2年中考1年模拟备战2018年中考数学第二篇方程与不等式专题08一元二次方程(含解析)

第二篇 方程与不等式专题08 一元二次方程☞解读考点☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）若关于x 的不等式12a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 【答案】C ．点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根与△=24b ac -有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 考点：1．根的判别式；2．不等式的解集．2．（2017内蒙古呼和浩特市）关于x 的一元二次方程22(2)10x a a x a +-+-=的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．2或0 【答案】B ． 【解析】试题分析：设方程的两根为1x ，2x ，根据题意得120x x += ，所以220a a -=，解得a =0或a =2，当a =2时，方程化为210x += ，△=﹣4＜0，故a =2舍去，所以a 的值为0．故选B ． 考点：根与系数的关系．3．（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或3 【答案】C ． 【解析】试题分析：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，∵x =﹣3是方程213x x a=+-的增根，∴当x =1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-，解得a =﹣1．故选C ． 点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．分式方程的解．4．（2017四川省泸州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=的两实数根，则(2)(2)m n ++的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．16 【答案】D ．点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意还需考虑有实数根时t 的取值范围，这是本题最易漏掉的条件．解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式．考点：1．二次函数的性质；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．根与系数的关系；5．综合题． 5．（2017四川省绵阳市）关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则mn 的值为（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4，∴mn =（﹣4）2=16．故选C ． 考点：根与系数的关系．6．（2017宁夏）关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．18a >- B ．18a ≥- C ．18a >-且1a ≠ D ．18a ≥-且1a ≠ 【答案】D ． 【解析】试题分析：根据题意得a ≠1且△=32﹣4（a ﹣1）•（﹣2）≥0，解得18a ≥-且a ≠1．故选D ．考点：根的判别式．7．（2017安徽省）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ）A ．16(12)25x +=B ．25(12)16x -=C ．216(1)25x += D ．225(1)16x -= 【答案】D ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8．（2017山东省东营市）若244x x -+ x +y 的值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．9 【答案】A ． 【解析】试题分析：根据题意得：244x x -+，所以244x x -+=0，即（x ﹣2）2=0，2x ﹣y ﹣3=0，所以x =2，y =1，所以x +y =3．故选A ．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质．考点：1．解一元二次方程﹣配方法；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根． 9．（2017山东省泰安市）一元二次方程2660x x --=配方后化为（ ）A ．2(3)15x -=B ．2(3)3x -=C ． 2(3)15x +=D ．2(3)3x += 【答案】A ． 【解析】试题分析：方程整理得：x 2﹣6x =6，配方得：x 2﹣6x +9=15，即2(3)15x -=，故选A ．考点：1．解一元二次方程﹣配方法；2．一次方程（组）及应用．10．（2017湖北省荆州市）规定：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程2280x x +-=是倍根方程；②若关于x 的方程220x ax ++=是倍根方程，则a =±3；③若关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程，则抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m ，n ）在反比例函数4y x=的图象上，则关于x 的方程250mx x n ++=是倍根方程． 上述结论中正确的有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④ 【答案】C ． 【解析】③关于x 的方程260ax ax c -+=（a ≠0）是倍根方程，∴x 2=2x 1，∵抛物线26y ax ax c =-+的对称轴是直线x =3，∴抛物线26y ax ax c =-+与x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确； ④∵点（m ，n ）在反比例函数4y x =的图象上，∴mn =4，解250mx x n ++=得x 1=﹣2m ，x 2=﹣8m，∴x 2=4x 1，∴关于x 的方程250mx x n ++=不是倍根方程； 故选C ．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．根的判别式；3．根与系数的关系；4．抛物线与x 轴的交点；5．综合题．11．（2017白银）如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32﹣2x ）（20﹣x ）=570B ．32x +2×20x =32×20﹣570C ．（32﹣x ）（20﹣x ）=32×20﹣570D ．32x +2×20x ﹣2x 2=570 【答案】A ． 【解析】试题分析：设道路的宽为xm ，根据题意得：（32﹣2x ）（20﹣x ）=570，故选A ． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．12．（2017贵州省六盘水市）三角形的两边a 、b 的夹角为60°且满足方程240x -+=，则第三边的长是（ ）A B ．C ．D ．【答案】A ． 【解析】点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解直角三角形． 考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．解直角三角形．13．（2017四川省攀枝花市）关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1 【答案】C ． 【解析】点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．考点：根的判别式． 二、填空题14．（2017四川省内江市）设α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，则33βααβ+= ． 【答案】47． 【解析】试题分析：方程(1)(4)5x x +-=-可化为2310x x -+= ，∵α、β是方程(1)(4)5x x +-=-的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴222=(+)2αβαβαβ+-=7，4422222=()2αβαβαβ++-=47，∴33βααβ+=44αβαβ+=47，故答案为：47．点睛：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对33βααβ+进行变形． 考点：1．根与系数的关系；2．条件求值．15．（2017四川省眉山市）已知一元二次方程2320x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则12(1)(1)x x --的值是 ． 【答案】﹣4． 【解析】试题分析：∵一元二次方程2320x x --=的两个实数根为1x ，2x ，∴123x x +=、122x x =-，∴12(1)(1)x x --=1212()1x x x x -++=﹣2﹣3+1=﹣4．故答案为：﹣4．考点：根与系数的关系．16．（2017德州）方程3x （x ﹣1）=2（x ﹣1）的解为 ． 【答案】1或23． 【解析】考点：1．解一元二次方程﹣因式分解法；2．等式的性质；3．解一元一次方程．17．（2017枣庄）已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ． 【答案】a ＞﹣1且a ≠0． 【解析】试题分析：由题意得a ≠0且△=（﹣2）2﹣4a （﹣1）＞0，解得a ＞﹣1且a ≠0．故答案为：a ＞﹣1且a ≠0．考点：根的判别式．18．（2017山东省泰安市）关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ． 【答案】k ＞54． 【解析】试题分析：根据题意得△=（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）＜0，解得k ＞54．故答案为：k ＞54． 考点：根的判别式．19．（2017山东省淄博市）已知α，β是方程2340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为 ．【答案】0． 【解析】试题分析：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，所以原式=a （α+β）﹣3α=3α﹣3α=0．故答案为：0． 考点：根与系数的关系．20．（2017江苏省扬州市）若关于x 的方程240200x -++=存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为 ． 【答案】15． 【解析】点睛：本题考查无理方程、换元法、正整数等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．考点：1．无理方程；2．换元法． 三、解答题21．（2017北京市）关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）k ＜0． 【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k ﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k +1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．试题解析：（1）证明：∵在方程()23220x k x k -+++=中，△=[﹣（k +3）]2﹣4×1×（2k +2）=k 2﹣2k +1=（k ﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵()2322x k x k -+++=（x ﹣2）（x ﹣k ﹣1）=0，∴x 1=2，x 2=k +1．∵方程有一根小于1，∴k +1＜1，解得：k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜0．点睛：本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k 的一元一次方程． 考点：根的判别式．22．（2017四川省南充市）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值是1或2．【解析】试题解析：（1）证明：∵2(3)0x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]2﹣4×1×（﹣m ）=m 2﹣2m +9=（m ﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵2(3)0x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴21212()37x x x x +-=，∴（m ﹣3）2﹣3×（﹣m ）=7，解得，m 1=1，m 2=2，即m 的值是1或2．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．23．（2017四川省眉山市）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【答案】（1）第3档；（2）第5档． 【解析】试题分析：（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）． 答：此批次蛋糕属第3档次产品．（2）设烘焙店生产的是第x 档次的产品，根据题意得：（2x +8）×（76+4﹣4x ）=1080，整理得：x 2﹣16x +55=0，解得：x 1=5，x 2=11（舍去）．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件利润×销售数量=总利润，列出关于x 的一元二次方程． 考点：一元二次方程的应用．24．（2017滨州）（1）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为；②方程x2﹣3x+2=0的解为；③方程x2﹣4x+3=0的解为；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【答案】（1）①x1=x2=1；②x1=1，x2=2；③x1=1，x2=3；（2）①x1=1，x2=8；②x2﹣（1+n）x+n=0；（3）答案见解析．【解析】试题解析：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+814=﹣8+814，（x﹣92）2=494x﹣92=±72，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为：x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；点睛：本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解一元二次方程．考点：1．解一元二次方程﹣配方法；2．一元二次方程的解；3．解一元二次方程﹣因式分解法．25．（2017山东省潍坊市）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．【解析】试题解析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去）．答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）∵长不大于宽的五倍，∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元．答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题；5．操作型．26．（2017山东省烟台市）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【答案】（1）10%；（2）去B商场购买足球更优惠．【解析】（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．试题解析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×1011=100011≈90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×910=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．27．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）； （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程2520x x -+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c ++= （a ≠0，24b ac -≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A （0，1），B （﹣b a ，c a ）或A （0，1a ），B （﹣ba，c ）等；（4）12b m m a +=-，1212m m n n +=ca． 【解析】（3）方程20ax bx c ++=（a ≠0）可化为20b cx x a a++=，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；（4）先设方程的根为x ，根据三角形相似可得1212n m xx m n -=-，进而得到2121212()0x m m x m m n n -+++=，再根据20ax bx c ++=，可得20b cx x a a++=，最后比较系数可得m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间的关系．试题解析：（1）如图所示，点D 即为所求；（2）如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，根据∠AOC =∠CDB =90°，∠ACO =∠CBD ，可得△AOC ∽△CDB ，∴AO OC CD BD =，∴152mm =-，∴m （5﹣m ）=2，∴2520m m -+=，∴m 是方程2520x x -+=的实数根；（3）方程20ax bx c ++=（a ≠0）可化为20b c x x a a ++= ，模仿研究小组作法可得：A （0，1），B （﹣b a，c a ）或A （0，1a ），B （﹣ba，c ）等； （4）如图，P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2），设方程的根为x ，根据三角形相似可得1212n m xx m n -=-，上式可化为2121212()0x m m x m m n n -+++=，又∵20ax bx c ++=，即20b cx x a a++=，∴比较系数可得12b m m a +=-，1212m m n n +=ca．点睛：本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积式．考点：1．三角形综合题；2．一元二次方程的解；3．相似三角形的判定与性质；4．阅读型；5．操作型；6．压轴题．28．（2017湖北省宜昌市）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2．（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．【答案】（1）36；（2）35；（3）50%．【解析】（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．试题解析：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×23=36（亿元）；（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据题意，得：2222541.5 1.5(1)(1)43622x x b x b b b x x x x x x ++++=⎧⎪⎨++++++=⎪⎩，解得：58x b =⎧⎨=⎩，∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x =35亿元；（3）由x =5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y ，由题意，得：20（1﹣y ）2=5，解得：y 1=0.5，y 2=1.5（舍） 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．点睛：本题主要考查一元二次方程、二元一次方程组的应用，理解题意、准确梳理题中所涉数量关系，找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．考点：1．一元二次方程的应用；2．分式方程的应用；3．增长率问题．29．（2017湖北省荆州市）已知关于x 的一元二次方程2(5)10x k x k +-+-= ，其中k 为常数． （1）求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数2(5)1y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限，求k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值． 【答案】（1）证明见解析；（2）k ≤1；（3）2． 【解析】试题分析：（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的意义即可证明； （2）由于二次函数2(5)1y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限，又△=（k ﹣5）2﹣4（1﹣k ）=（k ﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k 的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x 1，x 2，根据题意得（x 1﹣3）（x 2﹣3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k 的取值范围，再进一步求出k 的最大整数值．试题解析：（1）证明：∵△=（k ﹣5）2﹣4（1﹣k ）=k 2﹣6k +21=（k ﹣3）2+12＞0，∴无论k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：∵二次函数2(5)1y x k x k =+-+-的图象不经过第三象限，∵二次项系数a =1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k ﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x 轴有两个交点，设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=5﹣k ＞0，x 1x 2=1﹣k ≥0，解得k ≤1，即k 的取值范围是k ≤1；（3）解：设方程的两个根分别是x 1，x 2，根据题意，得（x 1﹣3）（x 2﹣3）＜0，即x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9＜0，又x 1+x 2=5﹣k ，x 1x 2=1﹣k ，代入得，1﹣k ﹣3（5﹣k ）+9＜0，解得k ＜52．则k 的最大整数值为2． 点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．根的判别式；3．根与系数的关系；4．二次函数的性质． 30．（2017湖北省鄂州市）关于x 的方程032)12(22=+-+--k k x k x 有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为1x 、2x ，存不存在这样的实数k ，使得5||||21=-x x ？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） k ＞114；（2）4． 【解析】试题解析：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣2k +3）=4k ﹣11＞0，解得：k ＞114； （2）存在，∵1221x x k +=-，21223x x k k =-+=（k ﹣1）2+2＞0，∴将5||||21=-x x 两边平方可得22112225x x x x -+=，即21212()45x x xx +-=，代入得：22(21)4(23)5k k k ---+=，解得：4k ﹣11=5，解得：k =4．考点：1．根与系数的关系；2．根的判别式．31．（2017重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m %，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m %，但销售均价比去年减少了m %，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值． 【答案】（1）50；（2）12.5． 【解析】试题解析：（1）设该果农今年收获樱桃x 千克，根据题意得：400﹣x ≤7x ，解得：x ≥50． 答：该果农今年收获樱桃至少50千克； （2）由题意可得：100（1﹣m %）×30+200×（1+2m %）×20（1﹣m %）=100×30+200×20，令m %=y ，原方程可化为：3000（1﹣y ）+4000（1+2y ）（1﹣y ）=7000，整理可得：8y 2﹣y =0，解得：y 1=0，y 2=0.125，∴m 1=0（舍去），m 2=12.5，∴m 2=12.5． 答：m 的值为12.5．点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．考点：1．一元二次方程的应用；2．一元一次不等式的应用．32．（2017黑龙江省绥化市）已知关于x 的一元二次方程22(21)40x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 【答案】（1）m ＞﹣174；（2）m =﹣4． 【解析】（2）设方程的两根分别为a 、b ，根据题意得：a +b =﹣2m ﹣1，ab =24m -．∵2a 、2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴222()2a b a b ab +=+-=22(21)2(4)m m ---- =2m 2+4m +9=52=25，解得：m =﹣4或m =2． ∵a ＞0，b ＞0，∴a +b =﹣2m ﹣1＞0，∴m =﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m 的值为﹣4．点睛：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m +17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m 的一元二次方程．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．菱形的性质．33．（2017江苏省镇江市）如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3cm ，BC =4cm ．点D 在AC 上，AD =1cm ，点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发，沿C →B →A →C 的路径匀速运动．两点同时出发，在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度每秒提高了2cm ，并沿B →C →A 的路径匀速运动；点Q 保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D 点处再次相遇后停止运动，设点P 原来的速度为xcm /s ． （1）点Q 的速度为 cm /s （用含x 的代数式表示）． （2）求点P 原来的速度．【答案】（1）43x ；（2）65cm /s ． 【解析】点睛：本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 考点：一元二次方程的应用．【2016年题组】一、选择题1．（2016天津市）方程2120x x +-=的两个根为（ ）A ．12x =-，26x =B ．16x =-，22x =C ．13x =-，24x =D ．14x =-，23x = 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵2120x x +-=，∴（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：14x =-，23x =．故选D ．考点：解一元二次方程-因式分解法．2．（2016四川省乐山市）若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A ． 【解析】考点：1．根与系数的关系；2．配方法；3．最值问题．3．（2016山东省泰安市）一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有一正根一负根 C ．有两个正根 D ．有两个负根 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵22(1)2(1)7x x +--=，∴22212(21)7x x x x ++--+=，整理得：2680x x -+-=，则2680x x -+=，（x ﹣4）（x ﹣2）=0，解得：14x =，22x =，故方程有两个正根．故选C ．考点：1．根的判别式；2．解一元二次方程-因式分解法；3．根与系数的关系；4．抛物线与x 轴的交点． 4．（2016广东省深圳市）给出一种运算：对于函数n y x =，规定y ′=1n nx-．例如：若函数4y x =，则有y ′=34x ．已知函数3y x =，则方程y ′=12的解是（ ）A ．1x =4，2x =﹣4B ．1x =2，2x =﹣2C ．1x =2x =0D ．1x =2x =-【答案】B ． 【解析】试题分析：由函数3y x =得n =3，则y ′=23x ，∴2312x =，24x =，∴x =±2，故选B ．考点：1．解一元二次方程-直接开平方法；2．新定义．5．（2016贵州省六盘水市）用配方法解一元二次方程2430x x +-=时，原方程可变形为（ ） A ．2(2)1x += B ．2(2)7x += C ．2(2)13x += D ．2(2)19x += 【答案】B ． 【解析】试题分析：243x x +=，24434x x ++=+，2(2)7x +=．故选B ．考点：解一元二次方程-配方法．6．（2016湖北省荆门市）已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．10 C ．11 D ．10或11 【答案】D ． 【解析】考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．7．（2016湖北省荆门市）若二次函数2y x mx =+的对称轴是x =3，则关于x 的方程27x mx +=的解为（ ） A ．1x =0，2x =6 B ．1x =1，2x =7 C ．1x =1，2x =﹣7 D ．1x =﹣1，2x =7 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵二次函数2y x mx =+的对称轴是x =3，∴﹣=3，解得m =﹣6，∴关于x 的方程27x mx +=可化为2670x x --=，即（x +1）（x ﹣7）=0，解得1x =﹣1，2x =7．故选D ． 考点：1．二次函数的性质；2．解一元二次方程-因式分解法．8．（2016青海省）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程2680x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 【答案】B ． 【解析】试题分析：2680x x -+=，（x ﹣4）（x ﹣2）=0，∴1x =4，2x =2，由三角形的三边关系可得： 腰长是4，底边是2，所以周长是：4+4+2=10．故选B ．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质． 9．（2016内蒙古包头市）若关于x 的方程21(1)02x m x +++=的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（ ） A ．52-B ．12C ．52-或12D ．1 【答案】C ． 【解析】考点：1．一元二次方程的解；2．分类讨论．10．（2016山东省泰安市）当x 满足24411(6)(6)32x x x x <-⎧⎪⎨->-⎪⎩时，方程2250x x --=的根是（ ） A．1± B1 C．1 D．1+【答案】D ． 【解析】试题分析：24411(6)(6)32x x x x <-⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得：2＜x ＜6，∵方程2250x x --=，∴x=1，∵2＜x ＜6，∴x=1+D ．考点：1．解一元一次不等式；2．一元二次方程的解．11．（2016山东省青岛市）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：分析表格中的数据，估计方程288260x +-=（）的一个正数解x 的大致范围为（ ）A ．20.5＜x ＜20.6B ．20.6＜x ＜20.7C ．20.7＜x ＜20.8D ．20.8＜x ＜20.9 【答案】C ． 【解析】考点：1．估算一元二次方程的近似解；2．探究型．12．（2016广西桂林市）若关于x 的一元二次方程方程2(1)410k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）。