已知极值求函数 【例 2】 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当 x＝－1 时取得 极大值 7，x＝3 时取得极小值．求极小值及对应的 a，b，c 的值．
第三章 导数及其应用
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
1.极小值：函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a附近的左侧 f′(x)<0，右侧f′(x)>0，把a点叫做________，f(a)叫做 ________．
2. 求极值点的一般步骤． (1)求出导数f′(x)； (2)解方程f′(x)＝0； (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、 右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值． ①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为极大值点． ②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为极小值点． ③若 f′(x)在 x0 两侧的符号“相同”，则 x0 不是极值点.
题目类型一 求函数的极值 【例 1】 求函数 y＝3x3－x＋1 的极值．
[分析] 首先对函数求导，求得 y′，再求方程 y′＝0 的根，再检查 y′在方程根左、右的值的符号．如果左正右负， 那么 y 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y 在这个 根处取得极小值．
[解] y′＝9x2－1. 令y′＝0，解得x1＝13，x2＝－13. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋2. y极小值＝f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25. 故所求的极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.
【变式训练2】 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈ R)，若函数f(x)在x＝0，x＝4处取得极值，且极小值为－1， 求a，b的值．
解 f′(x)＝－3x2＋2ax 由 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝23a，依题意有23a＝4，∴a＝6. 又当 x<0 时，f′(x)<0，当 0<x<4 时，f′(x)>0. 故当 x＝0 时，f(x)取得极小值 f(0)＝b， ∴b＝－1.∴a＝6，b＝－1.
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其 定义域内可以有许多个极小值不一定比极大值小，极 大值也不一定比极小值大．(如图所示)
(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有 规律的(如图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
2．极大值：f(x)在x＝b处的函数f(b)比它在x＝b附近的其 他函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)>0，右侧f′(x)<0，b点叫做________，f(b)叫做 ________．
3．极值：极小值点、极大值点统称为________，极大 值、极小值统称为________.
∴f(x)在(0，
1 2
)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，
1.函数的极小值点 函数的极小值 答
2.函数的极大值点 函数的极大值 案
3.极值点 极值
1.下面说法正确的是( ) A．可导函数必有极值 B．函数在极值点一定有定义 C．函数的极小值不会超过极大值 D．函数在极值点处导数一定存在
答案 B
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)
[解] 依题意有f′(－1)＝0，f′(3)＝0. 又f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴32－ 7＋2a6＋ a＋b＝ b＝0， 0， 解得ab＝ ＝－ －39， . ∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c. 又x＝－1时，f(x)取得极大值7， ∴f(－1)＝－1－3＋9＋c＝7. ∴c＝2.
题目类型三 含字母的极值问题 【例 3】 已知函数 f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中 a， b∈R. (1)当 a＝－130时，讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x ＝x(4x2＋3ax＋4)． 当a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4) ＝2x(2x－1)(x－2)． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝12，x3＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
1.理解极值概念时需注意的几点． (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左 右两侧附近的点所对应的函数值而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝 不是函数的极值点．
(3)若f(x)在[a，b]内有极值，则f(x)在[a，b]内绝不是单调 函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．
内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有
() A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 A
3．函数y＝x2－2x在x＝________时取得极________值． 答案 1 小 4．函数y＝x3－3x的极小值是________． 解析 y′＝3x2－3，令y′>0，得x<－1或x>1，令 y′<0得－1<x<1，∴当x＝1时，有极小值－2. 答案 －2
因此，当x＝－13时，y有极大值，并且y极大值＝191； 而当x＝13时，y有极小值，并且y极小值＝79.
【变式训练1】 求函数f(x)＝－x(x－2)2的极值． 解 函数f(x)的定义域为R. f(x)＝－x(x2－4x＋4)＝－x3＋4x2－4x， ∴f′(x)＝－3x2＋8x－4＝－(x－2)(3x－2)， 令f′(x)＝0得x＝23或x＝2. 列表：
从表中可以看出， 当x＝23时，函数有极小值， 且f(23)＝－23(23－2)2＝－3227. 当x＝2时，函数有极大值， 且f(2)＝－2(2－2)2＝0.
题目类型二 已知极值求函数 【例 2】 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当 x＝－1 时取得 极大值 7，x＝3 时取得极小值．求极小值及对应的 a，b，c 的值．
第三章 导数及其应用
§3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.2 函数的极值与导数
1.极小值：函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a附近的左侧 f′(x)<0，右侧f′(x)>0，把a点叫做________，f(a)叫做 ________．
2. 求极值点的一般步骤． (1)求出导数f′(x)； (2)解方程f′(x)＝0； (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、 右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值． ①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为极大值点． ②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为极小值点． ③若 f′(x)在 x0 两侧的符号“相同”，则 x0 不是极值点.
题目类型一 求函数的极值 【例 1】 求函数 y＝3x3－x＋1 的极值．
[分析] 首先对函数求导，求得 y′，再求方程 y′＝0 的根，再检查 y′在方程根左、右的值的符号．如果左正右负， 那么 y 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y 在这个 根处取得极小值．
[解] y′＝9x2－1. 令y′＝0，解得x1＝13，x2＝－13. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋2. y极小值＝f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25. 故所求的极小值为－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.
【变式训练2】 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈ R)，若函数f(x)在x＝0，x＝4处取得极值，且极小值为－1， 求a，b的值．
解 f′(x)＝－3x2＋2ax 由 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝23a，依题意有23a＝4，∴a＝6. 又当 x<0 时，f′(x)<0，当 0<x<4 时，f′(x)>0. 故当 x＝0 时，f(x)取得极小值 f(0)＝b， ∴b＝－1.∴a＝6，b＝－1.
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其 定义域内可以有许多个极小值不一定比极大值小，极 大值也不一定比极小值大．(如图所示)
(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有 规律的(如图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
2．极大值：f(x)在x＝b处的函数f(b)比它在x＝b附近的其 他函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)>0，右侧f′(x)<0，b点叫做________，f(b)叫做 ________．
3．极值：极小值点、极大值点统称为________，极大 值、极小值统称为________.
∴f(x)在(0，
1 2
)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，
1.函数的极小值点 函数的极小值 答
2.函数的极大值点 函数的极大值 案
3.极值点 极值
1.下面说法正确的是( ) A．可导函数必有极值 B．函数在极值点一定有定义 C．函数的极小值不会超过极大值 D．函数在极值点处导数一定存在
答案 B
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)