在平面直角坐标系中,已知椭圆C

合集下载

2020年江苏省高考数学押题试卷(6月份) (解析版)

2020年高考数学押题试卷（6月份）一、填空题（共14小题）.1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝（n＝5，7，9，11，…）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，集合N＝{x|x2+x﹣2＝0}，则集合M∩N＝{1}．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{﹣2，1}，∴M∩N＝{1}．故答案为：{1}．2．已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数为1﹣i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，100）中的频数为24，则n的值为60．【分析】由频率分布直方图求出[50，100）中的频率，再由在[50，100）中的频数，能求出n．解：由频率分布直方图得：[50，100）中的频率为：（0.004+0.012）×25＝0.4，因为在[50，100）中的频数为24，所以n＝＝60，故答案为：60．4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b的值为8．【分析】按照程序框图一步一步代入求值，直到跳出循环，输出结果．解：a＝1，b＝1；b＝2，a＝2；b＝4，a＝3，b＝8，a＝4；跳出循环，输出b＝8，故答案为：8．5．已知A、B、C三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A排在C后一天值班的概率为．【分析】利用排列组合数公式易求三人值班有A种，A排在C后一天值班的情况有C A 种，相比即可．解：因为A、B、C三人在三天节日中值班有A＝6种，其中A排在C后一天值班的情况有C A＝2种，所以A排在C后一天值班的概率P＝＝，故答案是．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，S0＝2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE＝AB＝1，则侧高SE＝＝，故棱锥的表面积S＝2×2+4×（×2×）＝4+4．故答案为：4+4．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点（﹣，6），且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则该双曲线标准方程为﹣x2＝1．【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为x2﹣＝t，（t≠0），将点坐标代入计算可得t的值，将t的值代入计算双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案．解：根据题意，要求双曲线的两条渐近线方程是y＝±3x，设其方程为x2﹣＝t，（t ≠0），又由双曲线经过点（﹣，6），则有（﹣）2﹣＝3﹣4＝t＝﹣1，则要求双曲线的方程为﹣x2＝1；故答案为：﹣x2＝1．8．已知sinα+cosα＝，则sin2α+cos4α的值为．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式可求cos4α的值，即可得解．解：∵sinα+cosα＝，∴两边平方，可得1+sin2α＝，sin2α＝﹣，∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（﹣）2＝，∴sin2α+cos4α＝﹣+＝．故答案为：．9．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a3﹣a5＝1，S10＝100，则S20的值为400．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列方程组，解得a1＝1，d＝2，由此能求出S20．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，2a3﹣a5＝1，S10＝100，∴，解得a1＝1，d＝2，∴S20＝20×1+＝400．故答案为：400．10．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够；每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如（n＝5，7，9，11，…）的分数的分解：，，，按此规律，＝+（n＝5，7，9，11，…）．【分析】由已知中＝+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出＝+．解：假定有两个面包，要平均分给n（n＝5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故＝+；故答案为：+11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，点P是圆C外的一个动点，直线PA，PB分别切圆C于A，B两点．若直线AB过定点（1，1），则线段PO长的最小值为．【分析】设P（x0，y0），求出以AB为直径的圆的方程，与圆C联立，可得AB所在直线方程，代入（1，1），得P点轨迹，再由点到直线的距离公式求得线段PO长的最小值．解：设P（x0，y0），则PC的中点坐标为（），又|PC|＝，∴以PC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣（x0+2）x﹣y0y+2x0＝0，①又圆C：x2+y2﹣4x＝0，②①﹣②得：（x0﹣2）x+y0y﹣2x0＝0．∵直线AB过（1，1），∴x0﹣y0+2＝0．即点P的轨迹为x﹣y+2＝0．∴线段PO长的最小值为O到直线x﹣y+2＝0的距离等于．故答案为：．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为2．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．解：已知正实数x，y满足，整理得：，所以＝，所以（当且仅当y＝2x等号成立）故的最小值为2．故答案为：213．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为AD，DC的中点，AF与BE 交于点O．若，则∠DAB的余弦值为．【分析】用表示出，根据条件列方程计算cos∠DAB．解：＝+，设＝λ＝+λ＝+2λ，∵B，O，E三点共线，∴+2λ＝1，即λ＝．∴＝＝+，＝+，∴＝＝﹣，∴5•＝（+）•（4﹣2）＝﹣2+．若，则﹣2＝，又AB＝2AD，＝AB•AD•cos∠DAB，∴6（4AD2﹣AD2）＝51（2AD•AD•cos∠DAB），解得cos∠DAB＝＝．故答案为：．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝1，则的最大值为．【分析】由已知化切为弦可得3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A ﹣cos A），得到，再由辅助角公式化积，利用正弦函数的有界性求得最大值．解：由＝1，得，∴4cos A sin B+3cos B sin A＝sin A sin B，∴3sin（A+B）+cos A sin B＝sin A sin B，即3sin C＝sin B（sin A﹣cos A），结合正弦定理可得3c＝b（sin A﹣cos A），∴．∵0＜A＜π，∴＜＜，则当A﹣时，取得最大值为．即的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积S．【分析】（1）由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0法一：根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B法二：根据余弦定理可得，b×＝0化简可得，然后根据正弦定理可求（2）由（1）c＝2a可求c，由||可求b，结合余弦定理可求cos A，利用同角平方关系可求sin A，代入三角形的面积公式S＝可求解：（1）法一：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据正弦定理可得，sin B cos A﹣2sin B cos C+sin A cos B﹣2sin C cos B＝0∴（sin B cos A﹣sin A cos B）﹣2（sin B cos C+sin C cos B）＝0∴sin（A+B）﹣2sin（B+C）＝0∵A+B+C＝π∴sin C﹣2sin A＝0∴（法二）：由可得b（cos A﹣2cos C）+（a﹣2c）cos B＝0根据余弦定理可得，b×＝0整理可得，c﹣2a＝0∴＝2（2）∵由（1）可知c＝2a＝4∴b＝3∴cos A＝＝，sin A＝＝∴△ABC的面积S＝＝＝16．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝2AA1，AC⊥BC，D、E分别为A1C1、AB的中点．求证：（1）AD⊥平面BCD；（2）A1E∥平面BCD．【分析】（1）只需证明BC⊥AD，DC⊥AD，证明即可AD⊥平面BCD（2）取BC中点O，连结DO、OE可得四边形A1DOE为平行四边形，即A1E∥OD，A1E∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面AA1C1C，∴BC⊥平面AA1C1C，而AD⊂平面AA1C1C∴BC⊥AD…①又该直三棱柱中AA1⊥A1C1，CC1⊥A1C1，由已知AA1＝AC＝A1D，则∠A1DA＝，同理∠C1DC＝，则∠ADC＝，即CD⊥AD，由①BC⊥AD，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD；（2）取BC中点O，连结DO、OE，∵AE＝EB，CO＝BO∴OE平行等于AC，而A1D平行等于AC，∴A1D平行等于OE∴四边形A1DOE为平行四边形，∴A1E∥OD，而A1E⊄平面BCD，OD⊂平面BCD，∴A1E∥平面BCD．17．如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC＝2．求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【分析】（1）在△PBC中，根据余弦定理计算PB；（2）设行进时间为t，得出两人距离关于t的函数，解不等式得出t的范围即可得出结论．解：（1）AC＝＝5，cos C＝＝，在△PBC中，由余弦定理可得：PB2＝PC2+BC2﹣2PC•BC•cos C＝4+16﹣2•2•4•＝，∴PB＝千米．（2）设两保安出发t小时后，甲保安到达M处，乙保安到达N处（0≤t≤1）．则AM＝5（1﹣t），AN＝3t，又cos A＝，则MN2＝25（1﹣t）2+9t2﹣2•5（1﹣t）•3t•＝52t2﹣68t+25，令MN＞3可得52t2﹣68t+25＞9，即13t2﹣17t+4＞0，又0≤t≤1，解得：0≤t＜．∴两保安有小时不能通话．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．A，B是椭圆上两点，且直线OA与OB的斜率之积为．（1）求椭圆C的方程；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线AB交圆O：x2+y2＝a2于C，D两点，且，求△COD的面积．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾；可设直线AB的方程为y ＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，运用韦达定理和直线的斜率公式，计算可得所求值；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，运用点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，结合三角形的面积公式，计算可得所求值．解：（1）因为e＝＝，所以a2＝2b2，设椭圆方程为+＝1，将点（1，）代入可得+＝1，解得b＝，则a＝2，则椭圆的方程为+＝1；（2）当直线AB的斜率不存在时，k OA•k OB＜0，与条件矛盾．所以直线AB的斜率存在．可设直线AB的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程x2+2y2＝4，可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，于是y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2•+km（﹣）+m2＝，而k OA•k OB＝＝，即x1x2＝2y1y2，则＝2•，解得k2＝，即有k＝±，所以直线AB的斜率为±；（3）不妨设直线AB的方程为y＝x+m，即x﹣y+m＝0，因为原点O到直线AB的距离d＝，所以|CD|＝2＝2，由（2）当k＝时，x1+x2＝﹣m，x1x2＝m2﹣2，所以|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，于是＝＝，解得m2＝3，因此△COD的面积S△OCD＝CD•d＝•2•＝2．19．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝（a n+λ）（λ为常数）对于任意的n∈N*恒成立．（1）当a1＝1时，求λ的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列；（3）若a2＝2，关于m的不等式|S m﹣2m|＜m+1有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【分析】（1）令n＝1，结合S1＝a1及题设条件可得2a1＝a1+λ，进而得解；（2）利用S n+1﹣S n＝a n及题设条件可得2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，进而得到2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，化简整理即可得证；（3）由（2）问题等价于，令，题目条件进一步转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，然后再分类讨论得出结论．解：（1）当n＝1时，，∴2a1＝a1+λ，解得λ＝a1＝1；（2）证明：由题意知，，∴2a n+1＝（n+1）a n+1﹣na n+λ，∴，∴2a n+1﹣2a n＝（n+1）a n+1﹣2na n+（n﹣1）a n﹣1，∴（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1＝2（n﹣1）a n，又n≥2，n∈N•，∴n﹣1＞0，∴a n+1+a n﹣1＝2a n对任意n≥2，n∈N•都成立，∴数列{a n}是等差数列；（3）由（2）可知，|S m﹣2m|＜m+1，即，即，∴，令，题目条件转化为满足不等式t|m（m﹣3）|＜m+1的整数解只有两个，若m＝1符合，则2t＜2，即t＜1；若m＝2符合，则2t＜3，即；若m＝3符合，则t为任意实数，即m＝3以外只能有1个m符合要求；当m≥4，m∈N•时，tm（m﹣3）＜m+1，解得，令x＝m+1≥5，则，令，则，当x≥5时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[5，+∞）上单调递增，∴，∴，∴当时，至少存在m＝2，3，4满足不等式，不符合要求；当时，对于任意m≥4，m∈N•都不满足不等式，m＝1也不满足，此时只有m＝2，3满足；当时，只有m＝3符合；故，即，解得或，∴λ的取值范围为．20．（16分）已知函数f（x）＝（a∈R，且a为常数）．（1）若函数y＝f（x）的图象在x＝e处的切线的斜率为（e为自然对数的底数），求a的值；（2）若函数y＝f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（3）已知x，y∈（1，2），且x+y＝3．求证：+≤0．【分析】（1）根据导数的几何意义知f′（e）＝，由此构造方程求得结果．（2）将问题转化为ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，恒成立的问题，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，分别在a＝0，a＞0和﹣≤a＜0，或a≤﹣1时，结合函数单调性确定最小值，令φ（x）min≥0，从而求得a的取值范围．（3）根据（2）的结论可知f（x）在（1，2）上单调递增，分类讨论可确定≤2ln（2x﹣3），将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果．解：（1）由题意得：f′（x）＝＝，因为y＝f（x）的函数图象在x＝e处的切线的斜率为，所以f′（e）＝，所以，解得（ae+1）2＝（1﹣e）2，所以ae+1＝±（1﹣e），所以a＝﹣1或．（2）因为函数f（x）在（1，2）上单调递增，所以对于任意的x∈（1，2），都有f′（x）≥0恒成立，即ax+1﹣axlnx≥0且ax+1≠0，当a＝0，1≥0恒成立，满足题意，当a≠0时，由x≠﹣得：﹣，即a＞0，或﹣或a≤﹣1，令φ（x）＝ax+1﹣axlnx，则φ′（x）＝﹣alnx，①当a＞0且x∈（1，2）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在（1，2）上单调递减，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（2）≥0，即2a+1﹣2aln2≥0，解得a≥，所以a＞0满足题意，②当﹣≤a＜0或a≤﹣1，且x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（1，2）上单调递增，要使得ax+1﹣axlnx≥0，即要求φ（1）≥0，即a+1﹣aln1≥0，解得a≥﹣1，所以﹣≤a＜0或a＝﹣1，综上所述：a的取值范围是{﹣1}∪[﹣，+∞）．（3）证明：由（2）知：当a＝﹣1时，函数f（x）在（1，2）上单调递增，此时f（x）＝＝，当1＜x≤时，f（x）≤f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≤0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，当≤x＜2时，f（x）≥f（）＝﹣2ln，而2x﹣3≥0，所以（2x﹣3）f（x）≥﹣2ln（2x﹣3），即（2x﹣3）≥﹣2ln（2x﹣3），所以，综上，对于任意x∈（1，2），都有，所以≤2ln（2x﹣3）+2ln（2y﹣3）＝2ln（2x+2y﹣6）＝0，结论得证．附加题【选做题】本题包括，B，C三小题，每小题10分.请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]21．曲线x2+y2＝1在矩阵A＝（a＞0，b＞0）对应的变换下得到曲线＝1．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A的特征向量．【分析】（1）推导出＝，从而，由点P'（x'，y'）在曲线＝1，得＝1．再由x2+y2＝1，能求出矩阵A．（2）由|λI﹣A|＝＝0，求出λ1＝3，λ2＝1，由此能求出矩阵A的特征向量．解：（1）P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），则＝，即，又∵点P'（x'，y'）在曲线＝1，∴＝1．由已知条件可知，x2+y2＝1，∴a2＝9，b2＝1．∵a＞0，b＞0，∴a＝3，b＝1．∴A＝．（2）∵A＝．∴|λI﹣A|＝＝0，解得λ1＝3，λ2＝1，把λ1＝3代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x2＝0，∴λ1＝3的特征向量为，把λ1＝1代入|λI﹣A|x＝0，得＝，∴x1＝0，∴λ2＝1的特征向量为．B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）＝2，直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的值．【分析】化曲线的参数方程为普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，进一步化为参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解．解：由（α为参数），消去参数α，得；由ρ（sinθ+cosθ）＝2，得ρsinθ+ρcosθ﹣2＝0，即x+y﹣2＝0．设直线l的参数方程为，代入，得．∴，．∴|AB|＝|t1﹣t2|＝＝．C．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，满足a+b+c＝3，求的最小值．【分析】根据条件，可得＝，然后利用柯西不等式求出其最小值即可．解：∵a，b，c为正实数且满足a+b+c＝3，∴，即，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为12．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量X表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求X的概率分布和数学期望E （X）．【分析】（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，结合排列组合的思想逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）记“2和4不相邻”为事件A，则P（A）＝，所以2和4不相邻的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝2）＝，P（X＝1）＝，P（X＝0）＝（先确定3的位置）或（P（X＝0）＝1﹣P （X＝1）﹣P（X＝2）＝）．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．25．已知n≥2，n∈N*，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等，又对于任意的整数i，j（1≤i＜j≤n），均有i+a i≤j+a j．记所有满足条件的数列T的个数为b n．例如n＝2时，满足条件的数列T为1，2或2，1，所以b2＝2．（1）求b3；（2）求b n．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出结果．（2）直接利用数列的通项公式的应用和递推关系式的应用求出结果．解：（1）若a1＝3，则1+3≤2+a2，故a2＝2，则a3＝1．若a2＝3，则2+a2≤3+a3，则a3≥2．故a2＝2，则a1＝1．若a3＝3，则a1＝1，a2＝2，或a1＝2，a2＝3．所以当n＝3时，满足条件的数列T为3，2，1；1，3，2；1，2，3；2，1，3．故满足条件的T为4．（2）设满足条件的数列T的个数为b n，显然b1＝1，b2＝2，b3＝3．不等式i+a i≤j+a j中取j＝i+1，则有i+a i≤i+1+a i+1，即a i≤1+a i+1．①当a1＝n，则a2＝n﹣1，同理a3＝n﹣2，…，a n＝1．②当a i＝n，（2≤i≤n），则a i+1＝n﹣1，同理a i+2＝n﹣2，…，a n＝i．即a i＝n以后的各项是唯一确定的．a i＝n之前的满足条件的数列的个数为b i﹣1．所以：当n≥2时，b n＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1+1．（*）．当n≥3时，b n﹣1＝b n﹣2+b n﹣3+…+b1+1．代入（*）式得到b n＝b n﹣1+b n﹣1＝2b n﹣1，且满足b2＝2b1．所以对任意n≥2的，都有b n＝2b n﹣1，又b1＝1，所以．综上所述，满足条件的数列T的个数为2n﹣1．。

椭圆中的定点、定值问题

解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。

也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。

例1、（2017盐城高三三模18）已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF x ⊥轴时，2AF PF =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积；（3）记圆2222:abO x y a b +=+为椭圆C 的“关联圆”. 若3b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证：2234m n+为定值.学科*网解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程，得22221P y c a b +=，解得2P b y a =±. 又2AF PF =，所以22b a c a +=，解得12e =. （2）因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ a =且//PF x 轴，所以2P ax =，代入椭圆C 的方程，解得32P y b =±，因为点P 在第一象限，所以3P y =，同理可得2Q ax =-，3Q y = 所以223322()22AP OQb bb k k a a a a =⋅=----，由（1）知12c e a ==，得2234b a =，所以34AP OQ k k =-.（3）由（1）知12c e a ==，又3b =2a =，所以椭圆C 方程为22143x y +=，圆O 的方程为22237x y +=①. 连接,OM ON ，由题意可知，OM PM ⊥， ON PN ⊥，所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设00(,)P x y ，则四边形OMPN 的外接圆方程为222200001()()()224x y x y x y -+-=+，即22000x xx y yy -+-= ②.（注：以OP 为直径的圆的方程可以直接写出0))(0())(0(00=--+--y y y x x x ）由①－②，得直线MN 的方程为0023xx yy +=，令0y =，则0237m x =；令0x =，则0237n y =. 所以2200223449()43x y m n +=+，因为点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=，所以223449m n+=. 例2、（2018苏锡常镇高三二模）如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =u u u u r u u u u r，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．解：（1）由椭圆的离心率为2，焦点到对应准线的距离为1. 得 2221c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，，解得21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，DMCBAy xO联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+由B ，得直线BD的方程：2y x =①直线AC方程为1y x =+ ② 联立①②得212x x =，即12x x =2 法2：设D 坐标为(x 3，y 3），由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =- ① 由B ,D ,N221y +代入可得2x =②①和②相乘得，31231x x x y =-33332)2x y x ==-+-.例3、（2018苏北四市高三一模18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF FC =，求BFFD的值；（3）设直线AB ，CD 的斜率分别为21,k k ，是否存在实数m ，使得12mk k =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设椭圆方程为22221(0)x ya b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2243x y +=（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去）故1(1)713317BF FD --==-（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--，同理，D 点坐标为0085(52x x ++，003)52y x +，所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．例4、（2016泰州高三期末19）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y --，220014x y += 所以22000012220000111422424x y y y k k x x x x -=⋅===--+--．（2）联立122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222111(1)44(1)0k x k x k +-+-=，解得21112211 2(1)4,(2)11P P Pkkx y k xk k--==-=++，联立122(2)14y k xxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2222111(14)164(41)0k x k x k+-+-=，解得211122112(41)4,(2)1414B B Bk kx y k xk k--==-=++，所以121241BBCBy kkx k-==-，121122112141562(1)641515PPQPky k kkk kxk-+-===--+++，所以52PQ BCk k=，故存在常数52λ=，使得52PQ BCk k=．法二：设直线AC方程：)2(411--=xky与圆:O224x y+=联立方程组，运用韦达定理解出'Q坐标，证明'Q在直线PD上，即可说明AC必过点Q（请同学们自己去尝试）注：对于任意的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，过原点的任意一直线与椭圆交于BA,两点，P为椭圆上任意一动点，假设直线PBPA,斜率都存在，则有22abkkBPAP-=⋅证明：设),(11yxA,则),(11yxB--，),(yxP，因为PBA、、在椭圆上所以1221221=+byax①，122220=+byax②由①-②得0))(())((2010120101=+-++-by y y y a x x x x ，化简得22a b k k BPAP -=⋅例5、（2017苏锡常镇高三一模18）已知椭圆1222=+y x 右顶点为A .过点)2,2(-D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点Q P 、求证：直线AQ AP ,的斜率之和为定值.分析：法一：先考虑过D 的直线斜率不存在满不满足题意。

圆锥曲线综合大题练分类题组-2023届高三数学一轮复习

题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题1.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．3.已知椭圆C：2222=1x ya b（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.4.如图，椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．5.如图，已知椭圆Γ：x 2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率e=√22，短轴右端点为A,M(1.0)为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．题型2：定值问题1.已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为 32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.2.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离. （1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.xOy ()220y px p =>l x M M ,A B ()11,A x y l ()20d p λλ=>13y d ==0AM AB λ+=AB3.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，点（2，√2）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．4.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，的离心率为，点A(1,√32)在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2，求证：k1∙k2为定值．5.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x − y −√2=0截得的弦长为2。

2021届湘豫名校联盟高三下学期3月联考数学(理)试卷及答案

2021届湘豫名校联盟高三下学期3月联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U，集合M，N是U的子集，且M N，则下列结论中一定正确的是A(∁U M)∪(∁UN)＝U B.M∩(∁UN)＝∅ C.M∪(∁U N)＝U D.(∁U M)∩N＝∅2.在复平面内，若复数z与112ii-+表示的点关于虚轴对称，则复数z＝A.1355i- B.1355i-- C.1355i+ D.1355i-+3.关于x的方程x2－ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是方程的一个根；乙：x＝4是方程的一个根；丙：该方程两根之和为3；丁：该方程两根异号。

如果只有一个假命题，则假命题是A.甲B.乙C.丙D.丁4.在平面直角坐标系中定义点P(x，y)的“准奇函数点”为P'(2a－x，2b－y)，若函数C上所有点的“准奇函数点”都在函数C上，则称函数C为“准奇函数”下列函数不是“准奇函数”的是A.f(x)＝cos(x＋1)B.f(x)＝2x1x1-+C.f(x)＝e|x|D.f(x)＝x5.已知空间中不重合的直线a，b和不重合的平面α，β，下列判断正确的是A.若a//α，b//α，则a//bB.若a//b，b⊂α，则a//αC.若a⊥b，a⊥α，则b//αD.若a⊥α，a⊥β，则α//β6.已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c，则sin<a，c>＝7.已知x ，y 满足约束条件x y 0x y 40y 1-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝－2x ＋y 的最大值是A.－1B.－2C.－5D.－78.下列函数中，同时满足以下两个条件①“∀x ∈R ，f(－6π＋x)＋f(－6π－x)＝0”；②“将图象向左平移12π个单位长度后得到的图象对应函数为g(x)＝cos2x ”的一个函数是 A.sin(2x ＋56π) B.cos(2x ＋3π) C.cos(2x ＋56π) D.sin(2x ＋3π) 9.在平面直角坐标系xOy 中，A(3，0)，B(0，－3)，点M 满足OM xOA yOB =+，x ＋y ＝1，点N 为曲线y ＝2x 2x --上的动点，则|MN|的最小值为A.22－1B.22C.32D.321- 10.已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形。

椭圆与双曲线综合测试题

椭圆与双曲线综合测试题椭圆与双曲线综合测试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。

）1、以x2/412+y2/16=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）。

A、x2/16+y2/4=1B、x2/4+y2/16=1C、x2/9+y2/16=1D、x2/16+y2/9=12、已知双曲线x2/9-y2/4=1上的一点P为该双曲线的两个焦点，设P到F2的距离为3，到F1的距离为2，则三角形F1PF2的面积是（）。

A、12B、63C、123D、2433、已知以x2/20+y2/16=1为焦点的椭圆C与直线L：x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆C的长轴长是（）。

A、32B、26C、27D、424、已知双曲线C的对称中心在原点，对称轴是坐标轴，且一条渐近线方程是3x+4y=0，双曲线C过点P(2，1)，则双曲线C的方程是（）。

A、9x2/25-4y2/9=1B、4x2/9-9y2/25=1C、9x2/16-4y2/25=1D、4x2/25-9y2/16=15、已知椭圆E:9x2/4+y2/16=1的左右焦点是(-5,0)和(5,0)，点P为E上一动点，当∠EPF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是（）。

A、(-3,3)B、(-5,3)C、(-5,5)D、(3,5)6、若F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1/MF2=2，则椭圆的离心率的取值范围是下列的选项（）。

A、(2/3,1)B、(1/2,1)C、(1,2/3)D、(1,1/2)7、已知椭圆x2/5+y2/4=1(n>2)和双曲线-3y2/5+x2/9=1有相同的焦点F1、F2，P(7，2)是两条双曲线的一个交点且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积是（）。

A、1B、1/2C、2D、3/28、如果已知双曲线的左右焦点分别是F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长是5，若半轴a=5，则三角形ABF2的周长是（）。

(新课标)高考数学备考试题库第八章第5节椭圆文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2010~2014年高考真题备选题库第8章平面解析几何第5节椭圆1. (2014某某，5分)已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12.2．(2014某某，5分)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25553. (2014某某，12分)圆 x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．(1)求点P 的坐标；(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y ＝x ＋ 3 交于A ，B 两点．若△PAB 的面积为2，求C 的标准方程．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．(2)设C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由点P 在C 上知2a 2＋2b2＝1，并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x ＋3，得b 2x 2＋43x ＋6－2b 2＝0，又x 1，x 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43b2，x 1x 2＝6－2b 2b2.由y 1＝x 1＋3，y 2＝x 2＋3，得|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·48－24b 2＋8b4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △PAB ＝12×32×|AB |＝2得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为x 26＋y 23＝1.4. (2014某某，5分)设椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：335（2013某某，5分）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D6（2013某某，14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝t OE ，某某数t 的值．解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)(ⅰ)当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意得－2<m <0或0<m < 2. 将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得|y |＝2－m22，所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64，解得m 2＝12或m 2＝32.①又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (2m,0)＝(mt,0)，因为P 为椭圆C 上一点，所以mt22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43，又t >0，所以t ＝2或t ＝233.(ⅱ)当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h ，将其代入椭圆的方程x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2，此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2－21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2h ＝2h1＋2k2，所以|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22·1＋k 2· 1＋2k 2－h21＋2k2. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h |1＋k2，所以S△AOB＝12·|AB |·d ＝12×221＋k 2·1＋2k 2－h21＋2k2·|h |1＋k2＝2· 1＋2k 2－h21＋2k 2·|h |. 又S △AOB ＝64，所以2· 1＋2k 2－h 21＋2k 2·|h |＝64.③ 令n ＝1＋2k 2，代入③整理得3n 2－16h 2n ＋16h 4＝0，解得n ＝4h 2或n ＝43h 2，即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2＝43h 2.④又OP ＝t OE ＝12t (OA ＋OB )＝12t (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2，因为P 为椭圆C 上一点，所以t 212⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，即h 2·t 21＋2k2＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2＝43.又t >0，所以t ＝2或t ＝233.经检验，符合题意．综合(ⅰ)(ⅱ)得t ＝2或t ＝233. 7（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.1323解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．答案：D8．（2013某某，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.答案：B9．（2013某某，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.1222解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C10．（2013某某，4分）椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－111.(2012某某，13分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )．所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C13．（2012某某，5分）椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝ca ＝55. 答案：B14．（2011某某，5分）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为(a 35，2a35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C15．(2011某某，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．16．（2011新课标全国，5分）椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e 2＝c 2a 2＝12.∴e ＝22.答案：D17．（2010某某，5分）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ·FP＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6.word 答案：C11 / 11。

2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分二轮课时专题5 解析几何 2 圆锥曲线

第2讲圆锥曲线【课前热身】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第45~47页)1.(选修2-1 P32练习3改编)已知椭圆的焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1，由题意得2222259144-4a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，解得a2=10，b2=6，所以所求方程为210x+26y=1.2.(选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x-236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54，结合a2+b2=c2，解得a=8，c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3.(选修2-1 P47练习3改编)已知双曲线x 2-22y m=1(m>0)的一条渐近线方程为x+0，则实数m= .【答案】3【解析】双曲线x 2-22y m=1(m>0)的渐近线方程为y=±mx ，又因为该双曲线的一条渐近线方程为x+0，所以m=3.4.(选修2-1 P53练习2改编)设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的标准方程为 .【答案】y 2=8x 或y 2=-16x【解析】当m>0时，准线方程为x=-4m=-2，所以m=8，此时抛物线方程为y 2=8x ；当m<0时，准线方程为x=-4m=4，所以m=-16，此时抛物线方程为y 2=-16x. 所以所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.5.(选修2-1 P37练习6改编)若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 .【答案】35【解析】由题意知2b=a+c ，又b 2=a 2-c 2，所以4(a 2-c 2)=a 2+c 2+2ac.所以3a 2-2ac-5c 2=0，所以5c 2+2ac-3a 2=0.所以5e 2+2e-3=0，解得e=35或e=-1(舍去).【课堂导学】求圆锥曲线的标准方程例1(2019·扬州中学)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.【解答】(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即22因为离心率e=ca=32，所以ba21-ca⎛⎫⎪⎝⎭12，所以a=2所以椭圆C的标准方程为28x+22y=1.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=-1yxx+1，①直线QN的方程为y=-2-yxx+2. ②设点T的坐标为(x，y).联立①②解得x0=2-3xy，y=3-42-3yy.因为28x+22y=1，所以2182-3xy⎛⎫⎪⎝⎭+213-422-3yy⎛⎫⎪⎝⎭=1，整理得28x+2(3-4)2y=(2y-3)2，所以28x+292y-12y+8=4y2-12y+9，即28x+22y=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)的形式.变式已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(20)的距离与点P到定直线l：x=2222，求动点P的轨迹C'的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.【解答】(1)依题意，可设椭圆C的方程为22xa+22yb=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0)，从而有22'358ca AF AF=⎧⎨=+=+=⎩，，解得24.ca=⎧⎨=⎩，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为216x+212y=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得22(-2)|-22|x yx+=22，整理，得24x+22y=1，所以动点P的轨迹C'的方程为24x+22y=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为22xa+22-4ya=1，代入已知点求解，显然没有利用定义来得简单.求离心率的值或范围例2(1)(2019·徐州三校调研)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1))(2)(2019·临川一中质检)如图(2)，已知点A，F分别是2 2 xa-22yb=1(a>0，b>0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若S△ROS=2S△POQ，则双曲线的离心率为.(例2(2))(3)(2019·金陵中学)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】75(2)2(3)13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】(1)由题意知直线A1B2的方程为-xa+yb=1，直线B1F的方程为xc+-yb=1.联立方程组解得T2()--ac b a ca c a c+⎛⎫⎪⎝⎭，.又M()-2(-)ac b a ca c a c⎛⎫+⎪⎝⎭，在椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上，故22(-)ca c+22()4(-)a ca c+=1，即e2+10e-3=0，解得e=275.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=±ba x 联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R-bcca⎛⎫⎪⎝⎭，，Sbcca⎛⎫⎪⎝⎭，，则S△ROS=12·2bca·c=2bca，S△POQ =12a·2b=ab，于是由S△ROS=2S△POQ，得2bca=2ab，即22ca=2，所以e=2.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=5cc+·5-cc=2225-cc=2125-1c.又由三角形性质知2c+2c>10，又由已知得2c<10，c<5，所以52<c<5，1<225c<4，0<225c-1<3，所以e1e2=2125-1c>13.变式1(2019·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.(变式1)【答案】12【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2ABk=k AM，得ba=2Myaac+，所以y M=b1ac⎛⎫+⎪⎝⎭.由1FBk=k FM，得bc=2-Myacc，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 从而b 1a c⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理得2e 2+e-1=0，解得e=12.变式2 (2019·泰州期末)若双曲线22x a -22y b=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e= .【答案】53【解析】由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，得b=2a c+，所以a 2+22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭=c 2，整理得3c 2-2ac-5a 2=0，所以3e 2-2e-5=0，解得e=53.变式3 (2019·泰州中学)如图，椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 .(变式3)【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】方法一：由题意知椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以PF=FA ，而FA=2a c -c ，PF ≤a+c ，所以2a c -c ≤a+c ，即a 2≤ac+2c 2.又e=ca，所以2e 2+e ≥1，所以2e 2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.方法二：设点P(x，y).由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF=FA.由椭圆第二定义，2-PFaxc=e，所以PF=2ac e-ex=a-ex，而FA=2ac-c，所以a-ex=2ac-c，解得x=21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭.由于-a≤x≤a，所以-a≤21-aa ce c⎛⎫+⎪⎝⎭≤a.又e=ca，所以2e2+e-1≥0，即(2e-1)(e+1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.直线与圆锥曲线问题例3(2019·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为3 2.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.【解答】(1)由条件知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的离心率为e=c a =32，所以b 2=a 2-c 2=14a 2.又点A (2，1)在椭圆上，所以24a +21b =1，解得2282.a b ⎧=⎨=⎩，所以所求椭圆的方程为28x +22y =1.(2)将y=kx+m (k ≠0)代入椭圆方程，得(1+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-8=0， ①由线段BC 被y 轴平分，得x B +x C =-2814mkk +=0，因为k ≠0，所以m=0.因为当m=0时，B ，C 关于原点对称，设B (x ，kx )，C (-x ，-kx )，由方程①，得x 2=2814k +，又因为AB ⊥AC ，A (2，1)，所以AB uuu r ·A C uuu r =(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k 2)x 2=5-228(1)14k k ++=0，所以k=±12，由于k=12时，直线y=12x 过点A (2，1)，故k=12不符合题设. 所以直线l 的方程为y=-12x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.变式 (2019·南通、扬州、泰州、淮安三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2+y 2=a 2于相异两点P ，Q.(1)若直线l的斜率为12，求APAQ的值；(2)若PQu u u r=λAPuuu r，求实数λ的取值范围.(变式)【解答】(1)由条件知2222422acaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得22.ab=⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆的方程为24x+22y=1，圆的方程为x2+y2=4.由题知直线l的方程为y=12(x+2)，即x=2y-2，联立方程组222-224x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得3y2-4y=0，所以y P=4 3.由222-24x yx y=⎧⎨+=⎩，，消去x，得5y2-8y=0，所以y Q=85.所以APAQ=PQyy=43×58=56.(2)因为PQu u u r=λAPuuu r，且APuuu r，PQu u u r同向，则λ=PQAP=-AQ APAP=AQAP-1，设直线l：y=k(x+2)，联立方程组224(2)x yy k x⎧+=⎨=+⎩，，消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以y Q =241k k +，同理y P =2421k k +，λ=AQ AP -1=QP y y -1=2241421k k k k ++-1=1-211k +.因为k 2>0，所以0<λ<1.即实数λ的取值范围是(0，1).【课堂评价】1.(2019·泰州期末)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22x -y 2=1的实轴长为 .【答案】22【解析】根据双曲线的方程知a=22a=22.(2019·镇江期末)以抛物线y 2=4x 的焦点为焦点，以直线y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 .【答案】212x -212y =1【解析】由题意设双曲线的标准方程为22x a -22y b=1，y 2=4x 的焦点为(1，0)，即c=1，则双曲线的焦点为(1，0).因为y=±x 为双曲线的渐近线，则b a =1，又a 2+b 2=c 2，所以a 2=12，b 2=12，故双曲线的标准方程为212x-212y=1.3.(2019·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为.【答案】92【解析】由题意可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=92，从而其焦点到准线的距离为p=92.4.(2019·苏中三校联考)设椭圆C：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】33【解析】如图，连接AF1，因为OD∥AB，O为F1F2的中点，所以D为BF1的中点.又AD⊥BF1，所以AF1=AB.所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=3所以e=ca=1212F FAF AF=33nn=33.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第23~24页.【检测与评估】第2讲圆锥曲线一、填空题1.(2019·苏锡常镇调研)若双曲线x2+my2=1过点(2)，则该双曲线的虚轴长为.2.(2019·苏州调查)已知双曲线2xm-25y=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.3.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为.4.(2019·普陀区调研)离为1，则该椭圆的离心率为.5.(2019·西安模拟)已知椭圆24x+22yb=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若BF2+AF2的最大值为5，则b的值是.6.(2019·盐城中学)设椭圆22xm+..=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的短轴长为 .7.(2019·丹阳中学)设A ，B 分别是椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右顶点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为-13，则椭圆C 的离心率为 .8.(2019·淮阴四校调研)已知椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、解答题9.(2019·扬州期末)如图，已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足1F M u u u u r =λMP u u u r(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点.(1)若椭圆方程为28x +24y =1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ=2，求椭圆离心率e 的取值范围.(第9题)10.(2019·赣榆中学)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF u u u r ·FB u u u r=1，|OF u u u r |=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.(第10题)11.如图，椭圆C：2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的一个焦点为F(1，0)，且过点622⎛⎫⎪⎪⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.(第11题)【检测与评估答案】第2讲圆锥曲线一、填空题1. 4【解析】将点(22)代入可得2+4m=1，即m=-14，故双曲线的标准方程为21x-24y=1，即虚轴长为4.2.y=±2x3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为x ，即y=±2x.3. 43 【解析】抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1，焦点F (1，0)，设点A (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，由题意得x 0+1=5，所以x 0=4，所以20y=4x 0=16，y 0=4，从而点A (4，4)，直线AF 的斜率k=4-04-1=43.4.2 【解析】不妨设椭圆方程为22x a +22y b =1(a>b>0)，则有222-1b a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2221b a b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，　②则①÷②得e=2.5.【解析】由题意知a=2，所以BF 2+AF 2+AB=4a=8，因为BF 2+AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A 3-2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B3--2c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入椭圆方程得24c +294b =1.又c 2=a 2-b 2=4-b 2，所以24-4b +294b =1，即1-24b +294b =1，所以24b =294b ，解得b 2=3，所以6.4【解析】由题意可知抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为12，所以a=4，所以47.【解析】由题意知A (-a ，0)，B (a ，0)，取P (0，b )，则k AP ·k BP =b a×-b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，故a 2=3b 2，所以e 2=222-a b a =23，即e=3.8. 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪112⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称.不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1=F 1F 2=2c 时，PF 2=2a-PF 1=2a-2c ，即2c>2a-2c ，解得e=c a >12.又因为e<1，所以12<e<1.当PF 2=F 1F 2=2c 时，PF 1=2a-PF 2=2a-2c ，即2a-2c>2c ，且2c>a-c ，解得13<e<12.综上可得13<e<12或12<e<1.二、解答题9. (1) 因为28x +24y =1，所以F 1(-2，0)，F 2(2，0)，所以k OP=22F Mk1F M k=4，所以直线F 2M 的方程为x-2)，直线F 1M 的方程为y=4(x+2).联立-2)(2)4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，解得x=65，所以点M 的横坐标为65.(2) 设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M ).因为1FM u u u u r=2MPuuu r ，所以1FM u u u u r =23(x 0+c ，y 0)=(x M +c ，y M )，所以M 00212-333x c y ⎛⎫⎪⎝⎭，，2F M u u u u r =00242-333x c y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PO ⊥F 2M ，O P uuu r=(x 0，y 0)，所以2023x -43cx 0+223y =0，即20x +20y =2cx 0.联立方程2200022002221x y cx x y a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 0，得c 220x -2a 2cx 0+a 2(a 2-c 2)=0，解得x 0=()a a c c +或x 0=(-)a a c c .因为-a<x 0<a ，所以x 0=(-)a a c c ∈(0，a )，所以0<a 2-ac<ac ，解得e>12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为112⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10. (1) 设椭圆方程为22x a +22y b=1(a>b>0)，则c=1.因为AF uuu r ·F B uuu r=1，即(a+c )(a-c )=1=a 2-c 2，所以a 2=2，故椭圆方程为22x +y 2=1.(2) 假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ =1，于是可设直线l 的方程为y=x+m.联立2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，，得3x 2+4mx+2m 2-2=0，则x 1+x 2=-43m ，x 1x 2=22-23m .因为MP uuu r·FQ u u u r=0=x 1(x 2-1)+y 2(y 1-1)，又y i =x i +m (i=1，2)，得x 1(x 2-1)+(x 2+m )(x 1+m-1)=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)(m-1)+m 2-m=0，所以2·22-23m -43m(m-1)+m 2-m=0，解得m=-43或m=1(舍去). 经检验m=-43符合条件，所以直线l 的方程为y=x-43.11. (1) 由题意得2222212312-c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为24x +23y =1.(2) 因为F (1，0)，N (4，0).设A (m ，n )，M (x 0，y 0)，则B (m ，-n )，n ≠0，则直线AF 的方程为y=-1nm (x-1)，直线BN 的方程为y=4-nm (x-4)，解得点M 的坐标为5-832-52-5m n m m ⎛⎫⎪⎝⎭，. 代入椭圆方程中，得204x +203y =25-82-54m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+232-53n m ⎛⎫⎪⎝⎭=222(5-8)124(2-5)m n m +.由24m+23n=1，得n2=321-4m⎛⎫⎪⎝⎭，代入上式得24x+23y=1.所以点M恒在椭圆C上.。

椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考

椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。

线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。

与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。

与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。

然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。

【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)
的离心率为2
,椭圆C 截直线y =1
所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.
解：（Ⅰ）
，得222=2()-a a b ，又当y=1时，222
2=-a x a b ，得2
222-=a a b ，所以2=4a ，2=2b . 因此椭圆方程为22
142
+=x y .
(II) 设11(,)A x y , 22(,)B x y .
联立方程22=+,+2=4,
⎧⎪⎨⎪⎩y kx m x y 得222(2+1)+4+2-4=0kx x kmx m ，（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程2224
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=，由0∆> 得2242m k <+ （*）且122421
km x x k +=
+ ，因此122221
m y y k +=+ ，所以222(,)2121km m D k k -++ ，又(0,)N m - ，所以222222()()2121km m ND m k k =-
++++ 整理得：224222
4(13)(21)m k k ND k ++=+ ，因为NF m = 所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF
+++==+++ 令283,3t k t =+≥ 故21214
t k ++= 所以22216161+11(1)2ND
t t NF t t
==++++ 令 21
1,1y t y t
t =+=-，所以
当 ,30t y ≥>时，从而1
y t t
=+在[)3+∞，上单调递增，因此1103
y t t =+≥ 等号当且仅当3t =时成立，此时0k = 所以 221+3=4
ND
NF ≤
由（*）得 m <且0m ≠，故12
ND
NF ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2
NF
ND θ=≥ ，所以θ得最小值为6
π. 从而EDF ∠的最小值为3
π，此时直线l 的斜率时0.
综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为
3π.。